- 25.02.2015
- 772
- 0
Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем, содержащих тригонометрические функции, как средство формирования универсальных учебных действий на уроках математики в процессе подготовки учащихся к ЕГЭ (профильный уровень)
Киселева М.В., учитель математики
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №17»
Цель: расширения спектра методов решения задач, способствующих углублению знаний, подготовки к ЕГЭ, а также интеллектуальному развитию учеников.
Задачи по формированию УУД
Познавательных:
Создание ситуации для формирования умения сравнивать и анализировать факты, осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задачи, осуществлять перенос знаний в новые условия.
Регулятивных:
Создание ситуации для оценки – выделения и осознания учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознания качества и уровня усвоения, на основе этого постановка учебной задачи, а также осуществление контроля в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном и коррекция своих действий (если возникла необходимость).
Коммуникативных:
Организация фронтальной и индивидуальной работы для формирования умения с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, проявлять инициативное сотрудничество в поиске информации, участвовать в коллективном обсуждении проблем, отстаивать свою точку зрения.
Для более эффективной организации повторения методов решения тригонометрических уравнений можно совместить эту работу с решением иррациональных уравнений и уравнений с модулем. Когда? В конце 10 класса во время итогового повторения на уроках; на факультативах, элективных курсах, во время индивидуальных занятий, в 11 классе в течение всего учебного года опять же на факультативах и индивидуальных занятиях, включать уравнения в домашние задания.
I.Методом
решения иррационального уравнения типа 
является равносильный
переход к системе 
|
Уравнение |
Ответ |
Комментарии |
|
|
|
Используя основное тригонометрическое тождество. Уравнение сводится к квадратному; применяется формула косинуса двойного угла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя основное тригонометрическое тождество. Уравнение сводится к квадратному; применяется формула косинуса двойного угла, запись ответа содержит обратные тригонометрические функции не являющиеся частными случаями |
|
|
|
|
|
|
|
Прежде всего надо «уединить радикал» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение сводится к квадратному. Ответ содержит обратные тригонометрические функции не являющиеся частными случаями. Неравенство более сложное. |
|
|
|
|
|
|
|
Применяется вынесение за скобку общего множителя решение однородного уравнения 1-ой степени. |
|
|
|
|
|
|
|
В результате преобразований получается однородное тригонометрическое уравнение 2-ой степени. |
|
|
|
|
|
|
|
Затрудняет решение сложный аргумент, в одном из уравнений надо применить формулу суммы косинусов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При решении неравенства используется метод введения вспомогательного угла, может возникнуть трудность при проверке корней |
|
|
|
|
|
|
|
Применив
условие равенства дроби нулю, тождество |
|
|
|
|
|
|
|
II.Уравнения содержащие радикалы третьей степени, решают возведением в куб обеих частей уравнения, применяя при этом формулы куба суммы и разности в таком виде:
·
·
|
Уравнение |
Ответ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III.Уравнения, содержащие два и более квадратных корня.
|
Уравнение |
Ответ |
Комментарии |
|
|
|
Так как выражения под знаком квадратного корня положительные, после преобразований (возведение в квадрат дважды) уравнение сводится к квадратному. |
|
|
|
IV.Первый шаг при решении следующих уравнений заключается в ведении новой переменной.
|
Уравнение |
Ответ |
Комментарии |
|
|
|
|
|
|
|
|
V.Применить условие равенства произведения нулю требуется при решении следующих уравнений.
VI.Уравнения,
в которых применяется тождество 
|
Уравнение |
Ответ |
Комментарии |
|
|
|
|
|
|
|
|
VII. Раскрываем модуль по определению. Для проверки корней можно использовать единичную окружность.
|
Уравнение |
Ответ |
Комментарий |
|
|
|
После раскрытия модуля получаем простейшее тригонометрическое уравнение |
|
|
|
После раскрытия модуля получаем однородное уравнение первой степени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После раскрытия модуля при решении уравнения используем разложение на множители |
|
|
|
|
|
|
|
После раскрытия модуля применим условие равенство дроби нулю |
|
|
|
|
|
|
|
После раскрытия модуля применим условие равенство дроби нулю, вынесение за скобку общего множителя и решим однородное тригонометрическое уравнение первой степени |
|
|
|
При решении придется сравнивать корни тригонометрического уравнения с числом (-3) |
|
|
|
После
раскрытия модуля уравнение сводится к квадратному, усложняет решение аргумент
|
|
|
|
Применяется метод вспомогательного угла |
|
|
|
Для
разложения на множители применяется группировка, усложняет решение проверка
условия
|
|
|
|
|
|
|
|
Применив формулу суммы (разности) косинусов и формулу синуса двойного угла, разложить на множители, далее уравнение сводится к квадратному. |
|
|
|
|
|
|
|
В результате преобразований получаем однородное тригонометрическое уравнение второй степени |
VIII. Уравнения можно решить с помощью равносильного перехода к системе
|
Уравнение |
Ответ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IX. Уравнения можно решить с помощью равносильного перехода к системе
|
Уравнение |
Ответ |
Комментарий |
|
|
|
|
|
|
|
|
Литература
1. Подготовка к единому государственному экзамену: математика. Методические материалы. Вологда 2009.
2. Задачник-практикум по математике. Алгебра. Тригонометрия: для поступающих в вузы. /В.Н.Литвиненко, А.Г. Мордкович, М. 2005г.
3. 3000 конкурсных задач по математике 2-е издание, М. 1998г.
4. Математика. ЕГЭ – 2008. Вступительные испытания. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко – Ростов-на-Дону: Легион, 2007г.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем, содержащих тригонометрические функции, как средство формирования универсальных учебных действий на уроках математики в процессе подготовки учащихся к ЕГЭ (профильный уровень)
Для более эффективной организации повторения методов решения тригонометрических уравнений можно совместить эту работу с решением иррациональных уравнений и уравнений с модулем. Когда? В конце 10 класса во время итогового повторения на уроках; на факультативах, элективных курсах, во время индивидуальных занятий, в 11 классе в течение всего учебного года опять же на факультативах и индивидуальных занятиях, включать уравнения в домашние задания.
6 662 021 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Киселева Марина Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.