Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Решение задач с помощью систем уравнений

Решение задач с помощью систем уравнений

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
библиотека
материалов

hello_html_7cf5f547.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_51d7a0b9.gifОсновными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический метод, а так же комбинированный.


Решить задачу арифметическим методом –  значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над данными в задаче числами. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений  в процессе решения задачи.


Решить задачу алгебраическим методом – значит найти ответ на требование задачи  путем составления  и решения уравнения или системы уравнений.

Текстовые задачи алгебраическим методом путем составления системы уравнений решают по следующей схеме:


1)выделяют величины, о которых идет речь в тексте задачи, и устанавливают зависимость между ними;

2) вводят 2 переменные (обозначают буквами неизвестные величины);

3) всё условие задачи разделяют на два независимых и связывающих введенные неизвестные величины условия;

4) по первому условию составляют 1 уравнение;

5) по второму условию составляют 2 уравнение;    

6) объединяют эти уравнения в систему и решают;

7) проверяют найденные значения по условию задачи и записывают ответ.

Пункты с 1) по 5) можно объединить в I этап решения задачи – получение математической модели задачи.

Работа с математической моделью - II этап, к нему относится пункт 6).

III этап – ответ на вопрос задачи, к нему относится пункт 7).

Часто приходится рассматривать математическую модель, состоящую из двух уравнений с двумя переменными. Для 6 класса это линейные уравнения, для 8 класса – уравнения уже 2-ого порядка.

На уроках, предшествующих этой теме полезно давать задания на составление равенств, содержащих переменные.

Например. Опишите равенством зависимость между переменными х и у, если:

  1. Сумма чисел х и у равна 32;(х+у=32);

  2. Среднее арифметическое чисел х и у равно 36;((х+у)/2=36);

  3. Туристы преодолели 24 км и шли 3 ч со скоростью х км/ч и 2 ч со скоростью у км/ч;(3х+2у=24);

  4. У девочки х пятиманатных купюр и у двухманатных купюр на общую сумму 29 манат;(5х+2у=29);

-2-



  1. Около причала находилось х двухместных лодок и у трехместных. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек;(2х+3у=14).

Используя графическую и текстовую информацию, опишите равенством зависимости между переменными х и у:

  1. Если пешеходы выйдут одновременно, то встретятся через 3 часа.(встав.картин.)











  1. Если пешеход из п.А увеличит скорость на 1 км/ч, а пешеход из п.В побежит со скоростью, в 3 раза большей, то они встретятся через 1ч 30 мин;

  2. Если пешеход из п.А уменьшит скорость на 2 км/ч, то через 45 мин между ними будет 15 км.



Предлагаю на рассмотрение решение некоторых задач. Начинать решение задач следует с простых, и далее уже предлагать задачи повышенной сложности.

Для 6 класса:

  1. В трех тетрадях и четырех блокнотах вместе 108 страниц. В двух блокнотах столько же страниц, сколько их в трех тетрадях. Сколько страниц в каждой тетради и в каждом блокноте?

Решение:Iэтап

Определяем две искомые величины и одну из них, количество страниц в каждой тетради обозначаем за х, а вторую, количество страниц в каждом блокноте, обозначаем за у.

1 условие: в трех тетрадях 3х стр., в четырех блокнотах 4у стр. Всего 108 страниц. Составим 1 уравнение: 3х+4у=108

2 условие: в двух блокнотах 2у стр., в трех тетрадях 3х стр. По условию эти количества равны. Составим 2 уравнение: 2у=3х.

II этап. Так как значения х и у удовлетворяют обоим уравнениям, то объединяем эти уравнения в систему и решаем её.

3х+4у=108

2у=3х.

Получили х=12, у=18.

III этап. Составим ответ: х-количество страниц в тетради, т.е. 12стр.; у-количество страниц в блокноте, т.е. 18 стр.

  1. Семь досок и три кирпича весят 71 кг. Три доски тяжелее двух кирпичей на 14 кг. Сколько весит одна доска и один кирпич? (Ответ:доска-8кг,кирпич-5кг)

  2. Катер прошел по течению реки от пункта А до пункта В за 6 часов, а от В до А – за 8 часов. За сколько часов проплывет плот от А до В?

-3-



Решение:

I этап.

Пусть расстояние между пунктами А и В равно S км, скорость катера равна х км/ч, скорость течения реки – у км/ч.

1 условие: катер прошел по течению реки от пункта А до В за 6 часов.

2 условие: катер прошел против течения от В до А за 8 часов.



V(км/ч) t(ч) S(км)

1 усл. По течен. х+у 6 s

2 усл. Прот.течен. х-у 8 s





Составим 1 уравнение: 6( х+у)=s;

Составим 2 уравнение: 8( х-у)=s.

II этап. Значения х и у удовлетворяют обоим уравнениям, составим и решим систему уравнений:

6х+6у=s

8x-8y=s.

Решаем систему , исключив переменную х, так как плот может двигаться только со скоростью реки. Получим s=48y.

III этап. Так как t=hello_html_67844d8d.gif , то обе части уравнения разделим на у. Получим, t=48 ч.

  1. Сколько лет брату и сестре, если 4 года назад брат был старше сестры в 5 раз, а через 5 лет брат будет старше сестры в 2 раза?

Решение:













-4-

Для учащихся 8-х классов рассматриваются задачи на движения с уравнениями 2-ой степени и задачи на совместную работу.

Задача 1.

Расстояние между двумя пристанями 60 км. Теплоход проходит это расстояние
по течению и против течения за 5,5 часа. Найти скорость теплохода и скорость
течения, если одна из них больше другой на 20 км/ч.

Решение: слайд 7-9.

Задача 2.

Бассейн наполнится, если 1 трубу открыть на 12 минут, а 2 трубу – на 7 мин. Если обе трубы открыть на 6 мин, то наполнится 2/3 бассейна. За сколько мин наполнится бассейн, если открыть только 2 трубу.

Решение: слайд 10-13

Задача 3.

Двое рабочих могут выполнить задания за 12 дней. Если сначала один из них сделает половину всей работы, а потом остальное сделает другой, то им потребуется 25 дней. За сколько дней каждый рабочий, работая один, может выполнить задания.

Решение: слад 14-18



Общая информация

Номер материала: ДВ-304769

Похожие материалы