Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение алгебраических уравнений высших степеней
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Решение алгебраических уравнений высших степеней

библиотека
материалов

Урок обобщения и систематизации знаний в 9 классе.


Тема: Решение алгебраических уравнений высших степеней.


Развитие и образование ни одному человеку

не могут быть даны или сообщены.

Всякий, кто желает к ним приобщиться,

должен достигнуть этого

собственной деятельностью,

собственными силами,

собственным напряжением.

А.Дистервег.

Цели:

        1. Обобщить, углубить знания учащихся по этой теме.

        2. Развивать умение наблюдать, сравнивать способы решения уравнений, решать уравнения с параметрами.

        3. Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность. Побуждать учеников к взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.


Оборудование: Экран, мультимедийная установка, таблицы.


У учащихся на столе оценочный лист, работа каждого ученика на уроке связана с этим листом.

Оценочный лист учащегося

Фамилия, имя

Этапы

Задание

Оценка

I

Проверка домашнего задания


II

Диктант


III

Выбор уравнений


IV

Решение уравнений. Индивидуальная работа

Не оценивается

V

Решение уравнений с параметром

Не оценивается

VI

Самостоятельная работа


VII

Подведение итогов урока


VIII

Домашнее задание


Итоговое количество баллов:

(n)

Оценка




Критерии оценок:

«5» - 18 n 20 баллов;

«4» - 14 n 16 баллов;

«3» - 11 n 13 баллов;

«2» - менее 11 баллов.

Ход урока


Учитель. Тема урока: «Решение алгебраических уравнений».

На этом уроке каждый ученик должен уметь верно и рационально решать алгебраические уравнения, потому что эти уравнения – фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры.

Эта тема является ступенькой в изучении боле сложного материала математики в средней школе. В конце урока будет проведена самостоятельная работа.


I. Проверка домашнего задания

(На компьютере заранее подготовлено домашнее задание. Ученики отвечают по готовым записям, обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверки).


Предварительное домашнее задание

  1. Решить уравнение х3 – х + 4 = 0 – графическим способом;

  2. Решить уравнение х3 +2х2 -5х - 6 = 0;

  3. Решить уравнение hello_html_m3ef0dd9b.gif;

Решение первого уравнения.

Перепишем уравнение в виде: х3 = х – 4.

Построим графики функций у = х3 и у = х – 4.

hello_html_29dad700.gif у

-8 у=х3

hello_html_39e4ea9d.gif у = х - 4


-2 -1,9 0 4

hello_html_mdd1e313.gif


-4

А







Графики функций пересеклись в точке А. Абсцисса этой точки и есть корень уравнения х3 = х – 4.

По рисунку видно, что корень находится в промежутке (-2; 0) и приблизительно равен -1, 9. х -1,9.

Ответ: х -1,9.


Решение второго уравнения:

х3 +2х2 -5х - 6 = 0,

обозначим Р3(х) = х3 +2х2 -5х – 6. Делители 6: 1, 2, 3, 6.

Р3(2) = 8 +8 – 10 – 6 = 0, Р3(-2) ≠ 0, Р3(-3) = 0,

значит х1 = 2, х2 = -3 – корни уравнения,

тогда х3 +2х2 -5х – 6 = (х – 2)(х + 3)М1(х),

найдем М1(х)

hello_html_438e1b6b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_m441d7c7e.gifх3 +2х2 -5х – 6 х2 + х - 6

х3 + х2 – 6х х + 1

hello_html_m36d2df2a.gifhello_html_5951fc3b.gif х2 + х – 6

hello_html_m2823cef2.gif х2 + х – 6

0

Получим: х3 +2х2 -5х – 6 = (х – 2)(х + 3)(х + 1),

(х – 2)(х + 3)(х + 1) = 0, получим корни х1 = 2, х2 = -3, х3 = -1.

Ответ: х1 = 2, х2 = -3, х3 = -1.

Решение третьего уравнения :

hello_html_m7816f161.gif

Умножим это уравнение на (х – 2)(х + 3) ≠ 0, получим

2(х + 3) – 4х(х – 2) = 9х + 2,

3 + 12х2 – 4х2 +8х – 9х – 2 = 0,

3 + 8х2 –х – 2 = 0,

2 (х + 2) + (х + 2) = 0,

(х + 2) + (4х2 + 1) = 0. Откуда х = -2, а уравнение 4х2 + 1 = 0 не имеет действительных корней.

Проверка.

При х = -2, знаменатели дробей, входящие в исходные уравнения, не равны нулю, значит х = -2 – корень уравнения.

Ответ: х = -2.

В результате обсуждения и проверки домашней работы выясняем сущность способов решения уравнений.

  1. графического способа;

  2. решение уравнений с целыми коэффициентами;

  3. решение дробно-рационального уравнения;

Результаты выполнения домашнего задания заносятся в оценочный лист.

Оценка «5» - нет ошибок, «4» - 2 – 3 ошибки, «3» - более трех ошибок.

II. Диктант

(учитель диктует, но задания написаны на плакате, который висит на доске).

  1. - Назовите целые делители чисел 17, 12.

  2. - Решите уравнение 3х + 2 = 3х + 3.

  3. - Угадайте хотя бы один корень уравнения х3 - 10х + 9 = 0.

  4. - Решите уравнениеhello_html_9dc61e3.gif.

  5. - Делится ли нацело квадратный трехчлен х2 - 5х + 6 на х – 2?

  6. - Для какого из многочленов 2х3 - 3х2 + х – 5 и 2х3 - 3х2 + 3х корнем является число 0?


Диктант проверяется с помощью компьютера.

Критерии оценок: «5» - нет ошибок, «4» - одна ошибка, «3» - две ошибки.


III. На доске записаны уравнения в два столбика:


а) х3 + 7х2 – 2 = 0;

б) х5 + 4х4 – 5х3 + 2х2 – 2 = 0;

в) х4 – 3х2 + 2 = 0;

г) 3х3 + 6х2 – 3х – 6 = 0;

а) 4х5 - 6х4 + 7х3 – 3х2 + а = 0;

б) х4 – 6х3 + 5х2 + 7х + а = 0;

в) 2х2 – 3х2 + 4х + а = 0;

г) х3 - 7х2 + 7х + а = 0;


  1. 1) Выбрать из первого столбика уравнения, имеющие корень х = 1.

  2. При каком а каждое из уравнений второго столбика будет иметь корень х = 1.

Проверка задания осуществляется с помощью компьютера.

Критерии оценок: «5» - нет ошибок, «4» - одна ошибка, «3» - две ошибки.

IV. Индивидуальная работа


У доски три ученика решают уравнения, записанные на карточках.

  1. 3 - 3х2 + 4х – 3 = 0;

  2. х4 – 6х3 + 5х2 + 7х – 7 = 0;

  3. х3 - х2 - 8х + 6 = 0;

Остальные учащиеся решают уравнение

4 – 5х3 - х2 + 5х + 2 = 0

Один из учащихся комментирует ход решения с места.

Это возвратное уравнение. х = 0 не является корнем уравнения. Делим уравнение на х2.

hello_html_m57d9a042.gif;

hello_html_555702fb.gif;

hello_html_m256da8b9.gif.

Вводим замену hello_html_22c7cfd6.gif, hello_html_1e00fe1c.gif, hello_html_5a05ab22.gif, тогда

2(t2 + 2) – 5t -1 = 0; 2t2 + 4 – 5t – 1 = 0;

2t2 – 5t + 3 = 0; D = 25 – 24 = 1.

t1 = 3/2; t2 = 1.

hello_html_m56eeb839.gif; hello_html_m4c1f9b27.gif.

Решая первое уравнение, получим: hello_html_13758ef2.gif, х1 = 2, х2 = -1/2.

Решая второе уравнение, получим: hello_html_m2ae288a6.gif.

Ответ: х1 = 2, х2 = -1/2, hello_html_m43a77fd4.gif, hello_html_7183d7be.gif.

Работу учащихся оценивает учитель:

«5» - нет ошибок, «4» - одна ошибка, «3» - две ошибки.

Решение третьего уравнения х3 - х2 - 8х + 6 = 0.

Делители 6: 1, 2, 3, 6.

Обозначим Р3(х) = х3 - х2 - 8х + 6,

Р3(2) ≠ 0, Р3(-2) ≠ 0, Р3(3) = 27 - 9 - 24 + 6 = 0, х1 = 3 – корень.

Р3(х) = (х – 3)М2(х). Найдем М2(х).

хhello_html_5951fc3b.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_m9534073.gif3 - х2 - 8х + 6 х-3

х3 - 3х2 х2 + 2х - 2

hello_html_m59492c59.gifhello_html_5951fc3b.gif2–8х +6

hello_html_m9534073.gif2–6х

hello_html_5951fc3b.gif -2х + 6

hello_html_1cbd7991.gif -2х + 6

0

х3 - х2 - 8х + 6 = (х – 3)( х2 + 2х – 2);

(х – 3)( х2 + 2х – 2) = 0;

х1 = 3, hello_html_m7cfb5be8.gifhello_html_4d30bd57.gif, hello_html_m72810bb4.gif.

Ответ: х1 = 3, hello_html_1b66fd1e.gif,hello_html_m72810bb4.gif.


V. Решение уравнений, содержащих параметр.

На доске три уравнения.

  1. ах3 - 2х2 - 5х + 6 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен – 2.

  2. х3 + ах2 - 5х + 6 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен 3.

  3. х3 - х2 + ах + 12 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен – 3.

Ученик решает первое уравнение на доске.

ах3 - 2х2 - 5х + 6 = 0

Ученик. Так как -2 является корнем уравнения, то

а(-2)3 – 2(-2)2 – 5(-2) + 6 = 0

-8а – 8 + 10 + 6 = 0, а = 1, тогда х3 - 2х2 - 5х + 6 = 0.

Сумма коэффициентов равна нулю, значит х = 1 является корнем уравнения, т.е. два корня найдены. Находим третий корень.

hello_html_5951fc3b.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_m9534073.gifх3 - 2х2 - 5х + 6 х2 + х - 2

х3 + х2 - 2х х-3

hello_html_m9534073.gifhello_html_5951fc3b.gif-3х2–3х +6

hello_html_m9534073.gif-3х2–3х +6

0

- 2х2 - 5х + 6 = (х + 2)(х – 1)(х – 1), х = 3 – третий корень.

Ответ: х1 = -2, х2 = 1, х3 = 3.


Второе уравнение решает другой ученик на доске с комментариями, а третий ученик в это время решает третье уравнение на обратной стороне доски.


Решение третьего уравнения проверяем все вместе.

х3 - х2 + ах + 12 = 0

Так как х = -3, то -27 – 9 – 3а + 12 = 0, -3а = 24, а = -8.

Тогда х3 - х2 – 8х + 12 = 0; Р3(х) = х3 - х2 - 8х + 12 = (х + 3)М2(х),

hello_html_5951fc3b.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_m9534073.gifх3 - х2 - 8х + 12 х +3

хhello_html_m9534073.gif3 +3х2 х2 - 4х + 4

hello_html_5951fc3b.gif- 4х2–8х +12

hello_html_m9534073.gif2–12х

hello_html_5951fc3b.gif 4х+12

hello_html_1cbd7991.gif 4х +12

0

х3 - х2 – 8х + 12 = (х + 3)(х2 - 4х + 4); (х + 3)(х2 - 4х + 4) = 0;

Корнями уравнения являются х1 = - 3, х2 = 2, х3 = 2.

Ответ: х1 = - 3, х2,3 = 2


VI. Самостоятельная работа по вариантам


I вариант II вариант

1) Решите уравнение

х3 - 4х2 - 9х + 36 = 0 х3 - 5х2 - 8х + 40 = 0

2) Решите уравнение

hello_html_m61c0e22f.gif hello_html_10807054.gif

3) Найдите а и решите уравнение, если известен один из его корней

3 – (а+4)х2 + 2(а - 1)х + а = 0 6х3 + 2(а-9)х2 - 3(2а - 1)х + а = 0

х1 = 1/2 х1 = 1/3

Ответы:

1) х1 = - 3, х2 = 3, х3 = 4 1) х1 = 5, hello_html_59f831fc.gif , х3 =hello_html_m109f702.gif

2) х = 1 2) х1 = 1/2, х2 = - 1/3

3) а = 1, х1 =1/2, hello_html_m6839a78d.gif 3) а = -1, х1 = 1/3, hello_html_m44d89a14.gif

Самостоятельная работа выполняется на листочках . Листок ученики подписывают и сдают учителю, предварительно выписав свои ответы в тетради. Проверка, оценивание и подведение итогов осуществляется при помощи компьютера.

Критерии оценок:

«5» - выполнено верно,

«4» - за два правильных задания,

«3» - за одно задание.


VII. Подведение итогов урока


Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели урока, оценивает работу каждого ученика, дает пояснение по домашнему заданию.


VIII. Домашнее задание


Если ученик получил оценку «4» или «5», то задание такое:

Решить уравнения

  1. 4 - 11х2 + 9х - 2 = 0

  2. hello_html_1bcd309f.gif


Если ученик получил оценку «3», то решить уравнения:

  1. х3 - 3х - 2 = 0

  2. х3 - 4х2 + 5х - 2 = 0

6


Краткое описание документа:

Умение решать уравнения первой и второй степени входит в прожиточный минимум любого выпускника средней школы. А как быть с уравнениями выше второй степени. Такие уравнения называют уравнениями высших степеней,изучение их в общем виде выходит за рамки программы средней школы.

Однако есть уравнения, которые легко решаются заменой, разложением на множители, с помощью функционально - графического способа. 

Цель моего урока - это уметь сравнивать способы решения уравнений, развивать умение наблюдать,воспитывать активность,самостоятельность,также уметь решать уравнения высших степеней с параметром.                                       

 

 

 

 

Автор
Дата добавления 04.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров996
Номер материала 363339
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх