Решение задачи различными способами

Дарханова Майрамкул Куралбаевна -  учитель математики высшей категории

Западно- Казахстанская область, Бурлинский район , г. Аксай, СШ №4

Решение задачи различными способами

        При  изучении математики часто бывает целесообразно решать одну и ту же задачу несколькими способами. Это способствует развитию творчества учащихся, повышению интереса к предмету, умению подходить  к решению задачи  с разных сторон. При сравнении различных способов решения одной и той же задачи учащиеся должны проанализировать  и оценить все достоинства  и недостатки данного способа  и выбрать наиболее  удачный.  Такой анализ  и выбор рационального способа решения воспитывает самостоятельность учащихся, способствует прочности усвоения ими материала.

Рассмотрим задачи, для решения которых предлагалось использовать различные способы.

Так, ученикам 8-го класса было предложено найти несколько способов сравнения дробей  и     .  

Коллективными усилиями  учащиеся определили, что можно привести дроби к общему знаменателю  и  заменить их десятичными дробями, но рациональнее всего рассуждать следующим образом. Имеем

                  1 -  =;    1 -  = .

Так как      >    ,  то         <     .

Рассмотрим другую задачу  для 8-го класса, к которой неоднакратно возвращаемся в течение учебного года.

Задача 1. Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ее половине. 

1-й способ. Отложим ОА₁ =ОА, соединим А₁ с В и рассмотрим треугольники АВС и А₁СВ (рис.1)

                А                               А₁

                                      0

               С                                 В   Рис.1

2-й способ. Отложим угол АСО, равный α, проведя луч СО (рис.2)

А

         

                   О

С                           В   Рис.2

3-й способ. Рассмотрим треугольники АСО и ВСО. Достроим треугольник АВС до прямоугольника АСВD (рис.3)

     А                                D

                       0

    С                                  В            Рис.3

4-й способ. Опишем около треугольника АВС окружность (рис.4)

               С

 

   А                           0                          В Рис.4

Рассмотрим задачу для 10 –го класса:

Задача 2.  На стороне АВ треугольника АВС взята точка Р так, что АР : РВ = 1:2.  Найти ,если ∠А = 45⁰, ∠В=75⁰ .

1-способ. Пусть  (рис.5). Так как ∠С=60⁰, то ∠РСВ=60⁰ –α.

Согласно теореме синусов в треугольниках АРС и ВРС имеем

, т.е. РС =  ;

 , т.е. РС = .  Значит,

=  ;  = ;

 .

                                                     В

                                            75⁰     

                   Р

      А          45⁰                     α                     С        Рис.5

Учитывая, что    = =

 ∙  + ∙  =  (,

получим    (  ) = 2 ∙ (;

( ;

;

;

Покажем, что .  

Действительно, так как   , то

  ==  = │2+.

Но   , т.е. =  .

Ответ :АСР = arcctg ( )=15 .

2-й способ.  Имеем S_∆ВРС =h ∙ РВ=2h  AP, S_∆АРС =h ∙ AP       (см.рис.5), откуда

  =   = 2.

Так как   S_{∆APС =   ,}   S_∆ВРС = ₌      , то 

и, значит,  .

С другой стороны, S_{∆АРС =   ;}   S_{∆ВРС =}  

откуда       =   .

Следовательно,    ,  ,

и в результате получаем тот же ответ.

3-й способ. На продолжении стороны АС отложим AN=АС  и рассмотрим треугольник BNC (рис.6). В нем отрезок ВА – медиана, а точка Р делит ее в отношении 2:1, т.е. Р – точка пересечения медиан треугольника BNC. Следовательно, S_∆MNC = S_∆МВС, т.е.

;      2  = .

                                                                    B

                                                         M                                               75

                                                                                         P

      N                                                            45                                C       

                                                        A                                                                        Рис.6

Воспользуемся теоремой тангенсов в треугольнике АВС:

 ,   где а=ВС, b=AC, A=45, B=75.  Тогда  ;

ВС 15+АС15=АС60- ВС60;

ВС(15+60)=АС (60⁰-15);

 .

Но  15= .   Поэтому   = =  .

Так как   , то ( , и после преобразований снова получаем тот же ответ.

4-й способ. Введем систему координат (рис.7) . Имеем  А(0;0) , С (с;0).

Так как       =,    то  АВ =  .

       y                         B

                                75

              Р

      А     45                      С        

                                                       X                       Рис.7

Теперь можно найти координаты точки В:

х_₁=АВ ; у_₁=АВ .

Пусть   Р(х;у) ; тогда, используя формулы х = ; у =  и

учитывая, что ℷ=2, получим  х == ;

у = = .

Значит, Р (),    АР= АВ =.

Затем найдем длину РС как расстояние между точками  Р () и  С (с;0):

РС²=

=с²  , т.е. РС =   .

Наконец, из соотношения     находим

  .

Итак, ∠АСР = arcsin.

5-й способ. Опишем около данного треугольника окружность. Пусть О - ее центр, а СК=2R-диаметр (рис.8).

Тогда КВ=2Rcos45=R, ∠КВС=90,∠K=15,∠BKN=∠ BAC=45,∠BNK=120.

Из равенства =   получим  BN ==R .

                                                    В   

          К                                                                                                                           

                                               

 

          А                                       С

Рис.8

Так как  АВ = 2R sin 60= R, то ВР = АВ = R.

Это означает, что =ВР, т.е. точки  и Р совпадают (рис.9) . Далее имеем ∠АОС=2∠АВС=150 и из равнобедренного треугольника АОС (АО=ОС=R) находим ∠ОАС=∠ОСА=15.

                                      В

             дрррр             Рр

А                                                          С

Рис .9

6-й способ. Приведем высоту BD (рис.10) .

Пусть АР=х. Тогда АВ=3х,

BD =АВ,   ВС=  =   = ,

DС= ВС =, АС = АD+ DС= .

                                                     В

 

                      Р

А                                                         С

                                                                       Рис.10

Воспользуемся теоремой косинусов в ∆АРС: РС² = АР² + АС² - 2АРАС  cos 45;

РС²=х²+ ;

РС²= х² + 6х²+3х² - 3х² - х² ;

РС²= 4х²+2 х²; РС=х .

Так как  = , то окончательно находим

 ==х,

т.е. ∠АРС=arcsin.

7-й способ. Проведем биссектрису угла С (рис.11)

                                                      В

                                   N

                      Р

А                                                       С          Рис.11

Пусть NC =х.  В ∆ АNC имеем = ,

откуда АN=х. Аналогично в ∆ NBC имеем = ,

откуда  NВ = х. 

Значит,  АВ= АN+ NВ=  ,

РА = ,  NР = АN – АР =.

Наконец, в ∆ NРС имеем        =         или

NР , откуда

 

и после преобразований находим   .

8-й способ. В ∆ АВС (см.рис.5) имеем  =, откуда

ВС= .

Следовательно, ВС²=6 АР² = 2АР  3АР=РВ АВ, т.е. .

Так как в треугольниках АВС и РВС угол В – общий и     , то           

∆АВС∆РВС.

Поэтому ∠РСB=∠ВАС=45,∠АСР=60.