Решение задач. Лемма о «дважды биссектрисе» треугольника

Методический семинар в помощь учителям математики

Лемма о «дважды биссектрисе» треугольника

Любителям геометрии известно достаточно много фактов  «из жизни» биссектрисы  треугольника.Сюда следует отнести:свойство биссектрисы, выражающееся  равенством     (рис 1).То,что каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.Две знаменитые формулы:l²_a=bc-xy и   l_a=    (см.рис.1) И даже несколько изысканную,но также весьма полезную формулу                                  l_{a =}

                                  

Все это так.Биссектриса-один из главных отрезков в геометрии               треугольника.

Мы же сейчас поведем разговор о менее популярном,но чрезвычайно важном,необходимом свойстве биссектрисы.О том, что биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой,проведенной из вершины того же угла.Иными словами,l_a (биссектриса угла А)является биссектрисой угла ОАН₁(рис.2)

                        

После доказательства этого свойства (назовем его леммой о «дважды биссектрисе») постараемся аргументированно показать,насколько оно полезно  при решении геометрических задач.

Лемма. Биссектриса l_а  треугольника АВС является также биссектрисой угла ОАН₁ , где О- центр окружности,описанной около треугольника АВС,АН₁ –его высота (рис.3)

            

Доказательство.Угол АОС является центральным, .Но и <ВАН₁=90°-<В(из треугольника ВАН₁)Поскольку биссектриса l_a делит угол ВАС пополам,то отняв от равных углов САL₁ и BAL₁ равные части,мы вновь получим равные углы.Поэтому .Лемма доказана.

Задача1.Дан треугольник АВС.Серединный перпендикуля к стороне ВС  и продолжение биссектрисы l_a  пересекаются в точке Q (рис 4) Докажите что точка Q лежит на окружности с центромО,описанной около треугольника АВС.

Свойство серединного перпендикуляра и биссектрисы.Продолжение биссектрисы пересекается с серединым перпендикуляром  в  точке,лежащей на окружности описанной около треугольника.

                                

Доказательство.Проведем высоту АН₁ и радиус ОА.-  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых (АН₁  OQ) Следовательно,треугольник  АОQ-равнобедренный,причем ОQ=ОА=R_окр.А это и означает,что точка Q принадлежит окружности,описанной около треугольника АВС.

Краткое описание документа:

Лемма о «дважды биссектрисе» треугольника

Любителям геометрии известно достаточно много фактов«из жизни» биссектрисытреугольника.Сюда следует отнести:свойство биссектрисы, выражающеесяравенством(рис 1).То,что каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.Две знаменитые формулы:l²_a=bc-xy иl_a=(см.рис.1) И даже несколько изысканную,но также весьма полезную формулуl_a=