Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Решение уравнений и неравенств с модулями

Решение уравнений и неравенств с модулями

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ ОТ ПРОЕКТА "ИНФОУРОК":
СКАЧАТЬ ВСЕ ВИДЕОУРОКИ СО СКИДКОЙ 86%

Видеоуроки от проекта "Инфоурок" за Вас изложат любую тему Вашим ученикам, избавив от необходимости искать оптимальные пути для объяснения новых тем или закрепления пройденных. Видеоуроки озвучены профессиональным мужским голосом. При этом во всех видеоуроках используется принцип "без учителя в кадре", поэтому видеоуроки не будут ассоциироваться у учеников с другим учителем, и благодарить за качественную и понятную подачу нового материала они будут только Вас!

МАТЕМАТИКА — 603 видео
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА — 577 видео
ОБЖ И КЛ. РУКОВОДСТВО — 172 видео
ИНФОРМАТИКА — 201 видео
РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТ. — 456 видео
ФИЗИКА — 259 видео
ИСТОРИЯ — 434 видео
ХИМИЯ — 164 видео
БИОЛОГИЯ — 305 видео
ГЕОГРАФИЯ — 242 видео

Десятки тысяч учителей уже успели воспользоваться видеоуроками проекта "Инфоурок". Мы делаем все возможное, чтобы выпускать действительно лучшие видеоуроки по общеобразовательным предметам для учителей. Традиционно наши видеоуроки ценят за качество, уникальность и полезность для учителей.

Сразу все видеоуроки по Вашему предмету - СКАЧАТЬ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Решение уравнений и неравенств с модулями

| |f(x)|=a

|f(x)|=|g(x)|

|f(x)|>a

|f(x)|

|

Обобщение

5. |f(x)|=g(x)<=> hello_html_m5cd54913.png

6. |f(x)|>g(x)<=>f(x)>g(x) или f(x)>-g(x)

7. |f(x)|-g(x) hello_html_m685c31b.png


Метод координат


Пусть даны точки A(x1) и B(x2); расстояние между точками есть модуль разности их координат: d(A;B)=|x1-x2|

Это понятие позволяет дать наглядное решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

Пример 1: Найти множество точек числовой прямой, координаты которых удовлетворяют условиям: а) |x-2|=3, б) |x-2|>3, в) |x-2|<3

Решение

Произвольную искомую точку обозначим X(x). Тогда расстояние от точки A(2) будет: а) d(X,A)=3, б) d(x,A)>3; в) d(X,A)<3.

Отложив от точки А вправо и влево по 3 единицы получили искомое множество:

hello_html_53a2dcf7.png

hello_html_1c5c02c3.png

hello_html_m1401dcb5.png

Пример 2:Решить неравенство |2x+3|>5.

Решение

Разделив обе части неравенства на 2, получили: |x+1,5|>2,5. Решение видно из рисунка:

hello_html_m3c239d99.png

Ответ: hello_html_m5a462a2a.png, hello_html_m14a4166a.png

Пример 3: Решить уравнения:

а) |x+3|+|x-1|=4;

б) |x+3|+|x-1|=8;

в) |x+3|+|x-1|=2.

Решение

Левую часть уравнения можно рассматривать как сумму расстояний произвольной точки оси X(x) до двух данных точек A(-3) и B(1).

Заметим, что если точка X лежит на отрезке AB или совпадает с одной из данных точек, то d(A,X)+d(B,X)=d(A,B)=4.

hello_html_m15fbda42.png

Если точка X1(x) лежит вне AB, то сумма ее расстояний до двух данных точек больше 4.

Поэтому уравнению а) удовлетворяют координаты любой точки [-3;1], т.е. -3≤x≤1

в) решений не имеет.

Для решения б) обозначим расстояние до ближайшей точки через a

hello_html_m2965dcc2.png

Отложив от данных точек по 2 единицы (на продолжении отрезка AB), найдем корни уравнения: x1=3, x2=-5.


Пример 4. Решить уравнение |х + 5| = 1.

Решение. |х + 5| — это расстояние от точки х до точки —5. Таким образом, нужно найти на координатной оси такие точки, расстояние от которых до точки —5 равно 1. Таких точек две - это -4 и -6.

Замечание. Чтобы облегчить школьникам решение подобных уравнений, целесообразно сначала добиться безошибочных ответов на такие, например, вопросы: «Чему равно расстояние от точки -2 до 4?», «Какие точки находятся на расстоянии 2 отточки 0? отточки 1?», «Когда расстояние между точками равно нулю?», «Может ли расстояние между двумя точками выражаться числом — 1?»

Пример 5. Решить уравнение |х — 2| = -4.

Решение. В задаче требуется найти такие х, расстояние от которых до точки 2 равно -4. Так как расстояние не может быть отрицательным, то данное уравнение не имеет решений.

Пример 6. Решить неравенство |х – 2| > 3.

Решение. |х — 2| - расстояние от точки х до точки 2. Таким образом, нужно найти на координатной оси такие точки, расстояние от которых до точки 2 больше 3. Найдем сначала точки, находящиеся от точки 2 на расстоянии, равном 3. Их две — это — 1 и 5. Чтобы расстояние было больше 3, точка х должна быть расположена дальше, т.е. левее —1 или правее 5. Это точки, принадлежащие множеству: (-∞; -1) U (5; +∞).

Пример 7. Решить уравнение + 1| + |х — 3| = 6.

Решение. На языке расстояний требуется найти все такие точки х на координатной оси, чтобы сумма расстояний от X до точек —1 и 3 была равна 6. Изобразим эти точки на оси. Если х лежит на отрезке [—1; 3], то при любом ее расположении сумма расстояний от нее до точек —1 и 3 равна длине отрезка АВ, т.е. 4

hello_html_46b00d50.pnghello_html_m5cda763c.png


Таким образом, точка X не может быть расположена между точками А и В, а лежит либо левее А, либо правее В. Пусть X лежит левее А, тогда сумма расстояний АХ + ВХ = 2АХ + АВ = 6. А так как АВ = 4, то АХ= 1. Следовательно, координата точки X равна —2.

Проводя аналогичные рассуждения для точки X, лежащей правее В, получаем, что X может иметь координату 4. (В этом случае 2ВХ + АВ = 6 и расстояние ВХ= 1.) Таким образом, получаем два корня х = —2, x = 4.

Пример 8. Решить уравнение |х + 1| + |х — 3| = 4.

Решение. Пользуясь решением предыдущей задачи, можно увидеть, что если точка X лежит вне отрезка [—1; 3], то искомая сумма расстояний больше 4, а для любой точки внутри отрезка она равна 4, т.е. корни уравнения составляют числовой промежуток: [—1; 3].

Замечание. Таким образом, используя расстояние, можно доказать, что уравнение вида |х — а| + |х —b| = с, где а, Ь, с — произвольные действительные числа (можно считать, что а < b), имеет:

1) два решения х1 и х2, если с > |а — b|, причем

x1= a –( x2= b+ ( ;

2) множество решений [ a;b], если c = |a – b| ;

3) не имеет решений, если c < |a – b|.

Пример 9. Решить неравенство |х + 2| — |x— 5| > 5.

Решение. Переформулировав задачу на языке расстояний, установим, что нужно найти такую точку х, расстояние от которой до точки —2 на 5 больше, чем расстояние от нее до точки 5. Подумаем, где может находиться такая точка.

Если х лежит левее —2, то понятно, что расстояние |х + 2| меньше, чем расстояние |х + 5|, так как точка х ближе к —2, чем к 5. Если х лежит правее 5, то искомая разность расстояний равна длине отрезка [-2; 5], т.е. 7, следовательно, все точки из промежутка (5;+∞) удовлетворяют условию.

Пусть теперь х лежит на отрезке [—2; 5].

hello_html_287f2d36.png

Тогда АХ + ВХ = 7 . Если к тому же АХ-ВХ=5, то АХ=6, ВХ=1 и х = 4. Чтобы разность АХ— ВХ была больше 5, точка X должна располагаться ближе к В, чем точка с координатой 4. Таким образом, неравенству удовлетворяют все числа промежутка (4; +∞).






Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 21.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров45
Номер материала ДБ-128976
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх