Решение задач на смеси, сплавы и концентрации

Селенгинское районное управление образования

Муниципальное  бюджетное общеобразовательное учреждение

Иройская СОШ

Районная научно исследовательская конференция школьников «Шаг в будущее»

Секция «Математика»

Решение задач на концентрации, смеси и сплавы

Исполнитель Балданова С,  ученица 10 класса

    Руководитель Чултумова И.Н., учитель математики

первой категории

                                                                2015г

Оглавление

1.             Введение.. ………………………………………………………………………….3

      2.  Задачи на смеси и сплавы

     2.1. Задача  из « Занимательной алгебры» Я.И. Перельмана                                  4

     2.2 Старинный способ решения задач                                                                       5

     2.3  Квадрат Пирсона                                                                                                   7

     З. Заключение  ………………………………………………..………………….……    9

    4. Список литературы    .……………………………………………….………….…      10

    5. Приложения ………………………………………………………………………..      11

1.                    Введение.

 В вариантах ЕГЭ по математике 11 класса  встречаются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" изучается в  5-6  классах, причем недолго, закрепляется в 7-9  классах при решениях задач, а в старших классах к этой теме, совсем не возвращаются.

 Поэтому, изучение  наиболее часто встречающихся типов задач на проценты, в частности, задач на концентрацию, смеси и сплавы считаю актуальным.

 Объектом  исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты».

 Предмет исследования: решение задач  на концентрацию, смеси и сплавы с использованием квадрата Пирсона и способа Леонтия Филлиповича Магницкого.

 Гипотеза:  Задача, решенная способами Пирсона и Магницкого приводят к одному и тому же результату, что и задача решенная  алгебраическим методом.

 Цель работы.  Использование квадрата Пирсона и старинного метода для решения задач на концентрацию, смеси и сплавы.

  Задачи исследования: Изучить исторический и теоретический материалы по интересующему вопросу; выявить практическое применение таких задач.

 Практическая значимость работы.  Данный способ решения задач на концентрацию, смеси и сплавы будет интересен  выпускникам 9 и  11 класса, которым нужно сдать ЕГЭ и ОГЭ.

2. Задачи на смеси и сплавы

.1. В «Занимательной алгебре» Яков Исидорович. Перельмана есть любопытная задача под     названием  « В парикмахерской». В этой задаче автор рассказывает,  что, однажды заглянув в парикмахерскую, он увидел , как мастера пытались безуспешно пытались приготовить 12-процентный раствор   перекиси водорода из двух имевшихся в наличии растворов –трех и тридцатипроцентного…                                         

Может ли алгебра понадобиться  в парикмахерской? Оказывается, такие случаи бывают. Мне пришлось убедиться в этом, когда однажды в парикмахерской   подошел ко мне мастер с неожиданной просьбой:

-Не поможете ли нам разрешить задачу, с которой мы никак не справимся?

- Уж сколько раствора испортили из-за этого!- добавил другой

- В чем задача?

- У нас имеется два раствора перекиси водорода: 30%- ный и  3 % -ный. Нужно их смешать так, чтобы  составился 12% -ный раствор. Не  можем подыскать правильной пропорции…

Мне дали бумажку, и требуемая пропорция была найдена.

Она оказалась  очень простой. Какой именно?

Мы учащиеся в первую очередь такие текстовые задачи решаем алгебраическим способом  с помощью уравнений или систем уравнений.

 Вот два способа, какими можно решить задачу. 1 способ (алгебраический). Обозначим искомую часть 30% раствора – х, а 3% -раствора — y. Соответственно, надо получить 0,12 (х+у).

Запишем уравнение:

0,03у+0,3х=0.12(x+y)

0,3х-0,12х=0,12у-0,03у

0,18х=0,09у

х=2у      

Ответ: для получения 12%-го раствора нужно взять одну часть 30% раствора и две части 3%-го раствора перекиси. А ещё как можно решить?

2.2  2 способ — старинный способ решения задач

В центре пишем концентрацию первого раствора – 30 %. Под ним, отступив вниз, пишем концентрацию второго раствора- 3%  или 0, 03. Слева, примерно посередине между верхней и нижней цифрами пишем концентрацию желаемого раствора – 12% или 0,12. Соединяем три цифры отрезками прямых. Из первой концентрации, поскольку она больше желаемой, вычтем 0,12, подпишем справа от 0,03 результат 0, 18, который оказался по диагонали от 0,3. Из 0, 12 вычитаем 0, 03 и подписываем справа от 0,3 результат – 0,09, который тоже оказывается по диагонали от значения 0, 03. Соединяем все отрезками и получаем «рыбку» (рис. 3).

Соотношение полученных величин – 0, 09 и 0,18 – составляет 1 к 2, т. е. первого раствора концентрацией 30 % надо взять в 2 раза меньше, чем 3%-го раствора. Ответы, полученные двумя методами  одинаковы.

Давайте вернемся к задаче из тренировочного варианта: «Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве – 35% золота, а во втором 60% , в каком отношении надо взять первый и второй сплав, чтобы получить из них новый, содержащий 40% золота». Решим задачу двумя способами:

1 способ. Пусть часть первого сплава – х, а второго – у

Тогда количество золота в первом сплаве составляет 0, 35х, а во втором 0,6у. Масса нового сплава равна х+у, а кол-во золота составляет 0,4( х+у). Составим уравнение

0, 35х+0,6у=0,4(х+у)

35х+60у=40х+40у

20у=5х

х/у=4/1

Ответ: для получения сплава, содержащего 40% золота из двух сплавов с содержанием 35% и 60%, нужно взять в 4 раза больше 35%-го сплава.

2 способ – метод Магницкого (метод рыбки).

 Результат: соотношение полученных величин составляет 1 к 4, значит 35%-го сплава надо взять в 4 раза больше, чем 60%-го.

Старинный способ решения задач на смеси, сплавы и растворы (метод «рыбка»).

Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого, нашего земляка. Ввиду большой простоты предложенный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо, как в предыдущей задаче, рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ

На представленных выше примерах я показала как используется  графический метод решения задач на смешение веществ Магницкого Л. Ф. (метод рыбки).

Теория метода:

Немного об авторе:

Замечательный русский математик и педагог Леонтий Филиппович Магницкий (1669—1739) фамилию свою получил (1700) от Петра I за умение притягивать к наукам молодых людей. Понимая необходимость улучшения системы образования в России, Петр I издал ряд указов об организации новых учебных заведений. В начале 1701 г. была создана Школа математических и навигацких наук в Москве. Распоряжением царя Магницкий был назначен туда преподавателем математики. В этой школе он и работал до конца жизни. В 1703 г. Магницкий издал свою «Арифметику», представляющую собой для России того времени энциклопедию математических знаний. Она состояла из двух книг, содержащих в общей сложности 662 страницы. Многие задачи и их решения приведены в виде стихотворных поучений. Сборник получился настолько удачным, что более ста лет являлся основным учебным пособием по математике в России. Недаром великий русский ученый Михаил Васильевич Ломоносов назвал «Арифметику» «вратами своей учености».

2.3. Правило креста или квадрат Пирсона

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения. При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

ω₁, ω₂ – массовые части первого и второго растворов соответственно.

Для решения подобных задач  удобно пользоваться « квадратом Пирсона». Вот как это делается. Рисуют квадрат  и проводят  две диагонали. ( рис. 1) В левом верхнем углу  проставляют больший показатель  крепости исходных веществ А (бпк), а в нижнем углу-В(впк) а на пересечении диагоналей записывают  требуемый показатель С(тпк).

      Затем производят вычитание по первой диагонали (а - с) и находят количество второй части  (у). Из  центра производят вычитание по второй диагонали (c - b)  и находят количество  первой части смеси (x) . Значения x  и y записывают по одной линии с показателями. На x  частей  первого вещества надо взять y частей второго вещества, тогда  получится смесь с показателем с.

c

 a                           x                36                            12

b                           y                6                            18

        Рис .1                                      Рис.2

Для пояснения этого правила сначала решим простейшую задачу. 

Задача 3. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Ответ: 7 килограммов.

Данный метод может использоваться и при решения задач на смеси и сплавы. Отлили часть раствора, отрезали кусок сплава. При этой операции остается неизменной концентрация веществ.

А теперь немного о Пирсоне…Карл Пирсон родился 27 марта в 1857 году в Лондоне. Он был разносторонним человеком, активно изучал историю, математику, статистику   и германистику. Большую часть 80-х годов XIX века он провел в Берлине, Гейдельберге, Вене и Брикслеге. Интересовали его религия и поэзия – с одинаковым интересом он изучал Гёте и Священное Писание. Занимали Пирсона и вопросы пола – он даже основал Клуб Мужчин и Женщин. В 1898 году получил медаль Дарвина. Карл Пирсон Погиб в Англии в городе Суррее 27 апреля 1936 года. Прожил он 79 лет.    

Как и все методы решений, квадрат  Пирсона имеет свои преимущества и недостатки. Одним из преимуществ этого способа является то, что он доступен ученикам, которые не умеют решать уравнения. Также квадрат Пирсона очень полезен для домохозяек, чтобы   получать нужную концентрацию уксуса или сиропа.

Недостатком этого метода является то, что его можно применять только при смешивании двух растворов. То есть если нужно смешать три или более веществ, квадрат  Пирсона здесь не поможет.

Заключение

Итак, гипотеза о том,  что задача, решенные способами Пирсона и Магницкого приводят к одному и тому же результату, что и задача решенная  алгебраическим методом подтвердилась. При внешнем различии сюжета задачи на сплавы, смеси, концентрации, на соединение либо на разделение различных веществ, решаются по общей схеме. (См. примеры решения задач в Презентации). Таким образом, дополнительная работа по развитию и совершенствованию навыка решения задач на проценты имеет значимость не только для будущих абитуриентов, которые возможно встретятся с такими заданиями на ЕГЭ, но и для всех учащихся, так как современная жизнь неминуемо заставит в своей повседневности решать задачи на проценты.

Литература

1.                      ГИА-2014: экзамен в новой форме : алгебра : 9-й кл. : тренировочные варианты экзаменационных работ для проведения государственной итоговой аттестации в новой форме / авт.-сост. Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. – М.: АСТ: Астрель, 2014 – (ФИПИ)

2.                      Перельман Я.И.Занимательная алгебра. Издательство «Наука», Москва 1967г

3.                       Азия А., Вольпер И. Квадрат Пирсона. - М., Квант, № 3/73. С. 61.

4.       ЕГЭ-2014. Ященко И В., Семенов А.В. Издательство «Экзамен»
Серия «ЕГЭ. 30 вариантов. Типовые тестовые задания»

 

Приложение

• 1 слайд

  
  
  
  
  МБОУ Иройская СОШ
  Районная НПК
  «ШАГ В БУДУЩЕЕ»
  Методы решения задач на смеси, сплавы и концентрации
  Балданова Сэсэг, 10 «а» класс
  

• 2 слайд

  Эпиграф
  
  Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить ее.
  Без сильного желания решить трудную задачу невозможно,
  Но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдется путь!
  Пойя Д.
  

• 3 слайд

  Актуальность проблемы
  В вариантах ЕГЭ по математике 11 класса заданиях В13 встречаются задачи на проценты, и эти задачи вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" изучается в 5-6  классах, причем недолго, закрепляется в 7 классе при решении задач , а в старших классах к этой теме, совсем не возвращаются.
  Поэтому, изучение  наиболее часто встречающихся типов задач на проценты, в частности, задач на концентрацию, смеси и сплавы считаю актуальным.
  

• 4 слайд

  Объект исследования: изучение различных типов задач по теме «Проценты»
  Предмет исследования: решение задач с использованием квадрата Пирсона и способа Леонтия Филипповича Магницкого.
  Гипотеза: Задача, решенная способами Пирсона и Магницкого приводят к одному и тому же результату, что и задача решенная алгебраическим методом.
  Цель работы: использование квадрата Пирсона и старинного метода для решения задач на смеси, сплавы и концентрацию.
  Задачи исследования: изучить теоретический и исторический материал по данному вопросу, выявить практические применение задач.
  
  
  

• 5 слайд

  Задача «В парикмахерской»
  Может ли алгебра понадобиться в парикмахерской?
  Оказывается, такие случаи бывают. Мне пришлось убедиться в этом, когда однажды в парикмахерской подошел ко мне мастер с неожиданной просьбой:
  -Не поможете ли нам разрешить задачу, с которой мы никак не справимся?
  - Уж сколько раствора испортили из-за этого!- добавил другой
  - В чем задача?
  - У нас имеется два раствора перекиси водорода: 30%- ный и 3 % -ный. Нужно их смешать так, чтобы составился 12% -ный раствор. Не можем подыскать правильной пропорции…
  Мне дали бумажку, и требуемая пропорция была найдена.
  Она оказалась очень простой. Какой именно?
  

• 6 слайд

  Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнообразных примерах.
  
  Георг Цейтен.
  

• 7 слайд

  1 способ (алгебраический).
  Обозначим искомую часть 30% раствора – х,
  а 3% -раствора — y. Соответственно, надо получить 0,12 (х+у).
  Запишем уравнение:
  0,03у+0,3х=0.12(x+y)
  0,3х-0,12х=0,12у-0,03у
  0,18х=0,09у
  х=2у
  Ответ: для получения 12%-го раствора нужно взять одну часть 30% раствора и две части 3%-го раствора перекиси. А ещё как можно решить?
  

• 8 слайд

  Старинный способ (Магницкого)
  

• 9 слайд

  : «Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве – 35% золота, а во втором 60%. В каком отношении надо взять первый и второй сплав, чтобы получить из них новый, содержащий 40% золота
  1 способ(алгебраический) . 
  Пусть часть первого сплава – х, а второго – у
  Тогда количество золота в первом сплаве составляет 0, 35х, а во втором 0,6у. Масса нового сплава равна х+у, а кол-во золота составляет 0,4( х+у). Составим уравнение
  0, 35х+0,6у=0,4(х+у)
  35х+60у=40х+40у
  20у=5х
  х/у=4/1
  Ответ: для получения сплава, содержащего 40% золота из двух сплавов с содержанием 35% и 60%, нужно взять в 4 раза больше 35%-го сплава.
  
  

• 10 слайд

  Старинный способ
  

• 11 слайд

  Метод рыбки
  

• 12 слайд

  Старинный способ решения
  Предположим, что смешиваются два вещества – первое стоимостью а гривен за фунт и второе стоимостью b гривен за фунт. Желательно получить вещество стоимостью с гривен за фунт. Будем считать, что а<b
  ( если с> b или c<a , то задача неразрешима, ибо, смешивая дешевые вещества, дорогое не получишь).
  Поэтому можно считать, что a<c<b.Смешиваем один фунт первого вещества и q второго. В результате получится 1+q фунтов вещества стоимостью a+bq гривен. Один фунт смеси должен стоить с гривен. Значит должно выполняться равенство a+bq=c*(1+q). Отсюда находим q=(c-a)/(b-c) или (b-c):(c-a).
  Именно этот соотношение дает старинный способ
  a b - c
  c
  b c – a
  
  

• 13 слайд

  Дата рождения: 19 июня 1669 год
  
  Место рождения: город Осташков, Тверская область
  
  Дата смерти: 13 октября 1739 (70 лет)
  
  Страна:  Российская Империя
  
  Научная сфера: математика
  
  Леонтий Филиппович Магницкий
  выдающийся русский математик
  …
  

• 14 слайд

  
  
  
  
  При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют квадрат Пирсона.
  При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение.
  Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ω1 ω3 — ω2
  ω3
  ω2 ω1 — ω3
  

• 15 слайд

  
  
  А(бпк)
  В(впк)
  С(тпк
  Х
  Y
  A-C=Y
  C-B=X
  Квадрат Пирсона
  

• 16 слайд

  Задача 1.
  Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?
  
  Решение:
  5%
  0%
  1,5%
  1,5%
  3,5%
  30 кг
  х кг
  

• 17 слайд

  Карл Пирсон
  выдающийся английский математик
  Дата рождения: 27 марта 1857
  Место рождения: Англия, Лондон
  Страна:  Великобритания
  Научная сфера: математика, статистика, история, германистика
  Награды и премии:
  Медаль Дарвина (1898)
  Дата смерти: 27 апреля 1936
  ( 79 лет)
  
  

• 18 слайд

  Квадрат Пирсона
  :
  Решение:
  60,
  35
  40
  20
  5
  60-40=20
  40-35=5
  20/5=4/1
  

• 19 слайд

  Старинный метод Магницкого:
  3
  
  
  
  30
  
  3%- 18/27=2/3
  30%-9/27=1/3
  12
  15
  18
  

• 20 слайд

  Задача 2.
  Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлили 2 литра жидкости и долили 2 литра 45% раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 81% раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?
  Решение:
  
  97%
  81%
  
  45%
  
  16%
  36%
  (х-2) л
  2 л
  

• 21 слайд

  Приложение
  

• 22 слайд

• 23 слайд

  
  сравнив полученные результаты, я пришла к выводу, что решение задач на проценты различными способами дают один и тот же результат.
  Итак, гипотеза оказалась верной.
  Вывод:
  

• 24 слайд

  Спасибо за внимание!