решение тригонометрических уравнений 10 класс

                                           Содержание

 

 

Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений	2– 7
ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений
1. Метод разложения на множители	8 – 10
2. Метод введения новой переменной	10 – 14
3. Функционально-графические методы	15 – 17
ΙΙΙ. Решение комбинированных уравнений	18 – 23
ΙV. Решение тригонометрических уравнений с параметром	24 – 25
V. Тесты для самостоятельного решения	26 – 27
Литература	28

 

 

 

Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

 

Все тригонометрические уравнения сводятся к простейшим. Поэтому особое внимание следует уделять решению простейших уравнений. Начинать нужно с самых простых.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида:

Для  каждого из простейших тригонометрических уравнений определены формулы, справедливость которых обосновывается с помощью тригонометрического круга и с учетом периодичности тригонометрических функций.

 

sinx=а, |а|>1, решений нет;           sinx=0, x= πn, nєZ sinx =–1, x= –+2πn, nєZ; sinx =1, x=+2πn, nєZ; sinx=а, |а|<1, x= arcsinа +2πn, nєZ;                                                    x= π–arcsinа +2πn, nєZ. В последнем случае для сокращения записи используют формулу: x=(–1)narcsinа + πn, nєZ.

cos x=а, |а|>1,решений нет; cos x=0, x= –+πn, nєZ; cos x=–1, x= π +2πn, nєZ; cos x=1, x=2πn, nєZ; cos x=а, |а|<1, x= ± arccosа +2πn, nєZ.

 

Решения уравнения  tg x=а и ctg x=а  записываются существенно проще:

 x= arctgа +πn, nєZ    и, соответственно, x= arcсtgа +πn, nєZ .                           

Пример 1. Решить уравнение sinx = .

Решение: так как <1, значит  x=(–1)ⁿarcsin + πn, nєZ.  

Ответ: (–1)ⁿarcsin + πn, nєZ.                       

Пример 2. Решить уравнение cos x =.

Решение: так как  >1, значит уравнение не имеет решения.

Ответ:   нет решения.

Пример 3. Решить уравнение   tg x+ = 0.

Решение: 

tg x+ = 0                        

tg x  = –

x = arctg (–) + πn, nєZ

x = – arctg + πn, nєZ

x = –+2πn, nєZ;

Ответ:   –+2πn, nєZ.

Пример 4. Решить уравнение  2cos x = –. 

Решение:

2cos x = – 

cos x = –                                    

x= ± arccos (–)+2πn, nєZ

x= ±( π  – arccos )+2πn, nєZ        

x= ±( π  – )+2πn, nєZ

x = ±    +  2πn, nєZ

Ответ:   ±    +  2πn, nєZ.

Для отработки общих формул решения простейших уравнений можно предложить для     устного решения задания такого вида.

Образуют ли арифметическую прогрессию расположенные в порядке возрастания положительные корни уравнения :  sinx =0;  cosx = 0,5;  tg x=1.

На начальном этапе, пока не отработаны навыки использования общих формул решения простейших уравнений желательно прописывать эти формулы, чтобы учащиеся быстрее их запомнили.

Далее нужно  переходить к решению более сложных уравнений, которые чаще всего встречаются в вариантах ЕГЭ в разделе А.

Пример 5. Решить уравнение      cos  = .                             

Решение: cos  =

Это  уравнение сводится к простейшему    cos t =  заменой t =, которую можно не     прописывать.

 = ±  arccos +2πn, nєZ           

 = ±  +2πn, nєZ

 х = ±  + 10πn, nєZ

Ответ:   ±    +  10πn, nєZ.

Пример 6. Решить уравнение: sin (2x–) = . 

Решение:     sin (2x–) =   

2x–= (–1)ⁿarcsin  + πn, nєZ

2x– = (–1)ⁿ   + πn, nєZ

2x– = ++ 2πn, nєZ

2x– = –+ (2m + 1)π,mєZ

2x =   + 2πn, nєZ

2x =π + 2πm, mєZ

x =   + πn, nєZ

x = + πm, mєZ

Ответ:    + πn, + πm, n,mєZ.

Так же нужно обратить внимание учащихся на то, что довольно часто исходное уравнение приводится к простейшему лишь после различных тождественных преобразований и применения формул тригонометрии.

 

Пример 7. Решить уравнение 4 sin3x cos 3x =1.

Решение:     4 sin3x cos 3x =1         

2(2sin3x cos 3x) =1     

2sin6x =1  

sin6x =

6x = (–1)ⁿ + πn, nєZ

x = (–1)ⁿ + n, nєZ

Ответ:  (–1)ⁿ + n, nєZ.     

Часто предлагается решить тригонометрическое уравнение на некотором   промежутке. Целесообразно начинать решать такие уравнения до вывода общих формул решения простейших тригонометрических уравнений.

Рассмотрим примеры.

 

Пример 8. Найдите корни уравнения  2cosx = –1, принадлежащие промежутку [0;2π].

Решение: 

2cosx = –1

cosx =  –

Выбор значений  x , которые принадлежат указанному промежутку можно выполнить различными способами.

Наиболее рационально это делать с помощью единичной окружности.

 

 

x₁ = ;   x₂ = . 

                                      

       

Ответ:  ;.

В тестах часто требуется не просто найти корни, принадлежащие данному промежутку, а вычислить их сумму или  разность; определить наибольший или наименьший корень; указать количество корней.

 

Пример 9. Найдите  сумму корней  уравнения  (cos ² x –1)(2 sin – 1) = 0, принадлежащих промежутку [–; π ).

Решение:                         x₁ = 0;   x₂ = ,  x₁ + x₂ =

 Ответ:  .

 

Решите самостоятельно.

1. Найдите сумму корней уравнения   2sinx = –1 на указанном промежутке

2. Найдите количество  корней уравнения   4cos ²2х  = 1 на указанном промежутке

3. Найдите сумму  наименьшего положительного и наименьшего  отрицательного корней уравнения      sinx cos + sin cos х =  на указанном промежутке 

Уже при решение простейших тригонометрических уравнений полезно предлагать нестандартные уравнения.

 

Пример 10. Решить уравнение   cos x² = 1.

 

Можно дать это уравнение  для самостоятельного решения.

Найдутся ученики, которые решат его в одну строчку:

   х²   =  2πk, kЄZ

   х = , kЄZ.

Целесообразно продемонстрировать это решение на доске и предложить ученикам найти допущенные ошибки.

В случае затруднений, чтобы внести полную ясность, решить для начала уравнение

   х²   =  a.

Его решение имеет вид  х = ±  при а0.

Если а <0, то уравнение не имеет решений. Значит решением исходного уравнения является  х = ±, kЄZ,  k0.

 

Ответ:  ±, kЄZ,  k0.

Пример 11. Решить уравнение     sinsinx = 1.

Решение:  sinsinx = 1.  

                   sinx  = +2πn, nєZ

Выражение   |+2πn | > 1 при любых  значениях n , nєZ.

Поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Ответ:  нет  решений.

ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений

 

1.     Метод разложения на множители.

Этот метод заключается в том , что исходное уравнение сводится к уравнению вида

f (x)g(x)h(x) = 0, которое можно заменить совокупностью уравнений, каждое из которых сводится к простейшему.

Решив уравнения совокупности нужно взять только те решения, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные корни отбросить.

 

Пример 1. Решить уравнение    sin4x  = 3 cos2х.

Решение: 

sin4x  = 3 cos2х.

2 sin2x cos2х =  3 cos2х

Получив  такое уравнение, ученики достаточно часто делают ошибку, «сократив» левую  и правую части уравнения на  cos2х. Некоторые из них при этом оговаривают, что  cos2х 0,но одной  оговорки здесь, увы, недостаточно. Необходимо ещё рассмотреть случай, когда cos2х = 0, и  проверить, не являются ли значения х, удовлетворяющие этому равенству, корнями исходного уравнения. Разумеется, лучше всего не делить левую и правую части уравнения на cos2х, а разложить на множители

(2 sin2x  – 3) cos2х =  0.

Полученное уравнение равносиьно совокупности двух уравнений

     х = , nЄZ.

Первое уравнение решения не имеет, так как функция синус не может принимать значений по модулю больших единицы. К сожалению, не все ученики это  понимают, а из тех, кто понимает, не всякий вспоминает вовремя.

Ответ: , nЄZ.

 

Пример 2. Решить уравнение    sin2x  = sin4x

Решение:  некоторые учащиеся, встретив такое уравнение, решительно записывают

2х = 4х или 2х = 4х + 2πn, nЄZ, что приводит к потере  решений исходного уравнения.

Решение исходного уравнения состоит в переходе к уравнению sin2x  – sin4x = 0

и последующем применении формулы для преобразования разности тригонометрических функций в произведение

2cos = 0

cos3x (–sinx) = 0

 Ответ:  

 

Пример 3.  (ЕГЭ 2009г. Вариант 1, С2.).

Найдите все значения  , при каждом из которых выражения

  принимают равные значения.

Решение:

Ответ:  

 

Пример 4. (ЕГЭ 2009г. Вариант 2, B7.).

Найдите наименьший корень уравнения

 

Решение:

Ответ:

 

2.     Метод замены переменной.

В школьном курсе в основном рассматриваются уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f(x),где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.

 

Пример 5. Решить уравнение    cos² πx  + 4sinπx + 4 =0

Решение: 1 – sin ² πx  + 4sinπx + 4 =0

– sin ² πx  + 4sinπx + 5 =0

Заменим   sin πx = t , -1

–t ² + 4t +5 = 0

t ² – 4t – 5 = 0

t₁  =  –1,  t₂    = 5

t₂  не удовлетворяет условию   -1

sin πx = –1

πx = –

х = – 

Ответ:   –

 

Решение однородных тригонометрических уравнений.

 

Уравнение вида аsinx +bcosx =0, где а и b –некоторые числа, называются  однородными уравнениями первой степени относительно sinx  и  cosx.

Уравнение вида аsin ² x +bcos ² x + с =0, где а,b,с  – некоторые числа, называются  однородными уравнениями  второй степени относительно sinx  и  cosx.

 

Пример 6. Решить уравнение    sinx  –  cosх = 0.

Решение: легко убедиться, что cosx = 0 не  является корнем исходного уравнения.

В самом деле, если  cosx = 0, то, в силу исходного уравнения, и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Этот факт позволяет разделить левую и правую части уравнения на cosx.

Получим уравнение tg x  = 1, откуда х =

Ответ:  

Пример 7. Решить уравнение    sin ² x  – 3sinx cosх + 2cos ² x = 0.

Решение: поскольку  cosx = 0 не является корнем tg x  данного уравнения,

разделим левую и правую части уравнения на cos ² x. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg²  x  – 3 tg x  + 2 = 0,

решив которое, получим

  

 

Ответ:  

 

Введение вспомогательного аргумента.

 

Уравнение вида аcosx  + b sinx   = с, где а, b, с  –некоторые числа, причем 

называют линейными тригонометрическими уравнениями.

Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

Так как  а ²  + b²  >0, то можно разделить обе части уравнения на , получим

 

Введём в рассмотрение угол  такой, что

Угол , удовлетворяющий этим двум условиям, принято называть дополнительным (или вспомогательным) аргументом. Для любых значений а и b такой угол существует, так как 

Вообще, полезно напомнить учащимся, что любые числа  p и g такие,  что  

p² + g² = 1 можно рассматривать как косинус и синус некоторого угла.

Теперь исходное уравнение можно записывать в виде

 coscosx + sinsinx =

cos (x – ) =

Аналогично можно вводить вспомогательный угол такой, что:

 

Тогда исходное уравнение можно привести к виду

sincosx + cossinx =

sin (x +) =

Полезно также обратить внимание учащихся, что умение преобразовывать выражения вида  а cosx  + b sinx   может понадобиться  не только при решении уравнений, но и для построения оценок, нахождения наибольших значений и т.  д.

 

Пример 8. Решить уравнение   3 sinx  –  4cosх = 5.

 

Решение.  3 sinx  –  4cosх = 5

 ==5

, cosx = ,

cos(x + ) = –1

x +  = π + 2πn, nЄZ

x  = –  + π + 2πn, nЄZ

x  = –arcsin+ π + 2πn, nЄZ

Ответ:   –arcsin+ π + 2πn, nЄZ.

Пример 9. Решить уравнение    2cosх  = 1–  2cos ²х  –sin2x.  

 

Решение.  Воспользуемся формулой   2cos ²х  – 1 =  cos 2x,

  получим   2cosх  = –  cos2х  –sin2x.

Применим к правой части процедуру введения вспомогательного аргумента.

 =

2cosх  = –  2(cos2х  +sin2x)

2cosх  = – 2 (сos cos2х  + sinsin2x), где

2cosх  = –  2(cos2х  – )

cosх  + cos (2х  – ) = 0

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение:

2coscos

cos

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что в тригонометрических системах и совокупностях при записи имеет смысл употреблять разные буквы, обозначающие целые числа.

Ответ:   .

 

Универсальная тригонометрическая подстановка.

 

Универсальная тригонометрическая подстановка позволяет перейти от синуса и косинуса аргумента х  к тангенсу половинного аргумента:

sin ,   cos

При таком переходе возможна потеря решений, следует помнить, что  (в этих точках tg  не существует). Поэтому всякий раз, когда приходится пользоваться универсальной подстановкой, значения х = π + 2πn, nЄZ необходимо проверять отдельно, подставляя в исходное уравнение.

 

Пример 10. Решить уравнение    sinx  +  cosх = –1.

Решение:  = –1, заменим tg , получим

2t +1 – t²  = –1– t²

2t  = – 2

t  = – 1

tg

Подставим теперь в исходное уравнение значение  и убедимся, что они действительно являются его решениями.

Ответ:  

 

Уравнение вида

 

Уравнение вида  где - многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной 

Тогда можно получить выражение для произведения из формулы

Пример 11. Решить уравнение

Решение: введем новую переменную

Тогда

Следовательно,  и исходное уравнение принимает вид

Для определения переменной   получаем два уравнения  

Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

Ответ:

 

После завершения изучения рассмотренных методов, при наличии времени, рекомендуем провести урок-практикум – «Урок решения одного уравнения»

 

3. Функционально-графические методы

 

1)    Использование свойств ограниченности функций, метод оценок.

 

Часто приходится  иметь дело с уравнениями, имеющими вид f(x) = g(x), где f  и g – некоторые функции, составленные с помощью тригонометрических выражений, такие, что можно исследовать  области значений  Е(f) и Е(g)  и доказать, что эти области либо не пересекаются, либо имеют небольшое число общих точек. В таких случаях решения уравнения  f(x) = g(x)  следует  искать среди таких  x , которые удовлетворяют более простым уравнениям  f(x) = a, g(x) = a , где а – такое действительное число, что

Пример 12. Решить уравнение  .

Решение:

Ответ:  нет решения.

 

Пример13. Решить уравнение .

Решение:

Ответ:  нет решения.

 

Пример14. Решить уравнение .

Решение:

 

Ответ: .

Пример15. Решить уравнение

Решение:

Ответ:  

 

 

Пример16. Решить уравнение

Решение.

Заметим, что сумма в левой части полученного уравнения может принимать значение 2, только если  одновременно, т.е. наше уравнение равносильно системе уравнений

 

И должно выполняться равенство  Поскольку        

Ответ: 

 

2)    Использование графиков.

Суть метода использования графиков для решения уравнения  f(x) = g(x)  проста:  нужно  построить графики функций  y = f(x) и y = g(x) и найти  все точки их пересечения, абсциссы которых и будут являться корнями нашего  исходного уравнения.

 

Пример 17. Сколько корней имеет уравнение:

 

Решение:  в данном примере для решения уравнений используются свойства графиков функций.

 

Ответ: 1 решение.

 

Ответ: 1 решение.

 

 

 

Ответ: 7 решений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ΙΙΙ. Решение комбинированных уравнений

 

Пример1. Решите уравнение

Решение:

Ответ: .

Пример 2. Решите уравнение  

Решение:

Ответ:

Пример 3. Решите уравнение

Решение:

Решим первое уравнение системы с использованием универсальной тригонометрической подстановки:

 

С учетом неравенств системы имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

Пример 4. Решите уравнение

Решение:

 

 

                                                                                    

 

 

 

 

 

            

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

 

 

 

 

 

Ответ:

Пример 5. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

 

Пример 6. Решите уравнение

Решение:

                                                                  

                                                             

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

Пример 7. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 8. Решите уравнение

Решение: воспользуемся формулой понижения степени

Ответ:

Пример 9. Решите уравнение

Решение:

Решим полученное уравнение графически, для этого в одной системе координат построим графики функций

Ответ:

Пример 10. Решите уравнение

Решение: введем функцию  тогда получим

Исследуем функцию на монотонность

Ответ:

Пример 11. Решите уравнение

Решение: данное уравнение равносильно системе

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ΙV. Решение тригонометрических уравнений с параметром.

 

Пример1. Найти все значения параметра  , при которых уравнение  имеет решение.

Решение:

 

 

Пример 2. Найти все значения параметра  , при которых уравнение  имеет  на отрезке  ровно  три корня.

Решение:

Пример 3.  Решите уравнение.

Решение:

 

 

V. Тесты для самостоятельного решения

 

Данные тесты предназначены для проверки умений решения тригонометрических уравнений различными способами.

 

Вариант№1.

 

 

 

Вариант№2.

 

 

Вариант№3.

 

Вариант№4.

 

 

 

 

Литература

 

1.      Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10 класса / М.К.Потапов, А.В.Шевкин.-2-е изд.-М.:Просвещение,2007.

2.      Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 11 класса: базовый и профильные уровни / М.К.Потапов, А.В.Шевкин.-2-е изд.-М.:Просвещение,2007.

3.      Бурмистрова Н.В.,СтаростенковаН.Г.Математика.11класс. Подготовка к экзамену.

-Саратов: Лицей,2005.

4.      Единый государственный экзамен: Математика: контрольные измерительные материалы: 2006-2007.-М.:Просвещение: СПб.: Просвещение,2007.

5.      ЕГЭ-2009.Математика: Сдаём без проблем!/ О.А.Креславская, В.В.Крылов, В.И.Снегурова, В.Е.Ярмолюк.-М.:Эксмо.2008.

6.      ЕГЭ. Репетитор. Математика.Эффективная методика./ Л.Д.Лаппо, А.В.Морозов, М.А.Попов.-М.:Издательство «Экзамен»,2007.

7.      Панчишкин А.А.. Шавгулидзе Е.Т. Тригонометрические функции в  задачах - М.:Наука. Главная редакция физико –  математической литературы,1986.

8.      Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:2009:Математика /

авт.-сост. В.И.Ишина, В.В.Кочагин, Л.О.Денишева и др.-М.:АСТ: Астрель,2009.

9.      Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике

(курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы.11 класс/

Г.В,Дорофеев, Г.К.Муравин ,Е.А.Седова.-10-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2007.

10.  Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2009.Часть2.10-11 классы/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. - Ростов-на-Дону:Легион,2008.

11.  Макеева А.В.Карточки по тригонометрии.10-11 класс: Дидактический материал

для учителей. - Саратов:Лицей.2002.

12.  Макарова Л.В. Уроки-практикумы в системе работы учителя. //Математика в школе,1998,№3.

13.  Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену.-4-е изд.испр. и доп.-М.:Рольф:Айрис-пресс,1999.

14.  Математика: Тематическое планирование уроков подготовки к экзамену / А.В.Белошинстая.-М.:Издательство «Экзамен»,2007.

15.  Шаммин В.М. Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ по математике. Изд.3-е.-

Ростов н/Д: Феникс,2004.