Решение задач с помощью рациональных уравнений

Если  хотите  научиться  плавать, 

то   смело   входите  в  воду,  а   если 

хотите  научиться  решать задачи,

то  решайте  их.                 Дж. Пойа

 Урок.  «РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ  С  ПОМОЩЬЮ  РАЦИОНАЛЬНЫХ  УРАВНЕНИЙ».

Цели  урока:  Закрепить:  1)  умения  составлять дробно – рациональные  уравнения  по  условию  задачи;  2)  умения  определять  соответствуют  ли  найденные  корни  уравнения  условию  задачи;  3)   умения  решать  задачи  с  помощью  дробно – рациональных  уравнений;  4)  умения  выбора  способа  решения  текстовой  задачи.  Познакомить  учащихся  с  методом  подобия  при  решении  текстовых  задач,  который  так же  приводит  к  составлению  дробного  рационального  уравнения.

Ход  урока:

1. Фронтальная  работа.  Ответить  на  вопросы:

1)      Какие  уравнения  называют  рациональными  уравнениями?

2)      Что  называют  корнем  уравнения  с  неизвестным  х?

3)      Что  значит  решить  уравнение?

4)      Какие  уравнения  называют  равносильными?

5)      По  какому  правилу  решают  рациональные  уравнения?  Что  может  произойти  при  отклонении  от  этого  правила?

2. Решение  уравнений.  Взаимопроверка – 4 варианта.  Работа  выполняется  на  листочках.  Ответы  записаны  на  обратной  стороне  доски.  В  ходе  выполнения  работы  учащиеся  определяют  для  себя  алгоритм  решения  дробных  рациональных  уравнений.  На  каждой  парте – таблица – напоминание «Алгоритм  решения  дробных  рациональных  уравнений».  Приложение 1.

В а р и а н т  1.	В а р и а н т 2.
В а р и а н т  3.	В а р и а н т 4.

О т в е т ы:

  I   вариант:   ,     (;  ).

 II   вариант:      (;  )

III   вариант:      (   )

IV   вариант:   ,      (;   ).

3. Устная  работа.   Составить  уравнение  для  решения  задачи:

1. Расстояние  между  городами  скорый  поезд,  идущий  со  скоростью  90 км/ч,  проходит  на  1,5 ч  быстрее  товарного, который  идет  со  скоростью  60 км/ч.  Каково  расстояние  между  городами?
2. Ученику  и  мастеру  дано  задание  изготовить  одинаковое  количество  деталей.  Мастер,  изготовляя  18  деталей  в  час,  затратил  на  выполнение  задания  на  3 ч  меньше,  чем  ученик,  который  изготавливал  лишь  12  деталей  в  час.  Сколько  деталей  было  заказано?
3. Знаменатель  дроби на  2  больше  числителя.  Если  числитель  увеличить  на  15,  а  знаменатель – на  3,  то  получится  число  . Найдите  дробь.

4. (1)  Решение  задач.  При  решении  задач  составлением  уравнения  за  х  можно  принять  любое   неизвестное.

Решаем  задачу  № 607  из  учебника. (Алгебра – 8 класс/ Ю.Н. Макарычев)

К  доске  вызываются  четыре  ученика,  чтобы  записать  условие  задачи  и  составить  уравнение  четырьмя  способами:

I – ученик  за  х  принимает  скорость  мотоциклиста,

II – ученик  принимает  за  х  скорость  велосипедиста,

III – ученик  за  х  принимает  время  велосипедиста,

IV – ученик  принимает  за  х  время  мотоциклиста.

Учащиеся записывают  в  тетрадь  условия  четырьмя  способами,  а  решают  одним,  в  соответствии  со  своим  вариантом.

I  с п о с о б.

	S	V	t
Велосипедист	45 км	х км/ч	ч
Мотоциклист	45 км	км/ч	ч

II  с п о с о б.

	S	V	t
Велосипедист	45 км	км/ч	ч	На ч меньше
Мотоциклист	45 км	х км/ч	ч

III  c п о с о б.

	S	V	t
Велосипедист	45 км	км/ч	х ч
Мотоциклист	45 км	км/ч	ч

IV  с п о с о б.

	S	V	t
Велосипедист	45 км	км/ч	ч
Мотоциклист	45 км	км/ч	х ч

(2)          Задача № 125   из  учебного  пособия  по  математике  А.В.  Шевкина  «Текстовые  задачи.  7 – 9 классы».

Две  старушки  вышли  одновременно  навстречу  друг  другу  из  двух  городов.  Они  встретились  в  полдень  и  достигли  чужого  города:  первая  в  4 ч  по  полудни,  а  вторая – в  9 ч.  Нужно  узнать,  когда  они  вышли  из  своих  городов.

Пояснение.  Данную  задачу  заранее  предлагаю  учащимся  решить  дома.  В  перемену,  до  урока,   прошу  учащегося,  правильно  решившего  задачу,  написать  решение  на  обратной  стороне  доски.

1)      Заслушиваем  комментарии  по  решению  задачи  учащимся.  Задача  решена  составлением  дробного  рационального  уравнения. ( Вариант  решения  задачи  учащимся  в  приложении 2)

2)      Объясняю  решение  данной  задачи  методом  подобия,  построив  графики  движения  старушек.

Р е ш е н и е:  Изобразим  график  движения  старушек  и  применим  метод  подобия.

Пусть  старушки  до  встречи  шли  х ч.

АD – промежуток  времени  движения  первой  старушки.  СВ – промежуток  времени   движения  второй  старушки.  КL – отсекает  промежутки  времени  движения  старушек  до  встречи.  На  рисунке  АL – промежуток  времени  движения  до  встречи.

 

                 Расстояние                                                    

                                   С                            К      4       D

                                                                                I

                                                            N

                                                                                                   II

                                   А             х             L                  9                        В           Время  движения

1)      Рассмотрим    и  :    подобен    по  двум  углам.

2)      Рассмотрим    и  ,  они  подобны  по  двум  углам.

3)      Из  подобия  двух  пар  треугольников  следует,  что    и  ,  т.е. 

4)      Составим  и  решим  уравнение:          ()

                                                               

Это  уравнение  имеет  единственный  положительный  корень,  удовлетворяющий  условию  задачи.   - это  время  движения  старушек  до  встречи.

5)      Выясним,  в  какое  время  старушки  вышли  из  своих  городов:

      .

Ответ:  старушки  из  своих городов  вышли  в  6 ч  утра.

Как  мы  видим,  метод  подобия  приводит  к  более  простому  решению.

5. Итоги  урока.

Домашнее  задание:  Решить  задачу  двумя  способами:  1) стандартным  школьным  способом  и  2)  методом  подобия.

З а д а ч а:   Первый  пешеход  может  пройти  расстояние  между  двумя  пунктами  на  5 ч  быстрее,  чем  второй.  Если  пешеходы  выйдут  из  этих  пунктов  навстречу  друг  другу  одновременно,  то  встретятся  через  6ч.  За  сколько  часов  каждый  из  них  может  пройти  это  расстояние?