Решение текстовых задач 5-11 класс

1 слайд

Текстовые задачи
Задачи на движение
10 класс

Чтобы решить вопрос, относящийся
к числам или отвлеченным отношением величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический.
И. Ньютон

2 слайд

Задачи на движение
Задачи движение по прямой
Задачи на совместное движение.
Движение: план и реальность.
Задачи на среднюю скорость.
Задачи на закон сложения скоростей.
Задачи движения по окружности.
Прямолинейное движение не по одной прямой.
Движение с дополнительной скоростью

3 слайд

Задачи на совместное движение
Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист и одновременно
из В в А выехал автомобилист. Мотоциклист прибыл в В
через три часа после встречи, а автомобилист в А
через 45 минут после встречи.
Сколько часов был в пути автомобилист?
А
В
С

4 слайд

Решение
Пусть скорость мотоциклиста равна V1 км /ч, а скорость автомобилиста
равна V2 км/ч. Из условия задачи получаем, что расстояние от точки их встречи
до А равно 0,75V2 ( т.к 45 мин=0,75 ч), а расстояние от точки их встречи
до В 3V1. Т.к. до момента встречи автомобилист и мотоциклист ехали одинаковое время то можно составить уравнение:



 
время, затраченное автомобилистом на весь путь равно
Ответ: 2,25 ч

5 слайд

Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист и одновременно из В в А выехал автомобилист. Мотоциклист прибыл в В через четыре часа после встречи, а автомобилист в А через 1 час после встречи. Сколько часов был в пути мотоциклист?

6 слайд

Решение
Пусть скорость мотоциклиста равна V1 км /ч, а скорость автомобилиста равна V2 км/ч. Из условия задачи получаем, что расстояние от точки их встречи до А равно V2, а расстояние от точки их встречи до В 4V1. Т.к. до момента встречи автомобилист и мотоциклист ехали одинаковое время то можно составить уравнение:

V2=2 V1
Ответ : 6 ч.

7 слайд

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90км/ч, проезжает мимо платформы , длина которой 200м , за 30с.
Найдите длину поезда (в метрах).

8 слайд

Решение
Пусть х м длина поезда. Расстояние ,которое пройдет первый вагон
( х+200)м, выразим скорость (200+х)∙120=90000 (30с=ч, 90км=90000м)
Составляем уравнение
2400+12х=90000
12х=6600
х=550
Ответ: 550м

9 слайд

Из одного города в другой вышли два поезда, первый поезд шел со скоростью 60км/ч,а второй 90км/ч.Второй поезд вышел на 2часа позже. Через сколько часов и на каком расстоянии второй поезд догонит первый?
 

10 слайд

Решение

60∙2=120 (км)- пройдет первый поезд за два часа,
90-60=30(км/ч)-скорость второго поезда больше
первого
120:30=4(ч)-через столько часов после своего
выхода второй поезд догонит первый
90∙4=360(км)-на таком расстоянии от города
второй поезд догонит первый
Ответ: 360 км.

11 слайд

Геометрический способ
Построим графическую модель

1
60
2
120
3
180
4
240
5
300
6
360
0
Х ч
Ответ: 360 км

12 слайд

.
Движение: план и реальность
Из пункта А в пункт В ,со скоростью 80км/ч выехал первый автомобиль, а через некоторое время с постоянной скоростью –второй .После остановки на 20мин в пункте В второй автомобиль поехал с той же скоростью назад ,через 48км он встретил первый автомобиль, шедший навстречу, и был на расстояний 120 км от В в тот момент, когда в пункт В прибыл первый автомобиль. Найти расстояние от А до места первой встречи автомобилей, если АВ равно 480км.

13 слайд

Решение
Самое важное - это понять, что первая встреча автомобилей произошла в тот момент, когда второй автомобиль обгонял первый, если обозначить расстояние от А до места встречи через S км, а скорость второго автомобиля через V км/ч, то из условия задачи видно , что расстояние в 72 км( 120-48=72) второй автомобиль пройдет за тоже время, которое понадобится первому автомобилю, чтобы преодолеть 48 км. Следовательно,

14 слайд

От места первой встречи до пункта В первому автомобилю оставалось пройти ( 480-S) км со скоростью 80км/ч.На это он затратил ч.
За это же время второй автомобиль прошел от места первой встречи до пункта В, потратил ч
на стоянку в В и еще часа на то, чтобы отъехать от В на 120км. Таким образом ,можно составить еще одно уравнение
Из него зная что v=120 ,S=160
Ответ : 160 км.

15 слайд

Автобус прошел пути со скорость 50 км/ч, а затем задержался на 3 минуты. Чтобы прибыть в конечный путь вовремя, оставшуюся часть пути он шел со скоростью 60 км/ч. Найти путь, пройденный автобусом.

16 слайд

Решение
Отклонение от плана началось с момента остановки.
Обозначим за x ч – время за которое автобус должен был
пройти оставшуюся часть пути. Тогда запланированное
расстояние равно 50x км. В реальности ч автобус

стоял , а оставшуюся часть пути

прошел за (x- )ч, т.е реально пройденный путь равен
60 (x- ) км.

По условию задачи запланированное расстояние совпадает с реально пройденным, следовательно получаем уравнение
60 (x- )= 50x , откуда x =0,3. Таким образом часть пути равна
50 · 0,3= 15 ( км), а весь путь равен 15 · 6= 90(км) Ответ: 90 км.

17 слайд

Решение задачи на среднюю скорость
Половину пути лошадь прошла порожняком со скорость 12 км/ч. Остальной путь она шла с возом , делая 4 км/ч. Какова средняя скорость лошади?

18 слайд

Решение

Средняя скорость – пройденное расстояние, деленное на время, затраченное на его прохождение,- и среднее арифметическое двух значений скорости не одно и то же.

19 слайд

Примем всё расстояние за 1. Тогда первую половину
пути лошадь прошла за :12 = единиц времени,

а вторую половину за :4= единиц времени. На

весь путь затрачено + = единиц времени.

Следовательно, средняя скорость равна 1 : = 6км/ч.

Ответ: 6км/ч.

20 слайд

Решить самостоятельно
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 120км/ч, проезжает мимо платформы , длина которой 300м , за 15с. Найдите длину поезда (в метрах).
Ответ: 200м
Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист и одновременно из В в А выехал автомобилист. Мотоциклист прибыл в В через два часа после встречи, а автомобилист в А через 30 мин после встречи. Сколько часов был в пути мотоциклист?
Ответ: 3 ч
 

1 слайд

Текстовые задачи на движение
5 класс
Чтобы решить вопрос, относящийся
к числам или отвлеченным отношением величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический.
И. Ньютон
Бондарчук В.И., Коляда О.С.
г. Красноярск

2 слайд

В данный момент расстояние между двумя таксистами 345 км. На каком расстоянии будут находиться таксисты через два часа, если скорость одного 72 км /ч., а другого -68 км /ч., и они выезжают навстречу друг другу одновременно?

Бондарчук В.И., Коляда О.С.
г. Красноярск

3 слайд

Решение
В данный момент расстояние между двумя таксистами 345 км. На каком расстоянии будут находиться таксисты через два часа, если скорость одного 72 км /ч., а другого -68 км /ч., и они выезжают навстречу друг другу одновременно?
1) 72 ∙ 2 =144 (км) – такое расстояние проедет один таксист за 2 часа.
2) 68 ∙ 2 = 136 (км) – такое расстояние проедет другой таксист за 2 часа.
3) 144+ 136 =280 (км) – на такое расстояние таксисты приблизятся друг к другу за 2 часа.
4) 345 – 280 = 145 (км) – на таком расстоянии
будут таксисты через 2 часа.
Ответ: 145 км.

4 слайд

Расстояние между городами А и В 720км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км /ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км /ч. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся?

5 слайд

Решение
Расстояние между городами А и В 720км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км /ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км /ч. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся?
1)80∙2=160(км)-прошёл скорый поезд за 2 часа.
2)720-160=560(км)-осталось пройти поездам.
3)80+60=140(км/ч)-скорость сближения 2 поездов.
4)560:140=4(ч)-был в пути пассажирский поезд.
Ответ:4часа.
Попробуйшить задачу разными способами.

6 слайд

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Скорость одного автобуса 45 км /ч., а скорость другого автобуса 72 км /ч.. Первый автобус до встречи проехал 135км. Найдите расстояние между пунктами.

7 слайд

Решение
Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Скорость одного автобуса 45 км /ч., а скорость другого автобуса 72 км /ч.. Первый автобус до встречи проехал 135км. Найдите расстояние между пунктами.
Первый способ решения.
1) 135 : 45 = 3 (часа) – ехали автобусы до встречи.
2) 72 ∙ 3 = 216 (км) – проехал второй автобус до встречи.
3) 135 + 216 = 351 (км) – расстояние между пунктами.
Ответ: 351 км.
Второй способ решения.
1). 135 : 45 = 3 (часа) – ехали автобусы до встречи.
2). 45 +72 = 117 (км/ ч.). – скорость сближения автобусов
3). 117 * 3 = 351 (км) – расстояние между пунктами.
Ответ: 351 км.
Что такое скорость сближения?

8 слайд

В задачах на движение в одном направлении при одновременном начале движения объектов полезно использовать понятия «скорость сближения» и «скорость удаления».
Скорость сближения и скорость удаления
находятся вычитанием меньшей
скорости из большей.

9 слайд

Из одного логова одновременно в противоположных направлениях выбежало два тигра. Скорость одного тигра 48 км / ч., а другого – 54 км ч.. Какое расстояние будет между тиграми через 3 часа?

10 слайд

Решение
Из одного логова одновременно в противоположных направлениях выбежало два тигра. Скорость одного тигра 48 км / ч., а другого – 54 км ч.. Какое расстояние будет между тиграми через 3 часа?
ПЕРВЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
1)48 ∙ 2 = 96 (км) – пробежит один тигр за 2 часа.
2)54 ∙ 2 = 108 (км) – пробежит другой тигр за 2 часа.
3)96 + 108 = 204 (км) – будет между тиграми через 2 часа.
Ответ: 204 км.
ВТОРОЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
1).48 + 54 =102 (км /ч.) – скорость удаления тигров.
2).102 ∙ 2 =204 (км) – будет между тиграми через 2 часа.
Ответ: 204 км.

11 слайд

Из двух пунктов, расстояние между которыми
24 км, одновременно вышел спортсмен и выехал велосипедист. Скорость спортсмена 6 км/ч., а скорость велосипедиста 18 км/ч.
1) Через сколько часов велосипедист догонит спортсмена?
2) На каком расстоянии от пункта В велосипедист догонит спортсмена?
3) На сколько километров путь велосипедиста больше пути спортсмена?

12 слайд

Решение
Из двух пунктов, расстояние между которыми 24 км, одновременно вышел спортсмен и выехал велосипедист. Скорость спортсмена 6 км/ч., а скорость велосипедиста 18 км/ч..
1).Через сколько часов велосипедист догонит спортсмена?
2).На каком расстоянии от пункта В велосипедист догонит спортсмена?
3). На сколько километров путь велосипедиста больше пути спортсмена?
Давайте подумаем, почему велосипедист догонит спортсмена?
На сколько километров велосипедист приближается к спортсмену каждый час?
Это расстояние – скорость сближения.
На сколько километров велосипедисту надо приблизится к спортсмену?
Как же узнать, через сколько часов велосипедист догонит спортсмена?
Сколько километров за это время пройдет спортсмен?
А какое расстояние проедет велосипедист?
На каком расстоянии от пункта В велосипедист догонит спортсмена?
1) 18 – 6 = 12 (км /ч.) – скорость сближения велосипедиста и спортсмена.
2) 24 : 12 = 2 (ч.) – через такое время велосипедист догонит спортсмена.
3) 6 ∙2 = 12 (км) – на таком расстоянии велосипедист догонит спортсмена.
Ответ: через 2 часа; 12 км.

13 слайд

Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по одной дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис  — 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час?

14 слайд

Решение
Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по одной дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис  — 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час?
Подсказка
Заметьте, ничего не сказано о том, в одну или разные стороны скачут мушкетёры.
Эта задача допускает четыре разных ответа, которые зависят от расположения всадников в первый момент. Мушкетёры могли ехать: а) в разные стороны, навстречу друг другу; б) в разные стороны, удаляясь друг от друга; в) в одну сторону  — Атос за Арамисом; г) в одну сторону  — Арамис за Атосом. Соответственно и ответы: а) 11 лье; б) 29 лье; в) 21 лье; г) 19 лье.
Ответ а) 11 лье; б) 29 лье; в) 21 лье; г) 19 лье.

15 слайд

Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она тратит 1,5 ч. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь у неё занимает 30 мин. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она будет идти пешком?

16 слайд

Решение
Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она тратит 1,5 ч. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь у неё занимает 30 мин. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она будет идти пешком?
Подсказка
Сколько времени займёт путь в один конец на автобусе? А сколько  — путь в один конец пешком?
Решение
Путь в оба конца на автобусе занимает 30 мин, следовательно, путь в один конец на автобусе займёт 15 мин. На дорогу в один конец пешком понадобится 1,5 ч-15 мин, т.е. 1 ч 15 мин. Значит, на дорогу пешком в оба конца Аня тратит 2, 5 ч.
Ответ: 2,5 ч.

17 слайд

Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью 4 м/сек, а с орехом (от орешника до дупла) — со скоростью 2 м/сек. На путь от дупла до орешника и обратно она тратит 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника. Ответ обоснуйте.

18 слайд

Решение
Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью 4 м/сек, а с орехом (от орешника до дупла) — со скоростью 2 м/сек. На путь от дупла до орешника и обратно она тратит 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника. Ответ обоснуйте.
Поскольку обратно белка бежит в два раза медленнее, то время, затраченное белкой на обратную дорогу, в два раза больше времени, которое она тратит на дорогу от дупла до орешника. Поэтому время, затраченное на дорогу от дупла до орешника, в три раза меньше времени, затраченного на всю дорогу, то есть равно 54 : 3 = 18 секунд. Следовательно, расстояние от дупла до орешника равно 18 * 4 = 72 метра.
Ответ:72 метра.
Бондарчук В.И., Коляда О.С.
г. Красноярск

1 слайд

6 класс Задачи на движение
Машина и автобус выехали из двух городов, находящихся на расстоянии 740 км навстречу друг другу со скоростями 70 км/ч и 50 км/ч.. Какое расстояние будет между машинами через 5 часов?

2 слайд

Решение
Машина и автобус выехали из двух городов, находящихся на расстоянии 740 км навстречу друг другу со скоростями 70 км/ч и 50 км/ч.. Какое расстояние будет между машинами через 5 часов?
1 –й способ решения.
1).50 * 5 = 250 (км) – проедет машина до встречи.
2).70 * 5 = 350 (км) – проедет автобус до встречи.
3). 250 + 350 = 600 (км) - на такое расстояние они приблизятся друг к другу.
4) 740 -600 = 140 (км) - такое расстояние будет между ними через 5 часов.
2 – й способ решения.
1).50 + 70 = 120 (км /ч.) – скорость сближения автобуса и машины.
2).120 * 5 = 600 (км) – на такое расстояние они приблизятся друг к другу.
3). 740 – 600 = 140 (км) – такое расстояние будет между ними через 5 часов.
Ответ: 140 км.

3 слайд

6 класс Задачи на движение
Одна девочка начала догонять вторую, когда расстояние между ними было 60 м. Скорость первой девочки – 100 м/мин., а скорость второй девочки 90 м/мин.. Через сколько минут первая девочка догонит вторую?

4 слайд

Решение
Одна девочка начала догонять вторую, когда расстояние между ними было 60 м. Скорость первой девочки – 100 м/мин., а скорость второй девочки 90 м/мин.. Через сколько минут первая девочка догонит вторую?
Давайте рассуждать.
Почему первая девочка догонит вторую?
На какое расстояние первая девочка догоняет вторую за 1 минуту?
Как называется это расстояние?
Через сколько минут первая девочка догонит вторую?
1). 100 – 90 = 10 (м /мин) – скорость сближения девочек.
2). 60 : 10 = 6(мин) – через такое время первая девочка догонит вторую.
Ответ: через 6 мин.

5 слайд

6 класс Задачи на движение
Три бегуна  — Антон, Серёжа и Толя  — участвуют в беге на 100 м. Когда Антон финишировал, Серёжа находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Серёжа  — Толя находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Толя и Антон, когда Антон финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)

6 слайд

Решение
Три бегуна  — Антон, Серёжа и Толя  — участвуют в беге на 100 м. Когда Антон финишировал, Серёжа находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Серёжа  — Толя находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Толя и Антон, когда Антон финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)

Подсказка
Заметьте, скорость Толи составляет 9/10 от скорости Серёжи.
Решение
Поскольку скорость Толи составляет от скорости Серёжи, то к моменту, когда финишировал Антон, Толя пробежал расстояния, преодолённого Серёжей, т.е. 90 = 81 м. Значит, к этому моменту Толя отставал от Антона на  (100 - 81) = 19 м.
Ответ: 19 м.

7 слайд

6 класс Задачи на движение
Две гоночные машины выехали навстречу друг другу. Расстояние между ними было 660 км. . Одна ехала со скоростью 100 км/ч, а другая 120 км/ч.. Через какое время они встретятся?

8 слайд

Решение
Две гоночные машины выехали навстречу друг другу. Расстояние между ними было 660 км. . Одна ехала со скоростью 100 км/ч, а другая 120 км/ч.. Через какое время они встретятся?
Решение:
1)100+120=220(км/ч)- скорость сближения машин .
2)660:220=3(ч)-через такое время встретятся гоночные машины.
Ответ: через 3 часа.

9 слайд

6 класс Задачи на движение
По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна машин длиной 300 метров. Проезжая мимо поста ДПС, каждая машина сбрасывает скорость до 40 км/ч. Какова будет длина колонны, когда все машины проедут пост ДПС?

10 слайд

Решение
По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна машин длиной 300 метров. Проезжая мимо поста ДПС, каждая машина сбрасывает скорость до 40 км/ч. Какова будет длина колонны, когда все машины проедут пост ДПС?
Решение
Так как первоначальная скорость движения колонны равна 1000 м/мин, то "хвост" колонны окажется у поста ДПС через 0, 3 минуты после того, как мимо ДПС проедет "голова" колонны. За это время голова успеет проехать км/мин . 0, 3 мин = 0, 2 км = 200 м.
Ответ: 200 метров.

11 слайд

6 класс Задачи на движение
Отец и сын катаются на коньках по кругу. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в 5 раз чаще.
Во сколько раз отец бегает быстрее сына?

12 слайд

Решение
Отец и сын катаются на коньках по кругу. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в 5 раз чаще.
Во сколько раз отец бегает быстрее сына?
Решение
Встреча происходит всякий раз, когда отец проезжает на длину окружности больше, чем сын. Сначала скорость изменения расстояния между ними была равна разности их скоростей. После того как сын стал кататься в противоположном направлении, скорость изменения расстояния между ними (равная уже сумме их скоростей) увеличилась в 5 раз. Будем считать, что скорость отца в k раз больше скорости сына. Получаем уравнение
5(k – 1) = k + 1,
решая которое, находим k = 1,5.
Ответ: В полтора раза.

13 слайд

6 класс Задачи на движение
Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат  — 40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?

14 слайд

Решение
Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат  — 40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?
Подсказка
Можно, конечно, составить уравнение, но попробуйте обойтись без этого.
Решение
За 5 мин брат пройдёт 1/8 пути. За каждую минуту я прохожу 1/30 пути, а брат  — 1/40, т.е. за минуту я навёрстываю (1/30 - 1/40) = 1/120 часть пути. А 1/8 я наверстаю, соответственно, за  (1/8) : (1/120) = 15 мин, т.е ровно на полпути до школы.
Ответ
 Через 15 мин.

15 слайд

6 класс Задачи на движение
В данный момент расстояние между двумя таксистами 345 км. На каком расстоянии будут находиться таксисты через два часа, если скорость одного 72 км /ч., а другого -68 км /ч., и они выезжают навстречу друг другу одновременно?

16 слайд

Решение
В данный момент расстояние между двумя таксистами 345 км. На каком расстоянии будут находиться таксисты через два часа, если скорость одного 72 км /ч., а другого -68 км /ч., и они выезжают навстречу друг другу одновременно?

1). 72 * 2 =144 (км) – такое расстояние проедет один таксист за 2 часа.
2). 68 * 2 = 136 (км) – такое расстояние проедет другой таксист за 2 часа.
3). 144+ 136 =280 (км) – на такое расстояние таксисты приблизятся друг к другу за 2 часа.
4). 345 – 280 = 145 (км) – на таком расстоянии будут таксисты через 2 часа.
Ответ: 145 км.

17 слайд

Расстояние между городами А и В 720км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км /ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км /ч. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся?

6 класс Задачи на движение

18 слайд

Решение
Расстояние между городами А и В 720км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км /ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км /ч. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся?


1)80*2=160(км)-прошёл скорый поезд за 2 часа.
2)720-160=560(км)-осталось пройти поездам.
3)80+60=140(км/ч)-скорость сближения 2 поездов.
4)560:140=4(ч)-был в пути пассажирский поезд.
Ответ:4часа.
Попробуй решить задачу разными способами.

19 слайд

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Скорость одного автобуса 45 км /ч., а скорость другого автобуса 72 км /ч.. Первый автобус до встречи проехал 135км. Найдите расстояние между пунктами.
6 класс Задачи на движение

20 слайд

Решение
Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Скорость одного автобуса 45 км /ч., а скорость другого автобуса 72 км /ч.. Первый автобус до встречи проехал 135км.
Найдите расстояние между пунктами.

Первый способ решения.
1). 135 : 45 = 3 (часа) – ехали автобусы до встречи.
2). 72 * 3 = 216 (км) – проехал второй автобус до встречи.
3). 135 + 216 = 351 (км) – расстояние между пунктами.
Ответ: 351 км.
Второй способ решения.
1). 135 : 45 = 3 (часа) – ехали автобусы до встречи.
2). 45 +72 = 117 (км/ ч.). – скорость сближения автобусов .
3). 117 * 3 = 351 (км) – расстояние между пунктами.
Ответ: 351 км.
Что такое скорость сближения?

21 слайд

В задачах на движение в одном направлении при одновременном начале движения объектов полезно использовать понятия «скорость сближения» и «скорость удаления».
Скорость сближения и скорость удаления
находятся вычитанием меньшей
скорости из большей.

22 слайд

Из одного логова одновременно в противоположных направлениях выбежало два тигра. Скорость одного тигра 48 км / ч., а другого – 54 км ч.. Какое расстояние будет между тиграми через 3 часа?

6 класс Задачи на движение

23 слайд

Решение
Из одного логова одновременно в противоположных направлениях выбежало два тигра. Скорость одного тигра 48 км / ч., а другого – 54 км ч.. Какое расстояние будет между тиграми через 3 часа?

ПЕРВЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
1).48 * 2 = 96 (км) – пробежит один тигр за 2 часа.
2).54 * 2 = 108 (км) – пробежит другой тигр за 2 часа.
3).96 + 108 = 204 (км) – будет между тиграми через 2 часа.
Ответ: 204 км.
ВТОРОЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
1).48 + 54 =102 (км /ч.) – скорость удаления тигров.
2).102 * 2 =204 (км) – будет между тиграми через 2 часа.
Ответ: 204 км.

24 слайд

6 класс Задачи на движение
Из двух пунктов, расстояние между которыми 24 км, одновременно вышел спортсмен и выехал велосипедист. Скорость спортсмена 6 км/ч., а скорость велосипедиста 18 км/ч.
1) Через сколько часов велосипедист догонит спортсмена?
2) На каком расстоянии от пункта В велосипедист догонит спортсмена?
3) На сколько километров путь велосипедиста больше пути спортсмена?

25 слайд

Решение
Из двух пунктов, расстояние между которыми 24 км, одновременно вышел спортсмен и выехал велосипедист. Скорость спортсмена 6 км/ч., а скорость велосипедиста 18 км/ч..
1).Через сколько часов велосипедист догонит спортсмена?
2).На каком расстоянии от пункта В велосипедист догонит спортсмена?
3). На сколько километров путь велосипедиста больше пути спортсмена?
Давайте подумаем, почему велосипедист догонит спортсмена?
На сколько километров велосипедист приближается к спортсмену каждый час?
Это расстояние – скорость сближения.
На сколько километров велосипедисту надо приблизится к спортсмену?
Как же узнать, через сколько часов велосипедист догонит спортсмена?
Сколько километров за это время пройдет спортсмен?
А какое расстояние проедет велосипедист?
На каком расстоянии от пункта В велосипедист догонит спортсмена?
1). 18 – 6 = 12 (км /ч.) – скорость сближения велосипедиста и спортсмена.
2). 24 : 12 = 2 (ч.) – через такое время велосипедист догонит спортсмена.
3). 6 * 2 = 12 (км) – на таком расстоянии велосипедист догонит спортсмена.
Ответ: через 2 часа; 12 км.

26 слайд

6 класс Задачи на движение
Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по одной дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис  — 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час?

27 слайд

Решение
Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по одной дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис  — 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час?

Подсказка
Заметьте, ничего не сказано о том, в одну или разные стороны скачут мушкетёры.

Эта задача допускает четыре разных ответа, которые зависят от расположения всадников в первый момент. Мушкетёры могли ехать: а) в разные стороны, навстречу друг другу; б) в разные стороны, удаляясь друг от друга; в) в одну сторону  — Атос за Арамисом; г) в одну сторону  — Арамис за Атосом. Соответственно и ответы: а) 11 лье; б) 29 лье; в) 21 лье; г) 19 лье.
Ответ
 а) 11 лье; б) 29 лье; в) 21 лье; г) 19 лье.

28 слайд

6 класс Задачи на движение
Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она тратит 1,5 ч. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь у неё занимает 30 мин. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она будет идти пешком?

29 слайд

Решение
Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она тратит 1,5 ч. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь у неё занимает 30 мин. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она будет идти пешком?

Подсказка
Сколько времени займёт путь в один конец на автобусе? А сколько  — путь в один конец пешком?
Решение
Путь в оба конца на автобусе занимает 30 мин, следовательно, путь в один конец на автобусе займёт 15 мин. На дорогу в один конец пешком понадобится 1,5 ч-15 мин, т.е. 1 ч 15 мин. Значит, на дорогу пешком в оба конца Аня тратит 2, 5 ч.
Ответ
 2,5 ч.

30 слайд

6 класс Задачи на движение
Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью 4 м/сек, а с орехом (от орешника до дупла) — со скоростью 2 м/сек. На путь от дупла до орешника и обратно она тратит 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника. Ответ обоснуйте.

31 слайд

Решение
Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью 4 м/сек, а с орехом (от орешника до дупла) — со скоростью 2 м/сек. На путь от дупла до орешника и обратно она тратит 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника. Ответ обоснуйте.

Поскольку обратно белка бежит в два раза медленнее, то время, затраченное белкой на обратную дорогу, в два раза больше времени, которое она тратит на дорогу от дупла до орешника. Поэтому время, затраченное на дорогу от дупла до орешника, в три раза меньше времени, затраченного на всю дорогу, то есть равно 54 : 3 = 18 секунд. Следовательно, расстояние от дупла до орешника равно 18 * 4 = 72 метра.

Ответ
72 метра.

1 слайд

7 класс Задачи на движение
Моторная лодка в 9 ч отправилась вверх по течению реки, и в момент её отправления с лодки был брошен в реку мяч. В 9 ч 15 мин лодка повернула и поплыла по течению. В котором часу лодка догонит мяч, если известно, что её собственная скорость оставалась неизменной?

2 слайд

Решение
Моторная лодка в 9 ч отправилась вверх по течению реки, и в момент её отправления с лодки был брошен в реку мяч. В 9 ч 15 мин лодка повернула и поплыла по течению. В котором часу лодка догонит мяч, если известно, что её собственная скорость оставалась неизменной?
Решение
Задача решается проще без составления уравнения. Скорость течения реки можно не учитывать, так как она одинаково влияет как на движение лодки, так и на движение мяча. Поэтому расстояние между лодкой и мячом изменяется только со скоростью самой лодки. Поскольку лодка 15 мин удалялась от мяча, то она догонит его через 15 мин после того, как она повернула назад, т.е. в 9 ч 30 мин.
Ответ
в 9 ч 30 мин.

3 слайд

Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.
7 класс Задачи на движение

4 слайд

Решение
Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.
Решение
Пусть x (м) – длина поезда, y (м/с) – его скорость. Тогда x/y=7 и (x+378)/y=25 , откуда x=147 (м), y=21 (м/с). Скорость можно определить и сразу: для проезда мимо платформы поезду потребовалось 25-7=18 (с). Следовательно, его скорость 378:18=21 (м/с), длина его 21· 7=147 (м).
Ответ
21 м/с, 147 м.

5 слайд

Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 метров от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 метрах от другого берега. Какова ширина реки?

7 класс Задачи на движение

6 слайд

Решение
Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 метров от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 метрах от другого берега. Какова ширина реки?
Ответ
1760 метров.
Суммарное расстояние, пройденное паромами к моменту первой встречи, равно ширине реки, а к моменту второй встречи равно утроенной ширине реки. Так как скорости паромов постоянны, то до второй встречи каждый из них пройдёт втрое большее расстояние, чем до первой встречи. Так как один из паромов до первой встречи прошёл 720 метров, то до второй встречи он прошёл расстояние 720 . 3 = 2160 метров. При этом он прошёл путь, равный ширине реки, и ещё 400 метров. Следовательно, ширина реки равна 2160 - 400 = 1760 метров.
Ответ: 1760 м.

7 слайд

7 класс Задачи на движение
Коля и его сестра Маша пошли в гости. Пройдя четверть пути, Коля вспомнил, что они забыли дома подарок и повернул обратно, а Маша пошла дальше. Маша пришла в гости через 20 минут после выхода из дома. На сколько минут позже пришел в гости Коля, если известно, что они все время шли с одинаковыми скоростями?

8 слайд

Решение
Коля и его сестра Маша пошли в гости. Пройдя четверть пути, Коля вспомнил, что они забыли дома подарок и повернул обратно, а Маша пошла дальше. Маша пришла в гости через 20 минут после выхода из дома. На сколько минут позже пришел в гости Коля, если известно, что они все время шли с одинаковыми скоростями?
Решение
Так как Коля возвращался домой, то прошел "лишнюю" половину пути. Значит, время опоздания равно половине времени, потраченного на весь путь, то есть равно 10 минутам.
Ответ
на 10 минут.

9 слайд

7 класс Задачи на движение
Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает таракан Валентин?

10 слайд

Решение
Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает таракан Валентин?
Решение
Валентин пробегает 50*60=3000 см за 100 с, то есть его скорость 30 см/с, что составляет 18 м/мин.
Ответ
18 м/мин.

11 слайд

7 класс Задачи на движение
Машина и автобус выехали из двух городов, находящихся на расстоянии 740 км навстречу друг другу со скоростями 70 км/ч и 50 км/ч.. Какое расстояние будет между машинами через 5 часов?

12 слайд

Решение
Машина и автобус выехали из двух городов, находящихся на расстоянии 740 км навстречу друг другу со скоростями 70 км/ч и 50 км/ч.. Какое расстояние будет между машинами через 5 часов?
1 –й способ решения.
1).50 * 5 = 250 (км) – проедет машина до встречи.
2).70 * 5 = 350 (км) – проедет автобус до встречи.
3). 250 + 350 = 600 (км) - на такое расстояние они приблизятся друг к другу.
4) 740 -600 = 140 (км) - такое расстояние будет между ними через 5 часов.
2 – й способ решения.
1).50 + 70 = 120 (км /ч.) – скорость сближения автобуса и машины.
2).120 * 5 = 600 (км) – на такое расстояние они приблизятся друг к другу.
3). 740 – 600 = 140 (км) – такое расстояние будет между ними через 5 часов.
Ответ: 140 км.

13 слайд

7 класс Задачи на движение
Одна девочка начала догонять вторую, когда расстояние между ними было 60 м. Скорость первой девочки – 100 м/мин., а скорость второй девочки 90 м/мин.. Через сколько минут первая девочка догонит вторую?

14 слайд

Решение
Одна девочка начала догонять вторую, когда расстояние между ними было 60 м. Скорость первой девочки – 100 м/мин., а скорость второй девочки 90 м/мин.. Через сколько минут первая девочка догонит вторую?
Давайте рассуждать.
Почему первая девочка догонит вторую?
На какое расстояние первая девочка догоняет вторую за 1 минуту?
Как называется это расстояние?
Через сколько минут первая девочка догонит вторую?
1). 100 – 90 = 10 (м /мин) – скорость сближения девочек.
2). 60 : 10 = 6(мин) – через такое время первая девочка догонит вторую.
Ответ: через 6 мин.

15 слайд

7 класс Задачи на движение
Три бегуна  — Антон, Серёжа и Толя  — участвуют в беге на 100 м. Когда Антон финишировал, Серёжа находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Серёжа  — Толя находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Толя и Антон, когда Антон финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)

16 слайд

Решение
Три бегуна  — Антон, Серёжа и Толя  — участвуют в беге на 100 м. Когда Антон финишировал, Серёжа находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Серёжа  — Толя находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Толя и Антон, когда Антон финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)

Подсказка
Заметьте, скорость Толи составляет 9/10 от скорости Серёжи.
Решение
Поскольку скорость Толи составляет от скорости Серёжи, то к моменту, когда финишировал Антон, Толя пробежал расстояния, преодолённого Серёжей, т.е. 90 = 81 м. Значит, к этому моменту Толя отставал от Антона на  (100 - 81) = 19 м.
Ответ: 19 м.

17 слайд

7 класс Задачи на движение
По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна машин длиной 300 метров. Проезжая мимо поста ДПС, каждая машина сбрасывает скорость до 40 км/ч. Какова будет длина колонны, когда все машины проедут пост ДПС?

18 слайд

Решение
По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна машин длиной 300 метров. Проезжая мимо поста ДПС, каждая машина сбрасывает скорость до 40 км/ч. Какова будет длина колонны, когда все машины проедут пост ДПС?
Решение
Так как первоначальная скорость движения колонны равна 1000 м/мин, то "хвост" колонны окажется у поста ДПС через 0, 3 минуты после того, как мимо ДПС проедет "голова" колонны. За это время голова успеет проехать км/мин . 0, 3 мин = 0, 2 км = 200 м.
Ответ: 200 метров.

19 слайд

7 класс Задачи на движение
Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат  — 40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?

20 слайд

Решение
Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат  — 40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?
Подсказка
Можно, конечно, составить уравнение, но попробуйте обойтись без этого.
Решение
За 5 мин брат пройдёт 1/8 пути. За каждую минуту я прохожу 1/30 пути, а брат  — 1/40, т.е. за минуту я навёрстываю (1/30 - 1/40) = 1/120 часть пути. А 1/8 я наверстаю, соответственно, за  (1/8) : (1/120) = 15 мин, т.е ровно на полпути до школы.
Ответ
 Через 15 мин.

1 слайд

8 класс Задачи на движение
За 2 секунды мама-кенгуру делает три прыжка, а кенгуренок– пять прыжков. Длина прыжка мамы-кенгуру 6 метров, а длина прыжка кенгуренка в 3 раза меньше. Мама с кенгуренком играют в догонялки: кенгуренок отпрыгивает на 12 прыжков, после чего мама начинает его догонять, а он прыгает дальше. За какое время мама его догонит?

2 слайд

Решение
За 2 секунды мама-кенгуру делает три прыжка, а кенгуренок– пять прыжков. Длина прыжка мамы-кенгуру 6 метров, а длина прыжка кенгуренка в 3 раза меньше. Мама с кенгуренком играют в догонялки: кенгуренок отпрыгивает на 12 прыжков, после чего мама начинает его догонять, а он прыгает дальше. За какое время мама его догонит?
Решение
Первый способ. За две секунды мама-кенгуру делает 3 прыжка, длина которых в три раза больше прыжка кенгуренка, то есть отпрыгивает на 9 прыжков кенгуренка. Значит, за две секунды расстояние между мамой и кенгуренком сокращается на 4 прыжка кенгуренка. Между ними было 12 прыжков кенгуренка, следовательно, маме понадобится 6 секунд, чтобы его догнать.
Второй способ. Из условия задачи следует, что мама-кенгуру за 2 секунды преодолевает 18 метров, а кенгуренок– 10 метров. Следовательно, за одну секунду мама преодолеет 9 метров, а кенгуренок– 5 метров. Между ними изначально было 12 прыжков кенгуренка, то есть, 24 метра. За 1 секунду расстояние между ними сокращается на 4 метра, следовательно, маме понадобится 24:4=6 секунд для того, чтобы догнать кенгуренка.
Отметим, что в задаче есть избыточные данные: при решении задачи первым способом не используется длина прыжка мамы-кенгуру.
Ответ: за 6 секунд.

3 слайд

8 класс Задачи на движение
Для перевозки почты из почтового отделения на аэродром был выслан автомобиль "Москвич". Самолёт с почтой приземлился раньше установленного срока, и привезённая почта была отправлена в почтовое отделение на попутной грузовой машине. Через 30 мин езды грузовая машина встретила на дороге "Москвич", который принял почту и, не задерживаясь, повернул обратно. В почтовое отделение "Москвич" прибыл на 20 мин раньше, чем обычно. На сколько минут раньше установленного срока приземлился самолёт?

4 слайд

Решение
Для перевозки почты из почтового отделения на аэродром был выслан автомобиль "Москвич". Самолёт с почтой приземлился раньше установленного срока, и привезённая почта была отправлена в почтовое отделение на попутной грузовой машине. Через 30 мин езды грузовая машина встретила на дороге "Москвич", который принял почту и, не задерживаясь, повернул обратно. В почтовое отделение "Москвич" прибыл на 20 мин раньше, чем обычно. На сколько минут раньше установленного срока приземлился самолёт?
Подсказка
За сколько минут до предполагавшегося по расписанию момента посадки самолёта автомобиль "Москвич" встретился на дороге с грузовиком?
Решение
Поскольку на всю поездку (туда и обратно) "Москвич" потратил на 20 мин меньше, то на путь только в одну сторону он потратил на 10 мин меньше. Значит, встреча "Москвича" с грузовиком состоялась за 10 мин до предполагавшегося по расписанию времени посадки самолёта. Самолёт же приземлился за 30 мин до встречи грузовика с "Москвичом", т.е. на 40 мин раньше установленного в расписании времени.
Ответ: На 40 мин.

5 слайд

8 класс Задачи на движение
Двое лыжников шли с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров друг от друга. Потом они стали подниматься в большую горку, и скорость упала до 4 км/ч. Потом оба лыжника съехали с горки со скоростью 7 км/ч и попали в глубокий снег, где их скорость стала всего 3 км/ч. Каким стало расстояние между ними?

6 слайд

Решение
Двое лыжников шли с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров друг от друга. Потом они стали подниматься в большую горку, и скорость упала до 4 км/ч. Потом оба лыжника съехали с горки со скоростью 7 км/ч и попали в глубокий снег, где их скорость стала всего 3 км/ч. Каким стало расстояние между ними?
 
Решение
Посмотрим, что происходило с расстоянием между лыжниками, когда они начали подниматься в горку. Сначала первый лыжник подошел к ее основанию; второй при этом отставал от первого на 200 метров. Когда подниматься в горку начал второй лыжник (это произошло через 0.2/6 часов), первый был от него на расстоянии (0.2/6)*4*1000=200*(4/6) метров, то есть начальное расстояние умножилось на отношение скоростей.
Рассуждая аналогично, получим, что в конце расстояние между лыжниками будет равно 200*(4/6)*(7/4)*(3/7)=200*(3/6)=100 метров.
Ответ: 100 метров.

7 слайд

8 класс Задачи на движение
Антон сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он решил пробежать вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал, спускаясь вместе с милиционером по неподвижному эскалатору?

8 слайд

Решение
Антон сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он решил пробежать вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал, спускаясь вместе с милиционером по неподвижному эскалатору?
Ответ
50 ступенек.

9 слайд

8 класс Задачи на движение
Моторная лодка в 9 ч отправилась вверх по течению реки, и в момент её отправления с лодки был брошен в реку мяч. В 9 ч 15 мин лодка повернула и поплыла по течению. В котором часу лодка догонит мяч, если известно, что её собственная скорость оставалась неизменной?

10 слайд

Решение
Моторная лодка в 9 ч отправилась вверх по течению реки, и в момент её отправления с лодки был брошен в реку мяч. В 9 ч 15 мин лодка повернула и поплыла по течению. В котором часу лодка догонит мяч, если известно, что её собственная скорость оставалась неизменной?
Решение
Задача решается проще без составления уравнения. Скорость течения реки можно не учитывать, так как она одинаково влияет как на движение лодки, так и на движение мяча. Поэтому расстояние между лодкой и мячом изменяется только со скоростью самой лодки. Поскольку лодка 15 мин удалялась от мяча, то она догонит его через 15 мин после того, как она повернула назад, т.е. в 9 ч 30 мин.
Ответ
в 9 ч 30 мин.

11 слайд

Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.
8 класс Задачи на движение

12 слайд

Решение
Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.
Решение
Пусть x (м) – длина поезда, y (м/с) – его скорость. Тогда x/y=7 и (x+378)/y=25 , откуда x=147 (м), y=21 (м/с). Скорость можно определить и сразу: для проезда мимо платформы поезду потребовалось 25-7=18 (с). Следовательно, его скорость 378:18=21 (м/с), длина его 21· 7=147 (м).
Ответ
21 м/с, 147 м.

13 слайд

Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 метров от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 метрах от другого берега. Какова ширина реки?

8 класс Задачи на движение

14 слайд

Решение
Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 метров от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 метрах от другого берега. Какова ширина реки?
Ответ
1760 метров.
Суммарное расстояние, пройденное паромами к моменту первой встречи, равно ширине реки, а к моменту второй встречи равно утроенной ширине реки. Так как скорости паромов постоянны, то до второй встречи каждый из них пройдёт втрое большее расстояние, чем до первой встречи. Так как один из паромов до первой встречи прошёл 720 метров, то до второй встречи он прошёл расстояние 720 . 3 = 2160 метров. При этом он прошёл путь, равный ширине реки, и ещё 400 метров. Следовательно, ширина реки равна 2160 - 400 = 1760 метров.
Ответ: 1760 м.

15 слайд

8 класс Задачи на движение
Коля и его сестра Маша пошли в гости. Пройдя четверть пути, Коля вспомнил, что они забыли дома подарок и повернул обратно, а Маша пошла дальше. Маша пришла в гости через 20 минут после выхода из дома. На сколько минут позже пришел в гости Коля, если известно, что они все время шли с одинаковыми скоростями?

16 слайд

Решение
Коля и его сестра Маша пошли в гости. Пройдя четверть пути, Коля вспомнил, что они забыли дома подарок и повернул обратно, а Маша пошла дальше. Маша пришла в гости через 20 минут после выхода из дома. На сколько минут позже пришел в гости Коля, если известно, что они все время шли с одинаковыми скоростями?
Решение
Так как Коля возвращался домой, то прошел "лишнюю" половину пути. Значит, время опоздания равно половине времени, потраченного на весь путь, то есть равно 10 минутам.
Ответ
на 10 минут.

17 слайд

8 класс Задачи на движение
Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает таракан Валентин?

18 слайд

Решение
Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает таракан Валентин?
Решение
Валентин пробегает 50*60=3000 см за 100 с, то есть его скорость 30 см/с, что составляет 18 м/мин.
Ответ
18 м/мин.

1 слайд

9 класс Задачи на движение
Пройдя 4/9 длины моста, пешеход заметил, что его догоняет машина, еще не въехавшая на мост. Тогда он повернул назад и встретился с ней у начала моста. Если бы он продолжил свое движение, то машина догнала бы его у конца моста. Найдите отношение скоростей машины и пешехода.

2 слайд

Решение
Пройдя 4/9 длины моста, пешеход заметил, что его догоняет машина, еще не въехавшая на мост. Тогда он повернул назад и встретился с ней у начала моста. Если бы он продолжил свое движение, то машина догнала бы его у конца моста. Найдите отношение скоростей машины и пешехода.


Решение
Из условия задачи следует, что время, которое требуется машине, чтобы подъехать к мосту, равно времени, которое требуется пешеходу, чтобы пройти 4/9 моста. Следовательно, если пешеход продолжит движение, то к моменту въезда машины на мост, он пройдет 8/9 моста. Значит, за то время, пока машина проезжает мост, пешеход успевает пройти его девятую часть, поэтому скорость машины в 9 раз больше скорости пешехода.
Ответ: 9.00

3 слайд

Расстояние между пунктами A и B равно 40 км. Пешеход вышел из A в 4 ч. Когда он прошёл половину пути, его догнал велосипедист, который выехал из A в 7 ч 20 мин. Через час после этого пешеход встретил другого велосипедиста, который выехал из B в 8 ч 30 мин. Скорости велосипедистов одинаковы. Определить скорость пешехода.

9 класс Задачи на движение

4 слайд

Решение
Расстояние между пунктами A и B равно 40 км. Пешеход вышел из A в 4 ч. Когда он прошёл половину пути, его догнал велосипедист, который выехал из A в 7 ч 20 мин. Через час после этого пешеход встретил другого велосипедиста, который выехал из B в 8 ч 30 мин. Скорости велосипедистов одинаковы. Определить скорость пешехода.
Решение
Из условия задачи видим, что второй велосипедист был в пути на 1 ч 10 мин меньше, чем первый (к моменту встречи второго велосипедиста с пешеходом). Если бы он выехал одновременно с первым велосипедистом, то был бы в середине пути на час раньше момента своей встречи с пешеходом. Следовательно, ему понадобилось бы только 10 мин, чтобы проехать путь от места встречи с пешеходом до середины пути. Это же расстояние пешеход проходит за час. Следовательно, скорость велосипедиста в 6 раз больше скорости пешехода. Составим уравнение, сравнив время, за которое пешеход и первый велосипедист проходят полпути (20 км). Пешеход затратил времени на 7 ч 20 мин - 4 ч = 3 ч 20 мин = 31/3 ч больше, чем первый велосипедист. Пусть x – скорость пешехода. Время, затраченное на путь в 20 км, равно 20/x . Скорость велосипедиста 6x (км/ч). Время велосипедиста 20/6x .
20/x-20/6x=31/3; x=5.
Ответ: скорость пешехода 5 км/ч.

5 слайд

9 класс Задачи на движение
Из Цветочного города в Солнечный ведёт шоссе длиной 12 км. На втором километре этого шоссе расположен железнодорожный переезд, который три минуты закрыт и три минуты открыт и т. д., а на четвёртом и на шестом километрах расположены светофоры, которые две минуты горят красным светом и три минуты -- зелёным и т. д. Незнайка выезжает из Цветочного города в Солнечный в тот момент, когда переезд только что закрылся, а оба светофора только что переключились на красный. За какое наименьшее время (в минутах) он сможет доехать до Солнечного города, не нарушая правил, если его электромобиль едет по шоссе с постоянной скоростью (Незнайка не умеет ни тормозить, ни увеличивать скорость)?

6 слайд

Решение
Решение
Будем откладывать по оси абсцисс время (в минутах), а по оси ординат — расстояние от Цветочного города (в километрах). Так как скорость электромобиля постоянна, то график его движения — прямая. При этом Незнайка не может проезжать переезд, расположенный на втором километре шоссе, пока не истекут три минуты, а также на седьмой, восьмой и девятой минутах, на тринадцатой-пятнадцатой минутах и т. д. Графически это означает, что прямая не может пересекать выделенные отрезки. Аналогично можно отметить отрезки, которые запрещено пересекать из-за светофоров. Осталось из начала координат провести прямую, которая не пересекает ни один из выделенных отрезков и пересекает горизонтальную прямую y = 12 как можно раньше.
Ответ: 24 мин.

7 слайд

8 слайд

9 класс Задачи на движение
За 2 секунды мама-кенгуру делает три прыжка, а кенгуренок– пять прыжков. Длина прыжка мамы-кенгуру 6 метров, а длина прыжка кенгуренка в 3 раза меньше. Мама с кенгуренком играют в догонялки: кенгуренок отпрыгивает на 12 прыжков, после чего мама начинает его догонять, а он прыгает дальше. За какое время мама его догонит?

9 слайд

Решение
За 2 секунды мама-кенгуру делает три прыжка, а кенгуренок– пять прыжков. Длина прыжка мамы-кенгуру 6 метров, а длина прыжка кенгуренка в 3 раза меньше. Мама с кенгуренком играют в догонялки: кенгуренок отпрыгивает на 12 прыжков, после чего мама начинает его догонять, а он прыгает дальше. За какое время мама его догонит?
Решение
Первый способ. За две секунды мама-кенгуру делает 3 прыжка, длина которых в три раза больше прыжка кенгуренка, то есть отпрыгивает на 9 прыжков кенгуренка. Значит, за две секунды расстояние между мамой и кенгуренком сокращается на 4 прыжка кенгуренка. Между ними было 12 прыжков кенгуренка, следовательно, маме понадобится 6 секунд, чтобы его догнать.
Второй способ. Из условия задачи следует, что мама-кенгуру за 2 секунды преодолевает 18 метров, а кенгуренок– 10 метров. Следовательно, за одну секунду мама преодолеет 9 метров, а кенгуренок– 5 метров. Между ними изначально было 12 прыжков кенгуренка, то есть, 24 метра. За 1 секунду расстояние между ними сокращается на 4 метра, следовательно, маме понадобится 24:4=6 секунд для того, чтобы догнать кенгуренка.
Отметим, что в задаче есть избыточные данные: при решении задачи первым способом не используется длина прыжка мамы-кенгуру.
Ответ: за 6 секунд.

10 слайд

9 класс Задачи на движение
Для перевозки почты из почтового отделения на аэродром был выслан автомобиль "Москвич". Самолёт с почтой приземлился раньше установленного срока, и привезённая почта была отправлена в почтовое отделение на попутной грузовой машине. Через 30 мин езды грузовая машина встретила на дороге "Москвич", который принял почту и, не задерживаясь, повернул обратно. В почтовое отделение "Москвич" прибыл на 20 мин раньше, чем обычно. На сколько минут раньше установленного срока приземлился самолёт?

11 слайд

Решение
Для перевозки почты из почтового отделения на аэродром был выслан автомобиль "Москвич". Самолёт с почтой приземлился раньше установленного срока, и привезённая почта была отправлена в почтовое отделение на попутной грузовой машине. Через 30 мин езды грузовая машина встретила на дороге "Москвич", который принял почту и, не задерживаясь, повернул обратно. В почтовое отделение "Москвич" прибыл на 20 мин раньше, чем обычно. На сколько минут раньше установленного срока приземлился самолёт?
Подсказка
За сколько минут до предполагавшегося по расписанию момента посадки самолёта автомобиль "Москвич" встретился на дороге с грузовиком?
Решение
Поскольку на всю поездку (туда и обратно) "Москвич" потратил на 20 мин меньше, то на путь только в одну сторону он потратил на 10 мин меньше. Значит, встреча "Москвича" с грузовиком состоялась за 10 мин до предполагавшегося по расписанию времени посадки самолёта. Самолёт же приземлился за 30 мин до встречи грузовика с "Москвичом", т.е. на 40 мин раньше установленного в расписании времени.
Ответ: На 40 мин.

12 слайд

9 класс Задачи на движение
Двое лыжников шли с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров друг от друга. Потом они стали подниматься в большую горку, и скорость упала до 4 км/ч. Потом оба лыжника съехали с горки со скоростью 7 км/ч и попали в глубокий снег, где их скорость стала всего 3 км/ч. Каким стало расстояние между ними?

13 слайд

Решение
Двое лыжников шли с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров друг от друга. Потом они стали подниматься в большую горку, и скорость упала до 4 км/ч. Потом оба лыжника съехали с горки со скоростью 7 км/ч и попали в глубокий снег, где их скорость стала всего 3 км/ч. Каким стало расстояние между ними?
 
Решение
Посмотрим, что происходило с расстоянием между лыжниками, когда они начали подниматься в горку. Сначала первый лыжник подошел к ее основанию; второй при этом отставал от первого на 200 метров. Когда подниматься в горку начал второй лыжник (это произошло через 0.2/6 часов), первый был от него на расстоянии (0.2/6)*4*1000=200*(4/6) метров, то есть начальное расстояние умножилось на отношение скоростей.
Рассуждая аналогично, получим, что в конце расстояние между лыжниками будет равно 200*(4/6)*(7/4)*(3/7)=200*(3/6)=100 метров.
Ответ: 100 метров.

14 слайд

9 класс Задачи на движение
Антон сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он решил пробежать вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал, спускаясь вместе с милиционером по неподвижному эскалатору?

15 слайд

Решение
Антон сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он решил пробежать вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал, спускаясь вместе с милиционером по неподвижному эскалатору?
Ответ
50 ступенек.

16 слайд

Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.
9 класс Задачи на движение

17 слайд

Решение
Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.
Решение
Пусть x (м) – длина поезда, y (м/с) – его скорость. Тогда x/y=7 и (x+378)/y=25 , откуда x=147 (м), y=21 (м/с). Скорость можно определить и сразу: для проезда мимо платформы поезду потребовалось 25-7=18 (с). Следовательно, его скорость 378:18=21 (м/с), длина его 21· 7=147 (м).
Ответ
21 м/с, 147 м.

18 слайд

Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 метров от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 метрах от другого берега. Какова ширина реки?

9 класс Задачи на движение

19 слайд

Решение
Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 метров от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 метрах от другого берега. Какова ширина реки?
Ответ
1760 метров.
Суммарное расстояние, пройденное паромами к моменту первой встречи, равно ширине реки, а к моменту второй встречи равно утроенной ширине реки. Так как скорости паромов постоянны, то до второй встречи каждый из них пройдёт втрое большее расстояние, чем до первой встречи. Так как один из паромов до первой встречи прошёл 720 метров, то до второй встречи он прошёл расстояние 720 . 3 = 2160 метров. При этом он прошёл путь, равный ширине реки, и ещё 400 метров. Следовательно, ширина реки равна 2160 - 400 = 1760 метров.
Ответ: 1760 м.

1 слайд

Задачи
на нахождение дроби от числа и
числа по его дроби.

2 слайд

Рассмотренные типы задач сводятся воедино в таблицу.

3 слайд

В хоре 80 учащихся, ¼ из них –мальчики. Сколько мальчиков в хоре?

20

4 слайд

(Значение дроби)=
( Все число)∙ (Дробь от числа)

(Все число)=
(Значение дроби):( Дробь от числа)

5 слайд

Девочка прочитала ¾ книги, что составляет 120 страниц . Сколько страниц в книге?

160

6 слайд

Туристы за три дня прошли 48 км. В первый день прошли ¼ всего расстояния, а во в второй 5/9 остатка . Сколько км они прошли в третий день?

12
36
20
Ответ : 16

7 слайд

В первый день туристами пройдена ¼ часть пути, во второй- 2/5 от пути, пройденного в первый день, а в третий – остальные 26 км. Найти весь путь пройденный туристами за три дня?



х
1/4х

8 слайд

Заполнить таблицу

9 слайд

10 слайд

Летела стая гусей, а навстречу ей один гусь, «Здравствуйте 100 гусей»-говорит он, а вожак стаи отвечает : «Нас не 100 гусей. Если бы нас было столько сколько теперь, да еще столько, да еще полстолька ,да еще четверть столько ,да еще ты ,гусь, то нас было бы ровно 100 гусей» Вопрос сколько гусей было в стае?

11 слайд

Решение
алгебраический способ
Пусть в стае было х гусей, тогда получим уравнение


Ответ: 36

12 слайд

Арифметический способ
100 гусей можно выразить как стаи, да еще один гусь
тогда стаи – это 99 гусей, поэтому 99: = 36

Ответ: 36

13 слайд

Таксист за месяц проехал 6000 км. Стоимость 1 литра бензина 20 рублей. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

14 слайд

Решение
1) 9∙20=180 (р)- за каждые 100 км
2)6000:100 ∙180=10800(р) – за бензин
Ответ: 10800.

15 слайд

Решить самостоятельно
1)Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60 рублей?
2) Теплоход рассчитан на 1000 пассажиров и 30 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?
3) Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

16 слайд

4)В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 4 недели?
5) Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье?
6) В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 166 человек. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5 дней?

17 слайд

7) На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?
8) Задание B1 (№ 26640)Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

18 слайд

Ответы
1)8
2)21
3)7
4)10
5)7
6)34
7)15
8)105

1 слайд

Нахождение дроби от числа

2 слайд

Решим задачу
Путешественник прошел за два дня 30 км.
30 км
В
А
В первый день он прошел этого расстояния.
Сколько километров прошел путешественник в первый день?
?
Решение:
Иначе:
Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь

3 слайд

4
1
2
3
8
5
6
7
12
9
10
11
16
13
14
15
20
17
18
19
24
21
22
23

4 слайд

4
1
2
3
8
5
6
7
12
9
10
11
16
13
14
15
20
17
18
19
24
21
22
23

5 слайд

1
2
8
7
6
5
4
3
14
13
12
11
10
9
18
17
16
15

6 слайд

1
2
8
7
6
5
4
3
14
13
12
11
10
9
18
17
16
15

1 слайд

Нахождение числа по его дроби

2 слайд

Решим задачу
Путешественник прошел весь путь за два дня.
?
В
А
В первый день он прошел 20 км, что составило всего пути.
Сколько километров прошел путешественник всего за два дня?
Решение:
Иначе:
Чтобы найти число по данному значению его дроби,
надо это значение разделить на дробь

3 слайд

4
1
2
3
8
5
6
7
12
9
10
11
16
13
14
15
20
17
18
19
24
21
22
23

4 слайд

4
1
2
3
8
5
6
7
12
9
10
11
16
13
14
15
20
17
18
19
24
21
22
23

1 слайд

5 класс Задачи на проценты
Два лесоруба, Иван и Прохор, работали вместе в лесу и сели перекусить. У Ивана было 4 лепёшки, а у Прохора  — 8. Тут к ним подошёл охотник. -- Вот, братцы, заблудился в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется. Пожалуйста, поделитесь со мной хлебом-солью! -- Ну что ж, садись, чем богаты, тем и рады,  — сказали лесорубы. Двенадцать лепёшек были разделены поровну на троих. После еды охотник пошарил в карманах, нашёл гривенник и полтинник и сказал: -- Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете! Охотник ушёл, а лесорубы заспорили. Прохор говорит: -- По-моему, деньги надо разделить поровну! А Иван ему возражает: -- За 12 лепёшек  — 60 коп., значит за каждую лепёшку по 5 коп. Раз у тебя было 8 лепёшек  — тебе 40 коп., у меня 4 лепёшки  — мне 20 коп.! А как бы вы разделили эти деньги между лесорубами?

2 слайд

Решение
Два лесоруба, Иван и Прохор, работали вместе в лесу и сели перекусить. У Ивана было 4 лепёшки, а у Прохора  — 8. Тут к ним подошёл охотник. -- Вот, братцы, заблудился в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется. Пожалуйста, поделитесь со мной хлебом-солью! -- Ну что ж, садись, чем богаты, тем и рады,  — сказали лесорубы. Двенадцать лепёшек были разделены поровну на троих. После еды охотник пошарил в карманах, нашёл гривенник и полтинник и сказал: -- Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете! Охотник ушёл, а лесорубы заспорили. Прохор говорит: -- По-моему, деньги надо разделить поровну! А Иван ему возражает: -- За 12 лепёшек  — 60 коп., значит за каждую лепёшку по 5 коп. Раз у тебя было 8 лепёшек  — тебе 40 коп., у меня 4 лепёшки  — мне 20 коп.! А как бы вы разделили эти деньги между лесорубами?
Подсказка
Обратите внимание, на каждого едока приходится по 4 лепёшки.
Решение
Ошибаются и Иван, и Прохор. На каждого едока пришлось по 4 лепёшки, следовательно, Иван съел все свои лепёшки сам, а Прохор половину своих лепёшек отдал охотнику. Это означает, что все 60 коп. должен получить Прохор.
Ответ
 Все деньги должен получить Прохор.

3 слайд

5 класс Задачи на проценты
В гимназии все ученики знают хотя бы один из древних языков  — греческий или латынь, а некоторые  — оба языка. 85% всех ребят знают греческий язык и 75% знают латынь. Какая часть учащихся знает оба языка?

4 слайд

Решение
В гимназии все ученики знают хотя бы один из древних языков  — греческий или латынь, а некоторые  — оба языка. 85% всех ребят знают греческий язык и 75% знают латынь. Какая часть учащихся знает оба языка?
Подсказка
Заметьте, каждый гимназист знает хотя бы один древний язык.
Решение
Поскольку 85% всех ребят знают греческий язык, то 15% его не знают, т.е. знают латынь. Это значит, что из 75% ребят, знающих латынь, 15% не знают греческого, а оставшиеся 75%-15%=60% говорят на обоих языках. Если бы мы начали решение не со знающих греческий, а со знающих латынь, ответ получился бы тот же, только 60% мы получили бы как разность 85%-25%.
Ответ
 Оба языка знают 60% ребят.

5 слайд

5 класс Задачи на проценты
"То" да "это", да половина "того" да "этого"  — сколько это будет процентов от трех четвертей "того" да "этого"?

6 слайд

Решение
"То" да "это", да половина "того" да "этого"  — сколько это будет процентов от трех четвертей "того" да "этого"?
Подсказка
Заметьте, "то" да "это" плюс половина "того" да "этого" получится полтора "того" да "этого".
Решение
"То" да "это", да половина "того" да "этого"  — это полтора "того" да "этого", что в 2 раза больше трех четвертей "того" да "этого", т.е. составляет от них 200%.
Ответ
 200%.

7 слайд

5 класс Задачи на проценты
В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья  — четвёрки, половина  — тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?

8 слайд

Решение
В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья  — четвёрки, половина  — тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?
Подсказка
Обратите внимание: число школьников, получивших ту или иную оценку всегда целое.
Решение
Поскольку число школьников, получивших ту или иную оценку, всегда целое, то для решения задачи нам надо найти целое число, меньшее 50, одновременно делящееся на 7, 3, 2. Единственным возможным ответом является число 42. Это значит, что всего в классе 42 ученика; 6 из них получили пятёрки; 14  — четвёрки; 21  — тройки. Следовательно, двойку получил 1 ученик.
Ответ
 1 работа.

1 слайд

После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?
6 класс Задачи на проценты

2 слайд

Решение
После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?
Решение
Поскольку половина персиков составляет одну треть от всего компота, то половина от оставшихся персиков составляет одну шестую часть от всего компота. Учитывая, что 2/3 = 4/6, получаем ответ — 1/4.
Ответ
На одну четверть.

3 слайд

6 класс Задачи на проценты
В парке росли липы и клены. Кленов среди них было 60%. Весной в парке посадили липы, после чего кленов стало 20%. А осенью посадили клены, и кленов стало снова 60%. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в парке за год?

4 слайд

Решение
В парке росли липы и клены. Кленов среди них было 60%. Весной в парке посадили липы, после чего кленов стало 20%. А осенью посадили клены, и кленов стало снова 60%. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в парке за год?
Решение
Первое решение. До начала посадок липы составляли 2/5, а клёны - 3/5 всех деревьев в парке. К лету число клёнов не изменилось, однако они стали составлять 1/5 всех деревьев. Следовательно, количество всех деревьев в парке увеличилось втрое. При этом липы составляли 4/5 всех деревьев.
К зиме не изменилось количество лип, но они стали составлять 2/5 всех деревьев. Следовательно, количество всех деревьев увеличилось ещё вдвое. Таким образом, за год количество деревьев увеличилось в 6 раз.
Второе решение. Сначала лип было в 1,5 раза меньше, чем клёнов, а потом стало в 4 раза больше. При этом количество клёнов не менялось. Значит, лип стало в 1,5 · 4=6 раз больше. Заметим, что к концу года отношение числа клёнов к числу лип стало таким же, как было в начале.
Поскольку осенью количество лип не менялось, количество клёнов тоже увеличилось в шесть раз. То есть число деревьев в парке увеличилось в шесть раз.
Ответ
в 6 раз.

5 слайд

6 класс Задачи на проценты
Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объёма, во втором бидоне вода заняла 2/3, а в третьем бидоне  — 3/4 его объёма. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров. При каком наименьшем объёме бака возможна такая ситуация?

6 слайд

Решение
Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объёма, во втором бидоне вода заняла 2/3, а в третьем бидоне  — 3/4 его объёма. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров. При каком наименьшем объёме бака возможна такая ситуация?
Подсказка
Обратите внимание: и объём бака, и объёмы всех бидонов являются целыми числами. Вспомните задачу 152.
Решение
В каждый бидон перелито по  объёма бака. Значит, объём первого бидона равен : = бака, объём второго  — : = бака, а объём третьего  — : = бака, и все эти количества  — целые числа. Чтобы некоторого целого числа являлись тоже целым, это число (вместимость бака) должно быть кратно 3. Аналогично, для второго и третьего бидонов оно должно быть кратно 2 и 9. Наименьшее общее кратное чисел 3, 2 и 9  — это 18. Значит, минимальная вместимость бака 18 л.
Ответ
 18 л.

7 слайд

6 класс Задачи на проценты
На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?

8 слайд

Решение
На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?
Подсказка
Заметьте, вначале в ягодах содержался 1 кг "сухого вещества".
Решение
В начале хранения в ягодах был 1% (т.е. 1 кг) сухого вещества. В конце хранения этот же 1 кг составлял уже 2% (т.е. 100%-98%) от всех ягод. Значит, если 2%  — 1 кг, то 100%  — 50 кг. Следовательно, к концу хранения на складе лежало 50 кг ягод.
Ответ
 50 кг.

9 слайд

6 класс Задачи на проценты
Влажность травы. Влажность свежескошенной травы 60%, сена 15%. Сколько сена получится из одной тонны свежескошенной травы?

10 слайд

Решение
Влажность травы. Влажность свежескошенной травы 60%, сена 15%. Сколько сена получится из одной тонны свежескошенной травы?
Решение
Количество «сухого» вещества в одной тонне свежескошенной травы равно 1000 / 100 · 40 = 400 кг, а влажность сена 15%, т.е. «сухого» вещества 85%, а тогда
всего сена получится кг сена.

11 слайд

6 класс Задачи на проценты
Два лесоруба, Иван и Прохор, работали вместе в лесу и сели перекусить. У Ивана было 4 лепёшки, а у Прохора  — 8. Тут к ним подошёл охотник. -- Вот, братцы, заблудился в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется. Пожалуйста, поделитесь со мной хлебом-солью! -- Ну что ж, садись, чем богаты, тем и рады,  — сказали лесорубы. Двенадцать лепёшек были разделены поровну на троих. После еды охотник пошарил в карманах, нашёл гривенник и полтинник и сказал: -- Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете! Охотник ушёл, а лесорубы заспорили. Прохор говорит: -- По-моему, деньги надо разделить поровну! А Иван ему возражает: -- За 12 лепёшек  — 60 коп., значит за каждую лепёшку по 5 коп. Раз у тебя было 8 лепёшек  — тебе 40 коп., у меня 4 лепёшки  — мне 20 коп.! А как бы вы разделили эти деньги между лесорубами?

12 слайд

Решение
Два лесоруба, Иван и Прохор, работали вместе в лесу и сели перекусить. У Ивана было 4 лепёшки, а у Прохора  — 8. Тут к ним подошёл охотник. -- Вот, братцы, заблудился в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется. Пожалуйста, поделитесь со мной хлебом-солью! -- Ну что ж, садись, чем богаты, тем и рады,  — сказали лесорубы. Двенадцать лепёшек были разделены поровну на троих. После еды охотник пошарил в карманах, нашёл гривенник и полтинник и сказал: -- Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете! Охотник ушёл, а лесорубы заспорили. Прохор говорит: -- По-моему, деньги надо разделить поровну! А Иван ему возражает: -- За 12 лепёшек  — 60 коп., значит за каждую лепёшку по 5 коп. Раз у тебя было 8 лепёшек  — тебе 40 коп., у меня 4 лепёшки  — мне 20 коп.! А как бы вы разделили эти деньги между лесорубами?
Подсказка
Обратите внимание, на каждого едока приходится по 4 лепёшки.
Решение
Ошибаются и Иван, и Прохор. На каждого едока пришлось по 4 лепёшки, следовательно, Иван съел все свои лепёшки сам, а Прохор половину своих лепёшек отдал охотнику. Это означает, что все 60 коп. должен получить Прохор.
Ответ
 Все деньги должен получить Прохор.

13 слайд

6 класс Задачи на проценты
В гимназии все ученики знают хотя бы один из древних языков  — греческий или латынь, а некоторые  — оба языка. 85% всех ребят знают греческий язык и 75% знают латынь. Какая часть учащихся знает оба языка?

14 слайд

Решение
В гимназии все ученики знают хотя бы один из древних языков  — греческий или латынь, а некоторые  — оба языка. 85% всех ребят знают греческий язык и 75% знают латынь. Какая часть учащихся знает оба языка?
Подсказка
Заметьте, каждый гимназист знает хотя бы один древний язык.
Решение
Поскольку 85% всех ребят знают греческий язык, то 15% его не знают, т.е. знают латынь. Это значит, что из 75% ребят, знающих латынь, 15% не знают греческого, а оставшиеся 75%-15%=60% говорят на обоих языках. Если бы мы начали решение не со знающих греческий, а со знающих латынь, ответ получился бы тот же, только 60% мы получили бы как разность 85%-25%.
Ответ
 Оба языка знают 60% ребят.

15 слайд

6 класс Задачи на проценты
В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья  — четвёрки, половина  — тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?

16 слайд

Решение
В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья  — четвёрки, половина  — тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?
Подсказка
Обратите внимание: число школьников, получивших ту или иную оценку всегда целое.
Решение
Поскольку число школьников, получивших ту или иную оценку, всегда целое, то для решения задачи нам надо найти целое число, меньшее 50, одновременно делящееся на 7, 3, 2. Единственным возможным ответом является число 42. Это значит, что всего в классе 42 ученика; 6 из них получили пятёрки; 14  — четвёрки; 21  — тройки. Следовательно, двойку получил 1 ученик.
Ответ
 1 работа.

17 слайд

6 класс Задачи на проценты
"То" да "это", да половина "того" да "этого"  — сколько это будет процентов от трех четвертей "того" да "этого"?

18 слайд

Решение
"То" да "это", да половина "того" да "этого"  — сколько это будет процентов от трех четвертей "того" да "этого"?
Подсказка
Заметьте, "то" да "это" плюс половина "того" да "этого" получится полтора "того" да "этого".
Решение
"То" да "это", да половина "того" да "этого"  — это полтора "того" да "этого", что в 2 раза больше трех четвертей "того" да "этого", т.е. составляет от них 200%.
Ответ
 200%.

1 слайд

7 класс Задачи на проценты
За два года завод снизил объём выпускаемой продукции на 51%. При этом каждый год объём выпускаемой продукции снижался на одно и то же число процентов. На сколько?

2 слайд

Решение
За два года завод снизил объём выпускаемой продукции на 51%. При этом каждый год объём выпускаемой продукции снижался на одно и то же число процентов. На сколько?
Подсказка
Если объём выпускаемой продукции снизился на 51%, значит, он составил 49% от исходного, а 49 — это 7 в квадрате.
Решение
Пусть за год выпуск снижался на x %. Приняв исходный объём выпуска продукции за 1, получим, что через год выпуск продукции составил (100-x)/100 от исходного, а через два года — ((100-x)/100)2 от исходного. С другой стороны, по условию выпуск продукции снизился на 51% и, значит, составил (49/100) от исходного. Получаем, что ((100-x)/100)2=(49/100). Отсюда (100-x)/100=7/10, x = 30.
Ответ
На 30%.

3 слайд

7 класс Задачи на проценты
Под какой процент выгоднее положить деньги в банк на год: 6 процентов в год или 1/2 процентов в месяц?

4 слайд

Решение
Под какой процент выгоднее положить деньги в банк на год: 6 процентов в год или 1/2 процентов в месяц?
Подсказка
Если бы 1/2 процента каждый месяц начислялись от суммы, положенной в банк в начале года, то в конце года сумма увеличилась бы на 6 процентов.
Решение
Пусть в банке начисляется 1/2 процентов каждый месяц. Если бы 1/2 процента каждый месяц начислялись от суммы, положенной в банк в начале года, то в конце года (через 12 месяцев) сумма увеличилась бы как раз на (1/2)*12=6 процентов. Однако, начиная со второго месяца 1/2 процента будет начисляться от суммы, которая находится в банке к началу месяца, т.е. от суммы, которая больше, чем положенная в начале года. Поэтому в конце года сумма окажется больше в том случае, если каждый месяц начисляется по 1/2 процента.
Ответ
выгоднее второй вариант.

5 слайд

7 класс Задачи на проценты
Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася. На сколько процентов больше Алика собрал грибов Вася?

6 слайд

Решение
Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася. На сколько процентов больше Алика собрал грибов Вася?
Решение
Пусть Боря собрал x грибов. Тогда 20% от количества грибов, собранных Борей, равно 0, 2x. Значит, Алик собрал x - 0, 2x = 0, 8x грибов, а Вася собрал x + 0, 2x = 1, 2x грибов. Получаем, что Вася собрал грибов в = 1, 5 раза больше, чем Алик, то есть на 50% больше количества грибов, собранных Аликом.
Ответ
 На 50%.

7 слайд

7 класс Задачи на проценты
После кризиса все цены поднялись на 25%. На сколько процентов меньше товаров можно купить на ту же зарплату?

8 слайд

Решение
После кризиса все цены поднялись на 25%. На сколько процентов меньше товаров можно купить на ту же зарплату?
Решение
Пусть цены были a руб., покупалось b товаров, на сумму ab руб. Если цены поднялись на 25%, то они стали стоить 1,25a руб., а тогда при той же сумме затрат ab руб. можно купить ab : 1,25a = 0,8b товара, то есть только 80% от b.
Ответ
На 20% меньше стала покупательская способность.

9 слайд

После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?
7 класс Задачи на проценты

10 слайд

Решение
После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?
Решение
Поскольку половина персиков составляет одну треть от всего компота, то половина от оставшихся персиков составляет одну шестую часть от всего компота. Учитывая, что 2/3 = 4/6, получаем ответ — 1/4.
Ответ
На одну четверть.

11 слайд

7 класс Задачи на проценты
В парке росли липы и клены. Кленов среди них было 60%. Весной в парке посадили липы, после чего кленов стало 20%. А осенью посадили клены, и кленов стало снова 60%. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в парке за год?

12 слайд

Решение
В парке росли липы и клены. Кленов среди них было 60%. Весной в парке посадили липы, после чего кленов стало 20%. А осенью посадили клены, и кленов стало снова 60%. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в парке за год?
Решение
Первое решение. До начала посадок липы составляли 2/5, а клёны - 3/5 всех деревьев в парке. К лету число клёнов не изменилось, однако они стали составлять 1/5 всех деревьев. Следовательно, количество всех деревьев в парке увеличилось втрое. При этом липы составляли 4/5 всех деревьев.
К зиме не изменилось количество лип, но они стали составлять 2/5 всех деревьев. Следовательно, количество всех деревьев увеличилось ещё вдвое. Таким образом, за год количество деревьев увеличилось в 6 раз.
Второе решение. Сначала лип было в 1,5 раза меньше, чем клёнов, а потом стало в 4 раза больше. При этом количество клёнов не менялось. Значит, лип стало в 1,5 · 4=6 раз больше. Заметим, что к концу года отношение числа клёнов к числу лип стало таким же, как было в начале.
Поскольку осенью количество лип не менялось, количество клёнов тоже увеличилось в шесть раз. То есть число деревьев в парке увеличилось в шесть раз.
Ответ
в 6 раз.

13 слайд

7 класс Задачи на проценты
Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объёма, во втором бидоне вода заняла 2/3, а в третьем бидоне  — 3/4 его объёма. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров. При каком наименьшем объёме бака возможна такая ситуация?

14 слайд

Решение
Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объёма, во втором бидоне вода заняла 2/3, а в третьем бидоне  — 3/4 его объёма. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров. При каком наименьшем объёме бака возможна такая ситуация?
Подсказка
Обратите внимание: и объём бака, и объёмы всех бидонов являются целыми числами. Вспомните задачу 152.
Решение
В каждый бидон перелито по  объёма бака. Значит, объём первого бидона равен : = бака, объём второго  — : = бака, а объём третьего  — : = бака, и все эти количества  — целые числа. Чтобы некоторого целого числа являлись тоже целым, это число (вместимость бака) должно быть кратно 3. Аналогично, для второго и третьего бидонов оно должно быть кратно 2 и 9. Наименьшее общее кратное чисел 3, 2 и 9  — это 18. Значит, минимальная вместимость бака 18 л.
Ответ
 18 л.

15 слайд

7 класс Задачи на проценты
На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?

16 слайд

Решение
На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?
Подсказка
Заметьте, вначале в ягодах содержался 1 кг "сухого вещества".
Решение
В начале хранения в ягодах был 1% (т.е. 1 кг) сухого вещества. В конце хранения этот же 1 кг составлял уже 2% (т.е. 100%-98%) от всех ягод. Значит, если 2%  — 1 кг, то 100%  — 50 кг. Следовательно, к концу хранения на складе лежало 50 кг ягод.
Ответ
 50 кг.

17 слайд

7 класс Задачи на проценты
Влажность травы. Влажность свежескошенной травы 60%, сена 15%. Сколько сена получится из одной тонны свежескошенной травы?

18 слайд

Решение
Влажность травы. Влажность свежескошенной травы 60%, сена 15%. Сколько сена получится из одной тонны свежескошенной травы?
Решение
Количество «сухого» вещества в одной тонне свежескошенной травы равно 1000 / 100 · 40 = 400 кг, а влажность сена 15%, т.е. «сухого» вещества 85%, а тогда
всего сена получится кг сена.

1 слайд

8 класс Задачи на проценты
Мама дала Васе денег на 30 карандашей. Оказалось, что в магазине карандашная фабрика проводит рекламную акцию: в обмен на чек о покупке набора из 20 карандашей возвращают 25% стоимости набора, а в обмен на чек о покупке набора из 5 карандашей 10%. Какое наибольшее число карандашей может купить Вася?

2 слайд

Решение
Мама дала Васе денег на 30 карандашей. Оказалось, что в магазине карандашная фабрика проводит рекламную акцию: в обмен на чек о покупке набора из 20 карандашей возвращают 25% стоимости набора, а в обмен на чек о покупке набора из 5 карандашей 10%. Какое наибольшее число карандашей может купить Вася?
Решение
Заметим, что 25% от стоимости 20 карандашей -- это стоимость 5 карандашей, а 10% от стоимости 5 карандашей -- это половина стоимости карандаша.
Ясно, что для получения максимальной скидки Вася должен действовать так:
Пока хватает денег, покупать набор из 20 карандашей и сразу обменивать чек на выходе;
если не хватает денег на 20 карандашей, но хватает на 5, покупать набор из 5 карандашей и сразу обменивать чеки на выходе;
в крайнем случае покупать отдельные карандаши.
Действуя таким образом, Вася сначала купит коробку из 20 карандашей и получит на выходе из магазина стоимость 5 карандашей. После этого у него будет денег на 15 карандашей. Потом он купит три набора из 5 карандашей и получит на выходе стоимость 1, 5 карандашей. На оставшиеся деньги он купит 1 карандаш. Итого: 36 карандашей.
Ответ
36 карандашей.

3 слайд

8 класс Задачи на проценты
Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе. Сколько человек в семье?

4 слайд

Решение
Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе. Сколько человек в семье?
Решение
Пусть n — количество чашек (число человек в семье), а x — количество выпитого молока (в чашках). Тогда количество выпитого кофе равно n - x. Катя выпила одну чашку кофе с молоком, которая состояла из одной четверти всего молока (x/4) и одной шестой всего кофе ((n - x)/6). Получае
+ = 1,

3x + 2(n - x) = 12,
x + 2n = 12.
Так как n — целое число, то из последнего равенства следует, что x — целое число, причём чётное (x = 12 - 2n). Кроме того, xn, так как количество выпитого молока, конечно, не больше, чем общее количество напитка. Теперь небольшим перебором находим, что последнее уравнение имеет три решения:
n = 6, x = 0;        n = 5, x = 2;        n = 4, x = 4.
При этом первое и последнее решения отвечают случаю, когда все пили просто молоко или просто кофе, а второе — когда пили действительно кофе с молоком.
Ответ
 5 человек.

5 слайд

8 класс Задачи на проценты
Сколько фунтов зерна нужно смолоть, чтобы после оплаты работы — 10% от помола, осталось ровно 100 фунтов муки? Потерь при помоле нет.

6 слайд

Решение
Сколько фунтов зерна нужно смолоть, чтобы после оплаты работы — 10% от помола, осталось ровно 100 фунтов муки? Потерь при помоле нет.
Подсказка
Подумайте, какую часть оплата будет составлять не от первоначальной выручки, а от окончательной.
Решение
Оставшиеся 100 фунтов, составляют (100−10)%, т.е.90%. Значит 100 ф. есть 9/10. Отсюда можно найти исходное количество зерна А = 100ф. × 10/9. Отсюда А = 1000/9 ф. или 111 + 1/9 ф. Действительно, (9/10) × (111 + 1/9)ф. = (9/10) × (1000/9)ф. = 100 ф.
Ответ: 100 футов

7 слайд

8 класс Задачи на проценты
На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?

8 слайд

Решение
На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?

Подсказка
Заметьте, вначале в ягодах содержался 1 кг "сухого вещества".
Решение
В начале хранения в ягодах был 1% (т.е. 1 кг) сухого вещества. В конце хранения этот же 1 кг составлял уже 2% (т.е. 100%-98%) от всех ягод. Значит, если 2%  — 1 кг, то 100%  — 50 кг. Следовательно, к концу хранения на складе лежало 50 кг ягод.
Ответ
 50 кг.

9 слайд

8 класс Задачи на проценты
За два года завод снизил объём выпускаемой продукции на 51%. При этом каждый год объём выпускаемой продукции снижался на одно и то же число процентов. На сколько?

10 слайд

Решение
За два года завод снизил объём выпускаемой продукции на 51%. При этом каждый год объём выпускаемой продукции снижался на одно и то же число процентов. На сколько?
Подсказка
Если объём выпускаемой продукции снизился на 51%, значит, он составил 49% от исходного, а 49 — это 7 в квадрате.
Решение
Пусть за год выпуск снижался на x %. Приняв исходный объём выпуска продукции за 1, получим, что через год выпуск продукции составил (100-x)/100 от исходного, а через два года — ((100-x)/100)2 от исходного. С другой стороны, по условию выпуск продукции снизился на 51% и, значит, составил (49/100) от исходного. Получаем, что ((100-x)/100)2=(49/100). Отсюда (100-x)/100=7/10, x = 30.
Ответ
На 30%.

11 слайд

8 класс Задачи на проценты
Под какой процент выгоднее положить деньги в банк на год: 6 процентов в год или 1/2 процентов в месяц?

12 слайд

Решение
Под какой процент выгоднее положить деньги в банк на год: 6 процентов в год или 1/2 процентов в месяц?
Подсказка
Если бы 1/2 процента каждый месяц начислялись от суммы, положенной в банк в начале года, то в конце года сумма увеличилась бы на 6 процентов.
Решение
Пусть в банке начисляется 1/2 процентов каждый месяц. Если бы 1/2 процента каждый месяц начислялись от суммы, положенной в банк в начале года, то в конце года (через 12 месяцев) сумма увеличилась бы как раз на (1/2)*12=6 процентов. Однако, начиная со второго месяца 1/2 процента будет начисляться от суммы, которая находится в банке к началу месяца, т.е. от суммы, которая больше, чем положенная в начале года. Поэтому в конце года сумма окажется больше в том случае, если каждый месяц начисляется по 1/2 процента.
Ответ
выгоднее второй вариант.

13 слайд

8 класс Задачи на проценты
Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася. На сколько процентов больше Алика собрал грибов Вася?

14 слайд

Решение
Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася. На сколько процентов больше Алика собрал грибов Вася?
Решение
Пусть Боря собрал x грибов. Тогда 20% от количества грибов, собранных Борей, равно 0, 2x. Значит, Алик собрал x - 0, 2x = 0, 8x грибов, а Вася собрал x + 0, 2x = 1, 2x грибов. Получаем, что Вася собрал грибов в = 1, 5 раза больше, чем Алик, то есть на 50% больше количества грибов, собранных Аликом.
Ответ
 На 50%.

15 слайд

8 класс Задачи на проценты
После кризиса все цены поднялись на 25%. На сколько процентов меньше товаров можно купить на ту же зарплату?

16 слайд

Решение
После кризиса все цены поднялись на 25%. На сколько процентов меньше товаров можно купить на ту же зарплату?
Решение
Пусть цены были a руб., покупалось b товаров, на сумму ab руб. Если цены поднялись на 25%, то они стали стоить 1,25a руб., а тогда при той же сумме затрат ab руб. можно купить ab : 1,25a = 0,8b товара, то есть только 80% от b.
Ответ
На 20% меньше стала покупательская способность.

1 слайд

9 класс Задачи на проценты
Путешественник посетил деревню, каждый житель которой либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители деревни стали в круг лицом к центру, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.  

2 слайд

Решение
Путешественник посетил деревню, каждый житель которой либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители деревни стали в круг лицом к центру, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.  
Решение
Пусть путешественник получил все ответы. Заменим теперь всех лжецов на правдивых, а правдивых — на лжецов. Тогда ответы будут те же. Действительно, лжец про лжеца скажет то же самое, что правдивый про правдивого, т. е. скажет, что сосед справа — правдивый; лжец про правдивого скажет то же самое, что правдивый про лжеца, т. е. скажет, что сосед справа — лжец. Значит, полученные ответы не дают возможности различить ситуации, получающиеся друг из друга указанной заменой. Но мы знаем, что путешественник по ответам однозначно узнал долю лжецов. Значит, эти две ситуации и не различались. Это означает, что доля лжецов равна 50%.Приведём пример, показывающий, что описанная в условии ситуация возможна. Пусть в деревне чётное число жителей и каждый сказал, что его сосед справа — лжец. Тогда правдивые жители и лжецы "чередуются". Ответ: 50%.

3 слайд

9 класс Задачи на проценты
Совет из 2000 депутатов решил утвердить государственный бюджет, содержащий 200 статей расходов. Каждый депутат подготовил свой проект бюджета, в котором указал по каждой статье максимально допустимую, по его мнению, величину расходов, проследив за тем, чтобы общая сумма расходов не превысила заданную величину S. По каждой статье совет утверждает наибольшую величину расходов, которую согласны выделить не менее k депутатов. При каком наименьшем k можно гарантировать, что общая сумма утверждённых расходов не превысит S?

4 слайд

Решение
Совет из 2000 депутатов решил утвердить государственный бюджет, содержащий 200 статей расходов. Каждый депутат подготовил свой проект бюджета, в котором указал по каждой статье максимально допустимую, по его мнению, величину расходов, проследив за тем, чтобы общая сумма расходов не превысила заданную величину S. По каждой статье совет утверждает наибольшую величину расходов, которую согласны выделить не менее k депутатов. При каком наименьшем k можно гарантировать, что общая сумма утверждённых расходов не превысит S?
Решение. Если k ≤ 1990, может случиться, что первые 10 депутатов предложат ничего не выделять по первой статье расходов, а по остальным выделить по S/199. Следующие 10 депутатов ничего не выделят по второй статье и выделят по S/199 по остальным и так далее. В результате по каждой статье будет утверждена сумма расходов в S/199, а по всем двумстам статьям  S > S. Если k = 1991, то после утверждения расходов по всем статьям окажется, что лишь менее 10 депутатов могли предложить величину расходов, меньшую утверждённой. Поэтому найдётся депутат, который по всем статьям предложил величину расходов, не меньшую утверждённой. Но сумма предложенных им расходов не больше S, а, значит, и утверждённая сумма тоже.
Ответ: k=1991.

5 слайд

9 класс Задачи на проценты
Экологи запротестовали против большого объема лесозаготовки. Председатель леспромхоза успокоил их следующим образом: "В лесу 99 процентов сосен. Будут вырубаться только сосны, и после вырубок процент сосен останется почти неизменным - сосен будет 98 процентов". Какая часть леса отведена под вырубки?

6 слайд

Решение
Экологи запротестовали против большого объема лесозаготовки. Председатель леспромхоза успокоил их следующим образом: "В лесу 99 процентов сосен. Будут вырубаться только сосны, и после вырубок процент сосен останется почти неизменным - сосен будет 98 процентов". Какая часть леса отведена под вырубки?
Подсказка
Количество "не сосен" остается постоянным, а доля "не сосен" увеличилась с одного процента до двух...
Решение
Обозначим через x число деревьев, не являющихся соснами. Тогда до вырубки x составляет 100-99=1 процент леса, а после вырубки x составляет 100-98=2 процента леса. Таким образом, до вырубки в лесу было 100x деревьев, а после вырубки должно остаться 50x деревьев, т.е. в два раза меньше.
Ответ: половина.

7 слайд

9 класс Задачи на проценты
Посевной участок под рожь имеет прямоугольную форму. В рамках реструктуризации колхозных земель одну сторону участка увеличили на 20%, а другую уменьшили на 20%. Изменится ли в результате урожай ржи, и если изменится, то на сколько?

8 слайд

Решение
Посевной участок под рожь имеет прямоугольную форму. В рамках реструктуризации колхозных земель одну сторону участка увеличили на 20%, а другую уменьшили на 20%. Изменится ли в результате урожай ржи, и если изменится, то на сколько?
Решение
Пусть a и b — исходные стороны прямоугольника. Новая площадь равна 1.2a × 0.8b = 0.96ab, т.е. площадь уменьшилась на 4%.
Ответ
Площадь уменьшилась на 4%.

9 слайд

9 класс Задачи на проценты
Через терминал оплаты на мобильный телефон можно перевести деньги, при этом взимается комиссия — целое положительное число процентов. Федя положил целое количество рублей на мобильный телефон, и его счет пополнился на 847 рублей. Сколько денег положил на счет Федя, если известно, что комиссия менее 30 процентов ?

10 слайд

Решение
Через терминал оплаты на мобильный телефон можно перевести деньги, при этом взимается комиссия — целое положительное число процентов. Федя положил целое количество рублей на мобильный телефон, и его счет пополнился на 847 рублей. Сколько денег положил на счет Федя, если известно, что комиссия менее 30 процентов ?
Решение
Пусть Федя положил n рублей, а взимаемая комиссия составляет k, процентов . Тогда = , то есть 84700 = (100 - k)n . Разложим число 84700 на простые множители, получим:
84700 = 2·2·5·5·7·11·11.

По условию задачи 70<100 - k<100 , поэтому необходимо найти все числа, делящие 84700 из этого диапазона. Небольшим перебором выясняется, что единственный подходящий вариант — это 7·11 = 77 , значит, k = 23 . Таким образом, Федя положил на телефон n = = 1100 рублей.
Ответ
1100 рублей.

11 слайд

9 класс Задачи на проценты
Мама дала Васе денег на 30 карандашей. Оказалось, что в магазине карандашная фабрика проводит рекламную акцию: в обмен на чек о покупке набора из 20 карандашей возвращают 25% стоимости набора, а в обмен на чек о покупке набора из 5 карандашей 10%. Какое наибольшее число карандашей может купить Вася?

12 слайд

Решение
Мама дала Васе денег на 30 карандашей. Оказалось, что в магазине карандашная фабрика проводит рекламную акцию: в обмен на чек о покупке набора из 20 карандашей возвращают 25% стоимости набора, а в обмен на чек о покупке набора из 5 карандашей 10%. Какое наибольшее число карандашей может купить Вася?
Решение
Заметим, что 25% от стоимости 20 карандашей -- это стоимость 5 карандашей, а 10% от стоимости 5 карандашей -- это половина стоимости карандаша.
Ясно, что для получения максимальной скидки Вася должен действовать так:
Пока хватает денег, покупать набор из 20 карандашей и сразу обменивать чек на выходе;
если не хватает денег на 20 карандашей, но хватает на 5, покупать набор из 5 карандашей и сразу обменивать чеки на выходе;
в крайнем случае покупать отдельные карандаши.
Действуя таким образом, Вася сначала купит коробку из 20 карандашей и получит на выходе из магазина стоимость 5 карандашей. После этого у него будет денег на 15 карандашей. Потом он купит три набора из 5 карандашей и получит на выходе стоимость 1, 5 карандашей. На оставшиеся деньги он купит 1 карандаш. Итого: 36 карандашей.
Ответ
36 карандашей.

13 слайд

9 класс Задачи на проценты
Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе. Сколько человек в семье?

14 слайд

Решение
Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе. Сколько человек в семье?
Решение
Пусть n — количество чашек (число человек в семье), а x — количество выпитого молока (в чашках). Тогда количество выпитого кофе равно n - x. Катя выпила одну чашку кофе с молоком, которая состояла из одной четверти всего молока (x/4) и одной шестой всего кофе ((n - x)/6). Получае
+ = 1,

3x + 2(n - x) = 12,
x + 2n = 12.
Так как n — целое число, то из последнего равенства следует, что x — целое число, причём чётное (x = 12 - 2n). Кроме того, xn, так как количество выпитого молока, конечно, не больше, чем общее количество напитка. Теперь небольшим перебором находим, что последнее уравнение имеет три решения:
n = 6, x = 0;        n = 5, x = 2;        n = 4, x = 4.
При этом первое и последнее решения отвечают случаю, когда все пили просто молоко или просто кофе, а второе — когда пили действительно кофе с молоком.
Ответ
 5 человек.

15 слайд

9 класс Задачи на проценты
Сколько фунтов зерна нужно смолоть, чтобы после оплаты работы — 10% от помола, осталось ровно 100 фунтов муки? Потерь при помоле нет.

16 слайд

Решение
Сколько фунтов зерна нужно смолоть, чтобы после оплаты работы — 10% от помола, осталось ровно 100 фунтов муки? Потерь при помоле нет.
Подсказка
Подумайте, какую часть оплата будет составлять не от первоначальной выручки, а от окончательной.
Решение
Оставшиеся 100 фунтов, составляют (100−10)%, т.е.90%. Значит 100 ф. есть 9/10. Отсюда можно найти исходное количество зерна А = 100ф. × 10/9. Отсюда А = 1000/9 ф. или 111 + 1/9 ф. Действительно, (9/10) × (111 + 1/9)ф. = (9/10) × (1000/9)ф. = 100 ф.
Ответ: 100 футов

17 слайд

9 класс Задачи на проценты
На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?

18 слайд

Решение
На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?

Подсказка
Заметьте, вначале в ягодах содержался 1 кг "сухого вещества".
Решение
В начале хранения в ягодах был 1% (т.е. 1 кг) сухого вещества. В конце хранения этот же 1 кг составлял уже 2% (т.е. 100%-98%) от всех ягод. Значит, если 2%  — 1 кг, то 100%  — 50 кг. Следовательно, к концу хранения на складе лежало 50 кг ягод.
Ответ
 50 кг.

1 слайд

Задачи на проценты

2 слайд

Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

3 слайд

Решение
1) 25%=0,25
2)160∙0,25=40 ( р)- скидка.
3) 160-40=120(р)- стоимость флакона.
4) 1000: 120 = 8
Ответ : 8

4 слайд

Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000 рублей?

5 слайд

Решение
1) 20%=0,2
2) 120∙0,2=24(р)- составляет наценка
3) 120+24=144(р)- новая цена горшка
4)1000:144=6,9444
Ответ :6

6 слайд

Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

7 слайд

Решение
1)50%=0,5
2)720∙0,5=360(р)- цена детского билета
3)360 ∙15=5400(р)- стоимость детских билетов
4)720 ∙2=1440(р) – стоимость билетов для
взрослых
5400+1440=6840(р) – стоимость билетов
Ответ: 6840р

8 слайд

Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

9 слайд

Решение
1)100%+16%=116% составляет 3480 рублей.
2)116%=1,16
3)3480:1,16=3000(р) –цена чайника.
Ответ:3000

10 слайд

Решить самостоятельно
1)В городе N живет200000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?
2) Клиент взял в банке кредит 12000 рублей на год под 16 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько он должен вносить в банк ежемесячно?
3) Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?

11 слайд

4) Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 130 рублей за штуку и продает с наценкой 25%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 700 рублей?
5)Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?(

12 слайд

Ответы

1) 93500
2)1160
3)20
4)4
5)34

1 слайд

5 класс Задачи на совместную работу
7 волков съедают 7 баранов за 7 дней. За сколько дней 9 волков съедят 9 баранов?

2 слайд

Решение
7 волков съедают 7 баранов за 7 дней. За сколько дней 9 волков съедят 9 баранов?
Подсказка: подумайте, сколько времени нужно одному волку, чтобы съесть одного барана.
Решение
Семь волков съедают семь баранов за семь дней, значит один волк съедает одного барана за семь дней. А девять волков съедят девять баранов за те же семь дней.
Ответ: 7 дней.

3 слайд

5 класс Задачи на совместную работу
Три купчихи  — Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна  — сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна  — 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна  — 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

4 слайд

Решение
Три купчихи  — Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна  — сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна  — 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна  — 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?
Подсказка
Заметьте, чашка, выпитая каждой купчихой, фигурировала в условии задачи дважды  — один раз как выпитая с одной подругой, второй раз  — с другой.
Решение
Чашка, выпитая каждой купчихой, учитывалась дважды  — один раз как выпитая с одной подругой, второй  — с другой. Если мы сложим все учтённые чашки, то получим удвоенную сумму выпитых чашек. Значит, нужно разделить эту сумму пополам. Ответ: 20 чашек.
Ответ: 20 чашек.

5 слайд

5 класс Задачи на совместную работу
12 кузнецов должны подковать 15 лошадей. Каждый кузнец тратит на одну подкову 5 минут. Какое наименьшее время они должны потратить на работу? (Учтите, лошадь не может стоять на двух ногах.)

6 слайд

Решение
12 кузнецов должны подковать 15 лошадей. Каждый кузнец тратит на
одну подкову 5 минут. Какое наименьшее время они должны
потратить на работу? (Учтите, лошадь не может стоять на двух ногах.)

Подсказка
Обратите внимание, меньше чем за 25 мин. подковать всех лошадей нельзя. Почему?
Решение
Покажем, как надо действовать. Сначала 12 кузнецов берут 12 лошадей и подковывают каждой одну ногу, на это уходит 5 минут, у 12-ти лошадей одна подкова, у 3-х — ни одной. Затем 3 кузнеца подковывают тех лошадей, у которых еще нет подков, а остальные 9 кузнецов ставят 9-и лошадям вторые подковы. На это опять уходит 5 минут, 9 лошадей с двумя подковами и 6 — с одной.
Теперь 6 кузнеца ставят вторые подковы, и 6 — третьи. Теперь 6 лошадей с тремя подковами и 9 — с двумя. Теперь 9 кузнецов ставят 9 третьих подков и 3 — 3 четвертых. Теперь 12 лошадей с тремя подковами и 3 — с четырьмя. Последний этап — 12 кузнецов ставят последние подковы 12-ми лошадям. Итак, за 5 этапов (за 25 минут) все лошади подкованы.
Покажем, что меньше, чем за 25 минут это сделать нельзя. Нужно поставить 15 × 4 = 60 подков. На каждую подкову нужно 5 минут, значит всего не меньше, чем 60 × 5 = 300 минут. Но у нас есть 12 кузнецов, значит можно сделать это за 300/12 = 25 минут, но никак не меньше. Мы и сделали за 25 минут.
Ответ: 25 минут.

7 слайд

5 класс Задачи на совместную работу
Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей  — за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

8 слайд

Решение
Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей  — за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

Подсказка
Можно, конечно, представить условие задачи в виде уравнения, но лучше обойтись без этого.
Решение
Сначала заменим время в секундах временем в минутах: 6 минут 40 секунд заменим на 6 + 2/3, или 20/3, а 13 минут 20 секунд заменим на 13 + 1/3, или 40/3. Тогда за одну минуту холодной водой заполнится 3/20 ванны, горячей  — 1/8 ванны, а вытечет 3/40 ванны. Следовательно, за одну минуту наполнится (3/20) + (1/8) - (3/40), т.е. (1/5) ванны. Значит, вся ванна наполнится за 5 минут.
Ответ: 5 минут.

1 слайд

6 класс Задачи на совместную работу
Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить
за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины
сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод?

2 слайд

Решение
Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить
за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины
сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод?
Решение:
Пусть завод должен был выпускать x машин в день, тогда заказ составляет 20x машин. На самом деле завод выпускал (x+2) машины в день и за 18 дней выпустил 18(x+2)машин. По условию задачи.
20x=18(x+2),
откуда x=18. Таким образом, завод выпустил 360 машин.
Ответ : 360 машин

3 слайд

6 класс Задачи на совместную работу
Четыре чёрные коровы и три рыжие дают за 5 дней столько молока, сколько три чёрные коровы и пять рыжих дают за 4 дня. У каких коров больше удои, у чёрных или у рыжих?

4 слайд

Решение
Четыре чёрные коровы и три рыжие дают за 5 дней столько молока, сколько три чёрные коровы и пять рыжих дают за 4 дня. У каких коров больше удои, у чёрных или у рыжих?
Подсказка
Заметьте, из условия следует, что за день 20 чёрных коров и 15 рыжих дают столько же молока, сколько 12 чёрных и 20 рыжих.
Решение
Наше условие, по существу, означает, что 20 чёрных коров и 15 рыжих дают за день столько же молока, сколько 12 чёрных и 20 рыжих. А это значит, что 8 чёрных коров дают молока столько же, сколько 5 рыжих. Отсюда заключаем, что у рыжих коров удои больше.
Ответ: У рыжих.

5 слайд

6 класс Задачи на совместную работу
Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей — за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

6 слайд

Решение
Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей — за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

Подсказка
Можно, конечно, представить условие задачи в виде уравнения, но лучше обойтись без этого.
Решение
Сначала заменим время в секундах временем в минутах: 6 минут 40 секунд заменим на 6+2/3, или 20/3, а 13 минут 20 секунд заменим на 13 + 1/3, или 40/3. Тогда, за одну минуту холодной водой заполнится 3/20 ванны, горячей — 1/8 ванны, а вытечет 3/40 ванны. Следовательно, за одну минуту наполнится (3/20) + (1/8) − (3/40), т.е. (1/5) ванны. Значит, вся ванна наполнится за 5 минут.
Ответ: 5 минут

7 слайд

6 класс Задачи на совместную работу
Полтора землекопа выкопали за полтора часа полторы ямы. Сколько ям выкопают два землекопа за два часа?

8 слайд

Решение
Полтора землекопа выкопали за полтора часа полторы ямы. Сколько ям выкопают два землекопа за два часа?
Подсказка
Введите в рассмотрение производительность землекопа, т.е. количество ям, которое выкапывает один землекоп за один час.
Решение
Обозначим за x количество ям, которое выкапывает один землекоп за один час. Из условия получаем, что 1,5*1,5x=1,5, откуда находим x=2/3. Нам требуется вычислить величину 2*2x. Имеем 2*2x=8/3.
Ответ: 2.67

9 слайд

6 класс Задачи на совместную работу
7 волков съедают 7 баранов за 7 дней. За сколько дней 9 волков съедят 9 баранов?

10 слайд

Решение
7 волков съедают 7 баранов за 7 дней. За сколько дней 9 волков съедят 9 баранов?
Подсказка: подумайте, сколько времени нужно одному волку, чтобы съесть одного барана.
Решение
Семь волков съедают семь баранов за семь дней, значит один волк съедает одного барана за семь дней. А девять волков съедят девять баранов за те же семь дней.
Ответ: 7 дней.

11 слайд

6 класс Задачи на совместную работу
Три купчихи  — Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна  — сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна  — 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна  — 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

12 слайд

Решение
Три купчихи  — Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна  — сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна  — 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна  — 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?
Подсказка
Заметьте, чашка, выпитая каждой купчихой, фигурировала в условии задачи дважды  — один раз как выпитая с одной подругой, второй раз  — с другой.
Решение
Чашка, выпитая каждой купчихой, учитывалась дважды  — один раз как выпитая с одной подругой, второй  — с другой. Если мы сложим все учтённые чашки, то получим удвоенную сумму выпитых чашек. Значит, нужно разделить эту сумму пополам. Ответ: 20 чашек.
Ответ: 20 чашек.

13 слайд

6 класс Задачи на совместную работу
12 кузнецов должны подковать 15 лошадей. Каждый кузнец тратит на одну подкову 5 минут. Какое наименьшее время они должны потратить на работу? (Учтите, лошадь не может стоять на двух ногах.)

14 слайд

Решение
12 кузнецов должны подковать 15 лошадей. Каждый кузнец тратит на
одну подкову 5 минут. Какое наименьшее время они должны
потратить на работу? (Учтите, лошадь не может стоять на двух ногах.)

Подсказка
Обратите внимание, меньше чем за 25 мин. подковать всех лошадей нельзя. Почему?
Решение
Покажем, как надо действовать. Сначала 12 кузнецов берут 12 лошадей и подковывают каждой одну ногу, на это уходит 5 минут, у 12-ти лошадей одна подкова, у 3-х — ни одной. Затем 3 кузнеца подковывают тех лошадей, у которых еще нет подков, а остальные 9 кузнецов ставят 9-и лошадям вторые подковы. На это опять уходит 5 минут, 9 лошадей с двумя подковами и 6 — с одной.
Теперь 6 кузнеца ставят вторые подковы, и 6 — третьи. Теперь 6 лошадей с тремя подковами и 9 — с двумя. Теперь 9 кузнецов ставят 9 третьих подков и 3 — 3 четвертых. Теперь 12 лошадей с тремя подковами и 3 — с четырьмя. Последний этап — 12 кузнецов ставят последние подковы 12-ми лошадям. Итак, за 5 этапов (за 25 минут) все лошади подкованы.
Покажем, что меньше, чем за 25 минут это сделать нельзя. Нужно поставить 15 × 4 = 60 подков. На каждую подкову нужно 5 минут, значит всего не меньше, чем 60 × 5 = 300 минут. Но у нас есть 12 кузнецов, значит можно сделать это за 300/12 = 25 минут, но никак не меньше. Мы и сделали за 25 минут.
Ответ: 25 минут.

15 слайд

6 класс Задачи на совместную работу
Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей  — за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

16 слайд

Решение
Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей  — за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

Подсказка
Можно, конечно, представить условие задачи в виде уравнения, но лучше обойтись без этого.
Решение
Сначала заменим время в секундах временем в минутах: 6 минут 40 секунд заменим на 6 + 2/3, или 20/3, а 13 минут 20 секунд заменим на 13 + 1/3, или 40/3. Тогда за одну минуту холодной водой заполнится 3/20 ванны, горячей  — 1/8 ванны, а вытечет 3/40 ванны. Следовательно, за одну минуту наполнится (3/20) + (1/8) - (3/40), т.е. (1/5) ванны. Значит, вся ванна наполнится за 5 минут.
Ответ: 5 минут.

1 слайд

7 класс Задачи на совместную работу
Несколько одинаковых по численности бригад сторожей спали одинаковое число ночей. Каждый сторож проспал больше ночей, чем сторожей в бригаде, но меньше, чем число бригад. Сколько сторожей в бригаде, если все сторожа вместе проспали 1001 человеко-ночь?

2 слайд

Решение
Несколько одинаковых по численности бригад сторожей спали одинаковое число ночей. Каждый сторож проспал больше ночей, чем сторожей в бригаде, но меньше, чем число бригад. Сколько сторожей в бригаде, если все сторожа вместе проспали 1001 человеко-ночь?

Подсказка
1001 = 7 . 11 . 13, причём это разложение единственно.
Решение
Обозначим через s число сторожей в бригаде, через b число бригад, а через n — число ночей, которые проспал один сторож. Тогда s . b . n = 1001. Но 1001 = 7 . 11 . 13, причём числа 7, 11, 13 — простые. Учитывая, что по условию s < n < b, получаем s = 7. Попробуйте теперь решить задачу 2 для 7 класса!
Ответ: 7.00

3 слайд

7 класс Задачи на совместную работу
Три землекопа за три часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за пять часов?

4 слайд

Решение
Три землекопа за три часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за пять часов?
Подсказка
Посчитайте сначала, сколько ям выкопают 6 землекопов за 3 часа.
Решение
Три землекопа за 3 часа выкопали 3 ямы, значит, шесть землекопов за 3 часа выкопают в два раза больше, то есть 6 ям. А шесть землекопов за 5 часов ещё в 5/3 раза больше, то есть 10 ям.
Ответ: 10 ям.

5 слайд

7 класс Задачи на совместную работу
Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Двери на вход только что открылись, и сначала зал перед эскалаторами был пустой, а на спуск работал только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с толпой, так что за 6 минут зал наполовину заполнился. Тогда включили на спуск второй эскалатор, но толпа продолжала увеличиваться– ещё через 15 минут зал был полон. За какое время зал опустеет, если включить третий эскалатор?

6 слайд

Решение
Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Двери на вход только что открылись, и сначала зал перед эскалаторами был пустой, а на спуск работал только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с толпой, так что за 6 минут зал наполовину заполнился. Тогда включили на спуск второй эскалатор, но толпа продолжала увеличиваться– ещё через 15 минут зал был полон. За какое время зал опустеет, если включить третий эскалатор?
Решение
При одном включённом эскалаторе за минуту заполняется от половины зала. При двух включённых эскалаторах за минуту заполняется от половины зала. Разница - = показывает, какую часть от половины зала опустошает за минуту один эскалатор. Когда включат третий эскалатор, толпа начнёт убывать со скоростью - = от половины зала за минуту. Следовательно, половина зала освободится через 30 минут, а весь зал– через 1 час.
Ответ: 1 час.

7 слайд

7 класс Задачи на совместную работу
Чтобы испечь сто блинов, маме требуется 30 минут, а Ане — 40 минут. Андрюша готов съесть 100 блинов за час. Мама с Аней пекут блины без остановки, а Андрюша непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно сто блинов?

8 слайд

Решение
Чтобы испечь сто блинов, маме требуется 30 минут, а Ане — 40 минут. Андрюша готов съесть 100 блинов за час. Мама с Аней пекут блины без остановки, а Андрюша непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно сто блинов?
Решение
Первый способ. Мама печёт сто блинов за полчаса, значит, за два часа она испечёт 400 блинов. Аня печёт сто блинов за сорок минут, поэтому за два часа она испечёт 300 блинов. Андрюша за эти два часа съест двести блинов. Получается, что через два часа на столе окажется 400 + 300 - 200 = 500 блинов. Следовательно, для того, чтобы на столе оказалось сто блинов, потребуется времени в пять раз меньше, то есть 120 : 5 = 24 минуты.
Второй способ. Производительность мамы при выпекании блинов равна 100 / 30 = 3 1/3 блина в минуту. Производительность Ани равна 100 / 40 = 2 1/2 блина в минуту. Производительность Андрюши при поедании блинов равна 100 / 60 = 1 2/3 блина в минуту. За каждую минуту стараниями мамы, Ани и Андрюши на столе появляется 3 1/3 + 2 1/2 - 1 2/3 = 4 1/6 блина. Следовательно, сто блинов появятся на столе за 100 : 4 1/6 = 24 минуты.
Ответ: Через 24 минуты.

9 слайд

7 класс Задачи на совместную работу
Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить
за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины
сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод?

10 слайд

Решение
Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить
за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины
сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод?
Решение:
Пусть завод должен был выпускать x машин в день, тогда заказ составляет 20x машин. На самом деле завод выпускал (x+2) машины в день и за 18 дней выпустил 18(x+2)машин. По условию задачи.
20x=18(x+2),
откуда x=18. Таким образом, завод выпустил 360 машин.
Ответ : 360 машин

11 слайд

7 класс Задачи на совместную работу
Четыре чёрные коровы и три рыжие дают за 5 дней столько молока, сколько три чёрные коровы и пять рыжих дают за 4 дня. У каких коров больше удои, у чёрных или у рыжих?

12 слайд

Решение
Четыре чёрные коровы и три рыжие дают за 5 дней столько молока, сколько три чёрные коровы и пять рыжих дают за 4 дня. У каких коров больше удои, у чёрных или у рыжих?
Подсказка
Заметьте, из условия следует, что за день 20 чёрных коров и 15 рыжих дают столько же молока, сколько 12 чёрных и 20 рыжих.
Решение
Наше условие, по существу, означает, что 20 чёрных коров и 15 рыжих дают за день столько же молока, сколько 12 чёрных и 20 рыжих. А это значит, что 8 чёрных коров дают молока столько же, сколько 5 рыжих. Отсюда заключаем, что у рыжих коров удои больше.
Ответ: У рыжих.

13 слайд

7 класс Задачи на совместную работу
Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей — за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

14 слайд

Решение
Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей — за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

Подсказка
Можно, конечно, представить условие задачи в виде уравнения, но лучше обойтись без этого.
Решение
Сначала заменим время в секундах временем в минутах: 6 минут 40 секунд заменим на 6+2/3, или 20/3, а 13 минут 20 секунд заменим на 13 + 1/3, или 40/3. Тогда, за одну минуту холодной водой заполнится 3/20 ванны, горячей — 1/8 ванны, а вытечет 3/40 ванны. Следовательно, за одну минуту наполнится (3/20) + (1/8) − (3/40), т.е. (1/5) ванны. Значит, вся ванна наполнится за 5 минут.
Ответ: 5 минут

15 слайд

7 класс Задачи на совместную работу
Полтора землекопа выкопали за полтора часа полторы ямы. Сколько ям выкопают два землекопа за два часа?

16 слайд

Решение
Полтора землекопа выкопали за полтора часа полторы ямы. Сколько ям выкопают два землекопа за два часа?
Подсказка
Введите в рассмотрение производительность землекопа, т.е. количество ям, которое выкапывает один землекоп за один час.
Решение
Обозначим за x количество ям, которое выкапывает один землекоп за один час. Из условия получаем, что 1,5*1,5x=1,5, откуда находим x=2/3. Нам требуется вычислить величину 2*2x. Имеем 2*2x=8/3.
Ответ: 2.67

1 слайд

8 класс Задачи на совместную работу
Яблоко плавает на воде так, что 1/5 часть яблока находится над водой, а 4/5 — под водой. Под водой яблоко начинает есть рыбка со скоростью 120 грамм/мин., одновременно над водой яблоко начинает есть птичка со скоростью 60 грамм/мин. Какая часть яблока достанется рыбке, а какая — птичке?

2 слайд

Решение
Яблоко плавает на воде так, что 1/5 часть яблока находится над водой, а 4/5 — под водой. Под водой яблоко начинает есть рыбка со скоростью 120 грамм/мин., одновременно над водой яблоко начинает есть птичка со скоростью 60 грамм/мин. Какая часть яблока достанется рыбке, а какая — птичке?
Подсказка. Пока яблоко окончательно не съели, все время 1/5 его часть будет находиться над водой, и 4/5 — под водой. (Предполагается, что плотность яблока распределена равномерно.)
Решение. Если предполагать, что плотность яблока распределена равномерно, то пока яблоко окончательно не съели, все время 1/5 его часть будет находиться над водой, а 4/5 — под водой. Тем самым, и рыбка, и птичка закончат есть яблоко одновременно. Поскольку рыбка ест в два раза быстрее, ей и достанется в два раза больше.
Ответ: 2/3 — рыбке, 1/3 — птичке.

3 слайд

8 класс Задачи на совместную работу
48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Какое наименьшее время они затратят на работу, если каждый кузнец тратит на 1 подкову 5 минут?

4 слайд

Решение
48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Какое наименьшее время они затратят на работу, если каждый кузнец тратит на 1 подкову 5 минут?
Решение
Подсчитаем наименьшее время работы кузнецов: 60 × 4 × 5 = 1200(мин). Минимальное время работы кузнеца 1200 : 48 = 25(мин). Построим пример, когда за 25 мин можно сделать всю работу. Разобьем лошадей на 5 групп по 12 лошадей в каждой. На схеме показываем, в какие минуты подковывается каждая группа.
  I II III IV V
С 0 минуты по 5-ую минуту + + + + 
С 5-ой минуты по 10 минуту   + + + +
С 10-ой минуты по 15 мин ту +  + + +
С 15 минуты по 20 минуту + +  + +
С 20 минуты по 25 минуту + + +  +

5 слайд

8 класс Задачи на совместную работу
Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного — за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

6 слайд

Решение
Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного — за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?
Решение. Чтобы горячей воды в ванне оказалось в 1,5 раза больше, чем холодной, холодный кран должен наполнить 2/5 ванны, а холодный — 3/5 (чтобы узнать это, можно было обозначить объём ванной за 1, объём холодной воды за x; тогда x + 1,5x = 1, откуда x = 2/5). Но тогда горячий кран должен быть открыт всего (2/3)*23 = 69/5 минут, а холодный — на (2/5)*17 = 34/5 минут. Значит, холодный кран нужно открыть через (69/5) – (34/5) = 35/5 = 7 минут.
Ответ: 7 минут.

7 слайд

8 класс Задачи на совместную работу
Два переводчика переводили рукопись. Первые 2ч работал
первый переводчик, следующие 6ч они работали вместе. За
это время было переведено 80% рукописи. Сколько часов
потребовалось бы первому переводчику, чтобы перевести
всю рукопись, если известно, что ему потребуется на эту
работу на4ч меньше, чем второму?

8 слайд

Решение
Два переводчика переводили рукопись. Первые 2ч работал
первый переводчик, следующие 6ч они работали вместе. За
это время было переведено 80% рукописи. Сколько часов
потребовалось бы первому переводчику, чтобы перевести
всю рукопись, если известно, что ему потребуется на эту
работу на4ч меньше, чем второму?

Решение: V t ч W
1 переводчик 1 X 1/x(1/ч)
2 переводчик 1 x+4 1/(x+4)(1/ч)
2ч =2/x рукописи, за следующие 6ч =(6/x+6/x+4)рукописи.
В общей сложности было переведено (2/x+6/x+6/x+4) рукописи,что по условию задачи составляет 80%, или
4/5 рукописи 8/x+6/x+4= 4/5. Итак, первому переводчику потребовалось бы на перевод рукописи 16ч.
Ответ: 16ч

9 слайд

8 класс Задачи на совместную работу
Несколько одинаковых по численности бригад сторожей спали одинаковое число ночей. Каждый сторож проспал больше ночей, чем сторожей в бригаде, но меньше, чем число бригад. Сколько сторожей в бригаде, если все сторожа вместе проспали 1001 человеко-ночь?

10 слайд

Решение
Несколько одинаковых по численности бригад сторожей спали одинаковое число ночей. Каждый сторож проспал больше ночей, чем сторожей в бригаде, но меньше, чем число бригад. Сколько сторожей в бригаде, если все сторожа вместе проспали 1001 человеко-ночь?

Подсказка
1001 = 7 . 11 . 13, причём это разложение единственно.
Решение
Обозначим через s число сторожей в бригаде, через b число бригад, а через n — число ночей, которые проспал один сторож. Тогда s . b . n = 1001. Но 1001 = 7 . 11 . 13, причём числа 7, 11, 13 — простые. Учитывая, что по условию s < n < b, получаем s = 7. Попробуйте теперь решить задачу 2 для 7 класса!
Ответ: 7.00

11 слайд

8 класс Задачи на совместную работу
Три землекопа за три часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за пять часов?

12 слайд

Решение
Три землекопа за три часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за пять часов?
Подсказка
Посчитайте сначала, сколько ям выкопают 6 землекопов за 3 часа.
Решение
Три землекопа за 3 часа выкопали 3 ямы, значит, шесть землекопов за 3 часа выкопают в два раза больше, то есть 6 ям. А шесть землекопов за 5 часов ещё в 5/3 раза больше, то есть 10 ям.
Ответ: 10 ям.

13 слайд

8 класс Задачи на совместную работу
Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Двери на вход только что открылись, и сначала зал перед эскалаторами был пустой, а на спуск работал только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с толпой, так что за 6 минут зал наполовину заполнился. Тогда включили на спуск второй эскалатор, но толпа продолжала увеличиваться– ещё через 15 минут зал был полон. За какое время зал опустеет, если включить третий эскалатор?

14 слайд

Решение
Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Двери на вход только что открылись, и сначала зал перед эскалаторами был пустой, а на спуск работал только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с толпой, так что за 6 минут зал наполовину заполнился. Тогда включили на спуск второй эскалатор, но толпа продолжала увеличиваться– ещё через 15 минут зал был полон. За какое время зал опустеет, если включить третий эскалатор?
Решение
При одном включённом эскалаторе за минуту заполняется от половины зала. При двух включённых эскалаторах за минуту заполняется от половины зала. Разница - = показывает, какую часть от половины зала опустошает за минуту один эскалатор. Когда включат третий эскалатор, толпа начнёт убывать со скоростью - = от половины зала за минуту. Следовательно, половина зала освободится через 30 минут, а весь зал– через 1 час.
Ответ: 1 час.

15 слайд

8 класс Задачи на совместную работу
Чтобы испечь сто блинов, маме требуется 30 минут, а Ане — 40 минут. Андрюша готов съесть 100 блинов за час. Мама с Аней пекут блины без остановки, а Андрюша непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно сто блинов?

16 слайд

Решение
Чтобы испечь сто блинов, маме требуется 30 минут, а Ане — 40 минут. Андрюша готов съесть 100 блинов за час. Мама с Аней пекут блины без остановки, а Андрюша непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно сто блинов?
Решение
Первый способ. Мама печёт сто блинов за полчаса, значит, за два часа она испечёт 400 блинов. Аня печёт сто блинов за сорок минут, поэтому за два часа она испечёт 300 блинов. Андрюша за эти два часа съест двести блинов. Получается, что через два часа на столе окажется 400 + 300 - 200 = 500 блинов. Следовательно, для того, чтобы на столе оказалось сто блинов, потребуется времени в пять раз меньше, то есть 120 : 5 = 24 минуты.
Второй способ. Производительность мамы при выпекании блинов равна 100 / 30 = 3 1/3 блина в минуту. Производительность Ани равна 100 / 40 = 2 1/2 блина в минуту. Производительность Андрюши при поедании блинов равна 100 / 60 = 1 2/3 блина в минуту. За каждую минуту стараниями мамы, Ани и Андрюши на столе появляется 3 1/3 + 2 1/2 - 1 2/3 = 4 1/6 блина. Следовательно, сто блинов появятся на столе за 100 : 4 1/6 = 24 минуты.
Ответ: Через 24 минуты.

1 слайд

9 класс Задачи на совместную работу
Одна труба подает в бассейн 1 м3 воды на 4 минуты быстрее, чем другая. Сколько кубических метров воды подаст вторая труба за 5 часов, если она подает за это время на 100 куб. м. воды меньше, чем первая?

2 слайд

Решение
Одна труба подает в бассейн 1 м3 воды на 4 минуты быстрее, чем другая. Сколько кубических метров воды подаст вторая труба за 5 часов, если она подает за это время на 100 куб. м. воды меньше, чем первая?
Решение:
  V tч
м3
1 труба 1 x/60
2 труба 1 (x+4)/60
Значит за 1ч 1 труба подает в бассейн 60/x м3 воды, а 2 труба подает в бассейн 60/x+4 м3 воды. По условию задачи 60/х м3 > 60/x+4 м3 на 100/5 м3. Составим и решим уравнение 60/x – 60/x+4=20 х=2. Тогда 2 труба подает в бассейн 1 м3 воды на 6 мин, за 1ч она подает в бассейн 10м3 воды, а за 5ч – 50 м3 воды.
Ответ: 50м3.

3 слайд

9 класс Задачи на совместную работу
Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы ее за 24 дня, 30 коров - за 60 дней. Сколько коров съели бы ее за 96 дней?

4 слайд

Решение
Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы ее за 24 дня, 30 коров - за 60 дней. Сколько коров съели бы ее за 96 дней?
Подсказка
Введите неизвестные величины - прирост травяной массы на всем лугу за один день, и начальное количество травяной массы. Далее составьте уравнения, выражающие условие задачи.
Решение
Обозначим через X прирост травяной массы на всем лугу за один день и через A количество травяной массы в начальный момент, т.е. до того, как на луг выпускают коров. Тогда 70 коров за 24 дня съели количество травяной массы, равное (A+24X), 30 коров за 60 дней съели количество травяной массы, равное (A+60X), n коров за 96 дней съели количество травяной массы, равное (A+96X). По условию коровы едят траву равномерно, т.е. во всех трех случаях количество съеденной коровой за день травы одно и тоже. Следовательно, (A+24X)/(70*24)=(A+60X)/(30*60)=(A+96X)/(96n). Обозначим A/X через z. Тогда система принимает вид (z+24)/(70*24)=(z+60)/(30*60)=(z+96)/(96n). Из первого уравнения получаем, что z=480; подставляя это значение во второе уравнение, получаем ответ: n=20.
Ответ: 20.00

5 слайд

9 класс Задачи на совместную работу
Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причем каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?

6 слайд

Решение
Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причем каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?
Решение
Пусть время работы каждого из рабочих составляет a, b и c часов соответственно. Следовательно, яма была выкопана за a + b + c часов.

В случае совместной работы: за первые a часов первый рабочий выкопает свою долю от "общей" ямы, а двое других могли бы выкопать еще половину ямы. За следующие b часов свою часть работы сделает второй, а остальные также могли выкопать половину ямы. И, наконец, за c часов третий рабочий сделает свою часть работы, а двое остальных — еще половину ямы.

Следовательно, за a + b + c часов могло быть выкопано 2,5 ямы. Значит, работая одновременно, они выкопали бы такую же яму в 2,5 раза быстрее.

Ответ: в 2,5 раза.

7 слайд

9 класс Задачи на совместную работу
У Алёны есть мобильный телефон, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов разговора или 210 часов ожидания. Когда Алёна садилась в поезд, телефон был полностью заряжен, а когда она выходила из поезда, телефон разрядился. Сколько времени она ехала на поезде, если известно, что Алёна говорила по телефону ровно половину времени поездки?

8 слайд

Решение
У Алёны есть мобильный телефон, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов разговора или 210 часов ожидания. Когда Алёна садилась в поезд, телефон был полностью заряжен, а когда она выходила из поезда, телефон разрядился. Сколько времени она ехала на поезде, если известно, что Алёна говорила по телефону ровно половину времени поездки?
Решение
Первое решение. Во время разговора энергия аккумулятора расходуется в 210/6=35 раз быстрее, чем в то время, когда разговор не ведётся. Пусть Алёна проговорила x часов. Тогда энергии аккумулятора осталось на (6-x) часов разговора или на 35*(6-x) часов ожидания. По условию это время также равно x часов ожидания, поэтому 35*(6-x)=x, откуда x=35*6/36=35/6 часов, то есть 5 ч 50 мин. И, значит, вся поездка продолжалась 11 ч 40 мин.
Второе решение. Если бы Алёна говорила 210*6 часов и молчала 210*6 часов, то телефон бы полностью разрядился 210+6=216 раз. Так как на самом деле телефон разрядился один раз, Алёна говорила 210*6/216 часов и молчала 210*6/216 часов, то есть ехала она 2*(210*6/216) часов. После сокращения получаем 11 часов 40 минут.
Примечание. Ответ в этой задаче является средним гармоническим чисел 6 и 210 (средним гармоническим чисел a и b называется число 2/((1/a)+(1/b))=2ab/(a+b)).
Ответ: 11 часов 40 минут.

9 слайд

9 класс Задачи на совместную работу
Яблоко плавает на воде так, что 1/5 часть яблока находится над водой, а 4/5 — под водой. Под водой яблоко начинает есть рыбка со скоростью 120 грамм/мин., одновременно над водой яблоко начинает есть птичка со скоростью 60 грамм/мин. Какая часть яблока достанется рыбке, а какая — птичке?

10 слайд

Решение
Яблоко плавает на воде так, что 1/5 часть яблока находится над водой, а 4/5 — под водой. Под водой яблоко начинает есть рыбка со скоростью 120 грамм/мин., одновременно над водой яблоко начинает есть птичка со скоростью 60 грамм/мин. Какая часть яблока достанется рыбке, а какая — птичке?
Подсказка. Пока яблоко окончательно не съели, все время 1/5 его часть будет находиться над водой, и 4/5 — под водой. (Предполагается, что плотность яблока распределена равномерно.)
Решение. Если предполагать, что плотность яблока распределена равномерно, то пока яблоко окончательно не съели, все время 1/5 его часть будет находиться над водой, а 4/5 — под водой. Тем самым, и рыбка, и птичка закончат есть яблоко одновременно. Поскольку рыбка ест в два раза быстрее, ей и достанется в два раза больше.
Ответ: 2/3 — рыбке, 1/3 — птичке.

11 слайд

9 класс Задачи на совместную работу
48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Какое наименьшее время они затратят на работу, если каждый кузнец тратит на 1 подкову 5 минут?

12 слайд

Решение
48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Какое наименьшее время они затратят на работу, если каждый кузнец тратит на 1 подкову 5 минут?
Решение
Подсчитаем наименьшее время работы кузнецов: 60 × 4 × 5 = 1200(мин). Минимальное время работы кузнеца 1200 : 48 = 25(мин). Построим пример, когда за 25 мин можно сделать всю работу. Разобьем лошадей на 5 групп по 12 лошадей в каждой. На схеме показываем, в какие минуты подковывается каждая группа.
  I II III IV V
С 0 минуты по 5-ую минуту + + + + 
С 5-ой минуты по 10 минуту   + + + +
С 10-ой минуты по 15 мин ту +  + + +
С 15 минуты по 20 минуту + +  + +
С 20 минуты по 25 минуту + + +  +

13 слайд

9 класс Задачи на совместную работу
Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного — за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

14 слайд

Решение
Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного — за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?
Решение. Чтобы горячей воды в ванне оказалось в 1,5 раза больше, чем холодной, холодный кран должен наполнить 2/5 ванны, а холодный — 3/5 (чтобы узнать это, можно было обозначить объём ванной за 1, объём холодной воды за x; тогда x + 1,5x = 1, откуда x = 2/5). Но тогда горячий кран должен быть открыт всего (2/3)*23 = 69/5 минут, а холодный — на (2/5)*17 = 34/5 минут. Значит, холодный кран нужно открыть через (69/5) – (34/5) = 35/5 = 7 минут.
Ответ: 7 минут.

15 слайд

9 класс Задачи на совместную работу
Два переводчика переводили рукопись. Первые 2ч работал
первый переводчик, следующие 6ч они работали вместе. За
это время было переведено 80% рукописи. Сколько часов
потребовалось бы первому переводчику, чтобы перевести
всю рукопись, если известно, что ему потребуется на эту
работу на4ч меньше, чем второму?

16 слайд

Решение
Два переводчика переводили рукопись. Первые 2ч работал
первый переводчик, следующие 6ч они работали вместе. За
это время было переведено 80% рукописи. Сколько часов
потребовалось бы первому переводчику, чтобы перевести
всю рукопись, если известно, что ему потребуется на эту
работу на4ч меньше, чем второму?

Решение: V t ч W
1 переводчик 1 X 1/x(1/ч)
2 переводчик 1 x+4 1/(x+4)(1/ч)
2ч =2/x рукописи, за следующие 6ч =(6/x+6/x+4)рукописи.
В общей сложности было переведено (2/x+6/x+6/x+4) рукописи,что по условию задачи составляет 80%, или
4/5 рукописи 8/x+6/x+4= 4/5. Итак, первому переводчику потребовалось бы на перевод рукописи 16ч.
Ответ: 16ч

1 слайд

Совместная работа
10 класс
Чтобы решить вопрос, относящийся
к числам или отвлеченным отношением величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический.
И. Ньютон

2 слайд

Три насоса работая вместе, заполняют цистерну за 4 часа. Производительности насосов относятся как 8:7:5.Сколько процентов объема цистерны будет заполнено за 6 часов совместной работы второго и третьего насосов?

3 слайд

Решение
Производительность насосов равна 8х;7х;5х
Составляем уравнение (8х+7х+5х)∙4=1
х=

((7+5)∙ )∙6=0,9 или 0,9∙100%=9%.
Ответ 90%

4 слайд

Используя совместно три машины разной грузоподъемностью, можно вывести всю продукцию со склада за четыре дня. Первая машина может выполнить эту работу в два раза быстрее, чем вторая, но затрачивает на четыре дня больше ,чем третья машина. За сколько дней , работая вместе, вывезут всю продукцию со склада вторая и третья машина?

5 слайд

Решение
Пусть х дней потребуется третьей машине, тогда
Производительность третьей машины. (х+4) дней потребуется первой машине, тогда производительность первой машины. (2∙(х+4)) дней потребуется второй машине, тогда производительность второй машины равна
Составим уравнение
( + + )∙4=1 ОДЗ:х 0,х -4

D=100 х=8,х=-2 –не удовлетворяет условию задачи

6 слайд

8 часов потребуется третьей машине, тогда 2(4+8)=24 часа второй машине
общая производительность

часов
Ответ 6 часов

7 слайд

Двум переводчикам поручили перевести книгу объемом 99 страниц на другой язык. Один переводчик взял себе 39 страниц книги, отдав остальные страницы второму .Первый выполнил свою работу за 13 дней, второй за 24 дня. На сколько страниц меньше первый переводчик должен был отдать второму( добавить их себе), чтобы они работая с прежней производительностью выполнили свою работу за одинаковое число дней?

8 слайд

Пусть х страниц

х=54
54-39=15 страниц
Ответ: 15 страниц

9 слайд

Беллетрист набрал на компьютере 240 страниц . Если бы он набирал ежедневно на 10 страниц больше ,то закончил бы работу на два дня раньше. Сколько страниц текста набирал биллетрист ежедневно?



Составим уравнение
- =2 ОДЗ х 0,х -10

10 слайд

D=4900 х=30, х=-40 не удовлетворяет смыслу задачи
Ответ 30 страниц

11 слайд

Задача великого французского математика Э.Безу, по контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый не отработанный день, с него взыскивается 12 франков, через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причитается. Сколько дней работал работник в течение этих 30 дней?

12 слайд

Решение
Пусть работник работал х дней тогда (30-х) дней он не работал. Получаем уравнение
48х-12(30-х)=0
Х=6
Ответ 6 дней

13 слайд

Насос может выкачать с бассейна 1/3 воды за 10 мин, Проработав 0,25 часа ,насос остановился. Найдите вместимость бассейна,если после остановки насоса в бассейне еще осталось 40 метров кубических воды?

14 слайд

Решение
Пусть х метров кубических вместимость бассейна,(х-40) метров кубических за 15 минут, х/3 за 10 минут, х за 30 минут, х/2 за 15 минут,
Составим уравнение
х-40=0,5х
х=80
Ответ 80 метров кубических

15 слайд

Опытный рабочий изготавливает 40 деталей на два часа быстрее , чем молодой рабочий изготавливает 30 деталей. За сколько часов оба этих рабочих изготовят вместе 120 деталей, если за один час опытный рабочий изготавливает на 5 деталей больше молjдого рабочего?

16 слайд

ОДЗ: х≠-5, х≠0
2х2+20х-150=0
х=5; х=-15 - не удовлетворяет смыслу задачи
5 деталей делает молодой рабочий за 1 час.
10 деталей делает опытный рабочий за 1 час.
120: (10+5) = 8 (ч) Ответ 8 ч.

1 слайд

5 класс
Задачи на смеси и сплавы
Винни-Пух решил позавтракать. Он налил себе стакан чая и добавил сливок из большого кувшина. Но как только он перемешал сливки и чай, то понял, что хочет пить чай без сливок. Недолго думая, он вылил из стакана в кувшин столько же чая со сливками, сколько сначала взял оттуда сливок. Конечно же, при переливании чай от сливок не отделился, и у Винни-Пуха образовались две смеси чая и сливок — в стакане и в кувшине. Тогда Винни-Пух задумался: чего же получилось больше — чая в кувшине со сливками или сливок в стакане чая? А как думаете Вы?

2 слайд

Решение
Винни-Пух решил позавтракать. Он налил себе стакан чая и добавил сливок из большого кувшина. Но как только он перемешал сливки и чай, то понял, что хочет пить чай без сливок. Недолго думая, он вылил из стакана в кувшин столько же чая со сливками, сколько сначала взял оттуда сливок. Конечно же, при переливании чай от сливок не отделился, и у Винни-Пуха образовались две смеси чая и сливок — в стакане и в кувшине. Тогда Винни-Пух задумался: чего же получилось больше — чая в кувшине со сливками или сливок в стакане чая? А как думаете Вы?
Подсказка
Заметьте, общий объем жидкости в стакане не изменился.
Решение
Поскольку общий объем жидкости в стакане не изменился, значит, сколько из него вылили чая, ровно столько же добавили молока. Следовательно, чая в кувшине со сливками оказалось ровно столько же, сколько сливок в стакане чая.

3 слайд

5 класс
Задачи на смеси и сплавы
Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачерпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?

4 слайд

Решение
Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачерпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?
Решение
Заметим, что после второго переливания в стакане с молоком оказывается ровно столько чая, сколько оттуда было взято молока (ведь объем жидкости не изменился). Значит, в итоге чая в молоке столько же, сколько молока в чае.
Ответ
Чая в молоке столько же, сколько молока в чае.

5 слайд

5 класс
Задачи на смеси и сплавы
Сколько чистой воды надо добавить к 300 г. морской воды, содержащей 4% соли, чтобы получить воду, содержащую 3% соли?

6 слайд

Решение
Сколько чистой воды надо добавить к 300 г. морской воды, содержащей 4% соли, чтобы получить воду, содержащую 3% соли?
Вид данных Морская вода (г) Новая вода (г)
Общая масса 300 300 + х
Соль 300 · 0,04 = 12 (300 + х) · 0,03
Т.к. количество соли не меняется при добавлении воды, то
(300 + х) · 0,03 = 12,
300 + х = 400,
х = 100
Ответ: 100 г.

7 слайд

5 класс
Задачи на смеси и сплавы
Даны два куска с разным содержанием олова, первый массой 300 грамм 20% олова, а второй содержит 40% олова массой 200 грамм. Сколько % олова будет содержать сплав из этих кусков?

8 слайд

Решение
Даны два куска с разным содержанием олова, первый массой 300 грамм 20% олова, а второй содержит 40% олова массой 200 грамм. Сколько % олова будет содержать сплав из этих кусков?
Вид данных Первый кусок(г)Второй кусок(г)Сплав (г)
Общая масса 300 200 300+200=500
Олово 300*0,2=60 200*0,6=80 60+80=140 140/500*100%=28%
Ответ: 28%.

1 слайд

6 класс Задачи на сплавы и смеси
Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащее 60% олова, и 900 г сплава олово и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве?

2 слайд

Решение
Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащее 60% олова, и 900 г сплава олово и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве?

РЕШЕНИЕ: Масса олова в первом сплаве равна 0,6*300 г=180 г, во втором- 0,8*900г=720 г. 180 г + 720 г=900 г
Масса нового сплава равна.
300 г+900 г=1200 г
Процентное содержание олова в нем равно
900 г/ 1200 г *100%=75%.
Ответ: 75%

3 слайд

6 класс Задачи на сплавы и смеси
В смеси спирта и воды спирта в 4 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 20 л воды, получили смесь с процентным содержанием спирта 12%. Сколько воды было в смеси первоначально?

4 слайд

Решение
В смеси спирта и воды спирта в 4 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 20 л воды, получили смесь с процентным содержанием спирта 12%. Сколько воды было в смеси первоначально?

РЕШЕНИЕ: Пусть в смеси было х л спирта, тогда объем воды в ней 4х л.
В новой смеси количество спирта осталось прежним (х л), объем воды в ней (4х+20) л, а процентное содержание спирта х/(5х+20)*100%, что по условию задачи составляет 12%.Получим и решим уравнение:
100х/5х+20=12
100х=12(5х+20)
х=6
Ответ: 24 л

5 слайд

6 класс Задачи на сплавы и смеси
В одном стакане было молоко, а в другом - столько же кофе. Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и размешали. Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе?

6 слайд

Решение
В одном стакане было молоко, а в другом - столько же кофе. Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и размешали. Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе?
Подсказка
Всего кофе в двух стаканах столько же, сколько молока.
Решение
Примем начальный объем жидкости в каждом стакане за 1. Таким образом, после всего в обоих стаканах имеется единичный объем кофе и единичный объем молока. Поскольку из первого стакана перелили во второй одну ложку, а затем из второго в первый перелили такую же ложку, то в конце в каждом стакане снова будет объем жидкости, равный 1. Пусть объем кофе в первом стакане после переливания равен x, а во втором стакане - y. Тогда молока во втором стакане - (1-y). Поскольку в двух стаканах всего единичный объем кофе, x+y=1. Отсюда x=1-y, т.е. кофе в стакане с молоком и молока в стакане с кофе поровну.
Ответ
поровну.

7 слайд

6 класс Задачи на сплавы и смеси
Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причем, Катя выпила 1/4 всего молока и 1/6 всего кофе. Сколько человек в семье?

8 слайд

Решение
Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причем, Катя выпила 1/4 всего молока и 1/6 всего кофе. Сколько человек в семье?
Подсказка
Подумайте, хватило бы всем кофе и молока, если бы в семье было 7 человек?
Решение
Если бы в семье было 4 человека или меньше, то они не смогут выпить все кофе и все молоко (они «условно выпьют» все молоко и 2/3 всего кофе). Если же их будет 6 или больше, то они «условно выпьют» все кофе и 1,5 всего молока. Значит, есть единственная возможность — в семье 5 человек.
Ответ: 5.

9 слайд

6 класс Задачи на сплавы и смеси
После того, как Наташа съела треть персиков из банки, уровень компота понизился на одну четверть. На сколько (относительно нового уровня) понизится уровень компота, если съесть все оставшиеся персики?

10 слайд

Решение
После того, как Наташа съела треть персиков из банки, уровень компота понизился на одну четверть. На сколько (относительно нового уровня) понизится уровень компота, если съесть все оставшиеся персики?
Решение
Поскольку треть персиков составляют одну четвертую объема банки, то все персики составляют три четвертых всего объема. Следовательно, после съедания всех персиков, уровень компота понизится на половину всей банки, то есть на две трети по сравнению с предыдущим уровнем.
Ответ: на две трети.

11 слайд

6 класс
Задачи на смеси и сплавы
Винни-Пух решил позавтракать. Он налил себе стакан чая и добавил сливок из большого кувшина. Но как только он перемешал сливки и чай, то понял, что хочет пить чай без сливок. Недолго думая, он вылил из стакана в кувшин столько же чая со сливками, сколько сначала взял оттуда сливок. Конечно же, при переливании чай от сливок не отделился, и у Винни-Пуха образовались две смеси чая и сливок — в стакане и в кувшине. Тогда Винни-Пух задумался: чего же получилось больше — чая в кувшине со сливками или сливок в стакане чая? А как думаете Вы?

12 слайд

Решение
Винни-Пух решил позавтракать. Он налил себе стакан чая и добавил сливок из большого кувшина. Но как только он перемешал сливки и чай, то понял, что хочет пить чай без сливок. Недолго думая, он вылил из стакана в кувшин столько же чая со сливками, сколько сначала взял оттуда сливок. Конечно же, при переливании чай от сливок не отделился, и у Винни-Пуха образовались две смеси чая и сливок — в стакане и в кувшине. Тогда Винни-Пух задумался: чего же получилось больше — чая в кувшине со сливками или сливок в стакане чая? А как думаете Вы?
Подсказка
Заметьте, общий объем жидкости в стакане не изменился.
Решение
Поскольку общий объем жидкости в стакане не изменился, значит, сколько из него вылили чая, ровно столько же добавили молока. Следовательно, чая в кувшине со сливками оказалось ровно столько же, сколько сливок в стакане чая.

13 слайд

6 класс
Задачи на смеси и сплавы
Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачерпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?

14 слайд

Решение
Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачерпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?
Решение
Заметим, что после второго переливания в стакане с молоком оказывается ровно столько чая, сколько оттуда было взято молока (ведь объем жидкости не изменился). Значит, в итоге чая в молоке столько же, сколько молока в чае.
Ответ
Чая в молоке столько же, сколько молока в чае.

15 слайд

6 класс
Задачи на смеси и сплавы
Сколько чистой воды надо добавить к 300 г. морской воды, содержащей 4% соли, чтобы получить воду, содержащую 3% соли?

16 слайд

Решение
Сколько чистой воды надо добавить к 300 г. морской воды, содержащей 4% соли, чтобы получить воду, содержащую 3% соли?
Вид данных Морская вода (г) Новая вода (г)
Общая масса 300 300 + х
Соль 300 · 0,04 = 12 (300 + х) · 0,03
Т.к. количество соли не меняется при добавлении воды, то
(300 + х) · 0,03 = 12,
300 + х = 400,
х = 100
Ответ: 100 г.

17 слайд

6 класс
Задачи на смеси и сплавы
Даны два куска с разным содержанием олова, первый массой 300 грамм 20% олова, а второй содержит 40% олова массой 200 грамм. Сколько % олова будет содержать сплав из этих кусков?