Решение задач по теме: "Элементы теории вероятностей и очередей"

• 1 слайд

  Преподаватель
  Горшенёва Л.С.
  Решение задач по теме: «Элементы теории вероятностей и очередей»
  

• 2 слайд

  Задания по теории вероятностей
  
  
  
  
  Задачи по данной теме относятся к списку заданий, чтобы преодолеть минимальный порог, т.е. минимальный тестовый балл для сдачи экзамена по МДК.01.02. Математический аппарат для построения компьютерных сетей .
  
  

• 3 слайд

  Учебно-методичиские пособия
  Горшенёва Л.С. Элементы теории вероятностей и очередей. Система сетевого планирования. Учебное пособие по теме 2.3. Тамбов, 2013.
  ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. Задания В10. /А.Л. Семенов и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2012
  Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2012 (В7-В14). Пособие для «чайников». / Е.Г. Коннова и др.; под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011.
  Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Элементы теории вероятностей и статистика: учебно-методическое пособие. /Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011.
  Теория вероятностей и статистика /Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008-2010.
  Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО: МИОО, 2011.
  
  

• 4 слайд

  Список тем по теории вероятностей:
  Понятие о случайном опыте и случайном событии.
  Частота случайного события.
  Вероятности противоположных событий.
  Независимые события.
  Умножение вероятностей.
  Достоверные и невозможные события.
  Равновозможные события и подсчет их вероятности.
  Классическое определение вероятности.
  
  

• 5 слайд

  Студент должен знать:
  Находить частоту события, используя собственный жизненный опыт и готовые статистические данные.
  Находить вероятности случайных событий в простейших случаях.
  Решать практико-ориентированные задачи, требующих перебора вариантов.
  Уметь сравнивать шансы наступления случайных событий и оценивать вероятности их наступления в практических ситуациях.
  
  

• 6 слайд

  Статистика
  Среднее арифметическое, размах, мода – статистические характеристики.
  

• 7 слайд

  Статистические характеристики:
  Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.
  
  Модой обычно называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто (Мо).
  Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных.
  
  

• 8 слайд

  Статистические характеристики:
  Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
  

• 9 слайд

  Задача:
  Проведя учёт числа животноводческих ферм в 15 хозяйствах района, получили следующий ряд данных:
  1, 2, 2, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 5, 3, 3, 2, 1, 2.
  Найдите для этого ряда среднее арифметическое, размах, моду и медиану.
  Среднее арифметическое
  Мода
  Размах
  Упорядочим данные:
  1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5
  Медиана Ме=2
  
  
  
  

• 10 слайд

  Элементы комбинаторики:
  Правило суммы.
  Правило произведения.
  Перебор возможных вариантов.
  Схема- дерево возможных вариантов.
  Формулы комбинаторики.
  

• 11 слайд

  Правило суммы:
  Если элемент А может быть выбран m способами, а элемент B- n способами, причём выборы А и B являются взаимно исключающими, то выбор «либо А, либо B» может быть осуществлён m+n способами.
  

• 12 слайд

  Задача
  Сколько существует способов выбрать кратное 2 или 3 число из множества чисел: 2,3,4,15,16,20,21,75,28?
  Решение
  m=5 – кратное 2 (2,4,16,20,28),
  n=4 –кратное 3 (3,15,21,75).
  По правилу суммы находим :
  m + n= 5+4=9 способов.
  Ответ: 9 способов.
  

• 13 слайд

  Правило произведения
  (правило умножения)
  Если элемент А может быть выбран m способами, а элемент B – n способами, то выбор «A и B» может быть осуществлён m*n способами.
  
  

• 14 слайд

  Задача
  На почте продаётся 40 разных конвертов и 25 различных марок. Сколько вариантов покупки конвертов с маркой можно осуществить?
  Решение
  Конверт можно выбрать 40 способами, марку – 25 способами. По правилу произведения покупку можно осуществить 40*25= 1000 способами.
  Ответ: 1000 способов.
  

• 15 слайд

  Перебор возможных вариантов
  Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
  
  
  
  
  
  
  Ответ: 24 числа
  

• 16 слайд

  Схема– дерево возможных вариантов
  

• 17 слайд

  Факториал
  Произведение натуральных чисел от 1 до n в математике называют факториалом числа n и обозначают n!
  n! =1* 2* 3* 4*… *n
  
  Например :
  5! = 1* 2* 3* 4* 5=120
  
  

• 18 слайд

  Перестановки
  
  Перестановкой из n элементов называется комбинация, в которой все эти n элементов расположены в определенном порядке.
  Перестановки отличаются друг от друга только порядком расположения элементов.
  
  
  n = 3
  P=3!=1*2*3=6 P = n!
  
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  

• 19 слайд

  Размещения
  Размещением из n элементов по k называется комбинация, в которой какие-то k из этих n элементов расположены в определенном порядке.
  Размещения отличаются друг от друга не только порядком расположения элементов, но и тем, какие именно k элементов выбраны в комбинацию.
  
  
  

• 20 слайд

  Задача на размещения
  n = 3
  k = 2
  A =
  n
  k
  n !
  (n-k)!
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  6
  A =
  3
  2
  3 !
  (3-2)!
  =
  1
  =
  6
  

• 21 слайд

  Сочетания
  Сочетанием из n элементов по k называется комбинация, в которой из этих n элементов выбраны любые k без учета их порядка в комбинации.
  Таким образом, для сочетания имеет значение только состав выбранных элементов, а не их порядок.
  
  С =
  n
  k
  n !
  (n-k)!
  k!
  

• 22 слайд

  Задача на сочетания
  n = 3
  k = 2
  1
  2
  3
  6
  C =
  3
  2
  3 !
  (3-2)!2!
  =
  2
  =
  3
  

• 23 слайд

  Различие между перестановками, размещениями, сочетаниями
  
  В случае перестановок берутся все элементы и изменяется только их местоположение.
  В случае размещений берётся только часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга.
  В случае сочетаний берётся только часть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга.
  
  

• 24 слайд

  Теория вероятности
  Если опыт, в котором появляется событие А, имеет конечное число n равновозможных исходов, то вероятность события А равна
  
  
  m–число благоприятных исходов,
  n - число всех возможных исходов.
  
  
  
  
  Р(А) =
  m
  n
  

• 25 слайд

  Задачи на теорию вероятностей
  По статистике, на каждую 1000 лампочек приходится 3 бракованые. Какова вероятность купить исправную лампочку?
  Решение
  или 99,7 %.
  
  

• 26 слайд

  Алгоритм нахождения вероятности события А
  Определить, в чём состоит случайный эксперимент (опыт) и какие у него элементарные события (исход).
  Найти общее число возможных исходов n.
  Определить какие события благоприятствуют интересующему нас событию А и найти число m. События можно обозначать любой буквой.
  Найти вероятность события А по формуле
  Р(А) =
  m
  n
  

• 27 слайд

  Задача №1
  В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
  

• 28 слайд

  Решение задачи №1
  Благоприятное событие А: первой выступает спортсменка из Канады.
  Количество всех событий группы: n=? Соответствует количеству всех гимнасток. n=50.
  Количество благоприятных событий: m=? Соответствует количеству гимнасток из Канады. m=50-(24+13)=13.
  
   
  
  Ответ: 0,26
  
  
  
  

• 29 слайд

  Задача №2
  В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
  

• 30 слайд

  Решение задачи №2
  Благоприятное событие А: выбранный насос не подтекает.
  Количество всех событий группы: n=? Соответствует количеству всех насосов.n=1400.
  Количество благоприятных событий: m=? Соответствует количеству исправных насосов m=1400-14=1386.
   
  Ответ: 0,99
  
  
  
  

• 31 слайд

  Задача №3
  Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
  

• 32 слайд

  Решение задачи №3
  Благоприятное событие А: купленная сумка оказалась качественной.
  Количество всех событий группы: n=? Соответствует количеству всех сумок. n=190+8 .
  Количество благоприятных событий: m=? Соответствует количеству качественных сумок.m=190.
    Ответ:0,96
  
  
  
  
  
  
  

• 33 слайд

  Задача №4
  В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
  

• 34 слайд

  Решение задачи №4
  Опыт: выпадают три игральные кости.
  Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков.
  Количество всех событий группы n=?
  1-я кость - 6 вариантов
  2-я кость - 6 вариантов n=6*6*6=216
  3-я кость - 6 вариантов
  Количество благоприятных событий m=?
  
  331 223 511 412 142
  313 232 151 421 214 m=18
  133 322 115 124 241 Ответ: 0,08
  
  

• 35 слайд

  Задача №5
  В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
  

• 36 слайд

  Решение задачи №5
  Условие можно трактовать так: какова вероятность того, что все четыре раза выпадет решка?
  Количество всех событий группы n=?
  1-й раз - 2 варианта
  2-й раз - 2 варианта n=2*2*2*2=16
  3-й раз - 2 варианта
  4-й раз - 2 варианта
  Количество благоприятных событий m=? m=1.
  Четыре раза выпала решка.
  
  
  Ответ: 0,0625
  
  
  
  
  
  

• 37 слайд

  Задача №6
  В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ округлите до сотых.
  
  

• 38 слайд

  Решение задачи №6
  Результат каждого бросания – это пара чисел (a, b), где a и b – числа от 1 до 6. Поэтому все поле событий состоит из 6х6 = 36 элементов (п = 36 )
  
  
  Благоприятным исходом для рассматриваемого события является любая пара (a, b), для которой a + b = 6.
  
  Это можно сделать пятью следующими способами:
  6 = 1 + 5
  6 = 2 + 4
  6 = 3 + 3
  6= 4 + 2
  6 = 5 + 1
  ( т = 5 )
  
  
  
  Таким образом, вероятность заданного события равна
  Р = т/п =5/36 = 0,14
  
  

• 39 слайд

  Задача №7
  Люда дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.
  
  

• 40 слайд

  Решение задачи №7
  Первое бросание Второе бросание Сумма очков
  3 + 6 = 9
  4 + 5 = 9
  5 + 4 = 9
  6 + 3 = 9
  
  Равновозможных исходов – 4
  
  Благоприятствующих исходов – 2
  
  Вероятность события р = 2/4 = 0,5
  
  

• 41 слайд

  Задача №8
  Наташа и Вика играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Наташа выиграла.
  
  

• 42 слайд

  Решение задачи №8
  Наташа Вика Сумма очков
  2 + 6 = 8
  3 + 5 = 8
  4 + 4 = 8
  5 + 3 = 8
  6 + 2 = 8
  
  
  Равновозможных исходов – 5
  
  Благоприятствующих исходов – 2
  
  Вероятность события р = 2/5 = 0,4
  
  

• 43 слайд

  Задача №9
  Миша трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что все три раза выпадут чётные числа?
  
  

• 44 слайд

  Решение задачи №9
  У Миши равновозможных исходов –
  6 · 6 · 6 = 216
  Благоприятствующих проигрышу исходов –
  3 · 3·3 = 27
  Вероятность события
  р = 27/216 = 1/8 = 0,125
  Ответ:0,125.
  
  

• 45 слайд

  Задача №10
  В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых
  

• 46 слайд

  Решение задачи №10
  Первая Вторая Третья Сумма очков
  4 + 6 + 6 = 16
  6 + 4 + 6 = 16
  6 + 6 + 4 = 16
  5 + 5 + 6 = 16
  5 + 6 + 5 = 16
  6 + 5 + 5 = 16
  
  Равновозможных исходов
  6 · 6 · 6 = 216
  
  Благоприятствующих исходов – 6
  
  Вероятность события р = 6/216 = 1/36 = 0,277… = 0,28
  
  

• 47 слайд

  Задача №11
  В урне лежат одинаковые шары : 5 белых, 3 красных и 2 зелёных. Саша вынимает один шар. Найдите вероятность того, что он окажется зелёным.
  Решение
  Всего в урне лежит 5+3+2=10 шаров, из них 2 – зелёных. Вероятность того, что вынутый шар окажется зелёным, равна 2:10=0,2.
  Ответ: 0,2
  
  

• 48 слайд

  Задача №12
  В копилке находятся монеты достоинством 2 рубля – 14 штук, 5 рублей – 10 штук и 10 рублей – 6 штук. Какова вероятность того, что первая монета, выпавшая из копилки, будет достоинством 10 рублей?
  Решение
  Всего в копилке 14+10+6=30 монет, из них 6 штук – десятирублевых. Вероятность того, что первая монета, выпавшая из копилки, будет достоинством 10 рублей, равна 6:30=1:5=0,2.
  Ответ: 0,2
  
  
  

• 49 слайд

  Задача №13
  Подбрасывают две монеты. Какова вероятность того, что все монеты упадут орлом вверх?
  Решение
  Рассмотрим полную группу событий.
  ♦ первая монета упала орлом (о), вторая — решкой (р);
  ♦ обе монеты упали орлом;
  ♦ первая монета упала решкой, вторая — орлом;
  ♦ обе монеты упали решкой.
  Мы перечислили все возможные исходы опыта, их всего – 4.
  Нас интересуют те исходы опыта, когда обе монеты упали орлом. Такой случай всего один. Стало быть,
  N = 1.
  Итак, вероятность выпадения двух орлов: Р = 1/4.
  
  Ответ: 0,25
  
  
  
  

• 50 слайд

  Задача №14
  Подбрасывают две монеты. Какова вероятность того, что ровно одна монета упадёт орлом вверх?
  Решение
  Рассмотрим полную группу событий.
  ♦ первая монета упала орлом (о), вторая — решкой (р);
  ♦ обе монеты упали орлом;
  ♦ первая монета упала решкой, вторая — орлом;
  ♦ обе монеты упали решкой.
  Мы перечислили все возможные исходы опыта, их всего – 4.
  Нас интересуют те исходы опыта, когда одна их монет упала орлом. Вверх. Таких случаев два. Стало быть, N = 2.
  Итак, вероятность выпадения «орла»:
  Р = 2/4=1/2
  Ответ: 0,5
  
  

• 51 слайд

  Задача №15
  Паша наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 7.
  Решение
  Всего двузначных чисел – 90.
  Двузначных чисел, оканчивающихся на 7: 17,27,37,47,57,67,77,87,97 – 9 чисел.
  Вероятность того, что наугад выбранное двузначное число оканчивается на 7, равна: 9:90=0,1
  Ответ: 0,1
  
  
  

• 52 слайд

  Задача №16
  На экзамене 45 билетов, Антон не успел выучить 18 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет, если билет берётся наудачу.
  Решение
  Всего 45 билетов. Антон выучил 45-18=27 билетов. Вероятность того, что ему попадётся выученный билет, 27:45=0,6 равна.
  Ответ: 0,6
  
  
  

• 53 слайд

  Задача №17
  На столе лежат 7 синих, 3 красных и 5 зелёных ручек. Найдите вероятность того, что наугад взятая ручка окажется красной.
  Решение
  Всего на столе 7+3+5=15 ручек, из 3 – красных. Вероятность того, что наугад взятая ручка окажется красной, равна 3:15=0,2.
  Ответ: 0,2
  

• 54 слайд

  Задача №18
  В тестовом задании пять вариантов ответа, из которых только один верный. Какова вероятность правильно решить задание, если выбирать вариант наугад?
  Решение
  Если в тестовом задании только один из пяти ответов верный, то вероятность правильно решить задание , если выбирать вариант наугад, равна 1:5=0,2.
  Ответ: 0,2.
  
  
  

• 55 слайд

  Задача № 19
  В мешке находятся 2 чёрных и 3 белых шара. Наугад вытаскивают два шара. Какова вероятность того, что вытащенные шары будут одного цвета?
  Решение
  Всего в мешке 5 шаров. Вероятность того, что вытащенные два шара будут одного цвета, равна 2:5=0,4.
  Ответ: 0,4.
  
  

• 56 слайд

  Задача №20
  Из города А в город В можно добраться поездом, самолётом и на автомобиле. Из города В в город С можно добраться только поездом и самолётом. Пассажир выбирает для себя транспорт случайным образом. Какова вероятность того, что этот пассажир, добравшийся из города А в город В, воспользовался в обоих случаях самолётом?
  
  

• 57 слайд

  Решение задачи №20
  По правилу произведения получаем, что добраться из города А в город С через город В можно 3∙2=6 способами. Вероятность того, что пассажир, добравшийся из города А в город В, воспользовался в обоих случаях самолётом, равна 1:6.
  Ответ: 1/6.
  
  А
  В
  С
  

• 58 слайд

  Удачи на экзаменах!