Инфоурок / Математика / Научные работы / Решение задач с помощью конических сечений
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ) в соответствии с ФГОС" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 224 курсов со скидкой 40%

Решение задач с помощью конических сечений

библиотека
материалов

26


Содержание


1. Введение 2

2.1. Что такое конические сечения? 4

2.2. Удвоение куба (Делосская задача) 6

2.3. Трисекция угла с помощью конических сечений 9

2.4. Графическое решение уравнений третьей и четвертой степени с помощью конических сечений 13

2.5. Графическое решение уравнений третьей и четвертой степени с помощью произвольно начерченного конического сечения 20

2.6. Результаты работ Кортума и Смита относительно геометрических задач на построение третьей и четвертой степени 23

3. Выводы 24

4. Список литературы 25




Геометрия – это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.

Нильс Г. Абель


1. Введение


С глубокой древности известны три задачи на построение: задача об удвоении куба, трисекция угла и квадратура круга. Они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что эти задачи невозможно решить пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи – «доказать неразрешимость» была смелым шагом вперед. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближенных решениях любители математики. Особенно популярны у них были три знаменитые задачи древности и решение уравнений третьей и четвертой степени. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение лишь их простые формулировки. Проблема решить три «знаменитые» задачи стаяла во все времена, она актуальна и сегодня. Не всегда мы можем найти корни уравнения третьей и четвертой степени, т.к. отсутствуют алгоритмы решения данных уравнений (исключение - симметрические уравнения с целыми корнями), поэтому часто при решении задач практического содержания перед нами встает проблема - найти приближенное значение корней уравнений третьей или четвертой степени или их количество.

В своей работе я постарался решить данные задачи и уравнения третьей и четвертой степени с помощью конических сечений, хотя в современной математике практическое применение конических сечений используется редко.

В своей работе я ставлю две цели:

1) Познавательная цель:

- Изучить конические сечения;

- Изучить труды ученых, которые занимались решением трех «знаменитых задач».

2) Исследовательская цель:

- Сравнить решения двух знаменитых задач, решаемых различными математическими методами;

- Решить данные задачи с помощью конических сечений;

- Решить уравнения третьей и четвертой степени с помощью конических сечений.

Для достижения поставленных целей я изучил труды математиков, которые занимались решением данных задач. Особенно тщательно я изучил работу Августа Адлера «Теория геометрических построений» 1940г. издания, разобрался в методах построения конических сечений на плоскости. При выполнении работы я столкнулся с проблемой - построение отрезка, длина которого равна hello_html_2ceff76a.gif. В изученной мною литературе не нашел алгоритм построения этого отрезка, поэтому отрезок данной длины построил самостоятельно.




2.1. Что такое конические сечения?


Конические сечения - плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы.

Ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм (4 в. до н.э.), решая задачу об удвоении куба задумался: « А что получится, если разрезать конус плоскостью, перпендикулярной его образующей?» Так, изменяя угол при вершине прямого кругового конуса, Менехм получил три вида кривых: эллипс - если угол при вершине конуса острый; параболу - если угол прямой, одну ветвь гиперболы - если угол тупой (рис.1).

hello_html_4cffa034.jpg

рис.1

а) Эллипс - плоская кривая второго порядка, геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы это постоянная была больше расстояния между фокусами.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси.

б) Парабола - кривая плоская линия, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых расстояние до данной прямой (директрисы параболы) равно расстоянию до данной точки (фокуса параболы), не лежащей на директрисе.

Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до директрисы – буквой р. Величину р называют параметром параболы.

в) Гипербола - плоская кривая (2-го порядка), состоящая из двух бесконечных ветвей.

Кроме того, гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний каждой из которых до данных точек F 1 и F2 равно 2а, причем 2а< F1 F2, т.е. справедливо равенство (F1 MF2 M)=2a.

Эксцентриситетом гиперболы называют отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между её вершинами.


2.2. Удвоение куба (Делосская задача)


Знаменитая «делосская задача» удвоения куба получила свое название от острова Делос в Эгейском море, где по легенде, чтобы избавить жителей от эпидемии, оракул повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. Но в действительности она, наверное, возникла в умах математиков как обобщение об удвоении квадрата. Для того, чтобы построить квадрат вдвое большей площади, чем данный, достаточно провести у данного квадрата диагональ и принять её за сторону нового квадрата. Задача об удвоении куба оказалась существенно более трудной.

В этой задаче требуется построить циркулем и линейкой куб вдвое большого объема, чем заданный. Эта задача имеет множество различных решений: с помощью конхоиды Никомеда, с помощью циссоиды Диоклеса, решение с помощью двух прямых углов (Платон, около 400г. до н.э.), приближенный метод Буонафальче.

Так, если s есть сторона данного куба, S- искомая сторона куба двойного объема, то S3=2s3,

Так что S=shello_html_2ceff76a.gif

Знаменитая задача об удвоении куба приводит, таким образом, к построению выражения hello_html_2ceff76a.gif.

Эта задача есть частный случай следующей задачи, которая много раз рассматривалась древними.

Даны два отрезка a и b. Требуется два средних пропорциональных, т.е. два отрезка x,y, которые удовлетворяли бы уравнениям hello_html_f00a834.gif=hello_html_443749fa.gif=hello_html_m76d0efdf.gif.

Из этих равенств вытекает, что x=hello_html_5150de90.gif , y=hello_html_m69bb0fb4.gif

и если, в частности,

a=1, b=2,

то x=hello_html_2ceff76a.gif, y=hello_html_4a2aeb8b.gif.

Удвоение куба требует построения выражения видаhello_html_m2488e73e.gif или графического определения корней уравнения:

x3-2=0.

Это уравнение третьей степени не имеет рациональных корней и поэтому не разрешимо в квадратных радикалах.

Выражение hello_html_2ceff76a.gif таким образом, не может быть построено циркулем или линейкой.

Для решения этой задачи необходимы конические сечения или еще высшие кривые, которые могут быть начерчены по точкам или с помощью инструментов.


Графическое решение с помощью конических сечений


а) Если рассмотреть параболы (Менехм 300 г. до н.э.)

x2=ay,

y2=bx,

то координатами точки их пересечения (не совпадающей с началом) будут числа:

ξ=hello_html_53993d23.gif, η= hello_html_5fd62230.gif

б) Если построить два конических сечения (Менехм 300 г. до н.э.)

x2=ay

xy=ab,

то точка пересечения, не совпадающая с началом, имеет координаты

ξ=hello_html_m560f5181.gif, η= hello_html_m5a64c39a.gif

в) Если рассмотреть окружность (Декарт)

x2+y2-bx-ay=0

и параболу

y2=bx,

то точка пересечения, отличная от начала, имеет координаты

ξ=hello_html_m560f5181.gif, η= hello_html_m5a64c39a.gif

Во всех трех случаях нахождение обоих средних пропорциональных сводится, таким образом, к определению точек пересечения двух конических сечений.

Если, в частности, a=m, b=1, то

ξ=hello_html_37b03d87.gif, η= hello_html_f75d4cc.gif.

Для определения hello_html_f75d4cc.gif можно, следовательно, применить один из трех способов а), б), в).

Для b=1 третий метод является практически наиболее удобным. В этом случае уравнение параболы имеет вид:

y2=x;

она, таким образом, не зависит от m и может быть поэтому начерчена раз и навсегда.

Координатами центра окружности тогда будут числа:

hello_html_5706bdb0.gifhello_html_2b2ed72.gif, hello_html_77a60335.gif=hello_html_m31d2a3ca.gif.

Так как окружность проходит через начало, то нет необходимости вычислять её радиус.

Сообразно с этим, следующий способ оказывается практичным, если нужно графически определить большее число корней третьей степени( рис.2).

На бумаге, разграфленной на квадратные миллиметры (можно иметь бумагу, которая разграфлена весьма точно), чертят параболу P(y2=x), отыскивают точку М с абсциссой hello_html_2b2ed72.gif и ординатой hello_html_m31d2a3ca.gif, помещают в нее одну ножку размерного циркуля и раздвигают его да начала координат. Затем определяют точку пересечения с параболой окружности, проходящей через начало.

Это может быть произведено размерным циркулем весьма точно без проведения самой окружности. Непосредственно получаемая ордината точки пересечения и будет корнем третьей степени из m.

hello_html_m63ac3b27.gif

2.3. Трисекция угла с помощью конических сечений


В классической постановке задачи о трисекции угла такое построение требовалось произвести лишь с помощью циркуля и линейки. В 1837 г. Француский математик П. Ванцель доказал, что в общем виде задача не имеет решения, а возможно такое деление лишь в нескольких исключительных случаях, в частности для угла hello_html_md526f1d.gifи всех углов вида hello_html_47ec40.gif.

Трисекцию угла можно произвести, вычертив коническое сечение и найдя точку его пересечения с окружностью. Я укажу два метода такого рода.

1. Метод Шаля ( Chasles).

Пусть требуется разделить угол AOB на три равные части.

α) Описывают вокруг О (рис.3) произвольным радиусом окружность К и в А проводят к ней касательную t.Затем при О строят на ОВ произвольный угол ω и при А на t- тот же угол ω, но в противоположном направлении.

Получаемая таким путем точка пересечения Р при изменении ω описывает некоторую кривую h- гиперболу Шаля.

Если X есть одна из точек пересечения гиперболы h с окружностью K, то

hello_html_19f1f52c.gifhello_html_1d144203.gifBOA.

Именно, если Р1 и Р2 суть точки окружности К, отвечающие точке Р, то всегда

hello_html_1d144203.gifАОР2=2hello_html_1d144203.gifВОР1.

Если теперь точки Р1 и Р2 совпадают в одной точке X, то

hello_html_m2f59a7d.gif .

β) Изучим ближе кривую h.

Она получается из двух пучков О и А. Каждый луч, исходящий из А, определяет некоторый угол ω, и ему соответствует поэтому совершено определенный луч пучка О, и наоборот.

В частности, лучу s пучка О (ω=0) отвечает луч t пучка А; лучу g пучка А (ω= hello_html_3609fa39.gif)

отвечает тот луч l пучка О, который перпендикулярен к s. Если же отнести g к пучку О, то ему отвечает луч m пучка А, причем луч m должен быть параллелен лучу l.


hello_html_m72ec5fab.gif






Биссектрисы угла Q обозначим через h1 и h2; положим, что h1 составляет с s (и с t) угол hello_html_7a00ba7d.gif.

Если построить такой луч пучка О, который с s образует угол hello_html_7a00ba7d.gif, то соответствующий луч пучка А будет параллелен первому лучу, так что точка их пересечения бесконечно удалена; это же имеет место, если рассматриваемый луч пучка О параллелен биссектрисе h2.

Оба пучка лучей с центрами в точках А и О конгруэнтны, следовательно, проективны, но имеют противоположное направление углов. Оба пучка поэтому определяют равностороннюю гиперболу, которая проходит через OAQ, в О имеет касательную l и в А касательную m.

Так как касательная l параллельна m, то середина М отрезка ОА есть центр гиперболы.

Асимптоты гиперболы параллельны прямым h1 и h2.

hello_html_m1e1088ca.gif Для практического выполнения построения следует прежде всего построить точку М и обе асимптоты. Для определения точек X,Y,Z выгодно воспользоваться следующим свойством гиперболы: для точек пересечения прямой f с гиперболой и асимптотами имеет место соотношение

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_md3f495f.gif=OS.

Далее, нет необходимости строить всю гиперболу; достаточно начертить лишь часть её в близи предлагаемых точек пересечения с окружностью К. Это быстро и точно достигается с помощью линейки, разделенной на части (масштаба).

Не считая точки А, гипербола пересекает окружность ещё в точках X,Y,Z; они образуют вершины равностороннего треугольника, в чем легко убедится. Поэтому и

3hello_html_1d144203.gifBOY=3hello_html_1d144203.gifBOX+hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m55d45eee.gif=hello_html_1d144203.gifBOA+hello_html_m55d45eee.gif.

δ)Углу АОВ отвечают, впрочем, две гиперболы Шаля. Одну из них мы нашли, проводя касательную к окружности в точке А. Если же провести касательную к окружности в точке В и поступать затем по предыдущему, то два пучка лучей О и В определяют вторую равностороннюю гиперболу.

б) Я упомяну еще об одном методе трисекции угла с помощью конического сечения и окружности, не входя, однако, в его детальное рассмотрение. Нам для этого нужна известная легко доказуемая теорема.

Пусть l будет данной прямой и А - данной точкой, не лежащей на l.

Геометрическое место всех точек, для которых расстояние от А вдвое больше расстояния от l, есть гипербола, имеющая точку А своим фокусом, прямую l-директрисой. Второй фокус, центр и асимптоты легко могут быть найдены.

Пусть АОВ будет угол, который требуется разделить.

Представим себе, что те две прямые, которые проходят через О и делят угол на три равные части, уже найдены.

Опишем вокруг О окружность и возьмем точки A,C,D,B ее пересечения с этими исходящими из О четырьмя прямыми. Пусть теперь l будет биссектрисой угла АОВ.

Из получающейся фигуры видно, что искомая точка С отстоит от А вдвое дольше, чем от l. Вследствие этого точка С лежит на гиперболе и есть точка пересечения этой гиперболы с окружностью.


2.4. Графическое решение уравнений третьей и четвертой степени с помощью конических сечений


Важнейшие методы для графического решения уравнений третьей и четвертой степени:

1) искать конические сечения, разрешающие данные уравнения;

2) взяв два конических сечения, искать разрешаемые с их помощью уравнения.

Разъясню это на двух примерах.

П е р в ы й п р и м е р. Пусть будет дано уравнение

x3+ax2+bx+c=0 (1)

Оно и разрешается с помощью конических сечений

y=x2 (2)

и

xy+ay+bx+c=0 (3),

ибо исключение y из уравнений (2),(3) приводит к уравнению (1).

Уравнение (2) представляет в прямоугольных координатах параболу, имеющую параметром 1 и не зависящую от коэффициентов разрешаемого уравнения. Она может быть начерчена раз и навсегда.

Уравнение (3) представляет равностороннюю гиперболу, асимптоты которой параллельны осям координат; центр гиперболы имеет координаты –a,-b .

Для решения уравнений третьей степени можно на основании сказанного поступить следующим образом.

Чертят параболу с параметром 1 (рис. 4), всего удобнее - на бумаге с миллиметровой сеткой, затем асимптоты гиперболы и сверх того ещё одну точку гиперболы, например, точку её пересечения с осью x-ов или с осью y-ов. После того можно уже весьма точно найти точку пересечения гиперболы с параболой, не чертя всей гиперболы.

hello_html_4fa09599.gif







Собственный пример.


x3-3x2-13x+15=0

1) Строим параболу y=x2;

2) Гипербола принимает вид

xy-3y-13x+15=0;

3) Строим асимптоты a=3,b=13;

4) Строим полученную гиперболу(рис 5).

hello_html_m6c7b60e3.gif


Ответ: -3,1,5.








В т о р о й п р и м е р. Теперь возьму два конических сечения - окружность К:

(x-m)2+(y-n)2=r2 (4)

и параболу P:

y2+x=0 (5).

Исключая x из обоих уравнений, получим:

y4+(1+2m)y2-2ny+(m2+n2-r2)=0 (6).

Таким образом, с помощью этих двух конических сечений можно решать уравнения вида

z4+az2+bz+c=0 (7).

Для этой цели нужно лишь положить:

1+2m=a,

-2n=b,

m2+n2-r2=c.

Парабола (5) не зависит от коэффициентов уравнения, подлежащего решению, и может быть начерчена на бумаге с миллиметровой сеткой раз и навсегда (рис. 6). Координатами центра окружности К служат числа:

m=hello_html_m11f74962.gif, n=hello_html_m769e6bc8.gif,

радиус же удовлетворяет соотношению

r2=m2+n2-c.

Таким образом, центр и радиус могут быть легко найдены, именно, с помощью миллиметровых делений, нанесенных на бумаге.

Полезно также не описывать самой окружности К, но пользоваться для определения точек пересечения P и К размерным циркулем.

Непосредственно отсчитываемые величины ординат точек пересечения будут корнями уравнения (7).

Следует указать, что этот метод не только практически применим, но имеет также и теоретический интерес.

Определение корней биквадратного уравнения (7) (в форме (7) может быть представлено с помощью рациональных операций каждое полное биквадратное уравнение) требует, кроме пользования постоянной параболой, только употребление циркуля и линейки.

Итак, для решения биквадратных уравнений мы нуждаемся, кроме окружностей и прямых, только в постоянном коническом сечении

Уравнение (7) может принимать и частные виды.

Если, например,

с=0,

то уравнение (7) переходит в уравнение:

z3+az+b.

Решение этого уравнения также может быть произведено по вышеупомянутому методу. При этом можно обойтись и без вычисления r, ибо окружность К должна проходить через начало координат.

Если, далее,

а=0,

то уравнение (7) получает вид:

z3+b=0.

Корни этого уравнения также могут быть найдены с помощью параболы и размерного циркуля. Аналогично можно разрешать квадратные уравнения, определять квадратные корни и т.д.

hello_html_7fd560b1.gif











Собственный пример.


x4-18x2+32x-15=0 (1)

m=hello_html_m2bc8c885.gif= - 9,5; n=-hello_html_2904d925.gif= - 16 - координаты центра окружности;

r=hello_html_4f216da2.gif

Строим конические сечения (рис. 7): окружность с центром (-9,5;-16) и радиусом hello_html_m55016f0d.gif и параболу y2+x=0.

Ординаты точек пересечения и есть корни данного уравнения.

hello_html_m72b9a0a1.gif


Ответ: -5 ; 1 ; 3.


2.5. Графическое решение уравнений третьей и четвертой степени с помощью произвольно начерченного конического сечения

Теперь я покажу, как с помощью произвольного данного конического сечения можно находить корни каждого уравнения третьей и четвертой степени, следуя при этом методам, указанным Шалем.

С этой целью я должен предварительно сделать некоторые замечания, связанные с новой геометрией и графическим исчислением.

а) Пусть К будет начерченное коническое сечение.

Возьмем в плоскости кривой К прямую линию g и на ней так разместим обыкновенный ряд чисел, чтобы каждой точке прямой g отвечало положительное или отрицательное число, измеряющее расстояние этой точки от некоторой произвольно выбранной на g начальной точки.

Возьмем теперь на К произвольную точку О и вообразим, что к каждой точке Р кривой К отнесено такое число, которое отвечает точке пересечения прямой g с лучом РО.

Каждой точке Р кривой К отвечает при этом одно совершенно определенное число, и наоборот - каждое число отвечает одной лишь точке кривой К. В частности, точке О на К отвечает число, относящееся к точке пересечения прямой g и касательной в точке О к кривой К. Число бесконечность отвечает точке пересечения К с прямой, проведенной через О параллельно g.

Можно также сказать, что при этом ряд чисел на g проектируется из О на коническое сечение.

В последующем я буду рассматривать два таких ряда точек на К.Точки и отвечающие им числа первого ряда всегда будут обозначаться через ξ, а точки второго ряда- через η.

Совпадающим точкам обоих рядов отвечают одни и те же числа.

б) Пусть теперь требуется с помощью этого постоянного конического сечения К решить следующее уравнение:

x4+ax3+bx2+cx+d=0 (1).

Я рассмотрю с этой целью соответствие между точками обоих рядов на К, устанавливаемое равенством:

hello_html_m2fc4d16d.gif (2).

Каждому числу ξ, как вытекает из равенства (2), отвечают два числа η, и наоборот ---каждому числу η отвечает два числа ξ.

Следовательно, каждой точке ξ первого ряда на К отвечают две точки η второго ряда и каждой точке η второго ряда на К отвечают две точки ξ первого ряда.

Может также случиться, что некоторой точке первого ряда в силу соотношения (2) отвечает та точка второго ряда, которая с нею совпадает и, следовательно, определяет то же число что и она.

Эти двойные точки могут быть найдены, если положить в уравнении (2):

hello_html_3b8ec62b.gif=η=x.

При этом из уравнения (2) получается уравнение (1), и становится ясным, что всего существует четыре двойных точки и что отвечающие им числа суть корни уравнения (1).

Таким образом, решение уравнения (1) сводится к построению этих двойных точек.

С этой целью я должен, однако, ближе изучить соответствие, устанавливаемое равенством (2) между точками двух рядов на К.

в) Пусть hello_html_228e18f6.gif будет произвольной точкой второго ряда ( или соответствующее ей число) на К, а ξ’ и ξ’’--- отвечающие ей точки (числа) первого ряда.

Тогда из уравнения (2) вытекает, что

hello_html_m355026f3.gif.

Точке ξ’ отвечает в силу уравнения (2) не только точка η’, но ещё и вторая точка η’’. Равным образом, точке ξ’’, кроме η’, отвечает ещё другая точка второго ряда, и это должна быть именно точка η’’, так как уравнение (2) содержит только ξ2 и, следовательно, имеет один и тот же вид для величин ξ’ и ξ’’ первого ряда, которые отвечают некоторой точке η’ второго ряда, отвечают также и одной и той же второй точке η’’.

Равным образом, очевидно, что две точки η’ и η’’, которые отвечают одной точке ξ’, должны отвечать и одной и той же точке ξ’’.

Таким образом, равенством (2) не только определяется соответствие между рядом точек ξ’ и рядом точек η, но также устанавливается соответствие между точками ряда ξ, равно как и соответствие между точками ряда η.

А именно, две точки ξ’ и ξ’’ ряда ξ отвечают друг другу, если они отвечают одной и той же точке η второго ряда.

Но так как между обеими этими точками ξ’ и ξ’’ должно существовать соотношение

ξ’’= - ξ’,

то им определяется инволюция, т.е. все прямые, соединяющие точки ξ’ с соответственными точками ξ’’, проходят через одну и ту же постоянную точку S.

Две точки η’ и η’’ ряда η отвечают одна другой, если они отвечают одной и той же точке ξ первого ряда. Из уравнения (2) очевидно, что соответствие между η’ и η’’ определяет инволюцию и что поэтому прямые, соединяющие точки η’ с соответственными точками η’’, проходят через постоянную точку S’.

г) Таким образом, уравнением (2) определяются два пучка S и S’, расположенные в плоскости кривой К.

Каждый луч s пучка S пересекает К в двух точках ξ’ и ξ’’, которые отвечают одной и той же точке η’ ряда η. Но они ( по предыдущему) отвечают также одной и той же точке η’’ второго ряда; η’ и η’’ лежат на луче s’ пучка S’.

Легко видеть, что каждому лучу пучка S, таким образом, отнесен один и только один луч пучка S’, и наоборот. Лучи обоих пучков сопряжены однозначным соответствием, которое, как явствует из уравнения (2), определяет проективную зависимость между ними.

Поэтому пучки лучей S и S’ определяют коническое сечение К1, пересекающее К в четырех точках, которые будут искомыми двойными точками двузначного соответствия между точками двух рядов ξ и η на К.

д) Для определения К1 поступают следующим образом: в уравнение (2) вместо η’ подставляют какое-нибудь определенное число, например 0.Таким путем получаются два значения ξ’ и ξ’’. Прямая s, соединяющая точки ξ’ и ξ’’, есть луч пучка S.Теперь подставляют ξ’ в уравнение и определяют из него η’’.

Если соединить прямой точки η’ и η’’, то получится соответствующий луч s’ пучка S’. Таким же способом строят еще два луча пучка S и отвечающие им лучи пучка S’.

е) Этим показано, как можно разрешить общее уравнение четвертой степени с помощью единственного данного начерченного конического сечения.

Точки пересечения К1 с К можно определить, построив кривую К1 по точкам.

hello_html_m53d4ecad.gif

2.6. Результаты работ Кортума и Смита относительно геометрических задач на построение третьей и четвертой степени


Кортум и Смит в двух сочинениях, увенчанных Берлинской академией в 1866г. премией Штейнера, показали, что каждая геометрическая задача третьей и четвертой степени может быть строго решена путем проведения окружностей и прямых линий, коль скоро в плоскости дано начерченное отличное от окружности коническое сечение.

Для краткости я не стану излагать этих работ и упомяну только о следующем.

Обе эти работы имеют высокий теоретический интерес в том отношении, что они представляют собой непосредственное продолжение исследований Штейнера. Именно, Штейнер показал, что все построения второй степени могут быть выполнены путем проведения прямых линий, если дана для пользования окружность вместе с её центром. Таким образом, необходимые для решения квадратных задач средства высшего порядка Штейнер свел к минимуму.

Для решения задач третьей и четвертой степени недостаточно одних окружностей, или определение точек пересечения окружностей приводит к уравнениям лишь второй степени.

Для решения такого рода задач нужны конические сечения или высшие кривые, и снова возникает вопрос о сведении к минимуму числа неизбежно присоединяемых кривых.

Кортум и Смит показали, что одного только начерченного конического сечения достаточно для решения всех задач третьей и четвертой степени.

В предыдущем пункте мы пришли к такой задаче.

Именно, было дано начерченное коническое сечение К, и второе коническое сечение К1 было задано пятью его точками (или двумя проективными пучками лучей); искомыми были точки пересечения этих двух конических сечений. Для этой цели нет надобности строить кривую К1 по точкам. По Кортуму и Смиту, точки пересечения можно получить, описывая окружности и проводя прямые, при условии пользования начерченным коническим сечением.



3. Выводы


В своей работе из трех знаменитых задач я рассмотрел две: удвоение куба и трисекцию угла. Из различных способов решения этих задач древности я остановился на мало известном и очень интересном методе решения с помощью конических сечений, я его считаю самым приемлемым и понятным.

Ниже в таблицах я рассмотрел трудности, которые встречаются в каждом из других методов решения данных задач.

Удвоение куба

Трисекция угла

Методы решения

Трудности, с которыми я встретился при решении

1. С помощью бумажной полоски

сложно найти правильное положение бумажной полоски с полной строгостью

2. С помощью никомедовской конхоиды

для каждого данного угла нужно чертить конхоиду

3. С помощью касательной паскалевой улитки

построение самой улитки


Сформулирую основные результаты своей работы:


  1. Исследованы конические сечения;

  2. Рассмотрено решение двух «исторически нерешаемых задач» с помощью конических сечений (приведено сравнение с другими методами решения);

  3. Решена проблема решения уравнений третьей и четвертой степени с помощью конических сечений.

Таким образом открывается перспектива нахождения числа корней уравнения и их приближенное значение для любого уравнения третьей и четвертой степени. Тема далеко не исчерпана, и я уверен, что будет поставлено и решено еще немало задач. В частности, я хотел бы получить алгоритм решения уравнений высших степеней с помощью конических сечений.


4. Список литературы


  1. А.Адлер. Теория геометрических построений. Санкт-Петербург. Учебно- педагогическое издательство НАРКОМПРОСА РСФСР. 1940

  2. А. Д. Александров, А. Л. Вернар, В. И. Рыжик, Геометрия. Москва. Просвещение. 1991

  3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.II. Просвещение.Москва.1998

  4. А.П. Савин. Математика. Москва. Аванта +.1998

  5. А.П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика. Москва. Педагогика-Пресс. 1999

  6. А.П. Савин. Я познаю мир(Математика. детская энциклопедия). Москва. Издательство АСТ.2003



Общая информация

Номер материала: ДБ-037597

Похожие материалы