Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть

Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 1 часть

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Задача №1

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 60º. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение.

hello_html_m41a1b4de.jpg


Пусть дан цилиндр, прямоугольник АВСД – его осевое сечение, АД и ВС – диаметры оснований. Точка О – центр нижнего основания, точка hello_html_7b930df9.gif- центр верхнего основания. Оhello_html_7b930df9.gifhello_html_21a8218f.gif(АВС), Оhello_html_7b930df9.gif - высота цилиндра.

АВhello_html_m1e39d5c0.gifАД, АД проекция ВД на плоскость нижнего основания цилиндра, тогда hello_html_1d144203.gifВДА – угол между диагональю ВД и плоскостью нижнего основания.

По условию ВД = 12 см, hello_html_1d144203.gifВДА = 60º. Из ∆ВАД (hello_html_1d144203.gifВАД = 90º), hello_html_1d144203.gifАВД = 90º-60º = 30º. АД = hello_html_3861a23a.gifВД, АД = hello_html_3861a23a.gif12 = 6 (см), по свойству катета, лежащего против hello_html_1d144203.gifАВД = 30º.

Используя теорему Пифагора АВ = hello_html_m54722f76.gif, АВ = hello_html_m265fcf77.gif= hello_html_m57bf1903.gif(см).

Площадь боковой поверхности цилиндра hello_html_m55d1ac68.gif, где C – длина окружности, H – высота цилиндра. Н = АВ = hello_html_m57bf1903.gifсм, hello_html_45a391a4.gif, d = AД, hello_html_3e6b3f87.gif, hello_html_m6d096e9c.gif


Ответ: hello_html_519cbfd2.gif


Задача №2.

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 24hello_html_m53caaa6e.gifсм и наклонена к плоскости его основания под углом 30º. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение.

hello_html_m41a1b4de.jpg


Пусть дан цилиндр, прямоугольник АВСД – его осевое сечение, АД и ВС – диаметры соответственно нижнего и верхнего оснований. Точка О – центр нижнего основания, точка hello_html_7b930df9.gif- центр верхнего основания. Оhello_html_7b930df9.gifhello_html_21a8218f.gif(АВС), Оhello_html_7b930df9.gif - ось цилиндра, высота цилиндра.

АВhello_html_m1e39d5c0.gifАД, АД проекция ВД на плоскость нижнего основания цилиндра, тогда hello_html_1d144203.gifВДА – угол между диагональю ВД и плоскостью нижнего основания. По условию ВД = 24hello_html_m53caaa6e.gifсм, hello_html_1d144203.gifВДА = 30º. Из ∆ВАД (hello_html_1d144203.gifВАД = 90º),АВ = hello_html_3861a23a.gifВД, АВ = hello_html_3861a23a.gif24hello_html_m53caaa6e.gif=12hello_html_m53caaa6e.gif(см) – по свойству катета, лежащего против угла 30º.

Используя теорему Пифагора АД = hello_html_m5764bfce.gif, АД = hello_html_2e002d8c.gif= 36(см).

Площадь боковой поверхности цилиндра hello_html_m55d1ac68.gif, где C – длина окружности, H – высота цилиндра. Н = АВ = hello_html_1c417498.gifсм, hello_html_45a391a4.gif, d = AД, hello_html_3e6b3f87.gif, hello_html_m78c9b6e5.gif


Ответ: hello_html_m59a24d47.gif


Задача №3.

Расстояние от центра основания конуса до середины образующей равно 6 см. Угол между образующей и плоскостью основания равен 60º. Найдите площадь осевого сечения.

Решение.


hello_html_m6aeebc5a.jpg

Пусть дан конус, точка О – центр его основания, РО – ось конуса, РО - высота конуса. Построим осевое сечение конуса - равнобедренный ∆АРВ, АВ – диаметр основания конуса, РА=РВ – образующие. Точка М – середина РА, ОМ – расстояние от центра основания конуса до середины образующей РА. По условию ОМ = 6 см. РОhello_html_m1e39d5c0.gifАВ, ОА – проекция наклонной РА на плоскость основания конуса, тогда hello_html_1d144203.gifРАО – угол между образующей и плоскостью основания конуса, hello_html_1d144203.gifРАО = 60º.

Из ∆АРВ, hello_html_1d144203.gifРВА = hello_html_1d144203.gifРАВ = 60º, как углы при основании равнобедренного треугольника АРВ, значит ∆АРВ равносторонний, РА = РВ = АВ.

Рассмотрим ∆РОА (hello_html_1d144203.gifРОА = 90º), точка М – середина гипотенузы РА, значит это центр окружности, описанной около ∆РОА, ОМ = АМ = МВ = R, где R – радиус описанной окружности. Тогда РА = 2ОМ, РА = 2·6 = 12 (см).

Площадь осевого сечения hello_html_m5caa294e.gif , hello_html_m4ed07b12.gif(см²).


Ответ: hello_html_m759404b7.gif


Задача №4.

Расстояние от центра основания конуса до образующей равно 3 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120º. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Решение.

hello_html_4ff65a0.jpg


Пусть дан конус, точка О – центр его основания, SО – ось конуса, SО - высота конуса. Построим осевое сечение конуса – равнобедренный ∆МSК, МК – диаметр основания конуса, SМ=SК – образующие конуса, SОhello_html_m1e39d5c0.gifМК. Опустим из точки О перпендикуляр на образующую SК, ОРhello_html_m1e39d5c0.gifSК, тогда ОР – расстояние от центра основания конуса до образующей SК, ОР = 3 см.

По условию hello_html_1d144203.gifМSК = 120º - угол при вершине осевого сечения. В равнобедренном ∆MSK высота SО – биссектриса, медиана. hello_html_1d144203.gifМSО = hello_html_1d144203.gifКSО = 120º:2 = 60º. Тогда hello_html_1d144203.gifSМК = hello_html_1d144203.gifSКМ = (180º - 120º):2 = 30º - как углы при основании равнобедренного треугольника.

Из ∆SРО (hello_html_1d144203.gifSРО = 90º) SО = hello_html_3641b8b8.gif, SО = hello_html_1bf6a186.gif= hello_html_m5045d57c.gif

Из ∆SОК (hello_html_1d144203.gifSОК = 90º) ОК = SО· tg hello_html_1d144203.gifКSО, ОК = hello_html_m143595d5.gif(см), тогда МК = 6·2 = 12 (см). Площадь осевого сечения конуса hello_html_43be9c06.gif, hello_html_486e44e5.gif


Ответ: hello_html_4ee36489.gif


Задача №5. В основании прямой призмы лежит ромб с большей диагональю, равной 6hello_html_m53caaa6e.gifсм. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 30º, меньшая - угол 45º. Найдите объем призмы.

Решение.

hello_html_73eb80a7.jpg

Пусть hello_html_27f764db.gif - прямая призма, ромб АВСД – ее основание. Точка О – точка пересечение диагоналей ромба, hello_html_1d144203.gifА – острый, АС – большая диагональ ромба, ВД – меньшая диагональ ромба, АС > ВД. hello_html_m38f048fe.gif, АС – проекция hello_html_m718e1b34.gif на плоскость основания, hello_html_m4da672ad.gif, ВД – проекция hello_html_m49528f8d.gif на плоскость основания. Так как АС > ВД, то hello_html_m718e1b34.gif>hello_html_m49528f8d.gif по свойству наклонных и их проекций, т.е. hello_html_m718e1b34.gif - большая диагональ призмы. hello_html_1d144203.gifhello_html_m3b899a33.gif- угол, образованный большей диагональю призмы с плоскостью основания, hello_html_1d144203.gifhello_html_m299b01cb.gif- угол, образованный меньшей диагональю призмы с плоскостью основания. По условию hello_html_1d144203.gifhello_html_m3b899a33.gif=30º, hello_html_1d144203.gifhello_html_m299b01cb.gif= 45º.

Из ∆hello_html_m42282c7b.gif, (hello_html_1d144203.gifhello_html_m42282c7b.gif=90º) АС = 6hello_html_m53caaa6e.gifсм, hello_html_12e0cdd.gif, hello_html_1bcf8614.gif, hello_html_m6accf156.gif.

В ∆hello_html_m4966d808.gif, (hello_html_1d144203.gifhello_html_m4966d808.gif=90º), hello_html_1d144203.gifhello_html_m3916d630.gif= 90º- 45º = 45º, значит ∆hello_html_m4966d808.gif - равнобедренный, ВД = hello_html_2aa5a664.gif= 6 см.

Объем призмы V = hello_html_m3806ada8.gif, где hello_html_m3913d3c8.gif - площадь основания призмы, hello_html_m10ab988c.gif= hello_html_m532c2129.gif - высота призмы. hello_html_m31d31e37.gif, hello_html_m5e8cab59.gif. V = hello_html_m1435caf4.gif.


Ответ: hello_html_m67718398.gif.


Задача №6.

В основании прямой призмы лежит ромб. Большая диагональ призмы равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30º, а меньшая образует с боковым ребром угол 45º. Найдите объем призмы.

Решение.

hello_html_7e1d39f1.jpg

Пусть hello_html_27f764db.gif - прямая призма, ромб АВСД – ее основание. Точка О – точка пересечение диагоналей ромба, hello_html_1d144203.gifА – острый, АС – большая диагональ ромба, ВД – меньшая диагональ ромба, АС > ВД. hello_html_m38f048fe.gif, АС – проекция hello_html_m718e1b34.gif на плоскость основания, hello_html_m4da672ad.gif, ВД – проекция hello_html_m49528f8d.gif на плоскость основания. Так как АС > ВД, то hello_html_m718e1b34.gif>hello_html_m49528f8d.gif по свойству наклонных и их проекций, значит hello_html_m718e1b34.gif - большая диагональ призмы, hello_html_1d144203.gifhello_html_m3b899a33.gif- угол, образованный большей диагональю призмы и плоскостью основания. hello_html_1d144203.gifhello_html_m478d9b67.gif- угол, образованный меньшей диагональю призмы и плоскостью основания. По условию hello_html_1d144203.gifhello_html_m3b899a33.gif=30º, hello_html_1d144203.gifhello_html_m478d9b67.gif= 45º. Из ∆hello_html_m42282c7b.gif, (hello_html_1d144203.gifhello_html_m42282c7b.gif=90º) Аhello_html_m59218672.gifС = 12 см, hello_html_m6c258ce4.gif=hello_html_526420bf.gif, hello_html_m6c258ce4.gif= hello_html_5cfcb347.gif- по свойству катета, лежащего против угла 30º. hello_html_m7690bfc0.gif= А Аhello_html_m59218672.gif= 6 см.

Используя теорему Пифагора АС = hello_html_m65e2a3cf.gif, АС = hello_html_m52bd45e.gif

Из ∆hello_html_4b3745a4.gif, (hello_html_1d144203.gifhello_html_5e47a19e.gif=90º), hello_html_1d144203.gifhello_html_m13c9abb.gif, Δhello_html_m478d9b67.gif - равнобедренный, ВД = hello_html_m6a2c9540.gif = 6 см.

Объем призмы V = hello_html_m3806ada8.gif, где hello_html_m3913d3c8.gif - площадь основания призмы, hello_html_m10ab988c.gif= hello_html_m532c2129.gif - высота призмы. hello_html_m31d31e37.gif, hello_html_m5e8cab59.gif. V = hello_html_m1435caf4.gif.

Ответ: hello_html_m67718398.gif.

Задача №7.

Осевое сечение конуса прямоугольный треугольник. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус основания конуса равен 5 см.

Решение.

hello_html_m4884cf37.jpg


Пусть дан конус, точка О – центр его основания, РО – ось конуса, высота конуса. Построим сечение конуса – прямоугольный равнобедренный ∆АРВ, hello_html_1d144203.gifАРВ = 90º, АВ – диаметр основания конуса, РА=РВ – образующие. ОА = ОВ = 5 см (по условию) – радиусы основания конуса, АВ = 2·ОА, АВ = 2·5 = 10 (см).

Так как ∆АРВ – равнобедренный, hello_html_1d144203.gifPАB =hello_html_1d144203.gifPВA = 45º, как углы при основании равнобедренного треугольника. РА = АВ· coshello_html_1d144203.gifPAB, PA = 10· cos45º = 10· hello_html_ma8bd39f.gif= hello_html_3cba8b17.gif

Площадь боковой поверхности конуса hello_html_33a038e7.gif, где R=ОА = 5 см, l = РА = hello_html_61dccb6e.gifсм.

hello_html_m156f860e.gif(см²).


Ответ: hello_html_m30fd5d95.gifсм².







Задача №8.

Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найдите объем конуса.

Решение.

hello_html_md72e858.jpg

Пусть дан конус, точка О – центр его основания, РО – ось конуса, высота конуса. Построим сечение конуса – равносторонний ∆АРВ, РА=РВ=АВ = 10 см (по условию). РА, РВ – образующие конуса, РОhello_html_21a8218f.gif(АРВ), АВ – диаметр конуса. АО=ОВ – радиусы основания, АО=ОВ =hello_html_m24c4d599.gif(см).

Из ΔРОА (hello_html_1d144203.gifРОА=90º), используя теорему Пифагора РО=hello_html_6258a155.gif,

РО = hello_html_52c10bf.gif(см).

Объем конуса hello_html_m6f239ec1.gif, где hello_html_47de0638.gif - площадь основания конуса. hello_html_47de0638.gif = hello_html_m28baec0.gif, hello_html_m255815d8.gif25hello_html_m4ea7d5b8.gifсм². Тогда hello_html_20883527.gif.


Ответ: hello_html_m5240aa8e.gif





Задача №9.

Площадь боковой поверхности конуса равна 136hello_html_4fd45fec.gifсм², а его образующая равна 17 см. Найдите объем конуса.


Решение.

hello_html_m44ae0a8b.jpg


Пусть дан конус, точка О – центр его основания, РО – ось конуса, высота конуса, РА – образующая, ОА – радиус основания конуса.

По условию РА = 17 см, hello_html_m56fd3b20.gifhello_html_33a038e7.gif, где R = OA, l = РА, hello_html_m3cc13ab3.gif, отсюда ОА = hello_html_m416ac859.gif, ОА = hello_html_m55b0806b.gif.

Из ∆РОА, (hello_html_1d144203.gifРОА=90º), используя теорему Пифагора РО=hello_html_6258a155.gif,

РО = hello_html_m1d418195.gif(см).

Объем конуса hello_html_m6f239ec1.gif, где hello_html_47de0638.gif - площадь основания конуса. hello_html_47de0638.gif = hello_html_5160ddc6.gif, hello_html_m255815d8.gif64hello_html_m4ea7d5b8.gifсм². Тогда hello_html_ebb1a90.gif.


Ответ: hello_html_208c78da.gif






Задача №10.

Площадь боковой поверхности конуса равна 65hello_html_4fd45fec.gifсм², а его образующая равна 13см. Найдите объем конуса.


Решение.

hello_html_m44ae0a8b.jpg


Пусть дан конус, точка О – центр его основания, РО – ось конуса, высота конуса, РА – образующая, ОА – радиус основания конуса.

По условию РА = 13 см, hello_html_m2719c810.gifhello_html_33a038e7.gif, где R = OA, l = РА, hello_html_m3cc13ab3.gif, отсюда ОА = hello_html_m416ac859.gif, ОА = hello_html_13510464.gif.

Из ∆РОА, (hello_html_1d144203.gifРОА=90º), используя теорему Пифагора РО=hello_html_6258a155.gif,

РО = hello_html_m5cf698b9.gif(см).

Объем конуса hello_html_m6f239ec1.gif, где hello_html_47de0638.gif - площадь основания конуса. hello_html_47de0638.gif = hello_html_5160ddc6.gif, hello_html_m255815d8.gif25hello_html_m4ea7d5b8.gifсм². Тогда hello_html_m561aaad.gif.


Ответ: hello_html_m450d74c0.gif






Общая информация

Номер материала: ДБ-117468

Похожие материалы