Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Решение логарифмических неравенств удобным способом

Решение логарифмических неравенств удобным способом

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Лысенко О.А. Выступление на МО ЕМЦ.


Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида

hello_html_m5f3f09e2.png (1)

является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:

hello_html_m30cc6cf1.pnghello_html_m6c04d53d.png

Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени.

Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий способ решения этого стандартного неравенства. Для этого учтем следующую теорему.

Теорема 1. Пустьhello_html_m7eaedf25.png непрерывная возрастающая функция на множестве X. Тогда на этом множестве знак приращения функции будет совпадать со знаком приращения аргумента, т.е. hello_html_m10eed3b8.png, где hello_html_7ef8532b.png.

Примечание: если hello_html_m7eaedf25.png непрерывная убывающая функция на множестве X, то hello_html_m3419fc5b.png.

Вернемся к неравенству hello_html_m5f3f09e2.png. Перейдем к десятичному логарифму (можно переходить к любому с постоянным основанием больше единицы).

hello_html_m2a71ae23.png hello_html_m6957c38e.pnghello_html_709f2cdb.png.

Теперь можно воспользоваться теоремой, заметив в числителе приращение функций hello_html_34710c94.png и в знаменателе hello_html_50320f9.png. Таким образом, верно

hello_html_54fa0876.png (2)

В результате количество вычислений, приводящих к ответу, уменьшается примерно в два раза, что экономит не только время, но и позволяет потенциально сделать меньше арифметических ошибок и ошибок “по невнимательности”.

Пример 1.

hello_html_m7414c02f.png.

Сравнивая с (1) находим hello_html_53900466.png, hello_html_mc7012a2.png, hello_html_fc6535.png.

Переходя к (2) будем иметь:

hello_html_21b524a6.png

Пример 2.

hello_html_1fb9df08.png.

Сравнивая с (1) находим hello_html_m4036fdb9.pnghello_html_m52a4df84.pnghello_html_m3dad112b.png.

Переходя к (2) будем иметь:

hello_html_6c4107b2.png hello_html_m13b013d5.png hello_html_6af0ae6b.png.

Пример 3.

hello_html_5d998c9f.png

hello_html_m795b1775.png

hello_html_60266752.png.

Поскольку левая часть неравенства – возрастающая функция при hello_html_m45d27f49.png и hello_html_a35d205.png, то ответом будет множество hello_html_m45d27f49.png.

Множество примеров, в которых можно применять терему 1 может быть легко расширено, если учесть терему 2.

Терема 2.

Пусть на множестве X определены функции hello_html_43b89b2c.pnghello_html_m7eaedf25.pnghello_html_m1206f255.png, и на этом множестве знаки hello_html_m7eaedf25.png и hello_html_m1206f255.pngсовпадают, т.е. hello_html_153316e2.png, тогда будет справедливо hello_html_35f8952.png.

Пример 4.

hello_html_2192d340.png.

Пример 5.

hello_html_7555439.png.

При стандартном подходе пример решается по схеме: произведение меньше нуля, когда сомножители разных знаков. Т.е. рассматривается совокупность двух систем неравенств, в которых, как было указано в начале, каждое неравенство распадается еще на семь.

Если же учесть терему 2, то каждый из сомножителей, учитывая (2), можно заменить на другую функцию, имеющую тот же знак на данном примером О.Д.З.

hello_html_26468b48.pnghello_html_m18f0ad4f.png

Метод замены приращения функции приращением аргумента с учетом теоремы 2, оказывается очень удобным при решении типовых задач С3 ЕГЭ.

Пример 6.

hello_html_m16d7f2cb.pnghello_html_4a24f4fd.png

Пример 7.

hello_html_5c1844f7.png. Обозначим hello_html_m6f92f8bc.png. Получим

hello_html_m323caf31.png

hello_html_m2ad2c9e.png. Заметим, что из замены следует: hello_html_m6a019d87.png. Возвращаясь к уравнению, получим hello_html_5a6e0ce5.png.

Пример 8.

hello_html_92c9f80.png

hello_html_m612a1898.png

В используемых нами теоремах нет ограничении на классы функций. В данной статье, для примера, теоремы были применены к решению логарифмических неравенств. Несколько следующих примеров продемонстрируют перспективность метода при решении других видов неравенств.

Пример 9.

hello_html_m57fd9e02.png

Пример 10.

hello_html_m7339713c.png

Задачи для самостоятельного решения.

1. hello_html_m2157a215.png. Ответ: hello_html_m31d479c6.png.

2. hello_html_mebb7cda.png. Ответ: hello_html_m71ec01b0.png

3. hello_html_7ac89991.png. Ответ: hello_html_43e47ff6.png.

4. hello_html_5c369bef.png. Ответ: hello_html_m2dc05f22.png.

5. hello_html_16be71e0.png. Ответ: hello_html_106aa2c2.png.

6. hello_html_m2b14a46c.png. Ответ: hello_html_502bb0ed.png

7. hello_html_m661a94e.pngОтветhello_html_1b3ac299.png.


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида

является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем, содержащих логарифмические неравенства с переменным основанием логарифма.

Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени.

 

Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий способ решения этого стандартного неравенства. Для этого учтем следующую теорему.

Автор
Дата добавления 03.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров3465
Номер материала 554837
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх