Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

библиотека
материалов

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем, содержащих тригонометрические функции, как средство формирования универсальных учебных действий на уроках математики в процессе подготовки учащихся к ЕГЭ (профильный уровень)

Киселева М.В., учитель математики

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №17»

Цель: расширения спектра методов решения задач, способствующих углублению знаний, подготовки к ЕГЭ, а также интеллектуальному развитию учеников.

Задачи по формированию УУД

Познавательных:

Создание ситуации для формирования умения сравнивать и анализировать факты, осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задачи, осуществлять перенос знаний в новые условия.

Регулятивных:

Создание ситуации для оценки – выделения и осознания учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознания качества и уровня усвоения, на основе этого постановка учебной задачи, а также осуществление контроля в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном и коррекция своих действий (если возникла необходимость).

Коммуникативных:

Организация фронтальной и индивидуальной работы для формирования умения с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, проявлять инициативное сотрудничество в поиске информации, участвовать в коллективном обсуждении проблем, отстаивать свою точку зрения.

Для более эффективной организации повторения методов решения тригонометрических уравнений можно совместить эту работу с решением иррациональных уравнений и уравнений с модулем. Когда? В конце 10 класса во время итогового повторения на уроках; на факультативах, элективных курсах, во время индивидуальных занятий, в 11 классе в течение всего учебного года опять же на факультативах и индивидуальных занятиях, включать уравнения в домашние задания.

  1. Методом решения иррационального уравнения типа hello_html_me6eb88d.gif является равносильный переход к системе hello_html_m7d89001.gif

Уравнение

Ответ

Комментарии

hello_html_m133762dd.gif

hello_html_m6e1c11e8.gif

Используя основное тригонометрическое тождество. Уравнение сводится к квадратному; применяется формула косинуса двойного угла

hello_html_m3db7317b.gif

hello_html_51345305.gif

hello_html_m1ae9587b.gif

hello_html_1b62eabb.gif

hello_html_68e77fb7.gif

hello_html_1b52d5f5.gif;

hello_html_m5435263f.gif

Используя основное тригонометрическое тождество. Уравнение сводится к квадратному; применяется формула косинуса двойного угла, запись ответа содержит обратные тригонометрические функции не являющиеся частными случаями

hello_html_m5be8e26d.gif

hello_html_13caa27e.gif

hello_html_2fb8487f.gif

hello_html_mfdcda76.gif

hello_html_6d3cd2d2.gif

Прежде всего надо «уединить радикал»

hello_html_m10da9657.gif

hello_html_m25d22a9b.gif

hello_html_m5a6a26ca.gif

hello_html_64153cff.gifгде hello_html_10115395.gif

hello_html_daf3f09.gif

hello_html_m66ffc052.gif

hello_html_d70aec2.gif

hello_html_m44f39f03.gif

hello_html_m7c0645e8.gif

hello_html_m4cd221cc.gif

Уравнение сводится к квадратному. Ответ содержит обратные тригонометрические функции не являющиеся частными случаями. Неравенство более сложное.

hello_html_6b2c133f.gif

hello_html_m5d3929b9.gif

hello_html_4cb42544.gif

hello_html_1b06b41.gif;

hello_html_m7673aead.gif

Применяется вынесение за скобку общего множителя решение однородного уравнения 1-ой степени.

hello_html_1dba5ea8.gif

hello_html_1b52d5f5.gif;

hello_html_m50ab2452.gif

hello_html_79054a74.gif

hello_html_1b06b41.gif;

hello_html_2bc062bf.gif

В результате преобразований получается однородное тригонометрическое уравнение 2-ой степени.

hello_html_7786d7c7.gif

hello_html_1b06b41.gif;

hello_html_2478a742.gif

hello_html_6ec3b812.gif


Затрудняет решение сложный аргумент, в одном из уравнений надо применить формулу суммы косинусов.

hello_html_41dc5b8c.gif

hello_html_4ef7a21e.gif

hello_html_58d8064d.gif

hello_html_4f722500.gif;

hello_html_5c7998ac.gif

hello_html_25b7fec9.gif

hello_html_f29438e.gif;

hello_html_m336668ea.gif

hello_html_m23d1193b.gif

hello_html_m1e3f22e2.gif

hello_html_m29eb4f28.gif

При решении неравенства используется метод введения вспомогательного угла, может возникнуть трудность при проверке корней

hello_html_mf20acc3.gif

hello_html_1b06b41.gif;

hello_html_m41a1c7bf.gif

hello_html_m7b79d167.gif

hello_html_79a47d4f.gif;

hello_html_688ee316.gif

Применив условие равенства дроби нулю, тождество hello_html_56267fcd.gif и основное тригонометрическое тождество уравнение сводится к квадратному.

hello_html_m4c34692b.gif

hello_html_7551e749.gif


hello_html_23f119ac.gif

hello_html_64a2cd2a.gif



  1. Уравнения содержащие радикалы третьей степени, решают возведением в куб обеих частей уравнения, применяя при этом формулы куба суммы и разности в таком виде:

  • hello_html_4ab4ae53.gif

  • hello_html_6aad5a3b.gif

Уравнение

Ответ

hello_html_64c166ce.gif

hello_html_1b06b41.gif

hello_html_m4c3a2ecf.gif

hello_html_3aef6caa.gif;

hello_html_e9e34a2.gif

hello_html_m4599f438.gif

hello_html_16a96ac3.gif

  1. Уравнения, содержащие два и более квадратных корня.

Уравнение

Ответ

Комментарии

hello_html_f7c4e2.gif

hello_html_16a96ac3.gif, hello_html_m29eb4f28.gif

Так как выражения под знаком квадратного корня положительные, после преобразований (возведение в квадрат дважды) уравнение сводится к квадратному.

hello_html_m409159ad.gif

hello_html_64a2cd2a.gif



  1. Первый шаг при решении следующих уравнений заключается в ведении новой переменной.

Уравнение

Ответ

Комментарии

hello_html_77be4bd4.gif

hello_html_16a96ac3.gif;

hello_html_1b52d5f5.gif

hello_html_18b1f539.gif

hello_html_m171fb073.gif

hello_html_m7673aead.gif

hello_html_m56017127.gif



  1. Применить условие равенства произведения нулю требуется при решении следующих уравнений.

hello_html_3fd52e30.gif

hello_html_4dd5c52e.gif

hello_html_35980052.gif

hello_html_23370eab.gif

hello_html_6b9b9edc.gif

  1. Уравнения, в которых применяется тождество hello_html_729dcdb3.gif

Уравнение

Ответ

Комментарии

hello_html_cb57aa5.gif

hello_html_109af518.gif;

hello_html_14ad0484.gif

hello_html_m151853d8.gif

hello_html_323378c9.gif

hello_html_6d134d58.gif

hello_html_600a8735.gif

hello_html_m200e1af4.gif

hello_html_m50ecd284.gif;

hello_html_46325097.gif

hello_html_m429ca0bb.gif



  1. Раскрываем модуль по определению. Для проверки корней можно использовать единичную окружность.

Уравнение

Ответ

Комментарий

hello_html_61cf09cd.gif

hello_html_1b06b41.gif

hello_html_m5f01827a.gif

После раскрытия модуля получаем простейшее тригонометрическое уравнение

hello_html_m7182abae.gif

hello_html_1b52d5f5.gif

hello_html_1b796c1f.gif

После раскрытия модуля получаем однородное уравнение первой степени

hello_html_m6eeb1bb.gif

hello_html_m7673aead.gif

hello_html_m50ab2452.gif

hello_html_513073e.gif

hello_html_1b06b41.gif

hello_html_m50ab2452.gif

hello_html_medecf6d.gif

hello_html_79a47d4f.gif

hello_html_688ee316.gif

hello_html_cd0e5c8.gif

hello_html_5c7998ac.gif

hello_html_44a8d551.gif

hello_html_m7bf5ae0a.gif

После раскрытия модуля при решении уравнения используем разложение на множители

hello_html_bb9b821.gif

hello_html_78f43c01.gif

hello_html_5c7998ac.gif

hello_html_60e75dbc.gif

hello_html_m34a3b801.gif

После раскрытия модуля применим условие равенство дроби нулю

hello_html_m5fcd17c6.gif

hello_html_7551e749.gif

hello_html_7c5f7160.gif

hello_html_7551e749.gif

hello_html_m50ab2452.gif

hello_html_1b06b41.gif

После раскрытия модуля применим условие равенство дроби нулю, вынесение за скобку общего множителя и решим однородное тригонометрическое уравнение первой степени

hello_html_m3f4b038d.gif

hello_html_m558a114.gif

hello_html_m39be9756.gif

hello_html_48e79d20.gif

При решении придется сравнивать корни тригонометрического уравнения с числом (-3)

hello_html_6eccf31.gif

hello_html_1b62eabb.gif

hello_html_m25d22a9b.gif

После раскрытия модуля уравнение сводится к квадратному, усложняет решение аргумент hello_html_m3ce14501.gif

hello_html_74e61019.gif

hello_html_550056d0.gif

Применяется метод вспомогательного угла

hello_html_7d69a696.gif

hello_html_43d3c094.gif

hello_html_cfcccd1.gif

Для разложения на множители применяется группировка, усложняет решение проверка условия hello_html_306ff9de.gif

hello_html_78746640.gif

hello_html_m427a97ab.gif


hello_html_79407e45.gif

hello_html_5c7998ac.gif

hello_html_3f3caf58.gif

hello_html_m7d02b8c1.gif

Применив формулу суммы (разности) косинусов и формулу синуса двойного угла, разложить на множители, далее уравнение сводится к квадратному.

hello_html_17a544fa.gif

hello_html_m25d22a9b.gif

hello_html_m7673aead.gif

hello_html_7551e749.gif

hello_html_5858cdcd.gif

hello_html_16a96ac3.gif

В результате преобразований получаем однородное тригонометрическое уравнение второй степени



  1. Уравнения можно решить с помощью равносильного перехода к системе

hello_html_m4ab7bb52.gif

hello_html_m5c60a8ab.gif

Уравнение

Ответ

hello_html_m325146ae.gif

hello_html_75e721a.gif

hello_html_e9e34a2.gif

hello_html_1d3ab88e.gif

hello_html_e9e34a2.gif

hello_html_60aabf2a.gif

hello_html_m671e55f2.gif

hello_html_14c84c93.gif

hello_html_m76c643fa.gif

hello_html_m2702a105.gif

hello_html_60aabf2a.gif

hello_html_mb2a66bd.gif



  1. Уравнения можно решить с помощью равносильного перехода к системе

hello_html_m4ab7bb52.gif

hello_html_m1dea19a4.gif

Уравнение

Ответ

Комментарий

hello_html_798c0855.gif

hello_html_m76d246ff.gif

hello_html_16a96ac3.gif

hello_html_3f3f7604.gif

hello_html_451903f6.gifдля всех hello_html_m4f3a936b.gif


hello_html_10ce0deb.gif

hello_html_mc53747c.gif

hello_html_m7ecddf33.gif

hello_html_m287771f1.gifдля всех hello_html_m4f3a936b.gif



Литература

  1. Подготовка к единому государственному экзамену: математика. Методические материалы. Вологда 2009.

  2. Задачник-практикум по математике. Алгебра. Тригонометрия: для поступающих в вузы. /В.Н.Литвиненко, А.Г. Мордкович, М. 2005г.

  3. 3000 конкурсных задач по математике 2-е издание, М. 1998г.

  4. Математика. ЕГЭ – 2008. Вступительные испытания. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко – Ростов-на-Дону: Легион, 2007г.

Краткое описание документа:

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем, содержащих тригонометрические функции, как средство формирования универсальных учебных действий на уроках математики в процессе подготовки учащихся к ЕГЭ (профильный уровень)

Для более эффективной организации повторения методов решения тригонометрических уравнений можно совместить эту работу с решением иррациональных уравнений и уравнений с модулем. Когда? В конце 10 класса во время итогового повторения на уроках; на факультативах, элективных курсах, во время индивидуальных занятий, в 11 классе в течение всего учебного года опять же на факультативах и индивидуальных занятиях, включать уравнения в домашние задания.

Автор
Дата добавления 25.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров494
Номер материала 410035
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх