«Решение уравнений и систем уравнений повышенной сложности»

Программа

прикладного курса

 по  математике

«Решение  уравнений  и

систем  уравнений  повышенной  сложности».

10 -11 класс

Учитель математики: Горяинова Надежда  Набиевна

 2016 год.

Пояснительная  записка.

1.     Введение.

Программа  прикладного курса «Решение  уравнений  и

систем  уравнений» рассчитана  на  1 год (1 час в неделю) и  предназначена  для  учащихся  11 классов  общеобразовательной  школы.

2. Цели  и  задачи.

Разработка  программы  данного  курса  направлена  на  расширение  знаний  учащихся,  повышения  уровня математической  подготовки  учащихся  через  решение уравнений  и систем  уравнений. Навыки  в  решении  уравнений  высших  степеней  с  применением  определенных  методов  и способов  необходимы любому  ученику,  желающему  успешно участвовать в  математических  конкурсах  и  олимпиадах,  хорошо подготовиться к  поступлению и  учебе в высших  учебных  заведениях. Материал  данного  курса  содержит  методы  и способы, которые  позволяют  более  эффективно решать  широкий класс  заданий,  содержащих решение  уравнений  высших степеней,  приводимых квадратным  уравнениям,  возвратных  уравнений, иррациональных  уравнений,  систем двух  уравнений  с  двумя  неизвестными, систем  трех  нелинейных  уравнений  с  тремя  неизвестными. Данный  курс  предусматривает  формирование  устойчивого  интереса  к предмету,  выявление  и  развитие  математических способностей;  ориентацию  на  профессии,  существенным  образом  связанные  с  математикой,  выбору профиля дальнейшего  обучения,  успешной  подготовке  к ЕГЭ.

3. Методы  обучения.

Реализация  задач  спецкурса  возможна  при  условии максимального  использования  активных  форм  обучения, развития  творческих  способностей  ученика и  его  самостоятельности.

Предлагает  проведение  лекций  по  теоретическому  обоснованию  методов  решения, практикумов  по  решению,  самостоятельных  работ обучающего характера.

4. Оценка  знаний

Образовательные  результаты  изучения  данного курса  могут  быть  выявлены  в  рамках  следующих форм мониторинга  результатов  обучения:

1.                                        Текущий  контроль(беседы  с учащимися  по  изучаемым темам,  активность и качество  работы  ученика  на  занятиях).

2.                                        Тематический  контроль (контрольные,  проверочные  работы разных видов,  самоконтроль).

3.                                        Обобщающий  контроль  в форме  презентации  личных  достижений  учащихся ( устные сообщения,  рефераты по  темам,  собственные нестандартные  решения  отдельных  задач,  самостоятельные  работы).

Учебно-тематический  план.

№ п/п	Наименование  тем  курса	Всего часов	Дата
1	Общие  сведения  об уравнениях	1
2	Рациональные  алгебраические уравнения  первой  и второй  степени	1
3	Системы линейных  уравнений  с двумя  и  тремя  неизвестными	1
4	Понятие  об  определителях  второго  и  третьего  порядка	1
5	Решение  систем линейных  уравнений  с  помощью  определителей	2
6	Метод  Гаусса	1
7	Контрольная  работа	1
8	Уравнения  высших  степеней, приводимые  к  решению  квадратных  уравнений	2
9	Решение  уравнений	2
10	Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля	2
11	Возвратные  уравнения	2
12	Уравнения  вида  (х - а)  ( х - в) (х – с) (х – d) = m	2
13	О делимости многочленов	1
14	Некоторые  свойства целых рациональных  алгебраических  уравнений	1
15	Нестандартные  способы решения уравнений	2
16	Решение  уравнений  способом разложения на  множители	1
17	Контрольная  работа	1
18	Решение  систем  нелинейных  алгебраических  уравнений  с  двумя  неизвестными	3
19	Системы  трех  уравнений с  тремя неизвестными	3
20	Обобщающий  урок	1
21	Контрольная  работа	1
22	Защита  рефератов (собственные нестандартные  решения  некоторых уравнений  и  систем уравнений)	2

Содержание  образования.

Уравнения  и  системы  уравнений.

Уравнением  называется не  тождественное  равенство,  в  котром  одна  или  несколько букв  обозначают  неизвестные  величины. Неизвестные  величины  обозначают через x, y, z, t, …., а  заданные  числа (параметры)  через а, в, с, d…..Если  обе части  уравнения  есть целые  рациональные  выражения относительно  неизвестных,  то такое уравнение  называется  целым  рациональным алгебраическим  уравнением. Если уравнение  целое рациональное,  то наивысшую степень  членов  уравнения  относительно  неизвестных называют  степенью уравнения.

Всякое  целое  алгебраическое  уравнение  может  быть записано  в  общем  виде a _n x _n + a _n-1 x ^n-1 + …. + a ₁x + a₀ = 0    где  a _n ,  a _n-1, ….a ₁ , a₀  заданные  числа (коэффициенты  уравнения),  а  х – неизвестные.

Уравнение  с  одним  неизвестным  называется  дробным алгебраическим,  если  хотя  бы  одна  его  часть является  дробным рациональным  алгебраическим выражением  относительно неизвестного (если  только одна часть дробная,  то  другая  дробная бывает  целой рациональной), т.е.  кроме  сложения,  умножения,  возведения  в  натуральную  степень в уравнении указано еще  действие  деления на целое рациональное  алгебраическое  выражение относительно  неизвестного. Всякое дробное  алгебраическое уравнение  может  быть  приведено  к целому.  Решением  уравнения  с  n  неизвестными  называется совокупность n чисел ( значений  неизвестных),  которая  обращает  данное  уравнение  в  тождество. 

Уравнение  с  одним  неизвестным.

В  общем виде  уравнение  с  одним  неизвестным  можно  записать  в  виде  f₁ (x) =  f₂ (x)  где   f₁ (x)  и    f₂ (x) аналитически заданные  функции. Решениями  уравнения  могут быть только  допустимые  значения  неизвестного.

Решить  уравнение  значит  найти все  его  решения,  принадлежащие указанному множеству  чисел.

 Областью  определения  уравнения  или  областью допустимых  значений  неизвестного  х,  при которых  существуют  заданные  функции f₁ (x)  и    f₂ (x)  ( т.е.  общая  часть  областей  существования  f₁ (x)  и    f₂ (x).

При  решении  уравнений  необходимо  выполнять  тождественные  преобразования  заданного  уравнения,  заменяя  его  более  простым  равносильным  данному. Два уравнения  называются равносильными,  если каждое решение  одного  уравнения  есть  решение  второго, и,  наоборот, каждое  решение  второго  уравнения  есть  решение  первого  или,  если  оба  уравнения решений  не  имеют. Равносильность уравнений устанавливается  с  помощью следующих  теорем и следствий  из  них:

1.                                       Если  над  частями  уравнения  произвести  тождественные  преобразования,  не  изменяющие  области  определения  уравнения,  то  получится уравнение,  равносильное  данному.

2.                                       Члены  уравнения можно  переносить  из  одной  части  уравнения  в другую,  изменив  их знаки  на  противоположные.

3.                                       Если среди  членов  уравнения  есть  дробные,  то от  них  можно  избавиться  умножением  обеих  частей уравнения на НОК  знаменателей  дробных  членов,  причем  полученное  уравнение равносильно  данному  при  всех  значениях неизвестного,  при которых НОК  не  равно  нулю.

4.                                       Если  все  члены  уравнения  делятся  на  одно  и тоже  число  или выражение,  не  равное нулю при  всех  допустимых  значениях  неизвестного,  то  их  можно  разделить  на  это  число  или выражение.

5.                                       при  преобразовании  уравнения область допустимых  значений  его  неизвестного  может  изменяться.  Полученное  уравнение  в  общем  случае  равносильно  данному.  Если  при  некоторых  преобразованиях  область  определения  данного уравнения  расширяется,  то полученное  уравнение  может иметь  посторонние  корни. Если  корнями  полученного  уравнения  окажутся те  значения х ,  которые  не принадлежать к ОДЗН данного  уравнения,  то они  для  данного будут  посторонними;  те  корни  получат уравнения  которые принадлежат к ОДЗН  данного  уравнения,  следует  проверить  подстановкой  в  него.

Если  при  некоторых преобразованиях  данного уравнения  ОДЗН полученного уравнения  сузилась  по  сравнению  к ОДЗН  данного,  то  полученное уравнение  может  не содержать  всех  корней  данного уравнения. Поэтому  при  таком  решении  можно потерять  корни. При  решении  уравнений  необходимо  избегать  тождественных  преобразований, ведущих  к4 к сужению ОДЗН. Если  при  решении  уравнений  приходилось  пользоваться  какими либо преобразованиями,  не  входящими  в  условия  теорем,  то  проверка  найденных  значений  неизвестного  обязательна,  т.е.  является  составной  частью  решения  уравнения. Это  относится  к  иррациональным,  показательным,  логарифмическим  и  тригонометрическим  уравнениям.

Учебно-методический  комплекс

1.    Задачи  повышенной  сложности  по  алгебре  и  началам  анализа для  10-11 классов  средней  школы  Ивлев Б.М, Абрамов А.М., Шварцбург С.М., Москва «Просвещение» 1990г.

2.    Алгебра и элементарные функции  Яремчук Ф.П., Рудченко

«Наукова  думка» Киев 1971г.

3.    .Факультативный курс по математике. Учебное пособие для  10 класса средней школы. Шарыгин И.Ф. Москва «Просвещение» 1989 год.

4.    Алгебра и начала анализа 10-11классы Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Просвещение 2000

5.              Алгебра 9 класс Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк Просвещение 2009г.