Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Решение задач на параметры

Решение задач на параметры

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов



Задачи с параметром

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся. Они имеют исследовательский характер, и с этим связано методическое значение таких задач, а также трудности выработки навыков их решения. Важность понятия параметра связана с тем, что, как правило, именно в терминах параметров происходит описание свойств математических объектов: функций, уравнений, неравенств. Под параметрами мы понимаем входящие в алгебраические выражения величины, численные значения которых явно не заданы, однако считаются принадлежащими определённым числовым множествам.

Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, наличие навыка анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умении объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат.

Квадратные уравнения с параметром



  1. При каких значениях параметра а уравнение аhello_html_7a2a5240.gif - х + 3 =0

имеет единственное решение?

Решение. 1. а=0. При этом значении параметра а уравнение принимает вид –х +3 = 0, откуда х = 3, то есть решение единственное.

2. а ≠ 0. Тогда аhello_html_7a2a5240.gif - х + 3 = 0 – квадратное уравнение, дискриминант которого

D =1 - 12а. для того, чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы

D = 0, откуда а = hello_html_m1bcf515d.gif.

Ответ : при а = 0 или а = hello_html_m1bcf515d.gif.

  1. При каких значениях параметра а уравнение

(а – 2)hello_html_3f6880b.gif имеет единственное решение?

Решение . 1. При а = 2 исходное уравнение не имеет решения.

2.а hello_html_m2bc03806.gif 2. Тогда данное уравнение является квадратным и принимает вид

hello_html_m1eeef063.gif = 0. Искомые значения параметра - это корни дискриминанта, который обращается в нуль при а = 5.

Ответ: при а = 5.

  1. При каких значениях параметра а уравнение

аhello_html_m6960ef7e.gif

имеет более одного корня?

Решение. 1. При а = 0 уравнение имеет единственный корень х = hello_html_m57c90caf.gif.

2. При а hello_html_47f4e8d2.gifисходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант положителен, то есть 16 – 4а2 – 12а hello_html_m360d6129.gif. Решая неравенство, получаем hello_html_648019c7.gif Из этого промежутка следует исключить нуль.

Ответ: hello_html_m3a9a2376.gif

  1. При каких значениях параметра а уравнение х2 – а = 0 и hello_html_m34792c1c.gif - а = 0 равносильны?

Решение: 1. При hello_html_m74ca3a9d.gif - а = 0 имеет один корень. Равносильности нет.

2. При а = о решения уравнений совпадают.

3. При hello_html_m6bf352c9.gif Как известно, такие уравнения считаются равносильными.

Ответ: hello_html_m5e74d165.gif



То что объединяет все задачи с параметрами, - это означает что, любую из них можно отнести к одной из двух следующих групп: задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется некоторое условие (неравенство имеет решение, корни уравнения принадлежат заданному промежутку и т. д.), и задачи, в которых требуется решить уравнение (неравенство, систему) с параметрами. В последнем случае нужно установить, при каких значениях параметра задача имеет решения, и указать эти решения для каждого из значений параметра (если при каких – то значениях параметра решений нет, то в ответе следует именно так и написать, - в противном случае решение может быть сочтено неполным).

Решение большинства задач с параметрами, связано со свойствами линейной и квадратичной функций.

При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться тем, что любое линейное уравнение является уравнением некоторой прямой. Поэтому система двух линейных уравнений либо имеет единственное решение (соответствующие прямые пересекаются), либо имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают). Либо не имеет решений (прямые параллельны).

  1. Для каждого значения параметра а найдите число решений уравнения

2(4х - 1)а2 – (14х - 11)а + 5(х - 1) = 0

Решение: Запишем данное уравнение как линейное относительно х:

(8а2 – 14а + 5) х = 2а2 – 11а + 5.

Разложив на множители каждый из квадратных трехчленов относительно а, получим (2а - 1) (4а - 5) = (2а - 1) (а - 5).

При а = 0,5 уравнение имеет бесконечное множество решений.

При а hello_html_m3e0618e6.gif

hello_html_55704b80.gif

Ответ: hello_html_m4b9e65cb.gif

При а = hello_html_5bd10f25.gif

При а hello_html_m3e0618e6.gif



  1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

hello_html_m2a2c1cb8.gif

Имеет бесчисленное множество решений.



Решение: Данная система равносильна системе hello_html_m609b3f4c.gif

Откуда hello_html_63c0ed75.gif

Разложив на множители каждый из квадратных относительно а трехчленов второго уравнения, получим систему hello_html_24a84f0.gif

Полученная система имеет более одного решения только в том случае, если ее первое уравнение имеет более одного решения, что возможно лишь при а = 2/5.

Ответ: а = 2/5.



  1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых прямая у=а пересекает хотя бы в одной точке график функции у = hello_html_m1a1ad4db.gif.

Решение. Условие задачи выполняется в том и только в том случае, если имеет хотя бы одно решение уравнение а=hello_html_m1a1ad4db.gif. Но 7hello_html_m2be20f84.gif. Поэтому hello_html_m1a1ad4db.gifhello_html_m606c9b5a.gif19hello_html_247b7d99.gif=7аhello_html_19a7fb0d.gif(7а – 19)hello_html_76f742c7.gif .

Полученное уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда hello_html_m3dd5b8f6.gif.

Решим неравенство: hello_html_67e3256a.gif .

Ответ : аhello_html_m7f33904f.gif .

  1. При каких значениях параметра а уравнение

hello_html_m18e0431f.gif

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть у =hello_html_m16a80e84.gif.

Тогда у принимает все значения из отрезка hello_html_m59c26c92.gif

Переформулируем задачу. Требуется найти значения параметра а, при которых уравнение

hello_html_e0736f1.gif-2(а+2)у – (2а + 5) = 0

hello_html_m3d5af2ec.gifна отрезке hello_html_m136d9bc6.gif.

hello_html_m314385af.gifhello_html_f4d2b28.gif

hello_html_739b844f.gif

0hello_html_1f2fb1db.gif

Ответ : аhello_html_6817bb4b.gif.

  1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

hello_html_m4ef8817e.gif-(8а-1)hello_html_1a0493b1.gif +16hello_html_532091fd.gif -4а – 2 = 0

hello_html_663467b2.gif.

hello_html_m2ab95932.gif. Сделаем замену переменной. Пусть у=hello_html_1a0493b1.gif. Уравнение принимает вид

hello_html_e0736f1.gif- (8а-1)у + 16hello_html_532091fd.gif - 4а – 2 = 0.

hello_html_m408b816f.gif. Требуется найти значения параметра, при которых полученное уравнение имеет единственный положительный корень.

hello_html_m1c5819f.gifhello_html_7fb03dd1.gif

Больший корень равен 4а + 1.

Составим и решим систему неравенств.



hello_html_m2ba48055.gif

hello_html_m13dedb89.gif.



Рациональные неравенства с параметром доставляют значительно больше хлопот и требуют знания различных методов их решения: по сравнению с методами решения уравнений в особенности необходимо владение графическим методом решения.

  1. Решите неравенство hello_html_68624a95.gif для всех значений а.

Решение. Способ 1 (аналитический). Применяя схему освобождения от дроби для неравенства, очевидно, получим:

hello_html_257265fd.gif





Вновь соотношения в системах 1и2 являются многочленами, следовательно, их параметрический анализ уже известен. Рассмотрим каждую из систем в отдельности.

  1. Для первого соотношения системы 1 имеем:

Если 1-аhello_html_55b200e4.gif

Если 1-аhello_html_m6e809366.gif

Для второго соотношения системы 1 –

Если аhello_html_m1dfb0eb4.gif hello_html_662de231.gif

Если аhello_html_345847f8.gif. hello_html_687a32bd.gif

Дальнейший параметрический анализ разбивается значениями а=0;1 на следующие этапы.

    1. аhello_html_m360d6129.gif. В этом случае из условий выше выбираются соотношения , соответствующие выбранным значениям а: при аhello_html_m360d6129.gif

  • хhello_html_m46c041d2.gif и хhello_html_m164dba.gif

Далее очевидно, что при hello_html_656d3509.gif система со звёздочкой не будет иметь решений. Из указанного множества значений а лишь интервал аhello_html_4abb7426.gifемый случай (аhello_html_1d312634.gif, следовательно, при а hello_html_73e0a339.gif.

Если же

hello_html_m1bfec90.gif, что в пересечении с множеством

аhello_html_648214f3.gif, то очевидно, система со звёздочкой имеет решение хhello_html_d954b41.gif.

Таким образом, получается следующее решение 1.1:

Если аhello_html_m238b8767.gif

Если аhello_html_77f18935.gif, то х hello_html_m279875d2.gif.

    1. аhello_html_3a68ee3a.gif. Выбирая из условий hello_html_662de231.gifиhello_html_687a32bd.gif соответствующие неравенства, получаем hello_html_3349160.gif . Заметим, что правые части этой системы уже сравнены в 1.1, откуда получаем, что hello_html_m5f2dc360.gif для всех аhello_html_3a68ee3a.gif, что даёт решение 1.2.: хhello_html_7a87d524.gif.

    2. аhello_html_m547fa93c.gif. По аналогии с предыдущими случаями имеем систему hello_html_m7fd7c046.gif



но так как при аhello_html_33946bad.gif, то решение последней системы хhello_html_f54fd8c.gif

в случае особых значений параметра решение легко получить путём их непосредственной подстановки в исходное соотношение:

    1. а = -1 хhello_html_m21669e2f.gif;

    2. а = 0 х hello_html_5bec4a23.gif

    3. а = 1 х hello_html_ma08f320.gif

Объединяя решения получим общий ответ:

При а hello_html_m59cab5d9.gif;

При а = -1 хhello_html_m786f37b3.gif

При а hello_html_m279875d2.gif;

При а = 0 х hello_html_34ed0380.gif;

При а hello_html_5ba364bb.gif хhello_html_757f100e.gif hello_html_m29a50b20.gif

При а = 1 х hello_html_m5742c79e.gif;

При а hello_html_m547fa93c.gif hello_html_m1b0a82fa.gif.

Способ 2 ( метод интервалов).

hello_html_m41a23611.gif

Корни числителя и знаменателя последнего неравенства hello_html_m438d6914.gif = hello_html_73536ba0.gif, hello_html_m3f108886.gif = -hello_html_m72273547.gif. При расположении корней на числовой оси, возникают случаи:

  1. hello_html_73c84d99.gif

1). Если hello_html_c254569.gif то

hello_html_m21edd989.gif

При а hello_html_a400ad2.gif.

В пробной точке, например х=0, исходная дробь отрицательна, что, в соответствии с методом интервалов, даёт решение хhello_html_m40bb3413.gif. Во второй части полученного множества (аhello_html_m368e7d3a.gif, выбирая ту же пробную точку х = 0, получаем решение х hello_html_44835837.gif;hello_html_686ffa2d.gif, совпадающее с предыдущим.

2). Если hello_html_m3de76240.gif, то

hello_html_354ee119.gif

По аналогии с 1),

При аhello_html_228a08f0.gif;hello_html_686ffa2d.gif.

При а hello_html_m14ca8748.gif.

Параметрический анализ при а = 0;hello_html_706845c2.gif, а также общий ответ совпадают с примером в аналитическом способе решения .

Очевидно, аналитическое решение рациональных неравенств сопровождается значительными трудностями: уже более простые задачи приобретают достаточно громоздкий вид и множество необходимых для рассмотрения подслучаев.

Если числитель и знаменатель дроби представляют собой функции, графики которых доступны для построения, то возможно более эффективное решение рациональных hello_html_11852162.gifнеравенств графическим методом.

Способ 3 (графический).

Числитель и знаменатель дроби hello_html_m68bca5e5.gifможно рассматривать как функции двух переменных - х и а. Выпишем их отдельно, выразив одну переменную через другую:

х =hello_html_ec8e3db.gif . Очевидно, в системе координат, глее по оси абсцисс отложено а, а по оси ординат – х, данные неравенства представляют собой функции х = hello_html_mf464a15.gif, графиками которых являются гиперболы.

Хорошо известно, что всякая линия на плоскости, аналитически выражаемая уравнением hello_html_11852162.gifх = f(а), разбивает плоскость на два непересекающихся подмножества, одно из которых соответствует неравенству хhello_html_14a55ea7.gif, а другое неравенству х hello_html_14a55ea7.gif. Получим

hello_html_m25de193e.gif

Каждому неравенству совокупности систем соответствует множество точек на плоскости ха, причём границами этих множеств служат гиперболы х = hello_html_mf464a15.gif.

Рассмотрим ещё пример. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

(2а-1)hello_html_m6ea82a6e.gif + 2(а+2)х + а – 4 = 0

Имеет два различных корня, каждый из которых больше, чем -2.

Решение. Способ 1 . Допустимые значения параметра аhello_html_58433c9b.gif. Найдём корни уравнения и укажем значения параметра а, при которых они будут больше -2.

Отметим, что при а =hello_html_6eec8aff.gif(равенство нулю коэффициентов при старшем члене) уравнение превращается в линейное и, следовательно, имеет всего один корень, что противоречит условию.

Чтобы корни были различными, потребуем Dhello_html_m7c48e444.gif0, то есть решим неравенство

hello_html_m6bacb419.gif- 4(2а-1)(а-4) hello_html_m24c9335e.gif

Найдём теперь его корни.

hello_html_6e3d810a.gif=hello_html_467d4616.gif,

То естьhello_html_11852162.gif

Х =hello_html_6e2f8c50.gif или х =hello_html_61c18dd3.gif.

В данном примере очевидно, что второй из этих корней меньше, а значит, достаточно потребовать, чтобы именно он был больше -2.

hello_html_m159d7f9e.gif

Если аhello_html_m171233f5.gif, то

hello_html_5acfdf7f.gif3а-4hello_html_m606c9b5a.gif - hello_html_5df17ad5.gif

Если аhello_html_m5f0bc9fe.gif

Ответ: аhello_html_55ecb4d.gif

Способ 2. Рассмотрим функцию

f(х)=(2а-1)hello_html_m6ea82a6e.gif +2(а+2)х + а – 4.

Условие существования двух различных корней, больших-2, обеспечивается решением системы неравенств

hello_html_3d1b89b2.gif

hello_html_m5e49a9e6.gif)hello_html_7d642e3e.gif

Ответ: аhello_html_55ecb4d.gif

Ещё пример. При каких значениях параметра а корни уравнения

hello_html_27341ed8.gifпринадлежат отрезку hello_html_m10df48b.gif?

Решение. Допустимые значения параметра аhello_html_m1c0a32a8.gif

Рассмотрим функцию

f(х)=hello_html_a5068b2.gif

Условие задачи выполняется при2

hello_html_799e2568.gif

Ответ :аhello_html_fb20c2f.gif

Пример. При каких значениях параметра а один из корней уравнения

hello_html_27341ed8.gif

меньше 1, а другой больше 2?

Решение. Допустимые значения параметра аhello_html_58433c9b.gif.

Рассмотрим функцию f(х)=hello_html_a5068b2.gif

Выполнение условия задачи требует решения системы неравенств

hello_html_m160bbc49.gif2 -hello_html_378ee41a.gif

Ответ: а hello_html_77d233f.gif



Если требуется, чтобы корни квадратного трёхчлена были различны и только один из них лежал на отрезкеhello_html_6a928b36.gif на интервале (m;n), то двигая график параболы по координатной плоскости, можно заметить, что в точках х = m и х = n значения функции f(х) должны быть разных знаков, а это означает, что должно выполняться требование f(m)f(n)hello_html_m63c33baf.gif

Пример1. При каких значениях параметра а один корень уравнения hello_html_m478b6cdc.gif имеющего различные корни, принадлежит интервалу (1;4)?

Решение. Допустимые значения параметра аhello_html_m1c0a32a8.gif

Пусть f(х) = hello_html_m2b60da0.gif Тогда:

а) один корень этого квадратного трёхчлена лежит внутри интервала (1;4) при f(1)f(4)hello_html_mc4eff55.gif

б) проверим границы интервала

f(4) = 0hello_html_6d68e8ff.gif.

Тогда при этом значении а hello_html_321c16a6.gif.

Вывод: ни один из корней не лежит в (1;4).

f(1)=0 hello_html_m57cb3325.gif

Тогда при этом значении а

hello_html_m679c5cd2.gif

Вывод: корень х=3 лежит в (1;4), а значение а=3 является решением.

Обобщая полученные результаты, получаем аhello_html_m332b6aaf.gif

Пример 2. При каких значениях параметра а один корень уравнения

(а-1)hello_html_49b9553e.gif

hello_html_67c706b8.gif, а другой – интервалу (2;4)?

Решение. Допустимые значения параметра аhello_html_58433c9b.gif.

Рассмотрим функцию

hello_html_m261c8cc.gif(х)=(а-1)hello_html_1dcc2901.gif

При а=1 она становится линейной, и задача теряет смысл.

Пусть аhello_html_m2bc03806.gif1. Тогда:

а) корни лежат внутри заданных промежутков при hello_html_6ddfdedd.gif

то есть

hello_html_m6be65a4a.gif



hello_html_m115b28e8.gif

б) проверка границ отрезка и отбор корней.

f(0) = 3а-1=0 hello_html_m17adf830.gif

При этом значении а уравнение имеет вид

-hello_html_m503f4858.gif

Вывод : второй корень не лежит в интервале (2;4).

f(1) = а-1-2а+3а-1=0 hello_html_4a24362e.gif

Но а hello_html_3dd74a0.gif значит, и в этом случае нужных корней не будет.

Ответ: а hello_html_7be3e02f.gif.

Полученные результаты иллюстрируют подход и позволяют значительно упростить решение многих задач. Так, например, если требуется найти все значения параметра, при которых корни уравнения не лежат на данном отрезке, можно просто найти множество значений параметра, при котором корни, наоборот, лежат на отрезке. Дополнение к этому множеству и будет являться ответом.

Рассмотрим различные задачи с применением указанного подхода.

  1. Найти все значения х, при которых неравенство

(2-а)hello_html_m69901e65.gif

Справедливо хоты бы для одного значения параметра а из промежутка hello_html_m3a76a3f6.gif.

Решение. Допустимые значения параметра аhello_html_m1c0a32a8.gif

Перепишем уравнение относительно параметра а и рассмотрим функцию f(а):

f(а) = hello_html_2e38a87b.gif+2hello_html_5016d519.gif

Сформулируем обратную задачу: при каких значениях параметра а функция f(а) не имеет решений на отрезке hello_html_m3a76a3f6.gif, то есть корни hello_html_15267406.gifрасположены по разные стороны от рассматриваемого отрезка. Задача свелась:

hello_html_7ef8afc1.gifто есть hello_html_m206e9e15.gif



hello_html_3e4bbb0b.gif

Значит, решением задачи будут остальные значения параметра, то есть

аhello_html_4cce380f.gif

Ответ: аhello_html_4cce380f.gif

  1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение



hello_html_m7d421918.gif=hello_html_57a0ebc4.gif

Имеет два различных положительных корня и ни один из корней не является целым числом.

Решение. Допустимые значения параметра аhello_html_58433c9b.gif.

Перепишем уравнение hello_html_m112efaef.gif (1)

Введем новую переменную hello_html_mb11c1.gif

hello_html_288546ee.gif

hello_html_13988358.gif(2)

hello_html_m2bdd2c1e.gif

Отсюда ясно, что при Dy= 0, то есть при а = 7,5 уравнение имеет всего один корень (кратности два), и следовательно, это не удовлетворяет условию задачи.

Пусть а hello_html_m281812bf.gif(2) имеет два различных корня при hello_html_7a118324.gifТаким образом, первую часть задачи можно переформулировать так: при каких значениях параметра а уравнение (2) имеет два различных действительных корня больших единицы?

Пусть f (y) = y2- 11y – a2 +15a -26. Тогда это условие выполняется при решении системы неравенств hello_html_604130d8.gif

Остается определить, при каких значениях а будут получаться не целые корни. Решим обратную задачу, то есть найдем, при каких значениях параметра а будут получаться целые корни.

Найдем корни уравнения (2):

hello_html_797a2b05.gif= 5,5hello_html_5a2905d9.gif

Возвращаясь к переменной х, получаем соответственно hello_html_72f0baf0.gif или

hello_html_m30fccc69.gif= -а + 13 hello_html_23b06c53.gif

hello_html_6ca7ba85.gifцелые значения в первом случае при а = 5 или а = 11, а во втором – при а = 10 или а = 4. Эти значения необходимо исключить из ответа.



Ответ: а hello_html_2175d30b.gif.



  1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение



2hello_html_m2cd09edb.gif

не имеет решения.

Решение. Допустимые значения параметра аhello_html_m1c0a32a8.gif Введём новую переменную

t = hello_html_m1843382b.gif. Заметим, что thello_html_m15c79a6e.gif Тогда данное уравнение примет вид

2hello_html_ma9af4c2.gif.

Решений это уравнение, с учётом выше отмеченного, не будет иметь, если hello_html_43673e06.gif

Пусть f(t) = 2hello_html_28ca8568.gif Тогда условие thello_html_m547fa93c.gif обеспечивается решением системы неравенств hello_html_m45f3a6f1.gif Таким образом, требования задачи будут выполняться

при hello_html_m3dbae4be.gif то есть hello_html_m60f8498b.gif

hello_html_m656deb6d.gifDhello_html_af5a474.gif

hello_html_7db828f3.gif).

  1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

29hello_html_m65892b15.gif+ 29ах(hello_html_m5a6b5ad0.gif

не имеет действительных решений.

Решение. Допустимые значения параметра аhello_html_m1c0a32a8.gif

Представим данное уравнение в следующем виде:

29hello_html_fae7509.gif

Заметив, что hello_html_325c8274.gif= hello_html_2086d64f.gifприходим к выводу, что уравнение является возвратным уравнением чётной степени. х = 0 не является его корнем, поэтому поделим всё выражение на 29hello_html_m6ea82a6e.gif. Получаем после преобразований

hello_html_ma72af5f.gif+ аhello_html_49c31f19.gif.

hello_html_m4b650925.gifhello_html_1455f1cc.gif

hello_html_66eefc64.gif

hello_html_4e9f6158.gif

f(t) = hello_html_40f1b591.gif

1)hello_html_1312156a.gif

2)hello_html_m6acb6df3.gif

Объединяя 1) и 2) условия, получаем систему неравенств

hello_html_m6e447ba6.gif



hello_html_5ce8e258.gif

hello_html_414c2e33.gif





  1. Для каждого значения параметра, а определите число корней уравнения

2hello_html_164b862e.gif

Решение . Допустимые значения параметра аhello_html_m1c0a32a8.gif

Рассмотрим

hello_html_5c5de2ef.gif(1)

Если хhello_html_m6e5dcca5.gif то при hello_html_m5269553b.gif

Введём новую переменную у = hello_html_m2a2167ef.gif Тогда уравнение примет вид

2hello_html_e0736f1.gif-у –а = 0 (2)

Пусть f(у) = 2hello_html_54a2e7e0.gif Возможны три случая.

  1. у = 1 (один корень в уравнении(2)). Тогда 2-1-а = 0hello_html_146a5db.gif а = 1 (необходимость). При а = 1 получаем 2hello_html_m7a2ce09d.gif

Таким образом, при а = 1 получаем один корень в уравнении (1).

  1. Уhello_html_541c2b34.gif(два корня в уравнении (2), лежащие на hello_html_m433e84dd.gif а) у = 0. Тогда а = 0 (необходимость). При а = 0 получаем 2hello_html_7ef0017d.gif Таким образом, при а = 0 получаем четыре корня в уравнении (1). б) уhello_html_3127dd98.gif Тогда наличие двух корней в уравнении (2) (и, соответственно, четырёх корней уравнения (1)) на интервале (0;1) определяется системой неравенств hello_html_740fdd16.gif

hello_html_m6a0be0e1.gif

hello_html_4cb63215.gif(вершина параболы в уравнении (2) лежит на интервале (0;1)), то есть



1+8а = 0 hello_html_146a5db.gifа = - hello_html_m29eaa7c3.gif что соответствует двум корням уравнения (1).

  1. Один корень уравнения (2) лежит на (0;1), а другой - нет ( что соответствует двум корням уравнения (1)).

Данное условие выполняется при решении неравенства f(0)*f(1)hello_html_m360d6129.gif, то есть

-а*(2-1-а)hello_html_4aab10f4.gif



Ответ: если аhello_html_m1373883c.gif

hello_html_47e2b80c.gif

  1. При каких значениях параметра а неравенствоhello_html_48559965.gif hello_html_m6b3b363d.gif

Решение. Допустимые значения параметра аhello_html_m1c0a32a8.gif

hello_html_42d0139.gif

hello_html_7fad13.gif

hello_html_m2c9a6cae.gifесли оба корня функции f(х) либо меньше 1, либо больше 4.

hello_html_m2331b2aa.gifто есть hello_html_5f41698.gif

Если корни больше 4, то hello_html_476c111.gif

hello_html_6c981eb7.gif

Ответ: аhello_html_m603f64ee.gif

  1. Для каждого значения параметра а решите систему неравенств

hello_html_m5cad3b74.gif

Решение. Допустимые значения параметра аhello_html_58433c9b.gif .

ОДЗ системы будет определяться неравенством (3):

hello_html_158c3b06.gif

В полученной ОДЗ решим неравенство (3):

hello_html_2c450e29.gifhello_html_m9dc8b05.gif

С учётом ОДЗ хhello_html_m1bd51ebe.gif

Решим неравенство (2):

27hello_html_5a1b012b.gif

hello_html_m26193d94.gif

Введём новые переменные. Пусть hello_html_m4275d8a4.gif= t и hello_html_a84e410.gif = v, в ОДЗ t hello_html_d477b9.gif Уравнение принимает вид

27tv – t – 27v +1hello_html_m2208f504.gif.

Но thello_html_3a7e5a6d.gif

27vhello_html_m91d9f1c.gif.

Отсюда hello_html_790a66.gif

С учётом решения неравенства (3) и ОДЗ хhello_html_m6cb91c95.gif

Рассмотрим неравенство (1). Система неравенств будет совместна, если это неравенство имеет решения на промежутке hello_html_26985b05.gif

Рассмотрим функцию

f(х) = hello_html_m1fa7a259.gif

Указанный промежуток будет целиком являться решением неравенства, если оба корня квадратного трёхчлена будут расположены слева от точки х = hello_html_mc6ef6e0.gif и справа от точки х = 2, либо если дискриминант соответствующего квадратного уравнения будет отрицательным. Эти условия с учётом того, что коэффициент при старшем члене положителен, будут выполняться при решении системы неравенств hello_html_72a48b76.gif то есть

hello_html_1e8d31ca.gif

В этой системе оказалось возможным исключить рассмотрение дискриминанта, так как для того, чтобы корни были одновременно больше или меньше заданных чисел, дискриминант должен быть неотрицательным, а для того, чтобы решением была вся числовая ось (в том числе и рассматриваемый промежуток) – дискриминант должен быть неположительным. Таким образом, в данном случае дискриминант может быть любым.

Для упрощения дальнейших рассуждений найдём корни квадратного трёхчлена

hello_html_66e96d33.gif



hello_html_m23d0900e.gif

Если hello_html_m73880c55.gif;2), то решений не будет, так как в этом случае вышеуказанная система неравенств несовместна.

Очевидно, что при любом а hello_html_m66692381.gif

Если hello_html_1c78752f.gif

Если hello_html_m73fedbb6.gif;2), то решением будет хhello_html_m6a8f82b1.gif

hello_html_1ef8a7ef.gif

Наконец, проверим границу: если в последнем случае hello_html_m6ad6e03.gif (необходимость), и при этом а

hello_html_2b20c0c2.gif(достаточность).

Решением является одна точка х = hello_html_mc6ef6e0.gif.

Обобщая полученные результаты, выписываем



Ответ: если аhello_html_5e3e6ff1.gif. То х hello_html_79e9da61.gif;

если а = -hello_html_m44cc84a0.gif;



если аhello_html_m7b902ef9.gif



Литература

  1. Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. Математика. Теория и задачи.

  2. Петрушенко И.М., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. Математика. Банк задач для вступительных испытаний в МЭИ.

  3. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами.

  4. Зеленский А.С., Василенко О.Н. Сборник задач вступительных экзаменов.

Общая информация

Номер материала: ДВ-412692

Похожие материалы