Решение задач с помощью графа

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ТОЛСТОМЫСЕНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №7 Исследовательский реферат. Решение задач с помощью графа. Выполнила: Петушкова Анастасия, ученица 10 класса МБОУ Толстомысенской СОШ №7 Руководитель: Петушкова Н.В. Толстый Мыс 2016 Актуальность: решение текстовых задач – это деятельность, сложная для учащихся. Сложность её определяется комплексным характером работы: нужно ввести переменную и суметь перевести условие на математический язык; соотнести полученный результат с условием задачи и, если нужно, найти значение ещё каких-то величин. Каждый из этих этапов – самостоятельная и часто  труднодостижимая,  для учащихся задача. Цель: изучить новый способ решения задач с помощью сетевого графа. Задачи: o   найти и изучить литературу по теме; o   подобрать разные  задачи и решить с помощью графа; o   оформить решение задач  для использования на уроках. Гипотеза: решать задачи с помощью сетевого графа легче и понятней.  Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, как они устроены, из каких частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых проводится решение задач.   Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Поэтому, приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно изучить, установить, в чем состоят ее требования (вопросы), каковы условия, исходя из которых, надо решать задачу. Результаты предварительного анализа задачи  надо как-то зафиксировать, записать. Схематичная запись задачи должна быть удобна, компактна и в то же время достаточно наглядна. Первой отличительной особенностью схематичной записи задач является широкое использование в ней  разного рода обозначений, символов, букв, рисунков, чертежей и т.д. Второй особенностью  является то, что в ней четко выделены все условия и требования задачи, а в записи каждого условия указаны объекты и их характеристики, наконец, в схематичной  записи фиксируется лишь то, что необходимо для решения задачи, все другие подробности отбрасываются. Эти положения соблюдены в сетевых графах. Сетевой граф — это схема. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ: 1. А каком процессе идет речь в задаче. 2. Какие величины характеризуют этот процесс. 3. Каким соотношением связаны эти величины. 4. Сколько различных процессов описывается в задаче. 5. Есть ли связь между элементами.   С помощью сетевых графов решаются задачи: o   На движения. o   На совместную работу. o   Комбинаторные задачи. o   На заполнение резервуара водой и другие. Рассмотрим несколько примеров решения разных задач с помощью сетевого графа. Задача № 1.     Женя, Дима, Максим и Алеша сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно?   Женя сыграл партию с Димой, партию с Максимом и партию с Алешей - всего три партии. Дима также сыграл три партии - с Женей, Максимом и Алешей. Но партию Димы с Женей мы уже посчитали. Остается добавить одну партию, которую сыграли Максим с Алешей. Поэтому искомое число партий равно значению выражения 3+2+1. Проще решить эту задачу с помощью рисунка. Каждая линия обозначает сыгранную партию. Всего на схеме 6 линий, значит всего сыграно 6 партий. Задача № 2. Вася, Коля, Петя, Аня и Наташа - лучшие лыжники в классе. Для участия в соревнованиях нужно выбрать из них одного мальчика и одну девочку. Сколькими способами это можно сделать? Эту задачу можно решить с помощью следующей схемы. Ответ: 6 способов. Задача № 3.   Если две трубы открыть одновременно, то бассейн наполнится за 2 ч 24 мин. В действительности же сначала была открыта только первая труба в течение 1\4 времени, которое необходимо второй трубе, чтобы наполнить бассейн, действуя отдельно. Затем действовала вторая труба также в течение 1\4 времени, которое необходимо первой, чтобы одной наполнить бассейн, после чего оказалось, что остается наполнить 11\24 полной вместимости бассейна. Сколько времени необходимо для наполнения бассейна каждой трубой в отдельности?   Задачи на заполнение резервуара водой являются одной из разновидностей задач на работу и производительность. Здесь производительность трубы - это объем жидкости, вытекающей из нее в единицу времени. Поэтому составляем сетевой граф (их здесь будет два):         А=1               k1=k1+k2=5\12        t=2,4 ч                                                                                                                                                  k1=1\x                  t1=x ч                                                                                                    k2=1\y                     t2=y ч                                                                                                                                                               A1=y\4x                  k1=1\x                t1=y\4 ч                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 A2=x\4y                 k2=1\y                 t=x\4ч                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      1-A1-A2=11\24                                                                                                                                                                             Из первого графа получим уравнение 1\x+1\y=1\12\5,    Из второго — y\4x+x\4y=13\24.    Решив систему, найдем x и y:4 и 6 ч.    Ответ:4ч,6ч. Задача № 4.    Длина  окружности переднего колеса кареты равна 3 м, а заднего 4,5 м. Какое расстояние проехала карета ,если переднее колесо сделало на 20 оборотов больше заднего?                                               Решение.   Обозначим расстояние, которое проехала карета L, длину окружности колеса -c, число сделанных оборотов -n. Очевидно, что эти величины связаны соотношением L=c*n,поэтому мы будем решать задачу с помощью сетевых графов.                                          L=x м           C3=3 м           nn=х\3 об.               L=c*n                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          C3=4,5 м       n3=x\4,5 об.                                                                                                                                                                                                                                                                                               nn > n3 на 20 об               L- nn -n3,x\3 > x\4,5,на 20,значит,x\3- x\4,5=20. Задача № 5. Мотоциклист и велосипедист совершили двух часовую безостановочную поездку. При этом мотоциклист проезжал каждый километр на 4 минуты быстрее, чем велосипедист. Найдите скорость каждого, если расстояния пройденные каждым из них за 2 часа отличаются на 40 км.   Tм.=Xч   Tв.=(x+1/15)ч   Vм.=1/x км/ч   2/x-2/x+1/15=40   2x+1/15-2x/x(x+1/15)=40   1/15/x(x+1/15)=40   2/15=x(x+1/15)40   40x2+40x/15=2/15   40x2+8/3x-2/15=0   Д.=в2-4ас=(8/3)2-40*(-  2/15)=64/9+4*40*2/15=64/3+63/3=256/9   X1=(-в+ √Д)/2а=-8/3+√25t/9/2*40=-8/3+16/3/80=8/3/80=8/3*1/80=8*1/3*80=1/30 Vм.=1/x=1/1/30=30км/ч X2=(-в+ √Д)/2а =-8/3-16/3/80=-24/3/80=-24/3*1/80=-24*1/3*80=-1/10=не является решением задачи. Ответ:Vм.=30км/ч, Vв=10км/ч. Vв.=1/x+1/15=1/1/30+1/15=1/3/30=1:3/30=1*30/3=10км/ч.    Sм=2*1/x км  Vм=1/x км/ч     tм, в=2ч                                                                    Sв=2*1/x+1/15км           Vв=1/x+1/15 км/ч                            S=V*T                              Sм-Sв=40км               Задача № 6. Один штукатур может выполнить задание на 5 ч быстрее другого. Оба вместе они выполняют задание за 6 ч. За сколько часов каждый из них выполнит это задание? 1)В задаче идет речь о работе. 2)Выполненная работа — А, время работы — t, количество работы, выполняемой за единицу времени (производительность), - k. 3)А=k*t 4)Три процесса: работа каждого из двух штукатуров по отдельности и совместная работа.            А=1        к1=1/x     t1=x ч   t1<t2 на 5 ч                 к2=1/x+5     t2=(x+5)ч                                 A=k*t                                   Кс=к1+к2=1/6    tc=6ч                                  Выполняемую работу, а она в задаче не имеет числового значения, для простоты обозначим за 1. Получим уравнение: 1/x+1/x+5=1/6, работая по схеме t1-t2-k2-kc=k1+k2. Моделирование условия задачи с помощью сетевых графов позволяет нам устанавливать различные связи и отношения между данными и искомыми величинами задачи, осознать идею решения, его логику, увидеть различные способы решения задачи, обосновывать выбор величин для введения переменных.  Вывод: решать задачи с помощью сетевых графов легче и понятней. Мы решили  30 задач и оформили их решения для использования при подготовке к ГИА и ЕГЭ. Список используемой литературы: o   Жигачева Наталья Александровна. Графовое моделирование структур решений сюжетных задач в курсе алгебры 7 класса : Дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02: Омск, 2000 146 c. РГБ ОД, 6:00-13/1265-6; o   Учебник алгебра 7, 8, 9 классов  для учащихся общеобразовательных учреждений /  А.Г. Мордкович. «Мнемозина»  2013; o   http://ppt4web.ru/matematika/reshenie-kombinatornykh-zadach-s-pomoshhju-grafov.html; o   http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2015/01/17/grafy-i-ikh-primenenie-pri-reshenii-zadach; o   http://infourok.ru/issledovatelskaya_rabota_po_teme_reshenie_olimpiadnyh_zadach_s_pomoschyu_grafov-294265.htm; o   http://www.slideserve.com/kiele/3045259.