Решение задач по теме "Пирамида"

Разработка учебного занятия

                                                                                                                                                 Фамилия, имя, отчество автора: Ярмакова Елена Николаевна

                                                                                                                                                                                                                 Место работы: МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

                                                                                                                                                                                                                                          «Средняя  школа № 148»,

                                                                                                                                                                                                                  Должность: учитель математики

                                                                                                                                                                                                                  Класс: 10

                                                                                                                                                                                                                  Предмет: геометрия

                                                                                                                                                    Тема урока: Решение задач по теме «Пирамида»

Место урока в теме и в программе по предмету: урок отработки и закрепления навыков нахождения элементов пирамиды, с использованием свойств равнобедренного и прямоугольного треугольников, знаний расположения центра описанной окружности около тупоугольного и прямоугольного треугольников, знаний наклонной и проекции; умением выполнять чертежи, аргументировать решение

 Цель урока:

1.Образовательная – формировать обобщенные навыки приемов решения задач; формировать навыки построения высоты пирамиды; рассмотреть случаи расположения проекций вершин неправильной пирамиды.

2.Развивающая –развивать пространственное воображение, развивать общие приемы мыслительной деятельности; развивать познавательный интерес через творческую активность, исследовательскую деятельность на основе умения делать обобщения по данным, полученным в результате исследования.  развитие логического мышления.

3.Воспитательная – воспитывать аккуратность при выполнении чертежей, воспитывать конструктивные умения, аргументированности, поиска решения в проблемной ситуации.

Цель (прописанная через результат): к концу урока каждый ученик будет знать: алгоритм решения задач на нахождение элементов пирамиды, формулы, применяемые при решении;

уметь применять алгоритм при решении задач, выполнять правильно построения пирамид, указывать на чертеже ее элементы, доказывать равенство треугольников, то есть аргументировать свои решения

Задачи: систематизировать знания по теме «Пирамида», закрепить навыки построения пирамид, изучить случаи различного расположения проекции вершины в неправильной пирамиде.

Тип урока: комбинированный – содержательно-поисковый

Методы: 1.по познавательной деятельности –

проблемной подачи материала, эвристический (частично-поисковый);

               2.методы, характеризующие мыслительные операции при подаче    и усвоению учебного материала -индуктивный, дедуктивный, синтеза и анализа, сравнения, обобщения, систематизации, системного анализа, сравнительный

3.методы контроля – фронтальные, групповые, индивидуальные

Формы работы: групповая, индивидуальная.

Структура урока:

1.Организационный момент.

2.Актуализация знаний.

3.Решение задач.

4. Разбор  задач.

5. Домашнее задание

6. Итог урока.

Ход урока:

1.Организационный момент.

Объявляется тема урока, дается установка, распределяется время, работаем в группах по 4 человека (6 групп)

2.Актуализация знаний

Повторение: ( работа в группах: каждая группа : их по две, получают  одну из трех пирамид, отвечают на вопросы и сами составляют недостающие вопросы, другие группы на них тут же отвечают).У каждого члена группы записи исследований в тетради.

Вопросы: 1.Что объединяет эти тела? (в основании n-угольник, боковые грани – треугольники).

                   2.Как называются эти тела? (пирамиды)

                   3.Какие это пирамиды? (правильные).

                   4. Как определили, что пирамиды правильные? (в основании- правильный многоугольник)

                   5. Достаточно ли утверждения, что в основании правильной пирамиды - правильный многоугольник  (нет, еще нужно указать, что основание высоты пирамиды – это центр треугольника)

Задание: Составить недостающие вопросы по построению и определению элементов правильной пирамиды – работа в группах

  Вопросы могут быть: 1.Как правильно построить правильную пирамиду ( треугольную, четырехугольную, шестиугольную)

                                      2. Как найти угол между ребром и плоскостью основания, как его построить и как его найти, если известны те или иные элементы пирамиды?

                                      3. Как найти угол между  плоскостью боковой грани и плоскостью основания, как его построить и как его найти, если известны те или иные элементы пирамиды?

                                      4. Как найти площадь боковой и площадь полной поверхности?

                                      5. Как точка О – основание высоты пирамиды, делит  высоту основания?

                                      6. Что такое центр треугольника?

                                      7. Какой отрезок является радиусом описанной окружности, а какой – радиусом вписанной?

                                      8. Формулы площадей, формулы R и r, соотношения в прямоугольном треугольнике, теорема Пифагора и т.д

Далее идут презентации  каждой группы (вторая группа дополняет, так как одна тема у двух групп), так же могут дополнять и учащиеся из других групп

Учитель: Сегодня мы будем решать задачи на нахождение элементов, площадей треугольных пирамид

Вопрос учителя: 1.А какие треугольники могут еще лежать в основании пирамиды?  (тупоугольные и прямоугольные)

                               2.Прочитать внимательно задачу, составить алгоритм решения

                               3. Решить задачу

                               4. Представить решение, если есть другой способ, то рассмотреть

Учебная задача №1 урока.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45°. Найти площадь основания пирамиды.

1 Учебная задача: Найти площадь основания пирамиды

2 Учебная ситуация: дети с помощью учителя обнаруживают предмет своего действия, исследуют его, совершая разнообразные учебные действия:  

• Составляют Алгоритм: 1. Определяем, какой треугольник лежит в основании.

                                        2. Выясняем, куда попадает основание высоты, если все боковые ребра образуют с ее высотой одинаковые углы

                                        3. Доказываем равенство прямоугольных треугольников, содержащих высоту пирамиды

                                        4.Определяемся по какой формуле ищем площадь основания (перебрать все случаи нахождения площади основания и выбрать оптимальный- оптимальный: нахождение площади основания через синус)

                                                   5. Выполняем недостающие вычисления, применяя свойства углов

                                        6. Решаем задачу

                                        7. Выписываем ответ

Решение задачи по алгоритму:  1. В основании пирамиды лежит тупоугольный треугольник

2. Основание  высоты лежит вне треугольника и,  если все боковые ребра образуют  с ее высотой одинаковые углы, то расстояния от основания высоты до вершин основания равны (это – R), а точка О -центр описанной окружности.

3. Так, как  треугольники МОА, МОВ, МОС равны по катету МО  и острому углу 45°, то ОА=ОВ= ОС=16см

4.  Так, как  треугольники АОВ , ВОС -равнобедренные и ОВ – биссектриса угла АВС, то эти треугольники правильные(так как все углы 60°), значит АВ=ВС=16 см

5. Находим  площадь основания по формуле S=0,5*16*16*Sin120°, используя формулы приведения: S=64

Задача для самостоятельной работы

 Учебная задача  №2 для урока. Основанием пирамиды ДАВС является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые ребра равны друг другу, а ее высота равна 12 см. Найти боковое ребро пирамиды, если ВС=10 см

    1. Учебная задача: Найти боковое ребро пирамиды

    2. Учебная ситуация: дети самостоятельно обнаруживают предмет своего действия, исследуют его, совершая разнообразные учебные действия:  

    3.Ученики решают задачу индивидуально (работа оценивается):1. Выясняют, что основание высоты лежит в середине гипотенузы ( так как все ребра пирамиды равны, то точка О равноудалена от вершин треугольника АВС  и является центром описанной окружности, а центр описанной окружности около прямоугольного треугольника – это середина гипотенузы)

                                                                                                                  2. Так как прямоугольные треугольники АОД, ВОД и СОД равны по гипотенузе и катету, то находят боковое ребро пирамиды  по теореме Пифагора из любого треугольника                                                                              3. Все решения сопровождают доказательством и чертежами

                                                                                                                  4. Ответ: 13 см

Домашнее задание: решить №248, 252

Итог урока:

Рефлексия.

Подведем итоги нашей совместной работы.

Что нового узнали на  уроке?

Какие знания пригодились?

Что было сложного?

Что понравилось на уроке?

Краткое описание документа:

В разработке учебного задания указаны:Место урока в теме, цель урока, задачи, тип урока, методы по виду деятельности, формы работы и ход урока