Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / "Решение иррациональных уравнений и неравенств"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

"Решение иррациональных уравнений и неравенств"

библиотека
материалов
hello_html_m5670cf4c.gifhello_html_32ab584e.gifhello_html_c3770e.gifhello_html_m497569e4.gifhello_html_m497569e4.gifhello_html_m497569e4.gifhello_html_m1fea237c.gifhello_html_m1fea237c.gifhello_html_m1fea237c.gifhello_html_m744cbcb3.gifhello_html_m5a4c8cf0.gifhello_html_m744cbcb3.gifhello_html_m4e844a11.gif

Решение иррациональных уравнений и неравенств.

Иррациональные уравнения всегда были в экзаменационном материале выпускных и вступительных экзаменов. В современных контрольно – измерительных материалах ЕГЭ по математике явно или неявно они присутствуют. Простейшие иррациональные уравнения встречались учащимися в 8 – м классе, а более сложные рассматриваются, как правило, только в 11 – м. Поэтому часто возникают иллюзии, что этот материал повторять к экзамену не нужно. При всей простоте решения школьных иррациональных уравнений, ошибок всегда много. Упомянем основные. Возведя в квадрат обе части уравнения, выпускники не считают нужным (или забывают) сделать проверку. Очень часто, записав необходимые условия и отдав тем самым дань форме записи решения иррационального уравнения, одиннадцатиклассники никак не связывают эти условия с найденными значениями переменной. Мало рассматривается уравнений типа hello_html_a85955a.gif + hello_html_m42656148.gif = h (х). Ещё одно заблуждение заключается в очевидности решения уравнений типа hello_html_1ce0ba11.gif = g (х) или hello_html_1ce0ba11.gif + hello_html_m2d9276e9.gif = с, которые либо не рассматриваются вообще, либо решается одно – два уравнения. Но при возведении в степень нужно применять формулы сокращённого умножения, а для многих выпускников куб суммы и куб разности – это давно забытое прошлое.

Иррациональные уравнения.

Простейшее иррациональное уравнение имеет вид: hello_html_a85955a.gif = g (х). Методы решения иррациональных уравнений основаны, как правило, на возможности перехода от иррационального уравнения к рациональному, которое либо равносильно исходному, либо является его следствием. Поэтому есть два способа решения иррациональных уравнений: а) переход к рациональному уравнению – следствию с последующей проверкой корней; б) переход к равносильной системе. Краткие теоретические сведения. Уравнение hello_html_a85955a.gif = g (х) равносильно системе: hello_html_c8bb578.gif В системе есть избыточное условие: из уравнения следует выполнение первого неравенства. Избыток не является ошибкой. Так лучше запоминается: арифметический квадратный корень определён для неотрицательного числа; арифметический квадратный корень принимает неотрицательные значения; корнем из неотрицательного числа является такое неотрицательное число, квадрат которого равен числу, записанному под корнем. Другое решение часто называют «методом равносильности». Уравнение hello_html_a85955a.gif = g (х) равносильно системе: hello_html_27d6f0d8.gif Примеры с решениями. 1. Решить уравнение hello_html_m75e9bbc1.gif = hello_html_7f3d407f.gif Решение. Уравнение равносильно системе: hello_html_de08239.gif hello_html_m14e74b32.gif Корни квадратного уравнения: - 4; 2. Корень иррационального уравнения: - 4. Ответ: - 4. 2. Найти сумму корней уравнения: hello_html_fefa8de.gif = 5 – х.

Решение. Уравнение равносильно системе: hello_html_m5a2b3fe7.gif hello_html_326a0811.gif hello_html_m511a0647.gif hello_html_m74d56d16.gif Корни иррационального уравнения: - 4; 0,5. Их сумма равна – 3,5. 3. Найти сумму корней уравнения ( х + 2) hello_html_6840b0c9.gif = 6х + 12. Решение. Перепишем уравнение в виде: (х + 2)(hello_html_6840b0c9.gif - 6) = 0. Найдём ОДЗ переменной: х² - х – 20 ≥ 0, х hello_html_m375e1608.gif; - 4] U [ 5; + hello_html_m192b6b21.gif). Так как произведение равно 0, получим: х + 2 = 0 или hello_html_6840b0c9.gif = 6, то есть х = - 2 или х² - х – 20 = 36. Решив данные уравнения, получим корни: х =2, х = 8. х = -7. Значение х = - 2 не входит в область ОДЗ уравнения, следовательно корни иррационального уравнения: 8; - 7. Их сумма равна 1. 4. Найти сумму корней уравнения: hello_html_m5f503f91.gif - hello_html_m403031bf.gif = 2. Решение. Перепишем уравнение в виде: hello_html_m5f503f91.gif = 2 + hello_html_m403031bf.gif, возведём в квадрат обе части уравнения и получим: 2х + 6 = 4 + 4hello_html_m403031bf.gif + х + 1, х + 1 = 4hello_html_m403031bf.gif, (х + 1)² = (4hello_html_m403031bf.gif)²; х² + 2х + 1 = 16х + 16, решив данное уравнение получим корни: - 1; 15. Так как при возведении в квадрат мы получили уравнение – следствие, то необходимо сделать проверку. При х = - 1 и при х = 15 исходное уравнение обращается в верное равенство, поэтому оба числа являются корнями уравнения. Сумма корней равна – 1 + 15 = 14. 5. Решить уравнение: hello_html_m475f9bde.gif + hello_html_m7bf02b91.gif = 3. Решение: Данное уравнение можно решить аналогично предыдущему – при помощи возведения в квадрат и последующей проверке; покажем другой способ решения этого уравнения. Найдём ОДЗ переменной, решив систему hello_html_69a301c9.gif х ≥ 6. Функция у = hello_html_m475f9bde.gif + hello_html_m7bf02b91.gif является возрастающей на промежутке [6; + hello_html_m192b6b21.gif), поэтому данное уравнение имеет только один корень (теорема о корне). Легко видеть, что при х = 6 получается верное числовое равенство, значит, 6 единственный корень исходного уравнения. Ответ: 6. 6. Найти корни уравнения: hello_html_117617d7.gif - 2hello_html_52d36051.gif = 1. Решение. Пусть hello_html_117617d7.gif = у ( по определению арифметического квадратного корня у ≥ 0). Получим уравнение у - hello_html_m3e66e11d.gif = 1. Корнями этого уравнения являются числа 2 и – 1, из которых удовлетворяет условию у ≥ 0 только число 2. Получим: hello_html_117617d7.gif = 2, hello_html_m4a2efd32.gif = 4, откуда х = 2,5. Ответ: 2,5. 7. Решить уравнение: hello_html_m668c84a4.gif - 2hello_html_m31b58416.gif = hello_html_m2ea4df43.gif. Решение. Найдём ОДЗ переменной: 25 - х² ≥ 0, это промежуток – 5 ≤ х ≤ 5. Разделим обе части уравнения на hello_html_me832abb.gif ( Легко проверить. Что х = 5 не является корнем уравнения). Тогда получим уравнение hello_html_m10ddcb25.gif - 2 = hello_html_31a608d1.gif ; Пусть hello_html_31a608d1.gif = t, t ≥ 0, имеем уравнение t² - t – 2 = 0, откуда t = 2 или t = - 1. Условию t ≥ 0 удовлетворяет число 2. Получим: hello_html_31a608d1.gif = 2, hello_html_m3689d25c.gif = 64, х = hello_html_m139627ce.gif Ответ: hello_html_m2aeb5612.gif. 8. Решить уравнение hello_html_m3337fcae.gif = 1 - hello_html_m4b81c05.gif Решение. Пусть hello_html_m3337fcae.gif = а,hello_html_3d61112a.gif = в, в ≥ 0. Имеем уравнение: а = 1 – в. Так как hello_html_m3337fcae.gif = а иhello_html_3d61112a.gif = в, то 2 – х = а³ и х – 1 = в². Сложив два последних уравнения, получим: а² + в² = 1. Таким образом получаем систему уравнений hello_html_6b4e16bb.gif hello_html_m476e5324.gif Решив первое уравнение системы, получим а = 0, а = 1, а = - 2. Тогда hello_html_m61d62fad.gif или hello_html_m1a9318b6.gif или hello_html_m360e1f8a.gif Откуда hello_html_e3e69c0.gif или hello_html_66dfc47d.gif или hello_html_a9a71ab.gif, Решив системы уравнений, найдём: х = 1, х = 10, х = 2. Ответ: 1; 10; 2. 9. Решить уравнение hello_html_m54273049.gif + hello_html_7924ff8d.gif = 2. Решение. Можно подметить, что hello_html_m54273049.gif = ( hello_html_m403031bf.gif + 1)², hello_html_7924ff8d.gif = ( hello_html_m403031bf.gif - 1)², следовательно, имеем уравнение : hello_html_1030879.gif + hello_html_m7d6fb5f0.gif = 2, hello_html_a174595.gif + hello_html_m105f05a1.gif = 2. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: hello_html_m3e6bffbd.gif или hello_html_m383c48ab.gifРешением первой системы будет 0, решением второй системы – все числа, удовлетворяющие неравенству - 1 ≤ х ≤ 0. Ответ: hello_html_m257bdd5.gif. Тренировочные упражнения. Базовый уровень 1. Найдите корни уравнения hello_html_36295489.gif = hello_html_m22c26cdd.gif Решите уравнения (2 – 8). Если оно имеет более одного корня, то в ответе запишите сумму корней уравнения. 2. hello_html_34c06319.gif = 2. 3. hello_html_70795745.gif = - 4. 4. hello_html_m686fe7ff.gif = 1 – х. 5. hello_html_286cf166.gif = - х. 6. (х + 1)hello_html_m3cbe9ed1.gif = 2х + 2. 7. hello_html_2d8e30a1.gif - hello_html_22577e71.gif = 1. 8. hello_html_33197776.gif = hello_html_5ed11815.gif Повышенный уровень. Решите уравнение (9 – 13). Если уравнение имеет больше одного корня, то в ответе запишите наименьший корень уравнения. 9. hello_html_66f5a0cf.gif + hello_html_97a1f18.gif = 5. 10. - hello_html_m6e4d9a2d.gif + 6 = hello_html_m586ec891.gif. 11. х hello_html_5f573a74.gif - hello_html_2e10ba14.gif = 2. 12. х² - 4х + 6 = hello_html_28436bbb.gif. Тренировочный тест №1. 1. Решите уравнение hello_html_22577e71.gif - hello_html_m579b6830.gif = 1. 2. Решите уравнение hello_html_m70477bd0.gif = - х. 3. Решите уравнение hello_html_m12e0b687.gif = х + 1. 4. Решите уравнение hello_html_37ff9573.gif= hello_html_45df5548.gif. 5. Решите уравнение hello_html_m46229b1b.gif = hello_html_761a9bcf.gif . 6. Найдите произведение корней уравнения (х + 1)hello_html_4dfca086.gif = 3х + 3. 7. Найдите корни уравнения 2hello_html_3d61112a.gif + hello_html_743e68f8.gif = 2. 8. Решите уравнение hello_html_3d61112a.gif · hello_html_m5f503f91.gif = х + 3. 9. Найдите произведение корней уравнения hello_html_50b42029.gif - 2hello_html_1d201b15.gif = 3. 10. Найдите наименьший корень уравнения 3х² + 15х + 2hello_html_m2be4d48b.gif = 2. 11. Найдите сумму корней уравнения 40 – 14х + х² = 2(х – 4)hello_html_22577e71.gif 12. Решите уравнение х(3х + 4) + 4хhello_html_m2dd422a5.gif + 4 = 0. Ответы: 1) 9; 2) – 4; 3) 3; 4) – 7; 5) – 2; 6) – 8; 7) 1; 8) 5; 9) – 49; 10) – 5; 11) 28; 12) – 2. Тренировочный тест №2. Ответом на задания 1 – 11 должно быть целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. 1. Решите уравнение hello_html_52c2d96a.gif = х. 2. Решите уравнение х = 1 + hello_html_m75dadba8.gif . 3. Решите уравнение 1 + hello_html_m7d42cfbd.gif = х. 4. Решите уравнение hello_html_m31094d75.gif = hello_html_3d61112a.gif + 2. 5.Решите уравнение hello_html_30b5d018.gif hello_html_m403031bf.gif =2. 6. Решите уравнение hello_html_48e63ae9.gif hello_html_m475f9bde.gif = 1. 7. Решите уравнение hello_html_m1c28ccac.gif + hello_html_m50df1036.gif = 30. 8. Решите уравнение х² + hello_html_m76a7f628.gif = 22. 9. Решите уравнение hello_html_2cc2322e.gif - 2hello_html_a301a51.gif = 0. 10. Решите уравнение hello_html_m3a6192d6.gif - hello_html_5d20e3e0.gif = 1. 11. Решите уравнение hello_html_m32b35b53.gif + hello_html_a301a51.gif = hello_html_15346c57.gif. Ответы: 1)2; 2) 3; 3) 7; 4) 1; 5; 5) -1; 3; 6) 1,5; 7) 630; 8) – 4; 4. 9) – 2; 10) – 3; 4. 11) – 3; - 0,5; 2. Итоговый тест. 1. Найдите произведение корней уравнения hello_html_2034a838.gif = 6. 2. Найдите отрицательные корни уравнения hello_html_7db4997e.gif = 1. 3. Решите уравнение hello_html_m96f486d.gif = 5 – х. 4. Найдите корни уравнения hello_html_5b967341.gif - 3 = 2hello_html_27b8c6eb.gif . 5. Решить уравнение 2hello_html_22577e71.gif + hello_html_m96f486d.gif = 5. 6. Найдите наибольший корень уравнения х² + 4 = 5hello_html_m671f68cc.gif . 7. Найдите корни уравнения hello_html_m2c676194.gif = hello_html_49416cdd.gif. 8. Решите уравнение hello_html_m52683d41.gif + 3hello_html_22577e71.gif = 6. 9. Найдите сумму корней уравнения hello_html_m259f060f.gif + hello_html_m4f2ea39a.gif = hello_html_52c2d96a.gif . 10. Решите уравнение hello_html_m14b0e5ea.gif + hello_html_m5cc2798d.gif = - х² + 4х. 11. Решите уравнение hello_html_m683f4122.gif = 2 - hello_html_af670af.gif. 12. Найдите наименьший положительный корень уравнения hello_html_m3e8e0191.gif + х = hello_html_d011a50.gif. Ответы: 1) 0. 2) – 1. 3) 4. 4) 729. 5) 4. 6) hello_html_m1b68764f.gif. 7) – 4. 8) 1. 9) 6,4. 10) 2. 11) 7. 12) 0.

Иррациональные неравенства. Решение иррациональных неравенств не входит стандарт среднего (полного) общего образования по математике базового уровня, для профильного уровня эта тема также не является обязательной. Тем не менее желательно, чтобы выпускники имели представление о решении иррациональных неравенств. Поэтому им следует показать решение и «через систему неравенств», и применение методов интервалов. Краткие теоретические сведения. Неравенство hello_html_567b6b85.gif hello_html_m30bfbdb1.gifg (х) равносильно совокупности двух систем: hello_html_m5422364a.gif или hello_html_m1a303d0c.gif Неравенство hello_html_567b6b85.gif hello_html_321af85f.gif равносильно системе неравенств hello_html_40630376.gif Алгоритм решения неравенства hello_html_567b6b85.gif hello_html_m7c48e444.gifg (х) методом интервалов: 1) найти область определения функции у = hello_html_567b6b85.gifg(х); 2) решить уравнение hello_html_567b6b85.gif hello_html_m7c48e444.gifg (х); 3) отметить на координатной прямой область определения функции, корни уравнения (нули функции) и определить знак выражения hello_html_567b6b85.gifg(х) на каждом из полученных интервалов. Для решения неравенства hello_html_m21a388a3.gif hello_html_m7c48e444.gifg (х) нужно обе части возвести в степень 2к + 1, при этом получится равносильное неравенство f(х) hello_html_m7c48e444.gif hello_html_57592974.gif Примеры с решениями. 1. Решить неравенство hello_html_292e49f9.gif hello_html_m10c837e6.gif Решение: Так как обе части неравенства неотрицательны, то это неравенство равносильно неравенству 8х – 3 hello_html_m16fc3f30.gif Ответ: (3,5; + hello_html_50909287.gif 2. Решить неравенство hello_html_m3e823808.gif hello_html_7bbd2db.gif. Решение. Поскольку обе части неравенства неотрицательны и подкоренное выражение должно быть неотрицательным, значит, данное неравенство равносильно системе: hello_html_m794678e2.gif hello_html_m3f6701e6.gif Ответ: (- 1,75; 0,5]. 3. Решить неравенство hello_html_529b13ad.gif hello_html_m7c48e444.gif hello_html_390d76e0.gif Данное неравенство равносильно системе: hello_html_m6eb6dc05.gif hello_html_m113decec.gif Ответ: [- 1,6; - 0,75). 4. Решить неравенство hello_html_m15036a74.gif hello_html_20752161.gif hello_html_m18bd8242.gif решив систему неравенств, получим 4hello_html_m5ee3b8a0.gif Ответ: hello_html_m1e4051bc.gif 5. Решить неравенство hello_html_m73419e02.gif hello_html_m34b68b74.gif Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: hello_html_1c4a6fda.gif или hello_html_7b2c08eb.gifРешим первую систему hello_html_c20663e.gif, решим вторую систему hello_html_3bb16bd9.gif тогда решение исходного неравенства: ( - hello_html_5f0f7c19.gif Ответ: ( - hello_html_5f0f7c19.gif 6. Решить неравенство hello_html_1ea657e1.gif hello_html_m30bfbdb1.gif 0. Решение. Решим данное неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию f(х) = hello_html_1ea657e1.gif . Найдём область определения функции hello_html_m2e4e5f24.gif D(f) = ( - hello_html_mad5714d.gif hello_html_600c30a2.gif Найдём нули функции: f(х) = 0 при х = - 3 и х = - 1. Далее имеем: х hello_html_m4ad35bde.gif hello_html_600c30a2.gif

- 4 -3 -1 х Ответ: hello_html_m6f70aa01.gif hello_html_600c30a2.gif 7. Решите неравенство hello_html_37ff9573.gif + hello_html_743e68f8.gif hello_html_m697907c8.gif Решение. Решим данное неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию f(х) = hello_html_37ff9573.gif + hello_html_743e68f8.gif hello_html_6585f040.gifD(f) = [hello_html_7f4939bb.gif Так как функция f(х) = hello_html_37ff9573.gif + hello_html_743e68f8.gif hello_html_30dcda55.gif является возрастающей на множестве [hello_html_34e185ef.gif то уравнение f(х) = 0 имеет не более одного решения. Легко видеть, что х = 1 является корнем уравнения. Далее имеем: - + Ответ: [hello_html_7f4939bb.gif 0,5 1 8. Решить неравенство hello_html_bb4f883.gif - hello_html_m29abdae0.gif hello_html_d477b9.gif Решение. Пусть 3х² + 5х + 2 = у, уhello_html_m3134da24.gif. Тогда hello_html_m17ae97b9.gif - hello_html_44f5d467.gif hello_html_44d51cb0.gif hello_html_m17ae97b9.gif hello_html_m7c48e444.gif 1 + hello_html_44f5d467.gif. Это неравенство равносильно системе: hello_html_m3fb80c82.gif hello_html_69c8bd91.gif 0 hello_html_5a0265af.gif Теперь перейдём к системе: hello_html_m5e23232d.gif hello_html_436a5895.gif Ответ: ( - 2; - 1)hello_html_bf26d6a.gif; hello_html_7f8f9891.gif).

Тренировочные упражнения. 1. Найдите число целых решений неравенства hello_html_m259f060f.gif hello_html_b6d03ae.gif 2. Найдите наибольшее целое решение неравенства hello_html_m20979812.gif hello_html_2236a0f0.gif 3. Найдите количество целых чисел, которые не являются решением неравенства hello_html_9d30a39.gif hello_html_ma08f320.gif 4. Найдите сумму целых решений неравенства hello_html_58ce269a.gif hello_html_m45dad375.gif 5. Найдите количество целых решений неравенства х - 4hello_html_743e68f8.gif hello_html_m360d6129.gif. 6. Найдите сумму целых решений неравенства (х – 2)hello_html_6d15a8b8.gif hello_html_m3134da24.gif. 7. Найдите количество целых решений неравенства hello_html_m14293992.gif hello_html_20752161.gif 8. Решите неравенство hello_html_m8a46413.gif - 2hello_html_m79a74495.gif hello_html_m30bfbdb1.gif 3. 9. Найдите количество целых решений неравенства hello_html_c6910eb.gif hello_html_m2adeb00a.gif + hello_html_m20979812.gif . Тренировочный тест 1. 1. Найдите наименьшее решение неравенства hello_html_m50df1036.gif hello_html_m30bfbdb1.gif - 2. 1) – 2. 2) 0. 3) 5. 4) другой ответ. 2. Найдите наименьшее решение неравенства hello_html_2d8e30a1.gif hello_html_m30bfbdb1.gif hello_html_3a5c2f0a.gif 1) – 5. 2) 0. 3) hello_html_3a5c2f0a.gif 4) 5. 3. Найдите количество целых решений неравенства hello_html_42b116a7.gif hello_html_mad465f3.gif. 1) 13. 2) 12. 3) 11. 4) другой ответ. 4. Найдите количество целых решений системы hello_html_7be4c88e.gif hello_html_m7c48e444.gif1. 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4. 5. Найдите наименьшее целое решение неравенства hello_html_42b116a7.gif hello_html_mad465f3.gif . 1) – 1; 2) -2; 3) 5; 4) 6. 6. Найдите сумму целых решений неравенства hello_html_m259f060f.gif + hello_html_m20979812.gif hello_html_m808de5.gif 7. Найдите сумму наибольшего отрицательного и наименьшего положительного решений неравенства (х² + 3х – 10)hello_html_m7e50f47a.gif hello_html_m30bfbdb1.gif0. 8.

Краткое описание документа:

Иррациональные уравнения всегда были в экзаменационном материале выпускных и вступительных экзаменов. В современных контрольно – измерительных материалах ЕГЭ по математике явно или неявно они присутствуют.                                                           Простейшие иррациональные уравнения встречались учащимися в 8 – м классе, а более сложные рассматриваются, как правило, только в 11 – м. Поэтому часто возникают иллюзии, что этот материал повторять к экзамену не нужно.                                                При всей простоте решения школьных иррациональных уравнений, ошибок всегда много. Упомянем основные. Возведя в квадрат обе части уравнения, выпускники не считают нужным (или забывают) сделать проверку. Очень часто, записав необходимые условия и отдав тем самым дань форме записи решения иррационального уравнения, одиннадцатиклассники никак не связывают эти условия с найденными значениями переменной.

Общая информация

Номер материала: 571208

Похожие материалы