Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение неравеств методом интервалов
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Решение неравеств методом интервалов

библиотека
материалов

hello_html_1fffe8bd.gifhello_html_m1ee9bac7.gifhello_html_m1ee9bac7.gifhello_html_11b30997.gifhello_html_m93bc05a.gifhello_html_m1ee9bac7.gifhello_html_m886d44d.gifhello_html_60953ee9.gifhello_html_m4a76c62b.gif

г. Аксу, Павлодарская область









Решение неравенств методом интервалов

















Балабанова С.Я., учитель математики, СШ №7





Решение неравенств методом интервалов

В школьном курсе изучаются следующие способы решения неравенств: -приведение к общему основанию ( для показательных и логарифмических неравенств);

-разложение на множители;

-замена переменной;

-метод интервалов.

Готовясь к ЕНТ в 11 классе, выпускники готовы к овладению более

рациональными способами решения сложных неравенств.

В денной статье предложено применение метода интервалов к решению некоторых видов неравенств (простейшие преобразования неравенств опущены).

В основе этого метода лежит теорема:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке hello_html_2894b5ce.gif и не обращается в ноль на открытом промежутке hello_html_4c1bdc62.gif, то f(x) имеет один и тот же знак во всех внутренних точках отрезка hello_html_2894b5ce.gif.

Данный метод удобно применять и к неравенствам, содержащие тригонометрические, показательные, логарифмические функции, а так же неравенства с модулем.

  1. Тригонометрические неравенства.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств:

  1. Преобразовать к виду f(x) =0;

  2. Определить нули и точки разрыва функции f(x);

  3. Расставить на единичной окружности найденные точки;

  4. Провести из токи хk непрерывную плавную линию так, чтобы она пересекала окружность и вернулась в точку хk;

  5. Методом пробной точки определить знаки функции f(x) на каждом промежутке;

  6. Записать ответ.

Пример: Решите неравенcтво cos3x+cosxhello_html_m30bfbdb1.gif0.

Преобразуем неравенство к виду: 2cos2x cosxhello_html_m3134da24.gif.

Решим уравнение 2cos2x cosx =0. Оно равносильно совокупности уравнений: hello_html_414ada98.gif. Решение первого уравнения: x1=hello_html_m28e18c21.gif+hello_html_4af14e49.gif. При n=0;1;2;3 х1=hello_html_m1eabac83.gif;hello_html_746c15fd.gif(при остальных значениях n точки будут повторяться).

Решение второго уравнения: x2hello_html_6c92c2a3.gif+hello_html_1b83c432.gif. При n =0; 1 х2= hello_html_4a7c6de3.gif;hello_html_e0fb5f6.gif (при остальных значениях n точки будут повторяться).

Определим знаки функции на интервалах:

hello_html_m759c08b1.gif

hello_html_m42ec8104.gif

hello_html_1aa3efdd.gif

hello_html_3df68411.gif

hello_html_4a7c6de3.gif

hello_html_e0fb5f6.gif

+



+

+



Решению неравенства соответствуют интервалы со знаком «+». Следует заметить, что на интервале со стрелкой нарушен переход от меньшего к большему, в этом случае можно к числу hello_html_m31efd0a6.gif прибавить hello_html_4e904039.gif.

Ответ: hello_html_m521509e3.gif,nhello_html_1725acdb.gif.

  1. Неравенства, содержащие сложную экспоненту.

а(х)f(х) hello_html_m7c48e444.gif а(х)g(х). Используем правило: 1.Знак разности hello_html_1cbc60d2.gif совпадает со знаком произведения hello_html_5709bbe0.gif в ОДЗ.

Доказательство:

  1. Если ahello_html_m547fa93c.gif, то hello_html_m38634278.gif , значит hello_html_m2e2b0bee.gif.

  2. Если 0hello_html_59bf307b.gif, то hello_html_1f291662.gif, значит hello_html_m2e2b0bee.gif

Пусть с=e, воспользуемся определением сложной экспоненты, данное неравенство примет вид : hello_html_a435ee0.gif hello_html_m3560b0ae.gif

Преимущество этого метода в том, что мы получили систему неравенств, которую можно решить методом интервалов.

Пример: Решите неравенство: hello_html_2247cdb9.gif.

Решение: hello_html_2247cdb9.gifhello_html_mdda3428.gif

hello_html_m462d76cd.gifhello_html_62869b77.gif.

Ответ:hello_html_62869b77.gif.

  1. Логарифмические неравенства.

Рассмотрим логарифмические неравенства с переменным основанием:

hello_html_m13a04300.gif

Для решения данного вида неравенств применяется правило:



2.Знак разности hello_html_m13a04300.gif совпадает со знаком произведения hello_html_1245f241.gif в ОДЗ.

Пример: Решить неравенство:



hello_html_1484a9bf.gif.

Решение:

Найдем ОДЗ:hello_html_468830a.gif hello_html_m4d1bddef.gif.



Применяя правило(2), составим и решим методом интервалов неравенство: hello_html_m36c5fd04.gif,

Нули функции: х=hello_html_4a3e210d.gif; hello_html_39f1b7ec.gif; hello_html_m3513b70a.gif;hello_html_m6a41ad8b.gif.

Решение неравенства: хhello_html_7919f954.gif.

Учитывая ОДЗ, запишем решение данного логарифмического неравенства: хhello_html_m6f006a58.gif.

Ответ: хhello_html_m6f006a58.gif.



  1. Неравенство с модулем.

Рассмотрим неравенство hello_html_m51cdf777.gif

Для решения неравенства применим правило:

3.Знак выражения hello_html_m5bdacf16.gif совпадает со знаком произведения:hello_html_65f3d38a.gif.

Пример: hello_html_m4646a24.gif.

Решение:

Применяя правило (3) и метод интервалов, имеем: hello_html_m4646a24.gifhello_html_m47ef9930.gif hello_html_5207c78.gif⇔хhello_html_5b8e6ea9.gif.

Ответ: хhello_html_5b8e6ea9.gif.





































Краткое описание документа:

В школьном курсе изучаются следующие способы решения неравенств:                                          -приведение к общему основанию ( для показательных и логарифмических неравенств);

-разложение на множители;

-замена переменной;

-метод интервалов.

Готовясь к ЕНТ в 11 классе, выпускники готовы к овладению более

рациональными способами решения сложных неравенств.

В денной статье предложено применение метода интервалов к решению некоторых видов неравенств (простейшие преобразования неравенств опущены).

В основе этого метода лежит теорема:

Если функция f(x) непрерывна на  отрезке  и не обращается в ноль на открытом промежутке , то f(x) имеет один и тот же знак во всех внутренних точках отрезка .

 

Данный метод удобно применять и к  неравенствам, содержащие тригонометрические, показательные, логарифмические функции, а так же неравенства с модулем. 

Автор
Дата добавления 17.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров388
Номер материала 191750
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх