,"
oncontextmenu="return false;"
ondragstart="return false;"
onselectstart="return false;"
data-worksheet-id="26064"
data-source="LIBRARY_DOCUMENT_PAGE_CENTER"
data-token="NjNfTVBKWlpkczhhaGNjSGw5fnFYRHNwbjBhNzlqWmbDcGqOyuFAtCBADxY_SFWqAB0AyJIS31LyLlhsJPPlzg=="
/>
- 17.12.2014
- 6491
- 44
г. Аксу, Павлодарская область
Решение неравенств методом интервалов
Балабанова С.Я., учитель математики, СШ №7
Решение неравенств методом интервалов
В школьном курсе изучаются следующие способы решения неравенств: -приведение к общему основанию ( для показательных и логарифмических неравенств);
-разложение на множители;
-замена переменной;
-метод интервалов.
Готовясь к ЕНТ в 11 классе, выпускники готовы к овладению более
рациональными способами решения сложных неравенств.
В денной статье предложено применение метода интервалов к решению некоторых видов неравенств (простейшие преобразования неравенств опущены).
В основе этого метода лежит теорема:
Если функция f(x)
непрерывна на отрезке 
и не обращается в ноль на открытом промежутке 
, то f(x) имеет один и тот же знак во всех
внутренних точках отрезка .
Данный метод удобно применять и к неравенствам, содержащие тригонометрические, показательные, логарифмические функции, а так же неравенства с модулем.
1. Тригонометрические неравенства.
Алгоритм решения тригонометрических неравенств:
1) Преобразовать к виду f(x) =0;
2) Определить нули и точки разрыва функции f(x);
3) Расставить на единичной окружности найденные точки;
4) Провести из токи хk непрерывную плавную линию так, чтобы она пересекала окружность и вернулась в точку хk;
5) Методом пробной точки определить знаки функции f(x) на каждом промежутке;
6) Записать ответ.
Пример: Решите неравенcтво cos3x+cosx
0.
Преобразуем неравенство к виду: 2cos2x cosx
.
Решим уравнение 2cos2x cosx =0. Оно равносильно совокупности уравнений: 
. Решение
первого уравнения: x1=
+
. При n=0;1;2;3 х1=
;
(при остальных значениях n точки будут повторяться).
Решение второго уравнения: x2
+
. При n =0; 1 х2= 
;
(при остальных значениях n точки будут повторяться).
Определим знаки функции на интервалах:
+
 |
+
+
Решению неравенства соответствуют интервалы со знаком
«+». Следует заметить, что на интервале со стрелкой нарушен переход от меньшего
к большему, в этом случае можно к числу 
прибавить 
.
Ответ: 
,n
.
2. Неравенства, содержащие сложную экспоненту.
а(х)f(х) 
а(х)g(х).
Используем
правило:
1.Знак разности 
совпадает со знаком произведения 
в ОДЗ.
Доказательство:
1) Если a
, то 
, значит 
.
2) Если 0
, то 
, значит
Пусть с=e, воспользуемся определением сложной экспоненты, данное неравенство
примет вид : 
⇔
Преимущество этого метода в том, что мы получили систему неравенств, которую можно решить методом интервалов.
Пример: Решите
неравенство: 
.
Решение: ⇔
⇔
⇔
.
Ответ:
.
3. Логарифмические неравенства.
Рассмотрим логарифмические неравенства с переменным основанием:
Для решения данного вида неравенств применяется правило:
2.Знак разности совпадает со знаком произведения 
в ОДЗ.
Пример: Решить неравенство:
.
Решение:
Найдем ОДЗ:
⇔
.
Применяя правило(2), составим и решим
методом интервалов неравенство: 
,
Нули функции: х=
; 
; 
;
.
Решение неравенства: х
.
Учитывая ОДЗ, запишем решение
данного логарифмического неравенства: х
.
Ответ: х.
4. Неравенство с модулем.
Рассмотрим неравенство 
Для решения неравенства применим правило:
3.Знак выражения 
совпадает со знаком произведения:
.
Пример: 
.
Решение:
Применяя правило (3) и метод
интервалов, имеем:
⇔
⇔ 
⇔х
.
Ответ:
х.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
В школьном курсе изучаются следующие способы решения неравенств: -приведение к общему основанию ( для показательных и логарифмических неравенств);
-разложение на множители;
-замена переменной;
-метод интервалов.
Готовясь к ЕНТ в 11 классе, выпускники готовы к овладению более
рациональными способами решения сложных неравенств.
В денной статье предложено применение метода интервалов к решению некоторых видов неравенств (простейшие преобразования неравенств опущены).
В основе этого метода лежит теорема:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке и не обращается в ноль на открытом промежутке , то f(x) имеет один и тот же знак во всех внутренних точках отрезка .
Данный метод удобно применять и к неравенствам, содержащие тригонометрические, показательные, логарифмические функции, а так же неравенства с модулем.
6 662 694 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Балабанова Светлана Яковлевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
10 ч.
Мини-курс
10 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.