Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение стереометрических задач методом координат
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям рекомендуем принять участие в Международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

СЕГОДНЯ (15 ДЕКАБРЯ) ПОСЛЕДНИЙ ДЕНЬ ПРИЁМА ЗАЯВОК!

Конкурс "Я люблю природу"

Решение стереометрических задач методом координат

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Существует два способа решения задач по стереометрии:

  • классический, требует отличного пространственного воображения, отличного знания аксиом и теорем геометрии, логики, умения строить чертеж, свести объемную задачу к последовательности планиметрических задач;

  • применение векторов и метода координат, требует знания конкретных формул, умения действовать по алгоритму и отличные вычислительные навыки.

Одним из рациональных способов решения стереометрических задач иногда является применение векторов и метода координат, хотя в условиях никаких координат и векторов нет. Что нужно знать, уметь и понимать для успешного применения этого метода?

Знать:

1. Если заданы точки А(х1,у1,z1) и В(x2; y2; z2)

Координаты вектора hello_html_m666e342b.gif(hello_html_205d7f53.gif;hello_html_2db5ada0.gif;hello_html_2f5ca7b6.gif)

Расстояние между этими точками или длина вектора:

hello_html_mfdeb14f.gif=

Координаты точки С - середины отрезка АВ: С(hello_html_37f96786.gif; hello_html_m1cc03e2a.gif; hello_html_335f1220.gif)

  1. Формула - косинус угла φ между векторами hello_html_m73875e9a.gif(x1; y1; z1), hello_html_m3b3c3cc1.gif(x2; y2; z2):

hello_html_m4e58c1b8.png

  1. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве:

hello_html_m3b022dcc.gif, где A, B, C и D — действительные числа.

Вектор, перпендикулярный к плоскости hello_html_m3b022dcc.gif, имеет координаты hello_html_m40660735.gif(A; B; C) - нормаль к плоскости.

  1. Расстояние от точки М(х0, у0, z0) до плоскости hello_html_m3b022dcc.gif

ρ=hello_html_m3a3e4f88.gif.hello_html_m53d4ecad.gif


  1. Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

coshello_html_6f95504e.gif= hello_html_m68b6979c.gif

  1. Синус угла между прямой и плоскостью: sin hello_html_6f95504e.gif= hello_html_74493bdf.gif

Уметь:

  • вводить систему координат;

  • определять координаты точек;

  • определять координаты вектора;

  • записывать уравнение плоскости;

Задачи типа С2 делятся на два основных вида: на нахождение расстояний и на нахождение углов.



Понимать

Нахождение расстояния

между прямыми

длина общего перпендикуляра – расстояние от произвольной точки одной из них до плоскости, проходящей через вторую параллельно первой

от точки до прямой

длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой

от точки до плоскости

длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, вычисляется по формуле

Нахождение угла

между прямыми

это угол между соответствующими векторами.

между прямой и плоскостью

это угол между прямой и нормалью к плоскости

между плоскостями

это угол между нормалями к этим плоскостям


Рассмотрим применение метода в решениях задач из сборника «Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ: 2012» под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко.



Пример 1 (8 вариант сборника)

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.

Рhello_html_74bc5c6f.gifешение: Введем систему координат: начало координат а точке А, ось х направляем по ребру АС, z — по ребру AA1, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC, она будет параллельна ВН, высоте основания АВС.









Зhello_html_m48e868e1.pngдесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y не совпадает с ребром AВ, т.к. треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:










Расстояние между прямыми АА1 и ВС1найдем, как расстояние от точки А до параллельной АА1 плоскости ВСС1.

Найдем координаты точек А(0;0;0), Вhello_html_39c7c393.gif, С(0;1;0), С1(0;1;1).

Общий вид уравнения плоскости hello_html_m3b022dcc.gif. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки В, С, С1.

hello_html_6c7c74fb.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m1dfec88e.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_7194c611.gif

Уравнение плоскости ВСС1 : х+hello_html_774d1622.gifу - hello_html_774d1622.gif=0

По формуле расстояние от точки А до данной плоскости равно hello_html_644d471.gif = hello_html_m33610a6a.gif.

Ответ: hello_html_m33610a6a.gif.

Пример 2.

В единичном кубе АВСДА1 В1 С1 Д1 найдите расстояние от точки Д1 до прямой РQ, где Р и Q - середины соответственно ребер А1В1 и ВС.

Рhello_html_m3510eb36.pngешение: Если в задаче дан куб – значит повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат.

Найдем координаты точек Р(0;hello_html_m3907a0ac.gif;1), Q(hello_html_m3907a0ac.gif;1;0), Д1(1;0;1).

Тогда РQ = hello_html_22317152.gif = hello_html_6e679b02.gif,

Д1Q= hello_html_5ff5b51b.gif,

Д1Р = hello_html_20f72cce.gif.


Из треугольника Д1РQ, найдем coshello_html_34ca987c.gif= hello_html_m53ed1e08.gif = hello_html_79b136b8.gif, по тригонометрическому тождеству sinhello_html_34ca987c.gif= hello_html_m4277af6c.gif.

Пусть Д1N hello_html_m3369453f.gifРQ, где Nhello_html_m289d78ff.gifРQ. Тогда Д1N1Р sinhello_html_34ca987c.gif.

Д1N=hello_html_m27811a2e.gif=hello_html_7b053c08.gif.

Ответ: hello_html_7b053c08.gif.

Пример 3. (6 вариант сборника)

В правильной четырехугольной пирамиде SАВСД, все ребра которой 1. найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SСД.

Рhello_html_m70481ca3.pngешение: Введем систему координат: начало в точке Д, ось x направим вдоль ДA, ось y — вдоль DС, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY.

hello_html_m47df89c0.png









Найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны.

Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SО — высота пирамиды, точки S и О отличаются лишь координатой z. Длина отрезка SО — это и есть координата z для точки S. Координаты точек :Д(0;0;0), С(0;1;0), Shello_html_m38cb775b.gif, Кhello_html_m7d84985b.gif.

Напишем уравнение плоскости hello_html_m3b022dcc.gif, проходящей через точки Д, С, S.

hello_html_m8c20af3.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_19c5f1f.gif

Получим уравнение плоскости SСД: hello_html_m62632d12.gifх+ z =0 и найдем расстояние от точки К(hello_html_m3f11aa6f.gif до данной плоскости по формуле hello_html_mca9e5f.gifhello_html_m3a3e4f88.gif.

hello_html_mca9e5f.gifhello_html_550f48fb.gif.

Ответ: hello_html_550f48fb.gif.

Пример 4 (10 вариант сборника)

В правильной шестиугольной призме АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми АВ1 и ВЕ1.

Рhello_html_m7d70767d.pngешение: Введем систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось х — через середины отрезков AB и DE, ось у пойдет вдоль FC, ось z проведем перпендикулярно плоскости OXY.

hello_html_2e3bb5d8.png











Найдем координаты точек: Аhello_html_m5ed39784.gif, В1hello_html_m1c8df67f.gif, Вhello_html_39c7c393.gif, Е1hello_html_m4576b7b0.gif. Угол между прямыми найдем как угол между соответствующими векторами hello_html_m549148f4.gif и hello_html_m217139e.gif.

coshello_html_6f95504e.gif= hello_html_m3f4bc2b4.gif=0 , отсюда hello_html_6f95504e.gif=900.

Ответ: 900.


Пример 5 (3 вариант сборника)

В правильной треугольной пирамиде SАВС с основанием АВС известны ребра: АВ=hello_html_74a76868.gif,SС=13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер АS и ВС.

Решение: Введем систему координат: начало координат а точке А, ось х направляем по ребру АС, z — по ребру AA1, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC, она будет параллельна ВН, высоте основания АВС.

Сhello_html_32095df4.pngделаем некоторые вычисления. АL=18, SО= 5.

hello_html_276321d7.png









Координаты точек L(9;9hello_html_774d1622.gif;0), К(3;3hello_html_774d1622.gif;2,5), тогда вектор hello_html_m250147d.gif

Найдем ординаты точек, задающих плоскость: А(0;0;0), В (18; 6hello_html_774d1622.gif;0 ), С(0;12hello_html_774d1622.gif;0) и напишем уравнение плоскости hello_html_m3b022dcc.gif.

hello_html_m7aa55bd6.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m3623a3c9.gif.

Уравнение плоскости z=0, нормаль к плоскости имеет координаты hello_html_m6d4643f7.gif.

Угол между прямой и плоскостью - это угол между вектором, лежащим на заданной прямой и нормалью к плоскости.

sin hello_html_6f95504e.gif= hello_html_74493bdf.gif


Получим sin hello_html_6f95504e.gif= hello_html_4d7e9c4e.gif, coshello_html_6f95504e.gif= hello_html_m47e36f36.gif, отсюда tghello_html_6f95504e.gif= hello_html_m37e66df3.gif.

Ответ: hello_html_6f95504e.gif= arctghello_html_m37e66df3.gif.

Пример 6 (4 вариант сборника)

В прямоугольном параллелепипеде АВСДА1 В1 С1 Д1 известны ребра: АВ=35, АД=12, СС1= 21. Найдите угол между плоскостями АВС и А1ДВ.

Рhello_html_403ff4d8.pngешение: Прямоугольный параллелепипед, как и квадрат, отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Введем координатную плоскость и найдем координаты точек, задающих плоскости АВС и А1ДВ.











Д(0;0;0), А(12;0;0), В(12; 35;0), А1(12;0;21). Напишем уравнения плоскостей АВС.

hello_html_7ec32052.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_1e331df2.gif

Уравнение плоскости АВС z=0, нормаль к плоскости имеет координаты hello_html_m6d4643f7.gif.

Напишем уравнение плоскости ВДА1.

hello_html_551df09c.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_mcb72205.gif

Уравнение плоскости 35х-12у-20z=0, нормаль к плоскости имеет координаты hello_html_b23b698.gif.

Угол между плоскостями найдем по формуле coshello_html_6f95504e.gif= hello_html_m68b6979c.gif.

Получим coshello_html_6f95504e.gif= hello_html_75e1a141.gif, sin hello_html_6f95504e.gif=hello_html_m651b95b9.gif, тогда tghello_html_6f95504e.gif=hello_html_m43faf6e0.gif.

Ответ: hello_html_6f95504e.gif= arctghello_html_m43faf6e0.gif.

Задачи для самостоятельного решения.


  1. В правильной трехгранной призме ABCA1 B1 C1, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E — середины ребер A1 B1 и B1 C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE. ( Ответ: arccos 0,7)

  2. В правильной шестиугольной призме АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.

(ответ: 0,75)

  1. В правильной шестиугольной пирамиде SАВСДЕF, сторона основания равна 1, а боковые ребра равны 2. Найдите расстояние от точки F до прямой ВG, где G – середина ребра SС. (ответ: hello_html_438800a6.gif).

  2. В правильной треугольной призме АВСА1 В1 С1 все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями АВС1 и ВА1С1. (ответ hello_html_1ec8a5fe.gif)

  3. В правильной шестиугольной призме АВСДЕFА1В1С1Д1 Е1 F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости ВFЕ1. (ответhello_html_m717be496.gif)

  4. В правильно четырехугольной пирамиде SАВСД все ребра раны 1. Найти расстояние между прямыми SА и ВС. ( ответ hello_html_m2c327bcf.gif)

Краткое описание документа:

Существует два способа решения стереометрических задач: 

- классический, требующий отличного пространственного воображения, отличного знания аксиом и теорем геометрии,логики, умения строить чертеж,умения свести объемную задачу к последовательности планиметрических задач;

- применене векторов и метода координат, требующий знания конкретных формул, умения действовать по алгоритму и отличных вычислительных навыков.

В данной разработке дан  ответ на вопрос "Что нужно знать, уметь и понимать для успешного применения метода координат?", приведены примеры, дается перечень задач для самостоятельной работы.

Общая информация

Номер материала: 377687

Похожие материалы