Решение задач по геометрии "ЕГЭ.Стереометрия и планиметрия"

Вариант 5.

1. В правильной треугольной призме А…С₁ известны рёбра:  ВВ₁ = 5,  AB43. Точка М – середина ребра В1С1, а точка Т – середина А1М.

Найдите угол между плоскостью ВСТ и прямой АТ.

Дано: АВСА1В1С1-правильная призма, ВВ1=5, АВ=4 МС1, Т ∈ А1М, А1Т = ТМ.

Найти: ((ВСТ;АТ)) Решение: 

Обозначим N середину ребра ВС. Так как ∆ВАС равносторонний, а

∆ВТС – равнобедренный, отрезки AN и TN перпендикулярны ВС,⇒ ⇒ (А𝑁𝑇) ⊥ ВС. Проведём перпендикуляр АН к плоскости (ВТС). Так как АN⊥ВС и АН⊥ВС  (по построению), то по обратной теореме о трёх перпендикулярах НN⊥ВС, то есть проекция прямой ТА лежит на прямой ТN. Таким образом искомый угол ∝=∠ ATN.

Рассмотрим ∆ АТN. 

По теореме косинусов:  =-2ATNT,

 

Из равностороннего ∆ АВС: АN

Из прямоугольного ТМN по теореме Пифагора:

АТ=

∆ТМN=∆ТА1А(по двум сторонам и углу между ними)  

 

2. Дана плоскость ^x  ^y  ^z 1.  Найти расстояние от начала

2 1 1

координат до плоскости и угол, который она составляет с осью ОХ.

Решение: 1) . Расстояние от точки до плоскости

определяется по формуле

     (1)

в которой следует положить A . Подставляя эти

значения в формулу (1), будем иметь 

d

2) Найдём угол между данной плоскостью и осью Ох.

Синус угла  между прямой  и плоскостью  равен косинусу угла  между нормалью ( ) к плоскости и направляющим вектором прямой (

поскольку  

 

 

То есть синус угла  между прямой, направляющий вектор которой имеет

координаты  и плоскостью, заданной уравнением  вычисляется по формуле:

 

Вектор (1;0;0) – направляющий вектор оси Ох, тогда

 

 

-----------------------------------------------------------------------------------------------

3. Окружности радиусов 17 и 10 пересекаются в точках А и В.  К  окружностям проведена общая касательная. Найдите расстояние между точками касания, если АВ =

16.

Решение:1)Рассмотрим первый случай, когда центры данных окружностей расположены по разные стороны от отрезка АВ.  Пусть  и  центры окружностей, а Х и У точки касания прямой к данным окружностям. Так как радиусы окружностей, проведённые из точек касания, перпендикулярны касательным, то четырёхугольник XY - прямоугольная трапеция с основаниями X и Y. Высота трапеции Н=XY. Высоту Н найдём из прямоугольного треугольника Н. Пусть С=АВ

 . Точки А и В равноудалены от точки , также они равноудалены от точки ,

  – серединный перпендикуляр отрезка АВ, то есть точка С – середина отрезка

АВ и АВ. Из прямоугольного треугольника СА  по теореме Пифагора

О1С=

Из прямоугольного треугольника СА по теореме Пифагора

 

=С+С=15+6=21

Н=X-НХ=Х-Y=17-10=7

По теореме Пифагора XY

2) Рассмотрим второй случай, когда центры данных окружностей расположены по одну сторону от АВ. Обозначим точками X и Y точки касания данной прямой с окружностями соответственно с центрами  и . Пусть Z=XY. Так как X и Y радиусы,

проведённые в точки касания, то они перпендикулярны прямой XY,

.