Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Решение задачи различными способами
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Решение задачи различными способами

библиотека
материалов

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_5e515274.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_17560de6.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_28675bd5.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifДарханова Майрамкул Куралбаевна - учитель математики высшей категории

Западно- Казахстанская область, Бурлинский район , г. Аксай, СШ №4



Решение задачи различными способами

При изучении математики часто бывает целесообразно решать одну и ту же задачу несколькими способами. Это способствует развитию творчества учащихся, повышению интереса к предмету, умению подходить к решению задачи с разных сторон. При сравнении различных способов решения одной и той же задачи учащиеся должны проанализировать и оценить все достоинства и недостатки данного способа и выбрать наиболее удачный. Такой анализ и выбор рационального способа решения воспитывает самостоятельность учащихся, способствует прочности усвоения ими материала.

Рассмотрим задачи, для решения которых предлагалось использовать различные способы.

Так, ученикам 8-го класса было предложено найти несколько способов сравнения дробей hello_html_m428a9daa.gif и hello_html_bd1fb01.gif.

Коллективными усилиями учащиеся определили, что можно привести дроби к общему знаменателю и заменить их десятичными дробями, но рациональнее всего рассуждать следующим образом. Имеем

1 - hello_html_m4f599f34.gif =hello_html_m2e70f767.gif; 1 - hello_html_bd1fb01.gif = hello_html_m64ada8d0.gif.

Так как hello_html_m2e70f767.gif > hello_html_m64ada8d0.gif , то hello_html_m4f599f34.gif < hello_html_bd1fb01.gif .

Рассмотрим другую задачу для 8-го класса, к которой неоднакратно возвращаемся в течение учебного года.

Задача 1. Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ее половине.

1-й способ. Отложим ОА1 =ОА, соединим А1 с В и рассмотрим треугольники АВС и А1СВ (рис.1)

А А1

0



С В Рис.1



2-й способ. Отложим угол АСО, равный α, проведя луч СО (рис.2)

А

hello_html_695bfd0f.gif

О

С В Рис.2

3-й способ. Рассмотрим треугольники АСО и ВСО. Достроим треугольник АВС до прямоугольника АСВD (рис.3)

А D

0

С В Рис.3

4-й способ. Опишем около треугольника АВС окружность (рис.4)

С



А 0 В Рис.4

Рассмотрим задачу для 10 –го класса:

Задача 2. На стороне АВ треугольника АВС взята точка Р так, что АР : РВ = 1:2. Найти hello_html_m7e3416aa.gif,если А = 450, В=750 .

1-способ. Пусть hello_html_4db9bea4.gif (рис.5). Так как С=600, то РСВ=600 –α.

Согласно теореме синусов в треугольниках АРС и ВРС имеем

hello_html_m73c90b48.gif, т.е. РС = hello_html_m1a915387.gif ;

hello_html_m1e247bc1.gif, т.е. РС = hello_html_mfba1376.gif. Значит,

hello_html_m1a915387.gif=hello_html_mfba1376.gif ; hello_html_me371d22.gif = hello_html_m56108e04.gif;

hello_html_5f38f3dc.gif.

В

750

Р

А 450 α С Рис.5



Учитывая, что hello_html_m23e57e76.gif=hello_html_m39fcfd6b.gif =

hello_html_462cf491.gifhello_html_m5f86187a.gif+hello_html_6eec8aff.gif hello_html_1817f83b.gif = hello_html_m6384457e.gif (hello_html_m622c2fb3.gif,

получим hello_html_1817f83b.gif (hello_html_m5f86187a.gif hello_html_663cd410.gif hello_html_27a4bcdf.gif) = 2 ∙ hello_html_m6384457e.gif(hello_html_4eba59a2.gif;

hello_html_6eec8aff.gif(hello_html_552b3d42.gif ;

hello_html_628155da.gif;

hello_html_m7082346d.gif; hello_html_m654541af.gif

Покажем, что hello_html_mf222f5e.gif.

Действительно, так как hello_html_2fbf8505.gif , то

hello_html_m56b17e01.gif=hello_html_m1a9d4e49.gif= hello_html_m7c1b5b74.gif = │2+hello_html_25815af9.gif.

Но hello_html_557bffea.gif hello_html_m360d6129.gif, т.е. hello_html_m760356dc.gif=hello_html_557bffea.gif .

Ответ :hello_html_5d62e976.gifАСР = arcctg (hello_html_557bffea.gif )=15hello_html_m28215024.gif .

2-й способ. Имеем S∆ВРС =h ∙ РВ=2h hello_html_79c0f69b.gif AP, S∆АРС =h ∙ AP (см.рис.5), откуда

hello_html_2249a7b4.gif= hello_html_57deb15c.gif= 2.

Так как SAPС = hello_html_17d33489.gif hello_html_27a4bcdf.gif , S∆ВРС = = hello_html_147e6afa.gif hello_html_m7708d937.gif , то hello_html_m7da9dd0f.gif

и, значит, hello_html_m371a5826.gif .

С другой стороны, S∆АРС = hello_html_7b4b44d1.gif ; S∆ВРС = hello_html_m44186fe.gif

откуда hello_html_2249a7b4.gif = hello_html_m2bdabb64.gif.

Следовательно, hello_html_1e83f6d7.gif , hello_html_bd18e93.gif,

и в результате получаем тот же ответ.

3-й способ. На продолжении стороны АС отложим AN=АС и рассмотрим треугольник BNC (рис.6). В нем отрезок ВА – медиана, а точка Р делит ее в отношении 2:1, т.е. Р – точка пересечения медиан треугольника BNC. Следовательно, SMNC = S∆МВС, т.е.

hello_html_m50c27b4e.gif; 2hello_html_2bb4beb8.gif =hello_html_m74ab27f5.gif .



B

M 75hello_html_m28215024.gif

P

N 45hello_html_m28215024.gif hello_html_695bfd0f.gif C

A Рис.6

Воспользуемся теоремой тангенсов в треугольнике АВС:

hello_html_m1aabaa14.gif, где а=ВС, b=AC, A=45hello_html_m28215024.gif, B=75hello_html_m28215024.gif. Тогда hello_html_6dacf8f1.gif ;

ВС hello_html_5bcabf95.gif15hello_html_m28215024.gif+АСhello_html_5bcabf95.gif15hello_html_m28215024.gif=АСhello_html_5bcabf95.gif60hello_html_m28215024.gif- ВСhello_html_5bcabf95.gif60hello_html_m28215024.gif;

ВС(hello_html_5bcabf95.gif15hello_html_m28215024.gif+hello_html_5bcabf95.gif60hello_html_m28215024.gif)=АС (hello_html_5bcabf95.gif600-hello_html_5bcabf95.gif15hello_html_m28215024.gif);

hello_html_6014ba50.gif.

Но hello_html_5bcabf95.gif15hello_html_m28215024.gif=hello_html_m175c3f52.gif . Поэтому hello_html_2bb4beb8.gif =hello_html_m646f48c8.gif = hello_html_m7fc83a30.gif .

Так как hello_html_m60b300d2.gif , то (hello_html_m278a29c0.gif , и после преобразований снова получаем тот же ответ.

4-й способ. Введем систему координат (рис.7) . Имеем А(0;0) , С (с;0).

Так как hello_html_m532f47ca.gif=hello_html_6d2f3ed9.gif, то АВ = hello_html_5ac28f26.gif .

y B

75hello_html_m28215024.gif

Р

А 45hello_html_m28215024.gif hello_html_695bfd0f.gif С

X Рис.7


Теперь можно найти координаты точки В:

х=АВ hello_html_32be6547.gif; у=АВhello_html_2033e00c.gif .

Пусть Р(х;у) ; тогда, используя формулы х =hello_html_79c3434a.gif ; у = hello_html_35d48a78.gif и

учитывая, что =2, получим х =hello_html_m672433fe.gif=hello_html_m74d81d48.gif ;

у = hello_html_m672433fe.gif=hello_html_m74d81d48.gif .

Значит, Р (hello_html_m2ed784a9.gif), АР=hello_html_7f8f9891.gif АВ =hello_html_m107bf8e7.gif.

Затем найдем длину РС как расстояние между точками Р (hello_html_5316261d.gif) и С (с;0):

РС2=hello_html_m755fdf30.gif

=с²hello_html_2974b2f4.gif , т.е. РС = hello_html_m3b565dcf.gif .

Наконец, из соотношения hello_html_c7bb441.gif находим

hello_html_m50ef1717.gif.

Итак, АСР = arcsinhello_html_m17d9e38a.gif.

5-й способ. Опишем около данного треугольника окружность. Пусть О - ее центр, а СК=2R-диаметр (рис.8).

Тогда КВ=2Rcos45hello_html_m28215024.gif=Rhello_html_md2262f3.gif, КВС=90hello_html_m28215024.gif,Khello_html_m2134cf34.gif=15hello_html_m28215024.gif,BKN= BAC=45hello_html_m28215024.gif,BNK=120hello_html_m28215024.gif.

Из равенства hello_html_fb34189.gif=hello_html_m11577a7b.gif получим BN =hello_html_m2ae4d6cb.gif=Rhello_html_5891927d.gif .

150





В

750

450hello_html_34b3e98c.gif

N

К

Р

hello_html_695bfd0f.gif


А С

Рис.8

Так как АВ = 2R sin 60hello_html_m28215024.gif= Rhello_html_m4ec2c24d.gif, то ВР =hello_html_6a1c94eb.gif АВ =hello_html_6a1c94eb.gif Rhello_html_m2ea3cf40.gif.

Это означает, что hello_html_m2134cf34.gif=ВР, т.е. точки hello_html_m89f7f8d.gif и Р совпадают (рис.9) . Далее имеем АОС=2АВС=150hello_html_m28215024.gif и из равнобедренного треугольника АОС (АО=ОС=R) находим ОАС=ОСА=15hello_html_m28215024.gif.

О



В





Р

дрррр Рр



А С

Рис .9



6-й способ. Приведем высоту BD (рис.10) .

Пусть АР=х. Тогда АВ=3х,

BD =АВhello_html_m3333e6e7.gif, ВС= hello_html_427b0fcb.gif = hello_html_m8b4672e.gif hello_html_264c4d41.gif = hello_html_452d5d86.gif,

DС= ВС hello_html_m7b191b0.gif=hello_html_m8ed3b08.gif, АС = АD+ DС=hello_html_m2d63ec42.gif .

В

300

450


450

Р

А С

Рис.10

Воспользуемся теоремой косинусов в ∆АРС: РС2 = АР2 + АС2 - 2АРhello_html_79c0f69b.gifАСhello_html_79c0f69b.gif cos 45hello_html_m28215024.gif;

РС2=х2+hello_html_7ee23221.gif ;

РС2= х2 + 6х2+3hello_html_m4ec2c24d.gifх2 - 3х2 -hello_html_m4ec2c24d.gif х2 ;

РС2= 4х2+2hello_html_m4ec2c24d.gif х2; РС=хhello_html_m10b1e9d5.gif .

Так как hello_html_mcafe630.gif = hello_html_m3152e295.gif, то окончательно находим

hello_html_27a4bcdf.gif=hello_html_m536b738a.gif=хhello_html_m3045204e.gif,

т.е. ∠АРС=arcsinhello_html_m17d9e38a.gif.

7-й способ. Проведем биссектрису угла С (рис.11)

750

В

300

1050

N

hello_html_695bfd0f.gif

450

Р

А С Рис.11

Пусть NC =х. В ∆ АNC имеем hello_html_m52a61167.gif=hello_html_23edbdb3.gif ,

откуда АN=хhello_html_m255742cb.gif. Аналогично в ∆ NBC имеем hello_html_m6defc806.gif=hello_html_mf7e255f.gif ,

откуда NВ = хhello_html_31e4ccc9.gif.

Значит, АВ= АN+ NВ= hello_html_615b8336.gif ,

РА = hello_html_m27613c84.gif, NР = АN – АР =hello_html_m58bb0add.gif.

Наконец, в ∆ NРС имеем hello_html_28aaaf73.gif=hello_html_m28eec5b7.gif или

NР hello_html_ff37a96.gif, откуда

hello_html_me399bb3.gif

и после преобразований находим hello_html_m4dd99139.gif.

8-й способ. В ∆ АВС (см.рис.5) имеем hello_html_2848ce05.gif=hello_html_6d2f3ed9.gif, откуда

ВС=hello_html_4ae1812a.gif .

Следовательно, ВС2=6 АР2 = 2АР hello_html_79c0f69b.gif 3АР=РВhello_html_79c0f69b.gif АВ, т.е. hello_html_m73a1cf89.gif.

Так как в треугольниках АВС и РВС угол В – общий и hello_html_m73a1cf89.gif, то

АВСhello_html_45c91c28.gif∆РВС.

Поэтому РСB=ВАС=45hello_html_m28215024.gif,АСР=60hello_html_m53cf353d.gif.



Автор
Дата добавления 30.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров89
Номер материала ДВ-567907
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх