Решение задач на Прогрессию. 9 класс.

Карточки с задачами для урока по «Прогрессиям».

2. Число посетителей вновь открытого кафе в первые 8 дней работы увеличивалось ежедневно в одно и тоже число раз.  Сколько человек посетило кафе в 8 – й день, если в 3–й день было 288 человек, а в 5–й было 648 посетителей?

3. После реконструкции очистных сооружений в первую неделю их работы количество вредных выбросов в реку ежедневно уменьшалось в одно и тоже число раз.   Сколько вредных веществ попало в реку за эту неделю, если во 2-й день их попало 128 м3, а в 5-й – 16 м3?

«Нестандартные» задачи для урока по «Прогрессиям»

(для сильных учащихся)

1. Решите уравнение:   (х2+х+1)+(х2+2х+3)+(х2+3х+5)+…+(х2+20х+39) =  = 4500 2. Докажите, что данные числа не образуют арифметическую прогрессию:

1. Решите уравнение:   (х2+х+1)+(х2+2х+3)+(х2+3х+5)+…+(х2+20х+39) =  = 4500 2. Докажите, что данные числа не образуют арифметическую прогрессию:

Карточка  для сдачи теоретической части зачета

Фамилия принимавшего зачет		Определение арифметической прогрессии		Sn	Характеристическое  свойство арифмет .пр.	Определение геометрической прогрессии	bn	Sn	Характерис. св-во геом. пр.	Оценка
Фамилия сдававшего зачет

Отчеты учащихся

о проведенном исследовании

Как известно, в задачах на «Геометрическую прогрессию» фигурируют несколько величин. Основные из них: b₁, q, n, b_n, S_n. Назовем эти величины компонентами задачи. Как мы знаем, между ними установлены два основных соотношения:

                             b_n = b₁ · q^{n – 1}                и 

Если в задаче известны два каких-то компонента, а надо найти три остальных, то возможны следующие  варианты. Чтобы не усложнять задачу вычислениями, мы значения компонентов брали из множества натуральных чисел.

№	b1	q	n	bn	Sn
1	3	5
2	4		3
3		2	6
4			5	32
5	2			64
6		3			128
7	5				64
8		4		24
9			8		120
10				36	200

Мы проверили, что во всех этих случаях задачи не могут быть решены, т.к. для их решения не достаточно данных.

Мы проанализировали ситуацию, когда в задаче известны три компонента из пяти. В этом случае остальные два могут быть вычислены.

Таким образом, возможны следующие 10 типов задач на «Геометрическую прогрессию».

Если нам известны:

1) b₁, q, b_n;    2) b_1, q, n;    3)  b₁, q, S_n;   4) b₁, n, b_n;   5) b₁, b_n, S_n;

6) b₁, n, S_n;   7) q, b_n, n;    8) q, n, S_n;      9) b_n, n,  S_n;   10) q, n, S_n.

Мы составили таблицу и решали все получившиеся задачи, которые смогли.

№	b1	q	n	bn	Sn	Тип задачи
1	5	2	5	64	252	Находить показатель степени, т.е. решать показательное уравнение
2	4	2	3	32	54	По формуле
3	3	2			128	Показательное уравнение
4	3		4	108	222	Рациональное уравнение 3-й степени
5	3			64	129	Показательное уравнение
6	3	4			252	Рациональное уравнение 4-й степени
7	4	2	5	64	170	Линейное уравнение
8		2		16	64	Показательное уравнение
9			4	16	64	Система рациональных уравнений
10	3	3	5	243	363	Линейное уравнение

Систематизируя и обобщая данные, полученные при решении этих задач, можно сделать следующий вывод.

При решении задач на «Геометрическую прогрессию» выделяются три основных метода их решения:

1)    задачи 2, 7, и 10 решаются при использовании основных формул или  сводятся к решению линейных уравнения;

2)    группа задач 4, 6, 9 приводит к решению рациональных уравнений различных степеней или системе рациональных уравнений, в зависимости от данных задачи;

3)    группа задач 1, 3, 5, 8 сводится к нахождению числа n, которое стоит в формулах в показателе степени. С некоторыми из этих задач мы можем справиться уже сейчас, а некоторые еще пока решить не можем. Этот материал изучается в старших классах. Для этого надо научиться решать показательные уравнения.

Если в задаче №1 заменить число 5 на 4, то ее тоже  можно решить сейчас

Если в решении задачи даны четыре компонента из пяти, то решать каждую задачи можно несколькими способами.

Мы предлагаем всем, кто желает, проделать такую же работу, что проделали мы и убедиться в правоте наших исследований или поспорить с нами.

(Решения задач в рабочих тетрадях).

• 1 слайд

• 2 слайд

  Прогрессии
  Решение задач
  

• 3 слайд

  
  «Мало иметь хороший ум,
  главное – хорошо
  его применить»
  
  Р. Декарт
  
  прогрессии
  

• 4 слайд

  Блок - схема
  

• 5 слайд

  Прогрессии
  2. an=a1+(n-1)d
  
  
  
  
  2. bn=b1qn-1
  
  
  
  
  1.Определения
  

• 6 слайд

  
  S64=264 – 1
  
  18446744073709551615
  Из легенды
  1,2,4,8, …,
  
  263
  

• 7 слайд

  Задача №1
  В первые 7 дней марта количество продаваемых в парфюмерном отделе магазина подарочных наборов увеличивалось
  на одно и то
  же число ежедневно.
  Сколько продали наборов за 7 дней, если во 2-й день продали 95 штук, а в 5 – й продали
  140 штук?
  
  Решение
  1. аn-арифметическая прогрессия,
  а1-кол-во наборов, проданных
  в 1-й день, тогда а2=95, а5=140
  Надо найти S7.
  
  2. Найдем d и a1. Для этого решим систему уравнений:
  
  
  
  
  3.
  
  
  
  
  Ответ: 875 шт.
  
  a1 = 80
  d = 15
  

• 8 слайд

  Задача № 2
  Число посетителей вновь
  открытого кафе в первые
  8 дней работы увеличи –
  валось ежедневно в одно и тоже число раз.
  Сколько человек посе –
  тило кафе в 8 – й день, если в 3 – й было 288 че-
  ловек, а в 5 – й было
  648 посетителей?
  Решение
  1. bn – геометрическая прогрессия,
  b3=288, b5=648
  Найти надо b8.
  2. Решим систему уравнений
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Ответ: 2187чел.
  3. Можно не находить b1,т.к.
  b8 = b1. q7 = b1. q4 .q3 =b5 .q3=
  
  =648 . =2187.
  
  

• 9 слайд

  Задача № 3
  После реконструкции очистных сооружений в первую неделю их работы количество вредных выб-
  росов в реку ежедневно уменьшалось в одно и тоже число раз.
  Сколько вредных веществ попало в реку за эту неделю, если во 2-й день их попало 128 м3, а в 5-й – 16 м3?
  
  Решение
  
  1. Последовательность объемов
  выбросов – геометрическая прогрессия bn, в которой b2=128, b5=16.
  Найти надо S7.
  
  2. Т.к. b5:b2=q3, то q3=16:128=
  =1/8, т.е. q = 1/2, тогда
  b1 = b2:q = 128 : 1/2 = 256.
  b1 =256.
  
  3.
  
  
  
  Ответ:508м3
  

• 10 слайд

  
  Познание,
  упорство,
  труд-
  к прогрессу
  в жизни
  приведут!
  

• 11 слайд

  1. Решите уравнение:
  
  (х2+х+1)+(х2+2х+3)+(х2+3х+5)+…+(х2+20х+39) = 4500
  
  
  
  2. Докажите, что данные числа не образуют арифметическую прогрессию:
  
  
  Д.З. № 16.49(а), 16.41(а), 17.12.(а)
  

• 12 слайд

  «Величие человека в его способности мыслить»
  Б. Паскаль
  

• 1 слайд

  Решение задач на
  «Геометрическую прогрессию»
  b1, q, n, bn, Sn
  bn = b1 · qn - 1
  

• 2 слайд

• 3 слайд

  b1, q, n, bn, Sn
  b1, q, bn; 2) b1, q, n; 3) b1, q, Sn;
  
  4) b1, n, bn; 5) b1, bn, Sn; 6) b1, n, Sn;
  
  7) q, bn, n; 8) q, n, Sn; 9) bn, n, Sn;
  
  10) q, n, Sn
  
  

• 4 слайд

  По формуле
  Линейное уравнение
  Линейное уравнение
  Показательное уравнение
  Показательное уравнение
  Показательное уравнение
  Находить показатель степени, т.е.
  решать показательное уравнение
  Рациональное уравнение
  4-й степени
  Рациональное уравнение
  3-й степени
  Система рациональных уравнений
  32
  54
  3
  243
  4
  170
  222
  252
  5
  

• 5 слайд

  b1
  q
  n
  bn
  Sn
  b1, q, n, bn
  q, n, bn, Sn
  

                             

Тема урока:

 «Прогрессии. Решение задач»

Учитель: Котова В.Б.

п. Чална

Тема урока: «Прогрессии. Решение задач»

Задачи  урока:

·       повторить, обобщить и систематизировать с                 

                учащимися знания полученные по теме;

·       решать задачи по математическим моделям реальных жизненных ситуаций;

·       показать на уроке фрагменты проектной деятельности трех групп  учащихся, для того, чтобы формировать теоретическое мышление, прививать интерес к исследовательской работе

·       для оптимального использования времени урока
применить мультимедийный проектор, интерактивную доску;

·       формировать навыки учебного сотрудничества в ходе проектной работы;

Ход урока:

                                              I

 1. Перед уроком собрать карточки с оценками за устный теоретический зачет.

2. Учитель. Сегодня мы опять встречаемся с прогрессиями (слово появляется по щелчку на слайде №1). Запишите, пожалуйста, тему урока в тетрадях. Не было бы смысла изучать теоретический материал по теме, если бы прогрессии не встречались людям  в реальной жизни. Многие ученые математики занимались изучением прогрессий, одним из них был этот человек (слайд №2). Кто это? На слайде появляется эпиграф, слова Декарта. Эти слова сказал знаменитый Р.Декарт. Я знаю, что ум у вас хороший,  хорошо примените его сегодня для решения задач.

2. Теоретические знания, полученные вами по теме «Прогрессия» можно представить в виде следующей блок – схемы.

                           Блок - схема изучения темы (слайд № 3). Для каждой изученной прогрессии мы давали определение, выводили формулу n – го члена, формулу суммы n членов прогрессии и характеристические свойства.
                          3.  В тетрадях посередине листа проведите вертикальную черту высотой 5см, разделив лист на две части. В левой половине поставьте значок арифметической прогрессии, а в правой – геометрической. Под цифрой 1 запишите, посередине, слово «Определения». Дальше в столбики записывайте ключевые формулы: формула n – го члена прогрессии под цифрой 2, под цифрой 3 - формулу суммы членов прогрессии, 4 - характеристическое свойство, для геометрической прогрессии две записи. (Такие же записи сделать на откидных досках с обратных сторон  до урока).
 Если возможно применить «шторку». (слайд № 5)

                           4.  (слайд № 6). Уже много лет известна такая легенда, что индусский царь Шерам хотел отблагодарить создателя шахмат Сета. Он сказал: «Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты ее получишь». И сказал Сета:

- Повелитель, прикажи выдать мне за 1-ю клетку шахматной
доски – одно зерно, за вторую – 2 зерна, за 3 – 4 , за 4 – 8 и так до 64.

- И все? -  засмеялся царь и приказал придворным приготовить нужное количество зерна.

А кто из вас ребята может сказать, сколько зерен надо положить на 64 - ю, последнюю клетку шахматной доски? А как посчитать, сколько всего зерна надо приготовить царю?

Если засеять пшеницей всю поверхность планеты Земля со всеми морями, океанами, горами, Арктикой и Антарктикой и при этом собрать приличный урожай, то лет за 5 удалось бы собрать столько зерна.

Изучая теоретический материал, закрепляя его в процессе решения задач, вы в основном рассматривали задачи с четкими математическими формулировками. А теперь пришло время решать задачи по реальным жизненным ситуациям.
                           5.  Задача №1(слайд № 7). Решение появляется постепенно, после того, как ученики сами сделали записи. Один из учеников комментирует решение с места, постепенно.  Оценить его.
                           10. Задача № 2 (слайд №  8).
                           11. Задача № 3 (слайд № 9).

Если задачи будут решаться с трудом, медленно, то в задаче № 3 только перевести условие задачи на математический язык,  но решение не записывать. Указать на второй способ нахождения знаменателя прогрессии, составить план решения, а решить ее дома.
                           12. Слайд № 10. Зачитать слова. Сказать о том, что слово прогрессия в переводе с латинского языка означает «движение вперед». В чем же ваше движение вперед? ……. вы еще ничего не знали о прогрессиях.  А теперь поднимите руки те, кто может сформулировать определение арифметической прогрессии, геом. прогрессии? Кто знает формулы нахождения n члена каждой прогрессии и формул суммы? Характеристические свойства?  Кто справится с решением несложных задач? Кто хочет попробовать свои силы в решении сложных, нестандартных задач, могут взять домой отдельное домашнее задание. А есть еще один аспект умственной деятельности – это умение проводить анализ, исследовательская деятельность.

С результатами своей работы вас сейчас познакомят ваши одноклассники. На интерактивной доске отмечать цветом нужные моменты.

                 II

Выступления участников проекта.

                 III

Д. з. I группа:  № 16.49(а), № 16.41(а), № 16.40(а), № 17.6(а)(номера записать на доску).

           Запишите эти номера  все.
        II группа: А тем ребятам, кто пожелает, я выдам отдельные карточки, я предлагаю решить задания, напечатанные на них, вместо этих номеров. Эти задания непростые, но я надеюсь, что вы с ними справитесь. Ну а если нет, то выполните номера из задачника для первой группы.

                        Слайд № 12.