"решение заданий В-7" егэ

• 1 слайд

  Решение заданий
  В8
  по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике
  

• 2 слайд

  Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к графику функции у = х2 + 8х + 6.
  Найдите абсциссу точки касания.
  Решение:
  Если прямая параллельна касательной к графику функции в какой-то точке (назовем ее хо), то ее угловой коэффициент (в нашем случае k = 4 из уравнения у = 4х +11) равен значению производной функции в точке хо:
  k = f ′(xo) = 4
  Производная функции
  f ′(x) = (х2 + 8х + 6)′ = 2x + 8.
  Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо, чтобы 2хo + 8 = 4,
  откуда хо = – 2.
  Ответ: – 2.
  №1
  

• 3 слайд

  Прямая у = 3х + 11 является касательной к графику
  функции у = x3 − 3x2 − 6x + 6.
  Найдите абсциссу точки касания.
  Решение:
  Заметим, что если прямая является касательной к графику, то ее угловой коэффициент (k = 3) должен быть равен производной функции в точке касания, откуда имеем Зх2 − 6х − 6 = 3, то есть Зх2 − 6х − 9 = 0 или х2 − 2х − 3 = 0. Это квадратное уравнение имеет два корня: −1 и 3. Таким образом есть две точки, в которых касательная к графику функции у = х3 − Зх2 − 6х + 6 имеет угловой коэффициент, равный 3.
  Для того чтобы определить, в какой из этих двух точек прямая
  у = 3х + 11 касается графика функции, вычислим значения функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной.
  Значение функции в точке −1 равно у(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8,
  а значение в точке 3 равно у(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Заметим, что точка с координатами (−1; 8) удовлетворяет уравнению касательной, так как 8 = −3 + 11. А вот точка (3; −12) уравнению касательной не удовлетворяет, так как −12 ≠ 9 + 11.
  Значит, искомая абсцисса точки касания равна −1.
  Ответ: −1.
  №2
  

• 4 слайд

  На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). В какой точке отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение.
  Решение:
  Заметим, что на отрезке [–8; –4]
  производная функции
  отрицательна, значит, сама функция убывает, а значит,
  наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правом
  конце отрезка, то есть в точке –4.
  Ответ: –4.
  №3
  –
  у = f ′(x)
  f(x)
  

• 5 слайд

  На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [– 6; 6].
  Решение:
  В точке экстремума производная функции
  равна 0 либо не существует.
  Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак либо с «+» на «–», либо с «–» на «+».
  Ответ: 3.
  №4
  +
  –
  –
  +
  
  у = f ′(x)
  

• 6 слайд

  Решение:
  Заметим, что на интервале (–4; 8) производная в точке
  хо = 4 обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак производной с «–» на «+», точка 4 и есть искомая точка экстремума функции на заданном интервале.
  №5
  На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 10). Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале (– 4; 8).
  .
  Ответ: 4.
  –
  +
  у = f ′(x)
  

• 7 слайд

  №6
  На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней.
  Ответ: 4.
  Решение:
  Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2x + 2 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент k = –2, а значит нам нужно найти
  количество точек, в которых производная функции
  f ′(x) = –2. Для этого на графике производной проведем прямую у = –2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. Таких точек 4.
  у = f ′(x)
  у = –2
  

• 8 слайд

  №7
  На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
  Ответ: 6.
  Решение:
  Заметим, что производная функции отрицательна, если сама функция f(x) убывает, а значит, необходимо найти количество целых точек, входящих в промежутки убывания функции.
  Таких точек 6:
  х = −4, х = −3, х = −2,
  х = −1, х = 0, х = 3.
  –2
  –1
  –3
  –4
  0
  3
  у = f(x)
  –6
  5
  у
  х
  

• 9 слайд

  0
  у = f(x)
  –6
  6
  у
  х
  2
  4
  6
  3
  5
  1
  №8
  На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = –5.
  Ответ: 6.
  Решение:
  Прямая у = −5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках
  k = f ′(х) = 0.
  В нашем случае – это точки экстремума.
  Таких точек 6.
  у = –5
  –5
  

• 10 слайд

  №9
  На рисунке изображен график у = f(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–7; 5) и
  касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо.
  Ответ: 1,25.
  Решение:
  Значение производной функции
  f ′(хo) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной,
  проведенной к графику этой функции в данной точке.
  В нашем случае k > 0, так как
  α – острый угол (tg α > 0).
  Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа.
  Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC.
  tg α = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25
  у = f(x)
  4
  А
  В
  С
  5
  хо
  α
  α
  

• 11 слайд

  180°− α
  №10
  На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–10; 2) и
  касательная к нему в точке с абсциссой хо.
  Найдите значение производной функции f(x) в точке хо.
  Ответ: −0,75.
  Решение:
  Значение производной функции
  f ′(хo) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной,
  проведенной к графику этой функции в данной точке.
  В нашем случае k < 0, так как
  α – тупой угол (tg α < 0).
  Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа.
  Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC.
  tg(180°− α) = ВС : АС = 6 : 8 = 0,75
  tg α = − tg (180°− α) = −0,75
  8
  А
  В
  С
  6
  хо
  α
  у = f(x)
  

• 12 слайд

  .
  
  На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11).
  Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
  у
  х
  у = f ′(x)
  0
  Решение:
  В точке экстремума производная функции
  равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек
  принадлежащих отрезку [−10; 10] пять.
  В точках х2 и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.
  –
  +
  –
  +
  –
  +
  х1
  х2
  х3
  х4
  х5
  max
  max
  Ответ: 2.
  f(x)
  –10
  10
  №11
  

• 13 слайд

  Прямая у = 4х – 4 является касательной к графику функции ах2 + 34х + 11. Найдите а.
  Решение:
  Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo + 34 = 4. То есть ахo = –15.
  Найдем значение исходной функции в точке касания:
  ахo2 + 34хo + 11 = –15xo + 34хo + 11 = 19хo + 11.
  Так как прямая у = 4х – 4 – касательная, имеем:
  19хo + 11 = 4хo – 4, откуда хo = –1.
  А значит a = 15.
  Ответ: 15.
  №12
  

• 14 слайд

  Прямая у = – 4х – 5 является касательной к графику функции 9х2 + bх + 20. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
  Решение.
  Если хо – абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = – 4 – 18хо.
  Аналогично задаче №12 найдем хо:
  9xo2 + (– 4 – 18хо) xo + 20 = – 4хo – 5,
  9xo2 – 4xo – 18хо2 + 20 + 4хo + 5 = 0,
  – 9xo2 + 25 = 0,
  хо2 = 25/9.
  Откуда xo = 5/3 или xo = –5/3.
  Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = – 4 – 18 ∙ 5/3, имеем b = –34.
  Ответ: –34.
  №13
  

• 15 слайд

  Прямая у = 2х – 6 является касательной к графику функции х2 + 12х + с. Найдите с.
  Решение.
  Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной.
  2хо + 12 = 2, откуда xo = –5.
  Значение исходной функции в точке –5 равно:
  25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2 ∙ (–5) – 6,
  откуда с = 19.
  Ответ: 19.
  №14
  

• 16 слайд

  Материальная точка движется прямолинейно по закону
  x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах,
  t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.
  Решение.
  Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t), равна значению производной функции х npu t = to,
  искомая скорость будет равна
  x ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2,
  x ′(6) = 6 – 2 = 4 м/с.
  Ответ: 4.
  №15
  

• 17 слайд

  Материальная точка движется прямолинейно по закону
  x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, где x – расстояние от точки отсчета в метрах,  
  t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?
  Решение.
  Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t), равна значению производной функции х npu t = to,
  искомая скорость будет равна
  x ′(to) = 0,5 ∙ 2to – 2 = to – 2,
  Т.к. по условию, x ′(to) = 4, то to – 2 = 4, откуда
  to = 4 + 2 = 6 м/с.
  Ответ: 6.
  №16
  

• 18 слайд

  На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6).
  Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
  Решение:
  Точки экстремума – это точки минимума и максимума.
  Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять.
  Найдем сумму их абсцисс:
  -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.
  Ответ: 6.
  №17
  у = f ′(x)
  
  
  
  

• 19 слайд

  На рисунке изображен график производной у = f ′(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8).
  Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
  у = f ′(x)
  +
  +
  Решение:
  Заметим, что функция f(x) возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции.
  Таких точек 7:
  х = −3, х = −2, х = 3,
  х = 4, х = 5, х = 6, х = 7.
  Их сумма:
  −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20
  
  
  
  
  
  
  
  7
  5
  3
  -3
  Ответ: 20.