Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Решение задач на смеси, сплавы и концентрации

Решение задач на смеси, сплавы и концентрации

  • Математика

Название документа Сэсэг.pptx

Поделитесь материалом с коллегами:

МБОУ Иройская СОШ Районная НПК «ШАГ В БУДУЩЕЕ» Методы решения задач на смеси...
Эпиграф Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить ее. Без си...
Актуальность проблемы В вариантах ЕГЭ по математике 11 класса заданиях В13 вс...
Объект исследования: изучение различных типов задач по теме «Проценты» Предме...
Задача «В парикмахерской» Может ли алгебра понадобиться в парикмахерской? Ока...
Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнооб...
1 способ (алгебраический). Обозначим искомую часть 30% раствора – х, а 3% -ра...
Старинный способ (Магницкого)
: «Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве – 35% золо...
Старинный способ
Метод рыбки
Старинный способ решения Предположим, что смешиваются два вещества – первое с...
Дата рождения: 19 июня 1669 год Место рождения: город Осташков, Тверская обла...
При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют...
 А(бпк) В(впк) С(тпк Х Y A-C=Y C-B=X Квадрат Пирсона
Задача 1. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужн...
Карл Пирсон выдающийся английский математик Дата рождения: 27 марта 1857 Мест...
Квадрат Пирсона : Решение: 60, 35 40 20 5 60-40=20 40-35=5 20/5=4/1
Старинный метод Магницкого: 3 30 3%- 18/27=2/3 30%-9/27=1/3 12 15 18
Задача 2. Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлили 2 лит...
Приложение
сравнив полученные результаты, я пришла к выводу, что решение задач на проце...
Спасибо за внимание!
1 из 24

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 МБОУ Иройская СОШ Районная НПК «ШАГ В БУДУЩЕЕ» Методы решения задач на смеси
Описание слайда:

МБОУ Иройская СОШ Районная НПК «ШАГ В БУДУЩЕЕ» Методы решения задач на смеси, сплавы и концентрации Балданова Сэсэг, 10 «а» класс

№ слайда 2 Эпиграф Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить ее. Без си
Описание слайда:

Эпиграф Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить ее. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, Но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдется путь! Пойя Д.

№ слайда 3 Актуальность проблемы В вариантах ЕГЭ по математике 11 класса заданиях В13 вс
Описание слайда:

Актуальность проблемы В вариантах ЕГЭ по математике 11 класса заданиях В13 встречаются задачи на проценты, и эти задачи вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" изучается в 5-6  классах, причем недолго, закрепляется в 7 классе при решении задач , а в старших классах к этой теме, совсем не возвращаются. Поэтому, изучение  наиболее часто встречающихся типов задач на проценты, в частности, задач на концентрацию, смеси и сплавы считаю актуальным.

№ слайда 4 Объект исследования: изучение различных типов задач по теме «Проценты» Предме
Описание слайда:

Объект исследования: изучение различных типов задач по теме «Проценты» Предмет исследования: решение задач с использованием квадрата Пирсона и способа Леонтия Филипповича Магницкого. Гипотеза: Задача, решенная способами Пирсона и Магницкого приводят к одному и тому же результату, что и задача решенная алгебраическим методом. Цель работы: использование квадрата Пирсона и старинного метода для решения задач на смеси, сплавы и концентрацию. Задачи исследования: изучить теоретический и исторический материал по данному вопросу, выявить практические применение задач.

№ слайда 5 Задача «В парикмахерской» Может ли алгебра понадобиться в парикмахерской? Ока
Описание слайда:

Задача «В парикмахерской» Может ли алгебра понадобиться в парикмахерской? Оказывается, такие случаи бывают. Мне пришлось убедиться в этом, когда однажды в парикмахерской подошел ко мне мастер с неожиданной просьбой: -Не поможете ли нам разрешить задачу, с которой мы никак не справимся? - Уж сколько раствора испортили из-за этого!- добавил другой - В чем задача? - У нас имеется два раствора перекиси водорода: 30%- ный и 3 % -ный. Нужно их смешать так, чтобы составился 12% -ный раствор. Не можем подыскать правильной пропорции… Мне дали бумажку, и требуемая пропорция была найдена. Она оказалась очень простой. Какой именно?

№ слайда 6 Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнооб
Описание слайда:

Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнообразных примерах. Георг Цейтен.

№ слайда 7 1 способ (алгебраический). Обозначим искомую часть 30% раствора – х, а 3% -ра
Описание слайда:

1 способ (алгебраический). Обозначим искомую часть 30% раствора – х, а 3% -раствора — y. Соответственно, надо получить 0,12 (х+у). Запишем уравнение: 0,03у+0,3х=0.12(x+y) 0,3х-0,12х=0,12у-0,03у 0,18х=0,09у х=2у Ответ: для получения 12%-го раствора нужно взять одну часть 30% раствора и две части 3%-го раствора перекиси. А ещё как можно решить?

№ слайда 8 Старинный способ (Магницкого)
Описание слайда:

Старинный способ (Магницкого)

№ слайда 9 : «Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве – 35% золо
Описание слайда:

: «Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве – 35% золота, а во втором 60%. В каком отношении надо взять первый и второй сплав, чтобы получить из них новый, содержащий 40% золота 1 способ(алгебраический) .  Пусть часть первого сплава – х, а второго – у Тогда количество золота в первом сплаве составляет 0, 35х, а во втором 0,6у. Масса нового сплава равна х+у, а кол-во золота составляет 0,4( х+у). Составим уравнение 0, 35х+0,6у=0,4(х+у) 35х+60у=40х+40у 20у=5х х/у=4/1 Ответ: для получения сплава, содержащего 40% золота из двух сплавов с содержанием 35% и 60%, нужно взять в 4 раза больше 35%-го сплава.

№ слайда 10 Старинный способ
Описание слайда:

Старинный способ

№ слайда 11 Метод рыбки
Описание слайда:

Метод рыбки

№ слайда 12 Старинный способ решения Предположим, что смешиваются два вещества – первое с
Описание слайда:

Старинный способ решения Предположим, что смешиваются два вещества – первое стоимостью а гривен за фунт и второе стоимостью b гривен за фунт. Желательно получить вещество стоимостью с гривен за фунт. Будем считать, что а<b ( если с> b или c<a , то задача неразрешима, ибо, смешивая дешевые вещества, дорогое не получишь). Поэтому можно считать, что a<c<b.Смешиваем один фунт первого вещества и q второго. В результате получится 1+q фунтов вещества стоимостью a+bq гривен. Один фунт смеси должен стоить с гривен. Значит должно выполняться равенство a+bq=c*(1+q). Отсюда находим q=(c-a)/(b-c) или (b-c):(c-a). Именно этот соотношение дает старинный способ a b - c c b c – a

№ слайда 13 Дата рождения: 19 июня 1669 год Место рождения: город Осташков, Тверская обла
Описание слайда:

Дата рождения: 19 июня 1669 год Место рождения: город Осташков, Тверская область Дата смерти: 13 октября 1739 (70 лет) Страна:  Российская Империя Научная сфера: математика Леонтий Филиппович Магницкий выдающийся русский математик …

№ слайда 14 При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют
Описание слайда:

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют квадрат Пирсона. При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора. ω1 ω3 — ω2 ω3 ω2 ω1 — ω3

№ слайда 15  А(бпк) В(впк) С(тпк Х Y A-C=Y C-B=X Квадрат Пирсона
Описание слайда:

А(бпк) В(впк) С(тпк Х Y A-C=Y C-B=X Квадрат Пирсона

№ слайда 16 Задача 1. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужн
Описание слайда:

Задача 1. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%? Решение: 5% 0% 1,5% 1,5% 3,5% 30 кг х кг

№ слайда 17 Карл Пирсон выдающийся английский математик Дата рождения: 27 марта 1857 Мест
Описание слайда:

Карл Пирсон выдающийся английский математик Дата рождения: 27 марта 1857 Место рождения: Англия, Лондон Страна:  Великобритания Научная сфера: математика, статистика, история, германистика Награды и премии: Медаль Дарвина (1898) Дата смерти: 27 апреля 1936 ( 79 лет)

№ слайда 18 Квадрат Пирсона : Решение: 60, 35 40 20 5 60-40=20 40-35=5 20/5=4/1
Описание слайда:

Квадрат Пирсона : Решение: 60, 35 40 20 5 60-40=20 40-35=5 20/5=4/1

№ слайда 19 Старинный метод Магницкого: 3 30 3%- 18/27=2/3 30%-9/27=1/3 12 15 18
Описание слайда:

Старинный метод Магницкого: 3 30 3%- 18/27=2/3 30%-9/27=1/3 12 15 18

№ слайда 20 Задача 2. Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлили 2 лит
Описание слайда:

Задача 2. Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлили 2 литра жидкости и долили 2 литра 45% раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 81% раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд? Решение: 97% 81% 45% 16% 36% (х-2) л 2 л

№ слайда 21 Приложение
Описание слайда:

Приложение

№ слайда 22
Описание слайда:

№ слайда 23 сравнив полученные результаты, я пришла к выводу, что решение задач на проце
Описание слайда:

сравнив полученные результаты, я пришла к выводу, что решение задач на проценты различными способами дают один и тот же результат. Итак, гипотеза оказалась верной. Вывод:

№ слайда 24 Спасибо за внимание!
Описание слайда:

Спасибо за внимание!

Название документа задачи .docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Селенгинское районное управление образования

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Иройская СОШ

Районная научно исследовательская конференция школьников «Шаг в будущее»

Секция «Математика»











Решение задач на концентрации, смеси и сплавы





















Исполнитель Балданова С, ученица 10 класса

Руководитель Чултумова И.Н., учитель математики

первой категории

2015г



Оглавление

  1. Введение.. ………………………………………………………………………….3

2. Задачи на смеси и сплавы

2.1. Задача из « Занимательной алгебры» Я.И. Перельмана 4

2.2 Старинный способ решения задач 5

2.3 Квадрат Пирсона 7

З. Заключение ………………………………………………..………………….…… 9

4. Список литературы .……………………………………………….………….… 10

5. Приложения ……………………………………………………………………….. 11







































  1. Введение.

В вариантах ЕГЭ по математике 11 класса встречаются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" изучается в 5-6  классах, причем недолго, закрепляется в 7-9 классах при решениях задач, а в старших классах к этой теме, совсем не возвращаются.

Поэтому, изучение  наиболее часто встречающихся типов задач на проценты, в частности, задач на концентрацию, смеси и сплавы считаю актуальным.

Объектом  исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты».

Предмет исследования: решение задач  на концентрацию, смеси и сплавы с использованием квадрата Пирсона и способа Леонтия Филлиповича Магницкого.

Гипотеза: Задача, решенная способами Пирсона и Магницкого приводят к одному и тому же результату, что и задача решенная алгебраическим методом.

Цель работы. Использование квадрата Пирсона и старинного метода для решения задач на концентрацию, смеси и сплавы.

Задачи исследования: Изучить исторический и теоретический материалы по интересующему вопросу; выявить практическое применение таких задач.

Практическая значимость работы.  Данный способ решения задач на концентрацию, смеси и сплавы будет интересен выпускникам 9 и 11 класса, которым нужно сдать ЕГЭ и ОГЭ.



















2. Задачи на смеси и сплавы

.1. В «Занимательной алгебре» Яков Исидорович. Перельмана есть любопытная задача под названием « В парикмахерской». В этой задаче автор рассказывает, что, однажды заглянув в парикмахерскую, он увидел , как мастера пытались безуспешно пытались приготовить 12-процентный раствор перекиси водорода из двух имевшихся в наличии растворов –трех и тридцатипроцентного…

Может ли алгебра понадобиться в парикмахерской? Оказывается, такие случаи бывают. Мне пришлось убедиться в этом, когда однажды в парикмахерской подошел ко мне мастер с неожиданной просьбой:

-Не поможете ли нам разрешить задачу, с которой мы никак не справимся?

- Уж сколько раствора испортили из-за этого!- добавил другой

- В чем задача?

- У нас имеется два раствора перекиси водорода: 30%- ный и 3 % -ный. Нужно их смешать так, чтобы составился 12% -ный раствор. Не можем подыскать правильной пропорции…

Мне дали бумажку, и требуемая пропорция была найдена.

Она оказалась очень простой. Какой именно?

Мы учащиеся в первую очередь такие текстовые задачи решаем алгебраическим способом с помощью уравнений или систем уравнений.

Вот два способа, какими можно решить задачу. 1 способ (алгебраический). Обозначим искомую часть 30% раствора – х, а 3% -раствора — y. Соответственно, надо получить 0,12 (х+у).

Запишем уравнение:

0,03у+0,3х=0.12(x+y)

0,3х-0,12х=0,12у-0,03у

0,18х=0,09у

х=2у

Ответ: для получения 12%-го раствора нужно взять одну часть 30% раствора и две части 3%-го раствора перекиси. А ещё как можно решить?

2.2 2 способ — старинный способ решения задач

В центре пишем концентрацию первого раствора – 30 %. Под ним, отступив вниз, пишем концентрацию второго раствора- 3% или 0, 03. Слева, примерно посередине между верхней и нижней цифрами пишем концентрацию желаемого раствора – 12% или 0,12. Соединяем три цифры отрезками прямых. Из первой концентрации, поскольку она больше желаемой, вычтем 0,12, подпишем справа от 0,03 результат 0, 18, который оказался по диагонали от 0,3. Из 0, 12 вычитаем 0, 03 и подписываем справа от 0,3 результат – 0,09, который тоже оказывается по диагонали от значения 0, 03. Соединяем все отрезками и получаем «рыбку» (рис. 3).

hello_html_m17cf3eeb.png

Соотношение полученных величин – 0, 09 и 0,18 – составляет 1 к 2, т. е. первого раствора концентрацией 30 % надо взять в 2 раза меньше, чем 3%-го раствора. Ответы, полученные двумя методами одинаковы.

Давайте вернемся к задаче из тренировочного варианта: «Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве – 35% золота, а во втором 60% , в каком отношении надо взять первый и второй сплав, чтобы получить из них новый, содержащий 40% золота». Решим задачу двумя способами:

1 способ. Пусть часть первого сплава – х, а второго – у

Тогда количество золота в первом сплаве составляет 0, 35х, а во втором 0,6у. Масса нового сплава равна х+у, а кол-во золота составляет 0,4( х+у). Составим уравнение

0, 35х+0,6у=0,4(х+у)

35х+60у=40х+40у

20у=5х

х/у=4/1

Ответ: для получения сплава, содержащего 40% золота из двух сплавов с содержанием 35% и 60%, нужно взять в 4 раза больше 35%-го сплава.

2 способ – метод Магницкого (метод рыбки).

hello_html_m5d6f2918.png Результат: соотношение полученных величин составляет 1 к 4, значит 35%-го сплава надо взять в 4 раза больше, чем 60%-го.

Старинный способ решения задач на смеси, сплавы и растворы (метод «рыбка»).

Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого, нашего земляка. Ввиду большой простоты предложенный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо, как в предыдущей задаче, рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ hello_html_m70347746.png

На представленных выше примерах я показала как используется графический метод решения задач на смешение веществ Магницкого Л. Ф. (метод рыбки).hello_html_ec5e08.jpg

Теория метода:

hello_html_4a3bd7bc.png







Немного об авторе:

Замечательный русский математик и педагог Леонтий Филиппович Магницкий (1669—1739) фамилию свою получил (1700) от Петра I за умение притягивать к наукам молодых людей. Понимая необходимость улучшения системы образования в России, Петр I издал ряд указов об организации новых учебных заведений. В начале 1701 г. была создана Школа математических и навигацких наук в Москве. Распоряжением царя Магницкий был назначен туда преподавателем математики. В этой школе он и работал до конца жизни. В 1703 г. Магницкий издал свою «Арифметику», представляющую собой для России того времени энциклопедию математических знаний. Она состояла из двух книг, содержащих в общей сложности 662 страницы. Многие задачи и их решения приведены в виде стихотворных поучений. Сборник получился настолько удачным, что более ста лет являлся основным учебным пособием по математике в России. Недаром великий русский ученый Михаил Васильевич Ломоносов назвал «Арифметику» «вратами своей учености».















2.3. Правило креста или квадрат Пирсона

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения. При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

hello_html_75415e64.gif

ω1, ω2 – массовые части первого и второго растворов соответственно.

Для решения подобных задач удобно пользоваться « квадратом Пирсона». Вот как это делается. Рисуют квадрат и проводят две диагонали. ( рис. 1) В левом верхнем углу проставляют больший показатель крепости исходных веществ А (бпк), а в нижнем углу-В(впк) а на пересечении диагоналей записывают требуемый показатель С(тпк).

Затем производят вычитание по первой диагонали (а - с) и находят количество второй части (у). Из центра производят вычитание по второй диагонали (c - b) и находят количество первой части смеси (x) . Значения x и y записывают по одной линии с показателями. На x частей первого вещества надо взять y частей второго вещества, тогда получится смесь с показателем с.



a x 36 12







b y 6 18

Рис .1 Рис.2

Для пояснения этого правила сначала решим простейшую задачу. 

Задача 3Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

hello_html_m1f14f270.gif

Ответ: 7 килограммов.

Данный метод может использоваться и при решения задач на смеси и сплавы. Отлили часть раствора, отрезали кусок сплава. При этой операции остается неизменной концентрация веществ.

А теперь немного о Пирсоне…Карл Пирсон родился 27 марта в 1857 году в Лондоне. Он был разносторонним человеком, активно изучал историю, математику, статистику   и германистику. Большую часть 80-х годов XIX века он провел в Берлине, Гейдельберге, Вене и Брикслеге. Интересовали его религия и поэзия – с одинаковым интересом он изучал Гёте и Священное Писание. Занимали Пирсона и вопросы пола – он даже основал Клуб Мужчин и Женщин. В 1898 году получил медаль Дарвина. Карл Пирсон Погиб в Англии в городе Суррее 27 апреля 1936 года. Прожил он 79 лет.    

Как и все методы решений, квадрат Пирсона имеет свои преимущества и недостатки. Одним из преимуществ этого способа является то, что он доступен ученикам, которые не умеют решать уравнения. Также квадрат Пирсона очень полезен для домохозяек, чтобы   получать нужную концентрацию уксуса или сиропа.

Недостатком этого метода является то, что его можно применять только при смешивании двух растворов. То есть если нужно смешать три или более веществ, квадрат Пирсона здесь не поможет.


















Заключение

Итак, гипотеза о том, что задача, решенные способами Пирсона и Магницкого приводят к одному и тому же результату, что и задача решенная алгебраическим методом подтвердилась. При внешнем различии сюжета задачи на сплавы, смеси, концентрации, на соединение либо на разделение различных веществ, решаются по общей схеме. (См. примеры решения задач в Презентации). Таким образом, дополнительная работа по развитию и совершенствованию навыка решения задач на проценты имеет значимость не только для будущих абитуриентов, которые возможно встретятся с такими заданиями на ЕГЭ, но и для всех учащихся, так как современная жизнь неминуемо заставит в своей повседневности решать задачи на проценты.



































Литература

  1. ГИА-2014: экзамен в новой форме : алгебра : 9-й кл. : тренировочные варианты экзаменационных работ для проведения государственной итоговой аттестации в новой форме / авт.-сост. Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. – М.: АСТ: Астрель, 2014 – (ФИПИ)

  2. Перельман Я.И.Занимательная алгебра. Издательство «Наука», Москва 1967г

  3. Азия А., Вольпер И. Квадрат Пирсона. - М., Квант, № 3/73. С. 61.

  4. ЕГЭ-2014. Ященко И В., Семенов А.В. Издательство «Экзамен»
    Серия «ЕГЭ. 30 вариантов. Типовые тестовые задания»































Приложение





hello_html_44ed6b77.png

hello_html_49afe6c4.png

13

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 19.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров28
Номер материала ДБ-367600
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх