Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Решение тригонометрических уравнений 10 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Решение тригонометрических уравнений 10 класс

библиотека
материалов

hello_html_m2a7690f7.gifСодержание





Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

2– 7

ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений


1. Метод разложения на множители

8 – 10

2. Метод введения новой переменной

10 – 14

3. Функционально-графические методы

15 – 17

ΙΙΙ. Решение комбинированных уравнений

18 – 23

ΙV. Решение тригонометрических уравнений с параметром

24 – 25

V. Тесты для самостоятельного решения

26 – 27

Литература

28




Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений


Все тригонометрические уравнения сводятся к простейшим. Поэтому особое внимание следует уделять решению простейших уравнений. Начинать нужно с самых простых.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида:

hello_html_m7aabde51.gif

Для каждого из простейших тригонометрических уравнений определены формулы, справедливость которых обосновывается с помощью тригонометрического круга и с учетом периодичности тригонометрических функций.


sinx=а, |а|>1, решений нет;

sinx=0, x= πn, nєZ

sinx =–1, x= –hello_html_3f3ecb0e.gif+2πn, nєZ;

sinx =1, x=hello_html_3f3ecb0e.gif+2πn, nєZ;

sinx=а, |а|<1, x= arcsinа +2πn, nєZ;

x= π–arcsinа +2πn, nєZ.

В последнем случае для сокращения записи используют формулу:

x=(–1)narcsinа + πn, nєZ.

cos x=а, |а|>1,решений нет;

cos x=0, x= –hello_html_3f3ecb0e.gif+πn, nєZ;

cos x=–1, x= π +2πn, nєZ;

cos x=1, x=2πn, nєZ;

cos x=а, |а|<1, x= ± arccosа +2πn, nєZ.


Решения уравнения tg x=а и ctg x=а записываются существенно проще:

x= arctgаn, nєZ и, соответственно, x= arcсtgаn, nєZ .

Пример 1. Решить уравнение sinx = hello_html_m11f81418.gif.

Решение: так как hello_html_m2d865851.gif<1, значит x=(–1)narcsinhello_html_m2d865851.gif + πn, nєZ.

Ответ: (–1)narcsinhello_html_m2d865851.gif + πn, nєZ.

Пример 2. Решить уравнение cos x =hello_html_m5137be67.gif.

Решение: так как hello_html_m5137be67.gif >1, значит уравнение не имеет решения.

Ответ: нет решения.

Пример 3. Решить уравнение tg x+hello_html_m487b4b13.gif = 0.

Решение:

tg x+hello_html_m487b4b13.gif = 0

tg x = –hello_html_m487b4b13.gif

x = arctg (–hello_html_m487b4b13.gif) + πn, nєZ

x = – arctg hello_html_m487b4b13.gif+ πn, nєZ

x = –hello_html_2e1f7b3a.gif+2πn, nєZ;

Ответ: –hello_html_2e1f7b3a.gif+2πn, nєZ.

Пример 4. Решить уравнение 2cos x = –hello_html_m487b4b13.gif.

Решение:

2cos x = –hello_html_m487b4b13.gif

cos x = –hello_html_m6b9b924e.gif

x= ± arccos (–hello_html_m6b9b924e.gif)+2πn, nєZ

x= ±( π – arccos hello_html_m6b9b924e.gif)+2πn, nєZ

x= ±( π hello_html_7a946ced.gif)+2πn, nєZ

x = ± hello_html_45610e51.gif + 2πn, nєZ

Ответ: ± hello_html_45610e51.gif + 2πn, nєZ.

Для отработки общих формул решения простейших уравнений можно предложить для устного решения задания такого вида.

Образуют ли арифметическую прогрессию расположенные в порядке возрастания положительные корни уравнения : sinx =0; cosx = 0,5; tg x=1.

На начальном этапе, пока не отработаны навыки использования общих формул решения простейших уравнений желательно прописывать эти формулы, чтобы учащиеся быстрее их запомнили.

Далее нужно переходить к решению более сложных уравнений, которые чаще всего встречаются в вариантах ЕГЭ в разделе А.

Пример 5. Решить уравнение cos hello_html_m14c5ae88.gif = hello_html_7f543b8d.gif.

Решение: cos hello_html_m14c5ae88.gif = hello_html_7f543b8d.gif

Это уравнение сводится к простейшему cos t = hello_html_7f543b8d.gif заменой t =hello_html_m14c5ae88.gif, которую можно не прописывать.

hello_html_m14c5ae88.gif = ± arccos hello_html_7f543b8d.gif+2πn, nєZ

hello_html_m14c5ae88.gif = ± hello_html_59fb6bb6.gif+2πn, nєZ

х = ± hello_html_5db9eff6.gif+ 10πn, nєZ

Ответ: ± hello_html_5db9eff6.gif + 10πn, nєZ.

Пример 6. Решить уравнение: sin (2xhello_html_2e1f7b3a.gif) = hello_html_m6b9b924e.gif.

Решение: sin (2xhello_html_2e1f7b3a.gif) = hello_html_25e6df5.gif

2xhello_html_2e1f7b3a.gif= (–1)narcsin hello_html_m6b9b924e.gif + πn, nєZ

2xhello_html_2e1f7b3a.gif = (–1)nhello_html_2e1f7b3a.gif+ πn, nєZ

2xhello_html_2e1f7b3a.gif = +hello_html_2e1f7b3a.gif+ 2πn, nєZ

2xhello_html_2e1f7b3a.gif = –hello_html_m62a00377.gifhello_html_2e1f7b3a.gif+ (2m + 1)π,mєZ

2x = hello_html_47ca8db1.gif + 2πn, nєZ

2x =π + 2πm, mєZ

x = hello_html_2e1f7b3a.gif + πn, nєZhello_html_m62a00377.gif

x = hello_html_3f3ecb0e.gif+ πm, mєZ

Ответ: hello_html_2e1f7b3a.gif + πn, hello_html_3f3ecb0e.gif+ πm, n,mєZ.

Так же нужно обратить внимание учащихся на то, что довольно часто исходное уравнение приводится к простейшему лишь после различных тождественных преобразований и применения формул тригонометрии.


Пример 7. Решить уравнение 4 sin3x cos 3x =1.

Решение: 4 sin3x cos 3x =1

2(2sin3x cos 3x) =1

2sin6x =1

sin6x = hello_html_m55ec507a.gif

6x = (–1)n hello_html_7a946ced.gif+ πn, nєZ

x = (–1)n hello_html_m2a7bc43b.gif+ hello_html_7a946ced.gifn, nєZ

Ответ: (–1)nhello_html_m2a7bc43b.gif+ hello_html_7a946ced.gifn, nєZ.

Часто предлагается решить тригонометрическое уравнение на некотором промежутке. Целесообразно начинать решать такие уравнения до вывода общих формул решения простейших тригонометрических уравнений.

Рассмотрим примеры.


Пример 8. Найдите корни уравнения 2cosx = –1, принадлежащие промежутку [0;2π].

Решение:

2cosx = –1

cosx = –hello_html_m55ec507a.gif

Выбор значений x , которые принадлежат указанному промежутку можно выполнить различными способами.

Наиболее рационально это делать с помощью единичной окружности.

hello_html_3d1ab1c9.png



x1 = hello_html_47ca8db1.gif; x2 = hello_html_210f2d09.gif.

Ответ: hello_html_47ca8db1.gif;hello_html_210f2d09.gif.

В тестах часто требуется не просто найти корни, принадлежащие данному промежутку, а вычислить их сумму или разность; определить наибольший или наименьший корень; указать количество корней.


Пример 9. Найдите сумму корней уравнения (cos 2 x –1)(2 sinhello_html_m317a6d09.gif – 1) = 0, принадлежащих промежутку [–hello_html_3f3ecb0e.gif; π ).

Решение: hello_html_63790d08.gifhello_html_m3440e4ae.gif x1 = 0; x2 = hello_html_2e1f7b3a.gif, x1 + x2 = hello_html_2e1f7b3a.gifhello_html_m198cd1b9.png

Ответ: hello_html_2e1f7b3a.gif.


Решите самостоятельно.

1. Найдите сумму корней уравнения 2sinx = –1 на указанном промежутке hello_html_m2e037e29.gif

2. Найдите количество корней уравнения 4cos 22х = 1 на указанном промежуткеhello_html_m1e6f4a81.gif

3. Найдите сумму наименьшего положительного и наименьшего отрицательного корней уравнения sinx coshello_html_m5691b67b.gif + sin hello_html_m5691b67b.gifcos х = hello_html_m55ec507a.gif на указанном промежутке hello_html_m32c9bd5d.gif

Уже при решение простейших тригонометрических уравнений полезно предлагать нестандартные уравнения.


Пример 10. Решить уравнение cos x2 = 1.


Можно дать это уравнение для самостоятельного решения.

Найдутся ученики, которые решат его в одну строчку:

х2 = 2πk, kЄZ

х = hello_html_m2b2af0db.gif, kЄZ.

Целесообразно продемонстрировать это решение на доске и предложить ученикам найти допущенные ошибки.

В случае затруднений, чтобы внести полную ясность, решить для начала уравнение

х2 = a.

Его решение имеет вид х = ±hello_html_2d3c14b8.gif при аhello_html_m26ab4f86.gif0.

Если а <0, то уравнение не имеет решений. Значит решением исходного уравнения является х = ±hello_html_m2b2af0db.gif, kЄZ, khello_html_m26ab4f86.gif0.


Ответ: ±hello_html_m2b2af0db.gif, kЄZ, khello_html_m26ab4f86.gif0.

Пример 11. Решить уравнение sinsinx = 1.

Решение: sinsinx = 1.

sinx = hello_html_3f3ecb0e.gif+2πn, nєZ

Выражение |hello_html_3f3ecb0e.gif+2πn | > 1 при любых значениях n , nєZ.

Поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений


  1. Метод разложения на множители.

Этот метод заключается в том , что исходное уравнение сводится к уравнению вида

f (x)g(x)h(x) = 0, которое можно заменить совокупностью уравнений, каждое из которых сводится к простейшему.

hello_html_5536b2ae.gif

Решив уравнения совокупности нужно взять только те решения, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные корни отбросить.


Пример 1. Решить уравнение sin4x = 3 cos2х.

Решение:

sin4x = 3 cos2х.

2 sin2x cos2х = 3 cos

Получив такое уравнение, ученики достаточно часто делают ошибку, «сократив» левую и правую части уравнения на cos2х. Некоторые из них при этом оговаривают, что coshello_html_7eeb9f88.gif0,но одной оговорки здесь, увы, недостаточно. Необходимо ещё рассмотреть случай, когда cos2х = 0, и проверить, не являются ли значения х, удовлетворяющие этому равенству, корнями исходного уравнения. Разумеется, лучше всего не делить левую и правую части уравнения на cos2х, а разложить на множители

(2 sin2x – 3) cos2х = 0.

Полученное уравнение равносиьно совокупности двух уравнений

hello_html_m1d6f85b4.gif х = hello_html_49944879.gif, nЄZ.

Первое уравнение решения не имеет, так как функция синус не может принимать значений по модулю больших единицы. К сожалению, не все ученики это понимают, а из тех, кто понимает, не всякий вспоминает вовремя.

Ответ: hello_html_49944879.gif, nЄZ.

Пример 2. Решить уравнение sin2x = sin4x

Решение: некоторые учащиеся, встретив такое уравнение, решительно записывают

2х = 4х или 2х = 4х + 2πn, nЄZ, что приводит к потере решений исходного уравнения.

Решение исходного уравнения состоит в переходе к уравнению sin2xsin4x = 0

и последующем применении формулы для преобразования разности тригонометрических функций в произведение

2coshello_html_640de66e.gif = 0

cos3x (–sinx) = 0

hello_html_m2276abed.gif

Ответ: hello_html_7904cd7.gif


Пример 3. (ЕГЭ 2009г. Вариант 1, С2.).

Найдите все значения hello_html_m468af310.gif, при каждом из которых выражения

hello_html_m40c7f0ec.gif принимают равные значения.

Решение:

hello_html_m4d40982c.gif

hello_html_3f2b5ed1.gif

hello_html_7621c1a0.gif

hello_html_2b13aea.gif

hello_html_m6cc75d27.gif

Ответ: hello_html_m5b900f23.gif


Пример 4. (ЕГЭ 2009г. Вариант 2, B7.).

Найдите наименьший корень уравнения

hello_html_m3f37cb06.gif

hello_html_m44b25a5b.gifРешение:

hello_html_m19f449ce.gif

Ответ: hello_html_m67c4e9ae.gif


  1. Метод замены переменной.

В школьном курсе в основном рассматриваются уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f(x),где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.


Пример 5. Решить уравнение cos2 πx + 4sinπx + 4 =0

Решение: 1 – sin 2 πx + 4sinπx + 4 =0

sin 2 πx + 4sinπx + 5 =0

Заменим sin πx = t , -1hello_html_64b66d4b.gif

t 2 + 4t +5 = 0

t 2 – 4t – 5 = 0

t1 = –1,t2 = 5

t2 не удовлетворяет условию -1hello_html_64b66d4b.gif

sin πx = –1

πx = – hello_html_e81e5c1.gif

х = –hello_html_56ca7091.gif

Ответ: –hello_html_56ca7091.gif


Решение однородных тригонометрических уравнений.


Уравнение вида аsinx +bcosx =0, где а и b –некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sinx и cosx.

Уравнение вида аsin 2 x +bcos 2 x + с =0, где а,b,с – некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sinx и cosx.


Пример 6. Решить уравнение sinxcosх = 0.

Решение: легко убедиться, что cosx = 0 не является корнем исходного уравнения.

В самом деле, если cosx = 0, то, в силу исходного уравнения, и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Этот факт позволяет разделить левую и правую части уравнения на cosx.

Получим уравнение tg x = 1, откуда х = hello_html_5b4c1a08.gif

Ответ: hello_html_5b4c1a08.gif

Пример 7. Решить уравнение sin 2 x – 3sinx cosх + 2cos 2 x = 0.

Решение: поскольку cosx = 0 не является корнем tg x данного уравнения,

разделим левую и правую части уравнения на cos 2 x. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg2 x – 3 tg x + 2 = 0,

решив которое, получим

hello_html_373a1fbf.gif


Ответ: hello_html_m4817dbf4.gif


Введение вспомогательного аргумента.


Уравнение вида аcosx + b sinx = с, где а, b, с –некоторые числа, причем

hello_html_74613814.gifназывают линейными тригонометрическими уравнениями.

Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

Так как а 2 + b2 >0, то можно разделить обе части уравнения на hello_html_6ef27bab.gif, получим


hello_html_m56b3d46d.gif

Введём в рассмотрение угол hello_html_m17c0599a.gif такой, что

hello_html_m57da64a8.gif

Угол hello_html_m17c0599a.gif, удовлетворяющий этим двум условиям, принято называть дополнительным (или вспомогательным) аргументом. Для любых значений а и b такой угол существует, так как hello_html_40c00148.gif

Вообще, полезно напомнить учащимся, что любые числа p и g такие, что

p2 + g2 = 1 можно рассматривать как косинус и синус некоторого угла.

Теперь исходное уравнение можно записывать в виде

coshello_html_m17c0599a.gifcosx + sinhello_html_m17c0599a.gifsinx = hello_html_477c1a2.gif

cos (x – hello_html_m17c0599a.gif) = hello_html_477c1a2.gif

Аналогично можно вводить вспомогательный угол hello_html_m7e91be2b.gifтакой, что:


hello_html_355e8537.gif

Тогда исходное уравнение можно привести к виду

sinhello_html_m7e91be2b.gifcosx + coshello_html_m7e91be2b.gifsinx = hello_html_477c1a2.gif

sin (x +hello_html_m7e91be2b.gif) = hello_html_477c1a2.gif

Полезно также обратить внимание учащихся, что умение преобразовывать выражения вида а cosx + b sinx может понадобиться не только при решении уравнений, но и для построения оценок, нахождения наибольших значений и т. д.


Пример 8. Решить уравнение 3 sinx – 4cosх = 5.


Решение. 3 sinx – 4cosх = 5

hello_html_6ef27bab.gif =hello_html_mc762c2a.gif=5

hello_html_m392e68ed.gif

hello_html_19cd4f6f.gif, cosx = hello_html_2c9e7ace.gif,

cos(x + hello_html_m17c0599a.gif) = –1

x + hello_html_m17c0599a.gif = π + 2πn, nЄZ

x = – hello_html_m17c0599a.gif + π + 2πn, nЄZ

x = –arcsinhello_html_m1377f821.gif+ π + 2πn, nЄZ

Ответ: –arcsinhello_html_m1377f821.gif+ π + 2πn, nЄZ.

Пример 9. Решить уравнение 2cosх = 1– 2cos 2х –hello_html_m487b4b13.gifsin2x.


Решение. Воспользуемся формулой 2cos 2х – 1 = cos 2x,

получим 2cosх = – cos2х –hello_html_m487b4b13.gifsin2x.

Применим к правой части процедуру введения вспомогательного аргумента.

hello_html_6ef27bab.gif=hello_html_m53d53e1f.gif

2cosх = – 2(hello_html_m55ec507a.gifcos2х +hello_html_m6b9b924e.gifsin2x)

2cosх = – 2 (сoshello_html_m17c0599a.gif cos2х + sinhello_html_m17c0599a.gifsin2x), где hello_html_6e87f1d4.gif

2cosх = – 2(cos2х – hello_html_2e1f7b3a.gif)

cosх + cos (2х – hello_html_2e1f7b3a.gif) = 0

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение:

2coshello_html_408aa45c.gifcoshello_html_m6877680d.gif

coshello_html_m1b728b80.gif

hello_html_14b3175b.gif

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что в тригонометрических системах и совокупностях при записи имеет смысл употреблять разные буквы, обозначающие целые числа.

Ответ: hello_html_6afc09ed.gif.


Универсальная тригонометрическая подстановка.


Универсальная тригонометрическая подстановка позволяет перейти от синуса и косинуса аргумента х к тангенсу половинного аргумента:

sinhello_html_67b27be2.gif , cos hello_html_5321892b.gif

При таком переходе возможна потеря решений, следует помнить, что hello_html_m2663c3fc.gif (в этих точках tg hello_html_m1adb4b42.gif не существует). Поэтому всякий раз, когда приходится пользоваться универсальной подстановкой, значения х = π + 2πn, nЄZ необходимо проверять отдельно, подставляя в исходное уравнение.


Пример 10. Решить уравнение sinx + cosх = –1.

Решение: hello_html_59a1f6ff.gifhello_html_3b69d608.gif= –1, заменим tg hello_html_m1db6e4df.gif, получим

2t +1 – t2 = –1– t2

2t = – 2

t = – 1

tg hello_html_m2597de39.gif

hello_html_65bee36.gif

hello_html_m4970a9b2.gif

Подставим теперь в исходное уравнение значение hello_html_2c047691.gif и убедимся, что они действительно являются его решениями.

Ответ: hello_html_m23eb949a.gifhello_html_m768e0efd.gif


Уравнение вида hello_html_1f79ee7e.gif


Уравнение вида hello_html_275b4ed0.gifгде hello_html_m21b73a8a.gif- многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной hello_html_m68046bcf.gif

Тогда можно получить выражение для произведения из формулы hello_html_mf480389.gif

Пример 11. Решить уравнение hello_html_3ff4f672.gif

Решение: введем новую переменную hello_html_mf480389.gifhello_html_m68046bcf.gif

Тогда hello_html_m689ccf63.gif

Следовательно, hello_html_4f1e7f96.gif и исходное уравнение принимает вид

hello_html_m2f336fb2.gif

Для определения переменной hello_html_m468af310.gif получаем два уравнения

hello_html_m34dca8ff.gif

Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

hello_html_4330e507.gif

Ответ: hello_html_m208e399d.gif


После завершения изучения рассмотренных методов, при наличии времени, рекомендуем провести урок-практикум – «Урок решения одного уравнения»


3. Функционально-графические методы


  1. Использование свойств ограниченности функций, метод оценок.


Часто приходится иметь дело с уравнениями, имеющими вид f(x) = g(x), где f и g – некоторые функции, составленные с помощью тригонометрических выражений, такие, что можно исследовать области значений Е(f) и Е(g) и доказать, что эти области либо не пересекаются, либо имеют небольшое число общих точек. В таких случаях решения уравнения f(x) = g(x) следует искать среди таких x , которые удовлетворяют более простым уравнениям f(x) = a, g(x) = a , где а – такое действительное число, что

hello_html_m117e5322.gif

Пример 12. Решить уравнение hello_html_m4f2a80a8.gif.

Решение:

hello_html_m50300b04.gif

Ответ: нет решения.


Пример13. Решить уравнение hello_html_m6c73f4a5.gif.

Решение:

hello_html_73dea1b1.gif

Ответ: нет решения.


Пример14. Решить уравнение hello_html_52f2c362.gif.

Решение:

hello_html_m21584822.gif

Ответ: hello_html_m19569506.gif.

Пример15. Решить уравнение hello_html_5d79eea0.gif

Решение:

hello_html_m14fcbb3.gif

Ответ: hello_html_73d61a87.gif



Пример16. Решить уравнение hello_html_m4d1159d5.gif

Решение.

Заметим, что сумма в левой части полученного уравнения может принимать значение 2, только если hello_html_m743d6665.gif одновременно, т.е. наше уравнение равносильно системе уравнений


hello_html_m7cc59b69.gif

И должно выполняться равенство hello_html_m193ce1a2.gifПоскольку hello_html_10d38271.gif

Ответ: hello_html_m5fc54d81.gif


  1. Использование графиков.

Суть метода использования графиков для решения уравнения f(x) = g(x) проста: нужно построить графики функций y = f(x) и y = g(x) и найти все точки их пересечения, абсциссы которых и будут являться корнями нашего исходного уравнения.


Пример 17. Сколько корней имеет уравнение:

hello_html_6504af2a.gif

Решение: в данном примере для решения уравнений используются свойства графиков функций.


hello_html_m6211a385.gif


Ответ: 1 решение.


hello_html_5b0b3d9b.gif


Ответ: 1 решение.

hello_html_m35d7fb0b.gif



hello_html_4a0d642c.gif


Ответ: 7 решений.






















ΙΙΙ. Решение комбинированных уравнений


Пример1. Решите уравнение hello_html_7a45a2a5.gif

Решение: hello_html_32062df2.gif1

3

hello_html_4856784d.gif

hello_html_m7cfa0d06.gif

1

3

hello_html_21c87662.gif


Ответ: hello_html_72d7d0d4.gif.

Пример 2. Решите уравнение hello_html_m3826acd3.gif

hello_html_m39b0248.gif

hello_html_5ac0a6a4.gif

Решение: hello_html_m3163e86c.gif

hello_html_5d317442.gif

Ответ: hello_html_29fb5023.gif

Пример 3. Решите уравнение hello_html_5305d764.gif

Решение:

hello_html_e528565.gif

Решим первое уравнение системы с использованием универсальной тригонометрической подстановки:

hello_html_m434c0827.gif

С учетом неравенств системы имеем:

hello_html_m76f37955.gif

hello_html_m1ac3b16a.gif













Ответ: hello_html_m5bc89ef0.gif

Пример 4. Решите уравнение hello_html_m57bc21e6.gif

Решение: hello_html_432d5ae2.gif


hello_html_6d4d04cb.gif

hello_html_7ea20e5d.gif

hello_html_mbe2015e.gif

hello_html_m74df0b65.gif

hello_html_1cfa0b26.gif

hello_html_mbe2015e.gif

1

2












Ответ: hello_html_m25d7c7d3.gif

Пример 5. Решите уравнение hello_html_m3d59712c.gif

Решение: hello_html_m135f275e.gif

hello_html_m2a247489.gif

hello_html_3533bffa.gif

hello_html_m6d689d58.gif

hello_html_m1ac3b16a.gif

hello_html_m7e59baf2.gif

Ответ: hello_html_m2c0d6dfb.gif


Пример 6. Решите уравнение hello_html_38a15c7.gif

Решение:

hello_html_m1ac3b16a.gif

hello_html_m39b0248.gif

hello_html_5ac0a6a4.gif

hello_html_m7eff3442.gif

hello_html_42dee53.gif








Ответ: hello_html_7c2337e3.gif

Пример 7. Решите уравнение hello_html_9196dbb.gif

Решение:

hello_html_3ace9cc.gif

Ответ: hello_html_m95316f1.gif

Пример 8. Решите уравнение hello_html_1bab63e8.gif

Решение: воспользуемся формулой понижения степени

hello_html_75287eea.gif

Ответ: hello_html_b6d9d60.gif

Пример 9. Решите уравнение hello_html_m2b576e70.gif

Решение: hello_html_18ee3ce5.gif

Решим полученное уравнение графически, для этого в одной системе координат построим графики функций hello_html_m40d9b5ca.gif

hello_html_m54faafb2.gif


Ответ: hello_html_m5e47beca.gif

Пример 10. Решите уравнение hello_html_2a14e64c.gif

Решение: введем функцию hello_html_m1b6b16.gif тогда получим

hello_html_m6e9a1176.gif

Исследуем функцию на монотонность

hello_html_15700262.gif

Ответ: hello_html_m61ca38e9.gif

Пример 11. Решите уравнение hello_html_m164eb366.gif

0

hello_html_16960431.gif

hello_html_47475de8.gif

hello_html_m2657f133.gif

Решение: данное уравнение равносильно системе



hello_html_3e55fdc7.gif






Ответ: hello_html_41811cc3.gif















ΙV. Решение тригонометрических уравнений с параметром.


Пример1. Найти все значения параметра hello_html_78c52f3.gif, при которых уравнение hello_html_m29fd648c.gif имеет решение.

Решение:

hello_html_m6a08dfd3.gif

hello_html_3ed8a640.gif


Пример 2. Найти все значения параметра hello_html_78c52f3.gif, при которых уравнениеhello_html_m79445f18.gif имеет на отрезке hello_html_m4c1ce80.gif ровно три корня.

Решение: hello_html_m79445f18.gif

hello_html_561bf33.gif

Пример 3. Решите уравнениеhello_html_21a35d97.gif.

Решение: hello_html_21a35d97.gif

hello_html_76e99afa.gif

hello_html_3cd1379.gif

hello_html_2966364b.gif

hello_html_6bfb18f6.gif

hello_html_60016fd0.gif



V. Тесты для самостоятельного решения


Данные тесты предназначены для проверки умений решения тригонометрических уравнений различными способами.


Вариант№1.

hello_html_13a16d59.gif

hello_html_m67a7a595.gif


Вариант№2.

hello_html_m70edbbde.gif


Вариант№3. hello_html_adb9616.gif


Вариант№4.


hello_html_m16b141fe.gif




Литература


  1. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10 класса / М.К.Потапов, А.В.Шевкин.-2-е изд.-М.:Просвещение,2007.

  2. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 11 класса: базовый и профильные уровни / М.К.Потапов, А.В.Шевкин.-2-е изд.-М.:Просвещение,2007.

  3. Бурмистрова Н.В.,СтаростенковаН.Г.Математика.11класс. Подготовка к экзамену.

-Саратов: Лицей,2005.

  1. Единый государственный экзамен: Математика: контрольные измерительные материалы: 2006-2007.-М.:Просвещение: СПб.: Просвещение,2007.

  2. ЕГЭ-2009.Математика: Сдаём без проблем!/ О.А.Креславская, В.В.Крылов, В.И.Снегурова, В.Е.Ярмолюк.-М.:Эксмо.2008.

  3. ЕГЭ. Репетитор. Математика.Эффективная методика./ Л.Д.Лаппо, А.В.Морозов, М.А.Попов.-М.:Издательство «Экзамен»,2007.

  4. Панчишкин А.А.. Шавгулидзе Е.Т. Тригонометрические функции в задачах - М.:Наука. Главная редакция физико – математической литературы,1986.

  5. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:2009:Математика /

авт.-сост. В.И.Ишина, В.В.Кочагин, Л.О.Денишева и др.-М.:АСТ: Астрель,2009.

  1. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике

(курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы.11 класс/

Г.В,Дорофеев, Г.К.Муравин ,Е.А.Седова.-10-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2007.

  1. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2009.Часть2.10-11 классы/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. - Ростов-на-Дону:Легион,2008.

  2. Макеева А.В.Карточки по тригонометрии.10-11 класс: Дидактический материал

для учителей. - Саратов:Лицей.2002.

  1. Макарова Л.В. Уроки-практикумы в системе работы учителя. //Математика в школе,1998,№3.

  2. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену.-4-е изд.испр. и доп.-М.:Рольф:Айрис-пресс,1999.

  3. Математика: Тематическое планирование уроков подготовки к экзамену / А.В.Белошинстая.-М.:Издательство «Экзамен»,2007.

  4. Шаммин В.М. Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ по математике. Изд.3-е.-

Ростов н/Д: Феникс,2004.

31



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

                                           Содержание

 

 

 

 

Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

2– 7 

ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений

 

1. Метод разложения на множители

8 – 10

2. Метод введения новой переменной

10 – 14

3. Функционально-графические методы

15 – 17

ΙΙΙ. Решение комбинированных уравнений

18 – 23

ΙV. Решение тригонометрических уравнений с параметром

24 – 25

V. Тесты для самостоятельного решения

26 – 27

Литература

28


 

 

 

Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

 

Все тригонометрические уравнения сводятся к простейшим. Поэтому особое внимание следует уделять решению простейших уравнений. Начинать нужно с самых простых.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида:

Для  каждого из простейших тригонометрических уравнений определены формулы, справедливость которых обосновывается с помощью тригонометрического круга и с учетом периодичности тригонометрических функций.

 

sinx=а, |а|>1, решений нет;          

sinx=0, x= πn, nєZ

sinx=–1, x= –+2πn, nєZ;

sinx=1, x=+2πn, nєZ;

sinx=а, |а|<1, x= arcsinа +2πn, nєZ;                             

                      x= π–arcsinа +2πn, nєZ.

В последнем случае для сокращения записи используют формулу:

x=(–1)narcsinа + πn, nєZ.                             

cosx=а, |а|>1,решений нет;

cos x=0, x= –+πn, nєZ;

cos x=–1, x= π +2πn, nєZ;

cos x=1, x=2πn, nєZ;

cos x=а, |а|<1, x= ± arccosа +2πn, nєZ.

 

Решения уравнения  tgx=а и ctgx  записываются существенно проще:

 x= arctgа +πn, nєZ    и, соответственно, x= arcсtgа +πn, nєZ .                           

Пример 1. Решить уравнение sinx = .

Решение: так как <1, значит  x=(–1)narcsin + πn, nєZ.  

Ответ: (–1)narcsin + πn, nєZ.                       

Пример 2. Решить уравнение cosx =.

Решение: так как  >1, значит уравнение не имеет решения.

Ответ:   нет решения.

Пример 3. Решить уравнение   tgx+ = 0.

Решение: 

tgx+ = 0                        

tgx  = –

x = arctg (–) + πn, nєZ

x = – arctg+ πn, nєZ

x = –+2πn, nєZ;

Ответ:   +2πn, nєZ.

Пример 4. Решить уравнение  2cosx = –. 

Решение:

2cosx = – 

cosx = –                                    

x= ± arccos (–)+2πn, nєZ

x= ±( π  arccos)+2πn, nєZ        

x= ±( π  )+2πn, nєZ

x = ±    +  n, nєZ

Ответ:   ±    +  n, nєZ.

Для отработки общих формул решения простейших уравнений можно предложить для     устного решения задания такого вида.

Образуют ли арифметическую прогрессию расположенные в порядке возрастания положительные корни уравнения :  sinx =0;  cosx = 0,5;  tgx=1.

На начальном этапе, пока не отработаны навыки использования общих формул решения простейших уравнений желательно прописывать эти формулы, чтобы учащиеся быстрее их запомнили.

Далее нужно  переходить к решению более сложных уравнений, которые чаще всего встречаются в вариантах ЕГЭ в разделе А.

Пример 5. Решить уравнение      cos = .                             

Решение: cos =

Это  уравнение сводится к простейшему    cos t =  заменой t =, которую можно не     прописывать.

 = ±  arccos+2πn, nєZ           

 = ±  +2πn, nєZ

 х = ±  + 10πn, nєZ

Ответ:   ±    +  10πn, nєZ.

Пример 6. Решить уравнение: sin (2x) = . 

Решение:     sin (2x) =   

2x= (–1)narcsin + πn, nєZ

2x = (–1)n   + πn, nєZ

2x = ++ 2πn, nєZ

2x = –+ (2m + 1)π,mєZ

2x =   + 2πn, nєZ

2x =π + 2πm, mєZ

x =   + πn, nєZ

x = + πm, mєZ

Ответ:    + πn, + πm, n,mєZ.

Так же нужно обратить внимание учащихся на то, что довольно часто исходное уравнение приводится к простейшему лишь после различных тождественных преобразований и применения формул тригонометрии.

 

Пример 7. Решить уравнение 4 sin3xcos 3x =1.

Решение:     4 sin3x cos 3x =1         

2(2sin3x cos 3x) =1     

2sin6x =1  

sin6x =

6x = (–1)n + πn, nєZ

x = (–1)n + n, nєZ

Ответ:  (–1)n + n, nєZ.     

Часто предлагается решить тригонометрическое уравнение на некотором   промежутке. Целесообразно начинать решать такие уравнения до вывода общих формул решения простейших тригонометрических уравнений.

Рассмотрим примеры.

 

Пример 8. Найдите корни уравнения  2cosx = –1, принадлежащие промежутку [0;2π].

Решение: 

2cosx = –1

cosx = 

Выбор значений  x , которые принадлежат указанному промежутку можно выполнить различными способами.

Наиболее рационально это делать с помощью единичной окружности.

 

 

x1 = ;   x2 = .  

                                      

       

Ответ:  ;.

В тестах часто требуется не просто найти корни, принадлежащие данному промежутку, а вычислить их сумму или  разность; определить наибольший или наименьший корень; указать количество корней.

 

Пример 9. Найдите  сумму корней  уравнения  (cos2 x –1)(2 sin – 1) = 0, принадлежащих промежутку [–; π ).

Решение:                         x1 = 0;   x2 = ,  x1 + x2 =

 Ответ:  .

 

Решите самостоятельно.

1. Найдите сумму корней уравнения   2sinx = –1 на указанном промежутке

2. Найдите количество  корней уравнения   4cos22х  = 1 на указанном промежутке

3. Найдите сумму  наименьшего положительного и наименьшего  отрицательного корней уравнения      sinxcos + sincos х =  на указанном промежутке 

Уже при решение простейших тригонометрических уравнений полезно предлагать нестандартные уравнения.

 

Пример 10. Решить уравнение   cosx2 = 1.

 

Можно дать это уравнение  для самостоятельного решения.

Найдутся ученики, которые решат его в одну строчку:

   х2   =  2πk, kЄZ

   х = , kЄZ.

Целесообразно продемонстрировать это решение на доске и предложить ученикам найти допущенные ошибки.

В случае затруднений, чтобы внести полную ясность, решить для начала уравнение

   х2   =  a.

Его решение имеет вид  х = ±  при а0.

Если а <0, то уравнение не имеет решений. Значит решением исходного уравнения является  х = ±, kЄZ,  k0.

 

Ответ:  ±, kЄZ,  k0.

Пример 11. Решить уравнение     sinsinx = 1.

Решение:  sinsinx = 1.  

                   sinx  = +2πn, nєZ

Выражение   |+2πn | > 1 при любых  значениях n , nєZ.

Поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Ответ:  нет  решений.


ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений

 

1.     Метод разложения на множители.

Этот метод заключается в том , что исходное уравнение сводится к уравнению вида

f (x)g(x)h(x) = 0, которое можно заменить совокупностью уравнений, каждое из которых сводится к простейшему.

Решив уравнения совокупности нужно взять только те решения, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные корни отбросить.

 

Пример 1. Решить уравнение    sin4x = 3 cos2х.

Решение: 

sin4x = 3 cos2х.

2 sin2xcos2х =  3 cos

Получив  такое уравнение, ученики достаточно часто делают ошибку, «сократив» левую  и правую части уравнения на  cos2х. Некоторые из них при этом оговаривают, что  cos0,но одной  оговорки здесь, увы, недостаточно. Необходимо ещё рассмотреть случай, когда cos2х = 0, и  проверить, не являются ли значения х, удовлетворяющие этому равенству, корнями исходного уравнения. Разумеется, лучше всего не делить левую и правую части уравнения на cos2х, а разложить на множители

(2 sin2x  – 3) cos2х =  0.

Полученное уравнение равносиьно совокупности двух уравнений

     х = , nЄZ.

Первое уравнение решения не имеет, так как функция синус не может принимать значений по модулю больших единицы. К сожалению, не все ученики это  понимают, а из тех, кто понимает, не всякий вспоминает вовремя.

Ответ: , nЄZ.

 

Пример 2. Решить уравнение    sin2x = sin4x

Решение:  некоторые учащиеся, встретив такое уравнение, решительно записывают

2х = 4х или 2х = 4х + 2πn, nЄZ, что приводит к потере  решений исходного уравнения.

Решение исходного уравнения состоит в переходе к уравнению sin2x sin4x = 0

и последующем применении формулы для преобразования разности тригонометрических функций в произведение

2cos = 0

cos3x (–sinx) = 0

 Ответ:  


 

Пример 3.  (ЕГЭ 2009г. Вариант 1, С2.).

Найдите все значения  , при каждом из которых выражения

  принимают равные значения.

Решение:

Ответ:  

 

Пример 4. (ЕГЭ 2009г. Вариант 2, B7.).

Найдите наименьший корень уравнения

 

Решение:

Ответ:

 

2.     Метод замены переменной.

В школьном курсе в основном рассматриваются уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f(x),где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.

 

Пример 5. Решить уравнение    cos2 πx  + 4sinπx+ 4 =0

Решение: 1 – sin2 πx  + 4sinπx+ 4 =0

sin2 πx  + 4sinπx+ 5 =0

Заменим   sinπx = t, -1

t2 + 4t +5 = 0

t2 – 4t – 5 = 0

t1  =  –1, t2    = 5

t2  не удовлетворяет условию   -1

sinπx = –1

πx = –

х = – 

Ответ:  

 

Решение однородных тригонометрических уравнений.

 

Уравнение вида аsinx +bcosx =0, где а и b –некоторые числа, называются  однородными уравнениями первой степени относительно sinx  и  cosx.

Уравнение вида аsin2 x +bcos2 x + с =0, где а,b,с  – некоторые числа, называются  однородными уравнениями  второй степени относительно sinx  и  cosx.

 

Пример 6. Решить уравнение    sinx   cosх = 0.

Решение: легко убедиться, что cosx = 0 не  является корнем исходного уравнения.

В самом деле, если  cosx = 0, то, в силу исходного уравнения, и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Этот факт позволяет разделить левую и правую части уравнения на cosx.

Получим уравнение tgx  = 1, откуда х =

Ответ:  

Пример 7. Решить уравнение    sin2 x – 3sinxcosх + 2cos2 x = 0.

Решение: поскольку  cosx = 0 не является корнем tgx

Автор
Дата добавления 23.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров7474
Номер материала 493973
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх