Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 2 часть

Решение задач по геометрии ГИА 11 класс 2 часть


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Задача №11.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 5 см. Высота призмы равна радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Найти объем призмы.

Решение.

hello_html_m4be143a3.jpg


Пусть hello_html_1b098f4b.gif - прямая треугольная призма. ∆АВС – прямоугольный треугольник, ее основание, hello_html_1d144203.gifАСВ = 90º. По условию АВ = 13 см, АС = 5 см. hello_html_m44d71305.gifhello_html_m2a3f0ac3.gif, hello_html_m44d71305.gif - высота призмы. По условию hello_html_m44d71305.gif = r, где r – радиус окружности, вписанной в основание призмы.

Из ∆АВС, (hello_html_1d144203.gifАСВ = 90º), используя теорему Пифагора СВ = hello_html_m7feaa639.gif, СВ = hello_html_665c157f.gif. Радиус окружности, вписанной в ∆АВС hello_html_m1b1b39da.gif, где hello_html_7ff84eaa.gif - площадь треугольника, р – полупериметр треугольника, р = hello_html_5bbd8ba9.gifhello_html_7ff84eaa.gif = hello_html_36b3f6ef.gif, hello_html_7ff84eaa.gif = hello_html_3d8581d8.gif, тогда hello_html_740391f5.gif,

hello_html_m44d71305.gif=2см.

Объем призмы V = hello_html_m3806ada8.gif, где hello_html_m3913d3c8.gif - площадь основания призмы, hello_html_m10ab988c.gif= hello_html_m532c2129.gif - высота призмы. V = 30 · 2 = 60 (см²).


Ответ: 60 см².



Задача №12.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 17 см и катетом 8 см. Высота призмы равна радиусу окружности, описанной около основания призмы. Найти объем призмы.

Решение.

hello_html_m4be143a3.jpg


Пусть hello_html_1b098f4b.gif - прямая треугольная призма. ∆АВС – прямоугольный треугольник, ее основание, hello_html_1d144203.gifАСВ = 90º. По условию АВ = 17 см, АС = 8 см. hello_html_m44d71305.gifhello_html_m2a3f0ac3.gif, hello_html_m44d71305.gif - высота призмы. По условию hello_html_m44d71305.gif = R, где R – радиус окружности, описанной около основания призмы.

Построим точку М – середину гипотенузы АВ - это центр окружности, описанной около ∆АВС, R = МА = МВ =hello_html_441dd57c.gif, R = hello_html_71fd489f.gif

Из ∆АВС, (hello_html_1d144203.gifАСВ = 90º), используя теорему Пифагора СВ = hello_html_m7feaa639.gif, СВ = hello_html_5a6bcdb6.gif.

Объем призмы V = hello_html_m3806ada8.gif, где hello_html_m3913d3c8.gif - площадь основания призмы, hello_html_m10ab988c.gif= hello_html_m532c2129.gif - высота призмы. hello_html_m3913d3c8.gif = hello_html_7d1a2d74.gif hello_html_m3913d3c8.gif hello_html_24eb25f0.gifV = 60 ·hello_html_m41e16ec7.gif


Ответ: 510 см².


Задача 13. В правильной треугольной пирамиде радиус окружности, вписанной в основание, равен hello_html_m53caaa6e.gifсм. Апофема пирамиды равна 2hello_html_7194289f.gifсм. Найдите объем пирамиды.

Решение.

hello_html_m391af4db.jpg


Пусть дана правильная треугольная пирамида РАВС, значит ее основание правильный треугольник АВС. Высота РО проходит через его центр, точку О. Точка О – центр вписанной окружности. Проведем апофему РКhello_html_m1e39d5c0.gifАВ, по условию РК = 2hello_html_7194289f.gifсм. РО hello_html_m1e39d5c0.gif(АВС), ОК – проекция РК на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах АВ hello_html_m1e39d5c0.gifОК, значит ОК – радиус окружности, вписанной в ∆АВС, ОК = r = hello_html_m53caaa6e.gifсм по условию задачи. Так как ∆АВС – правильный, АВ = ВС = СА, то hello_html_m92a1557.gif, АВ = 2rtg60º, AB = 2hello_html_m53caaa6e.gif·hello_html_m53caaa6e.gif=6 (см).

Из ∆РОК (hello_html_1d144203.gifРОК = 90º), используя теорему Пифагора РО = hello_html_e95b651.gif, РО = hello_html_m3ad9e91b.gif= 5 (см).

Объем пирамиды V=hello_html_m44029570.gif, где hello_html_m3913d3c8.gif - площадь основания, т.е. площадь правильного треугольника АВС, Н=РО=5см. hello_html_149a2a84.gif, hello_html_791d08ad.gif. V = hello_html_71fa4fd7.gif.

Ответ: hello_html_m39971a14.gif.

Задача 14. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно hello_html_m4b83a643.gifсм. Найдите объем пирамиды, если радиус окружности, описанной около основания, равен hello_html_6efefd82.gifсм.

Решение.






А

hello_html_m14ae93e8.jpg

Пусть дана правильная треугольная пирамида РАВС, значит ее основание правильный треугольник АВС. Высота РО проходит через его центр, точку О. Точка О – центр описанной окружности, ОА = ОВ = ОС = R, где R – радиус описанной окружности. По условию задачи R = hello_html_6efefd82.gifсм. Боковые ребра правильной пирамиды равны, РА = РВ = РС и по условию задачи равны hello_html_m4b83a643.gifсм.

Так как в основании пирамиды лежит правильный треугольник, то R = hello_html_3b985cff.gif= hello_html_13908e41.gif, откуда АВ = hello_html_m44ffea50.gif, АВ = hello_html_m53caaa6e.gifhello_html_6efefd82.gif=6 (см).

Объем пирамиды V=hello_html_m44029570.gif, где hello_html_m3913d3c8.gif - площадь основания, т.е. площадь правильного треугольника АВС, Н – высота, Н = РО.

hello_html_149a2a84.gif, hello_html_m7e2aa0ae.gif.

Из ∆РОА, (hello_html_1d144203.gifРОА = 90º), используя теорему Пифагора РО = hello_html_26d978ef.gif, РО = hello_html_mc55c6a7.gif= 5 (см).

V = hello_html_71fa4fd7.gif.

Ответ: hello_html_m39971a14.gif.

Задача 15. Основание прямой призмы – ромб с диагоналями 10 см и 24 см. Меньшая диагональ призмы равна 26см. Вычислите площадь полной поверхности призмы.


Решение.

hello_html_m53a766ad.jpg

Пусть hello_html_27f764db.gif - прямая призма, ромб АВСД – ее основание. Точка О – точка пересечение диагоналей ромба, hello_html_1d144203.gifА – острый, АС – большая диагональ ромба, ВД – меньшая диагональ ромба, АС > ВД. hello_html_m38f048fe.gif, АС – проекция hello_html_m718e1b34.gif на плоскость основания, hello_html_m4da672ad.gif, ВД – проекция hello_html_m49528f8d.gif на плоскость основания. Так как АС > ВД, то hello_html_m718e1b34.gif>hello_html_m49528f8d.gif по свойству наклонных и их проекций, значит hello_html_mcf8ea62.gif - меньшая диагональ призмы. По условию задачи АС = 24 см, ВД = 10 см, Вhello_html_m59218672.gifД = 26 см.

Площадь полной поверхности призмы hello_html_m556ddda3.gif, где hello_html_m1b2ffd67.gif площадь боковой поверхности призмы, hello_html_3d042b6c.gifплощадь основания.

hello_html_m794c6e65.gif, hello_html_438a4e39.gif. hello_html_53b6e2f.gif, где Р – периметр основания призмы, Н – высота, Н=ВВhello_html_m59218672.gif. Рассмотрим ромб АВСД, по свойству диагоналей ромба АО = hello_html_7f850788.gif, АО = 12см, ВО = hello_html_m3558c110.gif, ВО = 5 см. Из ∆АОВ, (hello_html_1d144203.gifАОВ = 90º), используя теорему Пифагора АВ = hello_html_23cb8540.gif, АВ = hello_html_5c786edd.gif= 13 (см). Периметр ромба Р = 4·13=52 (см).

Из ∆ВВhello_html_m59218672.gifД, (hello_html_1d144203.gifВhello_html_m59218672.gifВД=90º), используя теорему Пифагора ВВhello_html_m59218672.gif=hello_html_m152d6b75.gif, ВВhello_html_m59218672.gif=hello_html_md008b75.gif. Тогда hello_html_m44bb2226.gif, hello_html_4447c64e.gif.

Ответ: hello_html_m4624aeb6.gif.

Задача 16. Основание прямой призмы – ромб с диагоналями 16 см и 30 см. Большая диагональ призмы равна 50 см. Вычислите площадь полной поверхности призмы.


Решение.

hello_html_m53a766ad.jpg

Пусть hello_html_27f764db.gif - прямая призма, ромб АВСД – ее основание. Точка О – точка пересечение диагоналей ромба, hello_html_1d144203.gifА – острый, АС – большая диагональ ромба, ВД – меньшая диагональ ромба, АС > ВД. hello_html_m38f048fe.gif, АС – проекция hello_html_m718e1b34.gif на плоскость основания, hello_html_m4da672ad.gif, ВД – проекция hello_html_m49528f8d.gif на плоскость основания. Так как АС > ВД, то hello_html_m718e1b34.gif>hello_html_m49528f8d.gif по свойству наклонных и их проекций, значит hello_html_m718e1b34.gif - большая диагональ призмы. По условию задачи АС = 30 см, ВД = 16 см, Аhello_html_m59218672.gifС = 50 см.

Площадь полной поверхности призмы hello_html_m556ddda3.gif, где hello_html_m1b2ffd67.gif площадь боковой поверхности призмы, hello_html_3d042b6c.gifплощадь основания.

hello_html_m794c6e65.gif, hello_html_m7fea33eb.gif. hello_html_53b6e2f.gif, где Р – периметр основания призмы, Н – высота, Н=ААhello_html_m59218672.gif. Рассмотрим ромб АВСД, по свойству диагоналей ромба АО = hello_html_7f850788.gif, АО = 15 см, ВО = hello_html_m3558c110.gif, ВО = 8 см. Из ∆АОВ, (hello_html_1d144203.gifАОВ = 90º), используя теорему Пифагора АВ = hello_html_23cb8540.gif, АВ = hello_html_29c8b98c.gif= 17 (см). Периметр ромба Р = 4·17 = 68 (см).

Из ∆ААhello_html_m59218672.gifС, (hello_html_1d144203.gifАhello_html_m59218672.gifАс=90º), используя теорему Пифагора ААhello_html_m59218672.gif=hello_html_2bd76ac6.gif, ААhello_html_m59218672.gif=hello_html_5279104f.gif. Тогда hello_html_7885493.gif, hello_html_76d749d.gif.

Ответ: hello_html_m48e2aa5.gif.

Задача 17. Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда, основанием которого служит квадрат, равна 264см². Найдите сторону основания параллелепипеда, если его высота равна 8 см.


Решение.

hello_html_4a4c4daa.jpg

Пусть hello_html_27f764db.gif - прямоугольный параллелепипед, боковые ребра перпендикулярны основанию и равны, ААhello_html_m4a816475.gif Основание квадрат АВСД. У параллелепипеда все грани - равные прямоугольники, поэтому площадь полной поверхности параллелепипеда hello_html_57db8444.gif, где hello_html_m4985130c.gif- площадь боковой поверхности, hello_html_47de0638.gif - площадь основания.

По условию hello_html_438a7926.gif 264 см², высота ААhello_html_m59218672.gif=8 см. hello_html_m4985130c.gif= 4АВ∙ ААhello_html_m59218672.gif, hello_html_47de0638.gif=АВ², тогда hello_html_438a7926.gif4АВ∙ ААhello_html_m59218672.gif + 2 АВ² = 4АВ·8 + 2АВ² = 264 см². Получим уравнение 2АВ² + 32АВ – 264 = 0, АВ² + 16АВ – 132 = 0, АВ = hello_html_73074b7b.gif (см) или АВ = hello_html_m238eed8.gif (см), так как по условию задачи АВ>0, то АВ = 6 см.


Ответ: 6 см.








Задача №18.

В прямоугольном параллелепипеде его измерения относятся как 1:2:3. Полная поверхность параллелепипеда равна 352 см². Найдите его измерения.

Решение.

hello_html_4a4c4daa.jpg

Пусть hello_html_27f764db.gif - прямоугольный параллелепипед, боковые ребра перпендикулярны основанию и равны, ААhello_html_m4a816475.gif Основание прямоугольник АВСД. У параллелепипеда противоположные грани - равные прямоугольники, поэтому площадь полной поверхности параллелепипеда hello_html_57db8444.gif, где hello_html_m4985130c.gif- площадь боковой поверхности, hello_html_47de0638.gif - площадь основания.

По условию измерения прямоугольного параллелепипеда АД:ДС:ААhello_html_27ec538e.gif=1:2:3. Пусть х – коэффициент пропорциональности, тогда АД = 1х, ДС = 2х, ААhello_html_27ec538e.gif= 3х.

hello_html_73262879.gif, hello_html_m3f8f9d0f.gif, по условию hello_html_18907dc8.gif Тогда 22х² = 352, х=4 (х>0). Тогда АД = 4 см, ДС=2·4=8 см, ААhello_html_27ec538e.gif=3·4=12 см.



Ответ: 4см, 8см, 12см.






Задача №19.

Длина линии пересечения сферы и плоскости равна 10πсм. Радиус сферы равен 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости сечения.

Решение.

hello_html_m2e38ce48.jpg


Пусть дана сфера с центром в точке О. Сечение сферы плоскостью – окружность с центром в точке Оhello_html_m59218672.gif. Так как центр Оhello_html_m59218672.gif этой окружности есть основание опущенного перпендикуляра ООhello_html_m59218672.gif на плоскость сечения, то ООhello_html_m59218672.gif - расстояние от центра сферы до заданной плоскости сечения.

По условию длина окружности С = 2πОhello_html_m59218672.gifА, где Оhello_html_m59218672.gifА – радиус окружности с центром в Оhello_html_m59218672.gif, 2πОhello_html_m59218672.gifА = 10π, Оhello_html_m59218672.gifА = 5 см.

Проведем радиус сферы ОА = R, где А – точка, принадлежащая окружности сечения. По условию ОА = 13 см.

Из ∆ООhello_html_m59218672.gifА (hello_html_1d144203.gifООhello_html_m59218672.gifА = 90º), используя теорему Пифагора ООhello_html_m59218672.gif = hello_html_51275018.gif, ООhello_html_m59218672.gif =hello_html_5724711d.gif(см).


Ответ: 12 см.





Задача №20.

Площадь сечения шара плоскостью равна 64πсм². Радиус шара равен 17 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Решение.

hello_html_m2e38ce48.jpg


Пусть дан шар с центром в точке О. Сечение шара плоскостью – круг с центром в точке Оhello_html_m59218672.gif. Так как центр Оhello_html_m59218672.gif этого круга есть основание опущенного на него перпендикуляра ООhello_html_m59218672.gif, то ООhello_html_m59218672.gif - расстояние от центра шара до заданного сечения. По условию площадь сечения hello_html_1c5835b.gif.

Проведем радиус ОА = R, где А – точка, принадлежащая окружности сечения. По условию ОА = 17 см.

Площадь сечения hello_html_m350f43d1.gif, где r = Оhello_html_m59218672.gifА – радиус круга с центром в Оhello_html_m59218672.gif. По условию hello_html_1c5835b.gif, значит hello_html_4042f666.gif, Оhello_html_m59218672.gifА²=64, Оhello_html_m59218672.gifА= 5 см (Оhello_html_m59218672.gifА>0).

Из ∆ООhello_html_m59218672.gifА (hello_html_1d144203.gifООhello_html_m59218672.gifА = 90º), используя теорему Пифагора ООhello_html_m59218672.gif = hello_html_51275018.gif, ООhello_html_m59218672.gif =hello_html_5c930ebc.gif(см).


Ответ: 15 см.





Автор
Дата добавления 10.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров378
Номер материала ДБ-117469
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх