Решение задач по теме "Основы теории вероятности"

Решение задач по теме  «Основы теории вероятностей»

1.      Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,9. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,82. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

Опыт состоит в длительной работе электрического чайника.

Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года».

События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю.

Тогда: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем

0,9 = P(A) + 0,82.

Тем самым, для искомой вероятности имеем:

P(A) = 0,9 − 0,82 = 0,08.

Ответ: 0,08.

2.      Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 55% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 35% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 45% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение

Опыт состоит в том, что у агрофирмы покупают яйцо, которое может быть произведено одним из двух домашних хозяйств. По требованию задачи необходимо оценить вероятность события «яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства».

По условию задачи известно, что вероятность случайного события А=“купленное у агрофирмы яйцо является яйцом высшей категории” равна Р(А)=

Событие А может произойти вместе только с одним из событий H1 или H2, где случайное событие Hi = «яйцо произведено i-ым домашним хозяйством» (i = 1, 2).

По условию задачи известно, что 55% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 35% яиц высшей категории, поэтому Р(А/H1) = 0,55 и Р(А/H2) = 0,35

Пусть Р(H1 ) = х. Так как события H1 и H2, образуют полную группу попарно несовместных событий, то Р(H1 )·+ Р(H2 )·=1, поэтому Р(H2 )·= 1-х

Используем формулу полной вероятности:

Р(А)= Р(H1 )·Р(А/H1) + Р(H2 )·Р(А/H2)

Имеем: 0,45 = х ·0,55 + (1-х) · 0,35

Решив линейное уравнение, получим x=0,5

Ответ: 0,5

3.      Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение

Опыт состоит в покупке качественной сумки.

Вероятность найдем по формуле: . Общее количество сумок складывается из качественных (100 штук) и некачественных (8 штук), т.е.  m = 100 + 8 = 108 .

Среди этих 108 сумок, качественных было 100 штук, n = 100

Ответ: 0,93

4.      Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А = {сумма очков равна 9}?

Решение.

Опыт состоит в том, что бросают игральный кубик. Предполагая равновозможность всех элементарных исходов опыта, найдем те из их, которые благоприятствуют событию А: это пары чисел (3; 6), (6; 3), (4; 5), (5; 4).

Ответ: 4.

5.      Из множества натуральных чисел от 13 до 24 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 2?

Решение.

1) Опыт состоит в том, что из двенадцати (от 13 до 24) натуральных чисел выбирают одно число, которое кратно двум. Указание на то, что выбор числа происходит наудачу, говорит о равновозможности всех элементарных исходов опыта. Следовательно, для оценки вероятности события А= “выбранное число делится на 2” применим классический способ: Р(А)=

           2)Количество всех равновозможных элементарных исходов опыта n = 12.

3) Вычислим количество всех элементарных исходов опыта, в которых наступает событие А. Для этого ответим на вопрос: сколько натуральных чисел из промежутка от 13 до 24 делится на 2? Согласно признаку делимости на 2 («на 2 делятся все четные натуральные числа»), получаем m=6

4) Таким образом, вероятность события А равна Р(А)= =

Ответ:

6.      Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение

        Опыт состоит в том, что, сколько пассажиров окажется в автобусе.

Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

О т в е т : 0,38.

7.      Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение

Опыт состоит в выборе изготовленной батарейки, которая будет забракована системой контроля. Указание на случайный выбор батарейки говорит о равновозможности всех исходов.

Для отбраковки неисправной батарейки должны произойти два независимых события: «линия произвела неисправную батарейку» и «неисправная батарейка забракована». Вероятность события А «произведена и забракована неисправная батарейка» равна Р(А)= 0,030,96=0,0288

Исправную батарейку линия производит с вероятностью 1-0,03=0,97. Для отбраковки исправной батарейки должны произойти два независимых события: «линия произвела неисправную батарейку» и «исправная батарейка забракована». Вероятность события В «произведена и забракована исправная батарейка» равна Р(В)= 0,970,03=0,0291.

События А и В несовместны. Искомая вероятность равна Р(АВ)= Р(А)+Р(В)=0,0288+0,0291=0,0579.

Ответ: 0,0579.

8.      В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2450 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе.

Решение.

Опыт состоит в рождении младенца, который может быть как мальчиком, так и девочкой. Случайное событие А = “рождение мальчика”.

Количество опытов, в которых событие А имело место, равно

N(A)=5000-2450=2550.

Найдем частоту появления события А как

Ответ:

9.      Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение

Опыт состоит в длительной работе ламп освещения.

Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий:

0,30,3=0,09

Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна:

1-0,09=0,91.

Ответ: 0,91.

10.  В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение

Опыт состоит в том, что из 6 монет Петя переложил какие-то 3 монеты в другой карман и пятирублевые монеты оказались в разных карманах.

Чтобы пя­ти­руб­ле­вые мо­не­ты ока­за­лись в раз­ных кар­ма­нах, Петя дол­жен взять из кар­ма­на одну пя­ти­руб­ле­вую и две де­ся­ти­руб­ле­вые мо­не­ты. Это можно сде­лать тремя спо­со­ба­ми: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Эти со­бы­тия не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

Ответ: