Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Решение задач. Лемма о «дважды биссектрисе» треугольника

Решение задач. Лемма о «дважды биссектрисе» треугольника

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Методический семинар в помощь учителям математики

Лемма о «дважды биссектрисе» треугольника

Любителям геометрии известно достаточно много фактов «из жизни» биссектрисы треугольника.Сюда следует отнести:свойство биссектрисы, выражающееся равенством hello_html_29f847a.gif (рис 1).То,что каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.Две знаменитые формулы:l2a=bc-xy и la=hello_html_7dc596a7.gif (см.рис.1) И даже несколько изысканную,но также весьма полезную формулу la =hello_html_m1d50ad5d.gif

C:\Users\admin\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan2.tif

Все это так.Биссектриса-один из главных отрезков в геометрии треугольника.

Мы же сейчас поведем разговор о менее популярном,но чрезвычайно важном,необходимом свойстве биссектрисы.О том, что биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой,проведенной из вершины того же угла.Иными словами,la (биссектриса угла А)является биссектрисой угла ОАН1(рис.2)

C:\Users\admin\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan2.tif

После доказательства этого свойства (назовем его леммой о «дважды биссектрисе») постараемся аргументированно показать,насколько оно полезно при решении геометрических задач.

Лемма. Биссектриса lа треугольника АВС является также биссектрисой угла ОАН1 , где О- центр окружности,описанной около треугольника АВС,АН1 –его высота (рис.3)

C:\Users\admin\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan2.tif

Доказательство.Угол АОС является центральным, hello_html_7721c9d3.gif.Но и <ВАН1=90°-<В(из треугольника ВАН1)Поскольку биссектриса la делит угол ВАС пополам,то отняв от равных углов САL1 и BAL1 равные части,мы вновь получим равные углы.Поэтому hello_html_73a93552.gif.Лемма доказана.

Задача1.Дан треугольник АВС.Серединный перпендикуля к стороне ВС и продолжение биссектрисы la пересекаются в точке Q (рис 4) Докажите что точка Q лежит на окружности с центромО,описанной около треугольника АВС.

Свойство серединного перпендикуляра и биссектрисы.Продолжение биссектрисы пересекается с серединым перпендикуляром в точке,лежащей на окружности описанной около треугольника.

hello_html_5c2e2020.png

Доказательство.Проведем высоту АН1 и радиус ОА.hello_html_3c88520e.gif- как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых (АН1 OQ) Следовательно,треугольник АОQ-равнобедренный,причем ОQ=ОА=Rокр.А это и означает,что точка Q принадлежит окружности,описанной около треугольника АВС.

Краткое описание документа:

Лемма о «дважды биссектрисе» треугольника

Любителям геометрии известно достаточно много фактов«из жизни» биссектрисытреугольника.Сюда следует отнести:свойство биссектрисы, выражающеесяравенством(рис 1).То,что каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.Две знаменитые формулы:l2a=bc-xy иla=(см.рис.1) И даже несколько изысканную,но также весьма полезную формулуla=

Автор
Дата добавления 15.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров338
Номер материала 283452
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх