Решение задач. Прямоугольный параллелепипед. 11 класс

                   Решение задач на тему «Прямоугольный параллелепипед»

Задача 1.Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 3 и 4. Пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 94. Най­ди­те тре­тье ребро, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны. 

По­яс­не­ние.

Обо­зна­чим из­вест­ные ребра за  и , а не­из­вест­ное за . Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как . Вы­ра­зим : , от­ку­да не­из­вест­ное ребро

.

Ответ: 5.

Задача 2. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 16. Най­ди­те его диа­го­наль. 

По­яс­не­ние.

Пусть длина тре­тье­го ребра, ис­хо­дя­ще­го из той же вер­ши­ны, равна , тогда пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да даётся фор­му­лой . По усло­вию пло­щадь по­верх­но­сти равна 16, тогда  от­ку­да 

Длина диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна квад­рат­но­му корню из суммы квад­ра­тов его из­ме­ре­ний, по­это­му .

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние о том, как не надо ре­шать эту за­да­чу.

Обо­зна­чим из­вест­ные ребра за  и , а не­из­вест­ное за . Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как . Вы­ра­зим :

,

от­ку­да не­из­вест­ное ребро

,

Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­хо­дит­ся как

.

Ответ: 3.

Задача3.Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около еди­нич­ной сферы. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти. 

По­яс­не­ние.

Вы­со­та и сто­ро­на та­ко­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны диа­мет­ру сферы, то есть это куб со сто­ро­ной 2. Пло­щадь по­верх­но­сти куба со сто­ро­ной :

Ответ: 24.

Задача 4. Пло­щадь грани пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 12. Ребро, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани, равно 4. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да. 

По­яс­не­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где  – пло­щадь грани, а  — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Имеем

.

Ответ: 48.

Задача 5.Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 24. Одно из его ребер равно 3. Най­ди­те пло­щадь грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ной этому ребру. 

По­яс­не­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где  – пло­щадь грани, а  – вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Тогда пло­щадь грани

.

Ответ: 8.

Задача 6.Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 60. Пло­щадь одной его грани равна 12. Най­ди­те ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани. 

По­яс­не­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где  — пло­щадь грани, а  — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Тогда

Ответ: 5.

Задача 7. Три ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 4, 6, 9. Най­ди­те ребро рав­но­ве­ли­ко­го ему куба. 

По­яс­не­ние.

Объем куба  равен объ­е­му па­рал­ле­ле­пи­пе­да

Зна­чит, ребро куба

Ответ: 6.

 Задача 8.

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да. 

По­яс­не­ние.

Длина диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна

.

Длина тре­тье­го ребра тогда . По­лу­чим, что объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да

.

Ответ: 32.

Задача 9. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 36. Най­ди­те его диа­го­наль. 

По­яс­не­ние.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен

.

От­сю­да най­дем тре­тье ребро:

.

Длина диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна

.

Ответ: 7.

Задача 10. Диа­го­наль пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна  и об­ра­зу­ет углы 30, 30 и 45 с плос­ко­стя­ми гра­ней па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да. 

По­яс­не­ние.

Ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­про­тив угла в  равно , по­сколь­ку об­ра­зу­ет с за­дан­ной диа­го­на­лью и диа­го­на­лью одной из гра­ней рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник. Два дру­гие ребра по по­стро­е­нию лежат в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках на­про­тив угла в  и равны, по­это­му по­ло­ви­не диа­го­на­ли. Тогда объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 4.

Задача 11.

Ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2, 3. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти. 

По­яс­не­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна удво­ен­ной сумме по­пар­ных про­из­ве­де­ний его из­ме­ре­ний

 

.

Ответ: 22.

Задача 12.Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да. 

По­яс­не­ние.

Обо­зна­чим из­вест­ные ребра за  и , а не­из­вест­ное за . Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как

.

Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­хо­дит­ся как

.

Вы­ра­зим :

.

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти

Ответ: 64.

Задача 13.Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 6. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти.

По­яс­не­ние.

Най­дем тре­тье ребро из вы­ра­же­ния для объ­е­ма:

.

Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да

.

Ответ: 22.

Задача 14.Най­ди­те угол  пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го , , . Дайте ответ в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

В пря­мо­уголь­ни­ке  от­ре­зок  яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью,  По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  рав­но­бед­рен­ный: , зна­чит, его ост­рые углы равны 

Ответ: 45.

Задача 15. Най­ди­те угол  пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го =4, =3, =5. Дайте ответ в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  Так как == то тре­уголь­ник  яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, зна­чит, углы при его ос­но­ва­нии равны по .

Ответ: 45.

Задача 15. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  из­вест­но, что , , . Най­ди­те длину ребра .

По­яс­не­ние.

Най­дем диа­го­наль  пря­мо­уголь­ни­ка  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

.

Ответ: 1.

Задача16. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  ребро , ребро , ребро . Точка  — се­ре­ди­на ребра  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки  и .

По­яс­не­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням  и , по­это­му углы и  — пря­мые. Сле­до­ва­тель­но, се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем 

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка  равна:

Ответ:5.

Задача 17. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  из­вест­ны длины рёбер: , , . Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ны ,  и .

По­яс­не­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му се­че­ние   −  па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро  пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням  и . По­это­му углы  и  − пря­мые.По­это­му се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  най­дем 

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка  равна:

Ответ:572.

Задача 18. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны 8 и 2, а объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 144. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

По­яс­не­ние.

Най­дем тре­тье ребро пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да: . Най­дем пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 212

Задача 19. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны 6 и 4, а объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 240. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

По­яс­не­ние.

Най­дем тре­тье ребро пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да: . Най­дем пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да: 

Ответ: 248

Задача 20.

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны 8 и 5, а объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 280. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

По­яс­не­ние.

Най­дем тре­тье ребро пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да: . Най­дем пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 262

Задача 21. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра AB, BC и диа­го­наль бо­ко­вой сто­ро­ныBC₁ равны со­от­вет­ствен­но 7, 3 и   Най­ди­те объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁.

По­яс­не­ние.

C по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра найдём CC₁:

Найдём пло­щадь ос­но­ва­ния пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Найдём объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 126.

Задача 22.

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны 7 и 4, а объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 140. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

По­яс­не­ние.

Объём пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен про­из­ве­де­нию длин его рёбер:  от­ку­да тре­тье ребро  Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да — сумма пло­ща­дей всех его гра­ней:

Ответ: 166.