Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение уравнений высших степеней

Решение уравнений высших степеней

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов








СХЕМА ГОРНЕРА

В РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ
ИЗ ГРУППЫ «С» ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ





















Казанцева Людмила Викторовна

учитель математики МБОУ «Уярская СОШ № 3»







Содержание текстов Единого государственного экзамена показало, что материал учебника не достаточен для успешной сдачи экзамена. Знаний, полученных на школьных уроках, хватает только для решения примеров из группы «В».

На факультативных занятиях необходимо расширить круг имеющихся знаний за счет решения заданий повышенной сложности группы «С».

Даная работа освещает часть вопросов, рассматриваемых на дополнительных занятиях.

Целесообразно ввести схему Горнера после изучения темы «Деление многочлена на многочлен». Этот материал позволяет решать уравнения высших порядков не способом группировки многочленов, а более рациональным путем, экономящим время.


План занятий.


Решение уравнений высших степеней.


Занятие 1.


1. Объяснение теоретического материала.

2. Решение примеров а), б), в), г).


Занятие 2.


1. Решение уравнений а), б), в), г).

2. Нахождение рациональных корней многочлена


Применение схемы Горнера при решении уравнений с параметрами.


Занятие 3.


  1. Задания а), б), в).


Занятие 4.


1. Задания г), д), е), ж), з).









Решение уравнений высших степеней.

Схема Горнера.



Теорема: Пусть несократимая дробь hello_html_463f66a7.gif является корнем уравнения

ao xn + a1 xn-1 + … + an-1x1 + an = 0

c целыми коэффициентами. Тогда число р является делителем старшего коэффициента ао.


Следствие: Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.


Следствие: Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют – целые.


Пример 1. 3 – 7х2 + 5х – 1 = 0


Пусть несократимая дробь hello_html_463f66a7.gif является корнем уравнения, тогда р является делителем числа 1 : ± 1

q является делителем старшего члена: ± 1; ± 2


Рациональные корни уравнения надо искать среди чисел: ± 1; ± hello_html_m4bf21f14.gif.

f(1) = 2 – 7 + 5 – 1 = – 1 ≠ 0

f(–1) = –2 – 7 – 5 – 1 ≠ 0

f(hello_html_m4bf21f14.gif) = hello_html_m7d9c6bfd.gifhello_html_7e242cc6.gif + hello_html_22a74e83.gif – 1 = hello_html_18e13027.gifhello_html_7e242cc6.gif + hello_html_bfd26a2.gifhello_html_m56e311ef.gif = 0

Корнем является число hello_html_m4bf21f14.gif.


Деление многочлена Р(х) = аохп + a1 xn-1 + … + an на двучлен (х – £) удобно выполнять по схеме Горнера.

Обозначим неполное частное Р(х) на (х – £) через Q(x) = boxn-1 + b1xn-2 + …bn-1,

а остаток через bn

Р(х) = Q(x) (x – £) + bn , то имеет место тождество


аохп + a1 xn-1 + … + an = (boxn-1 + … + bn-1) (х – £) + bn


Q(x) – многочлен, степень которого на 1 ниже степени исходного многочлена. Коэффициенты многочлена Q(x) определяются по схеме Горнера.


ао

a1

a2

an-1

an

£

bo = aо

b1 = a1 + £·bo

b2 = a2 + £·b1


bn-1 = an-1 + £·bn-2

bn = an + £·bn-1


В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена Р(х).

Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0.

Старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого (ао = bo). Если £ является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0.


Пример 2. Разложить на множители с целыми коэффициентами

Р(х) = 2х4 – 7х3 – 3х2 + 5х – 1

Ищем целые корни среди делителей свободного члена: ± 1.

Подходит – 1.

Делим Р(х) на (х + 1)



2

7

3

5

1

1

2

9

6

1

0


4 – 7х3 – 3х2 + 5х – 1 = (х + 1) (2х3 – 9х2 + 6х – 1)


Ищем целые корни среди свободного члена: ± 1

Так как старший член равен 1, то корнями могут быть дробные числа: – hello_html_m4bf21f14.gif; hello_html_m4bf21f14.gif.

Подходит hello_html_m4bf21f14.gif.



2

9

6

1

hello_html_m4bf21f14.gif

2

8

2

0


3 – 9х2 + 6х – 1 =(х – hello_html_m4bf21f14.gif) (2х2 – 8х + 2) = (2х – 1) (х2 – 4х + 1)

Трехчлен х2 – 4х + 1 на множители с целыми коэффициентами не раскладывается.


Задание:

1. Разложите на множители с целыми коэффициентами:

а) х3 – 2х2 – 5х + 6

q: ± 1;

р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6

hello_html_463f66a7.gif:± 1; ± 2; ± 3; ± 6

Находим рациональные корни многочлена f(1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0

х = 1


1

2

5

6

1

1

1

6

0


х3 – 2х2 – 5х + 6 = (х – 1) (х2 – х – 6) = (х – 1) (х – 3) (х + 2)


Определим корни квадратного уравнения

х2 – х – 6 = 0

х = 3; х = – 2


б) 3 + 5х2 + х – 2

р: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

hello_html_463f66a7.gif:± 1; ± 2; ± hello_html_m4bf21f14.gif


Найдем корни многочлена третьей степени


f(1) = 2 + 5 + 1 – 2 ≠ 0

f(–1) = – 2 + 5 – 1 – 2 = 0


Один из корней уравнения х = – 1


2

5

1

2

1

2

3

2

0


3 + 5х2 + х – 2 = (х + 1) (2х2 + 3х – 2) = (х + 1) (х + 2) (2х – 1)

Разложим квадратный трехчлен 2 + 3х – 2 на множители

2 + 3х – 2 = 2 (х + 2) (х – hello_html_m4bf21f14.gif)

D = 9 + 16 = 25

х1 = – 2; х2 = hello_html_m4bf21f14.gif


в) х3 – 3х2 + х + 1

р: ± 1

q: ± 1

hello_html_463f66a7.gif:± 1

f(1) = 1 – 3 + 1 – 1 = 0


Одним из корней многочлена третьей степени является х = 1



1

3

1

1

1

1

2

1

0

х3 – 3х2 + х + 1 = (х – 1) (х2 – 2х – 1)


Найдем корни уравнения х2 – 2х – 1 = 0

D = 4 + 4 = 8

х1 = 1 – hello_html_1caef8ee.gif

х2 = 1 + hello_html_1caef8ee.gif

х3 – 3х2 + х + 1 = (х – 1) (х – 1 + hello_html_1caef8ee.gif) (х – 1 – hello_html_1caef8ee.gif)


г) х3 – 2х – 1

р: ± 1

q: ± 1

hello_html_463f66a7.gif:± 1

Определим корни многочлена


f(1) = 1 – 2 – 1 = – 2

f(–1) = – 1 + 2 – 1 = 0


Первый корень х = – 1



1

0

2

1

1

1

1

1

0


х3 – 2х – 1 = (х + 1) (х2 – х – 1)

х2 – х – 1 = 0

D = 1 + 4 = 5

х1,2 = hello_html_m1c0b5f60.gif

х3 – 2х – 1 = (х + 1) (х – hello_html_6b22802.gif) (х – hello_html_m113fc4ee.gif)


2. Решить уравнение:

а) х3 – 5х + 4 = 0


Определим корни многочлена третьей степени

hello_html_463f66a7.gif:± 1; ± 2; ± 4

f(1) = 1 – 5 + 4 = 0


Одним из корней является х = 1



1

0

5

4

1

1

1

4

0


х3 – 5х + 4 = 0

(х – 1) (х2 + х – 4) = 0


Найдем корни квадратного уравнения х2 + х – 4 = 0

D = 1 + 16 = 17

х1 = hello_html_40c3799.gif; х2 = hello_html_323b9d23.gif

Ответ: 1; hello_html_40c3799.gif; hello_html_323b9d23.gif


б) х3 – 8х2 + 40 = 0

Определим корни многочлена третьей степени.


hello_html_463f66a7.gif:± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 8; ± 10; ± 20; ± 40


f(1) ≠ 0

f(–1) ≠ 0

f(–2) = – 8 – 32 + 40 = 0


Одним из корней является х = – 2



1

8

0

40

2

1

10

20

0


Разложим многочлен третьей степени на множители.


х3 – 8х2 + 40 = (х + 2) (х2 – 10х + 20)


Найдем корни квадратного уравнения х2 – 10х + 20 = 0

D = 100 – 80 = 20

х1 = 5 – hello_html_m59c8c0fc.gif; х2 = 5 + hello_html_m59c8c0fc.gif


Ответ: – 2; 5 – hello_html_m59c8c0fc.gif; 5 + hello_html_m59c8c0fc.gif


в) х3 – 5х2 + 3х + 1 = 0

Ищем целые корни среди делителей свободного члена: ± 1


f(–1) = – 1 – 5 – 3 + 1 ≠ 0

f(1) = 1 – 5 + 3 + 1 = 0

Подходит х = 1



1

5

3

1

1

1

4

1

0

х3 – 5х2 + 3х + 1 = 0

(х – 1) (х2 – 4х – 1) = 0


Определяем корни квадратного уравнения х2 – 4х – 1 = 0

D = 20

х = 2 + hello_html_m59c8c0fc.gif; х = 2 – hello_html_m59c8c0fc.gif

Ответ: 2 – hello_html_m59c8c0fc.gif; 1; 2 + hello_html_m59c8c0fc.gif


г) 4 – 5х3 + 5х2 – 2 = 0

Найдем рациональные корни многочлена


р: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

hello_html_463f66a7.gif:± 1; ± 2; ± hello_html_m4bf21f14.gif

f(1) = 2 – 5 + 5 – 2 = 0

Один из корней уравнения х = 1



2

5

5

0

2

1

2

3

2

2

0


4 – 5х3 + 5х2 – 2 = 0

(х – 1) (2х3 – 3х2 + 2х + 2) = 0

Находим по такой же схеме корни уравнения третьей степени.

3 – 3х2 + 2х + 2 = 0

р: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

hello_html_463f66a7.gif:± 1; ± 2; ± hello_html_m4bf21f14.gif

f(1) = 2 – 3 + 2 + 2 ≠ 0

f(–1) = – 2 – 3 – 2 + 2 ≠ 0

f(2) = 16 – 12 + 4 + 2 ≠ 0

f(–2) = – 16 – 12 – 4 + 2 ≠ 0

f(hello_html_m4bf21f14.gif) = hello_html_5657f004.gifhello_html_m6dd36db.gif + 1 + 2 ≠ 0

f(–hello_html_m4bf21f14.gif) = – hello_html_5657f004.gifhello_html_m6dd36db.gif – 1 + 2 ≠ 0

Следующий корень уравнения х = –hello_html_m4bf21f14.gif



2

3

2

2

hello_html_m4bf21f14.gif

2

4

4

0


3 – 3х2 + 2х + 2 = 0

(х + hello_html_m4bf21f14.gif) (2х2 – 4х + 4) = 0

Определим корни квадратного уравнения 2 – 4х + 4 = 0

х2 – 2х + 2 = 0

D = – 4 < 0

Следовательно, корнями исходного уравнения четвертой степени являются

1 и hello_html_m4bf21f14.gif

Ответ: hello_html_m4bf21f14.gif; 1


3. Найдите рациональные корни многочлена

а) х4 – 2х3 – 8х2 + 13х – 24


р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

q: ± 1

hello_html_463f66a7.gif:± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24


Подберем один из корней многочлена четвертой степени:


f(1) = 1 – 2 – 8 + 13 – 24 ≠ 0

f(–1) = 1 + 2 – 8 – 13 – 24 ≠ 0

f(2) = 16 – 16 – 32 + 26 – 24 ≠ 0

f(–2) = 16 + 16 – 72 – 24 ≠ 0

f(–3) = 81 + 54 – 72 – 39 – 24 = 0

Один из корней многочлена х0= – 3.


х4 – 2х3 – 8х2 + 13х – 24 = (х + 3) (х3 – 5х2 + 7х + 8)


Найдем рациональные корни многочлена

х3 – 5х2 + 7х + 8

р: ± 1; ± 2; ± 4; ± 8

q: ± 1

f(1) = 1 – 5 + 7 + 8 ≠ 0

f(–1) = – 1 – 5 – 7 – 8 ≠ 0

f(2) = 8 – 20 + 14 + 8 ≠ 0

f(–2) = – 8 – 20 – 14 + 8 ≠ 0

f(–4) = 64 – 90 – 28 + 8 ≠ 0

f(4) ≠ 0

f(–8) ≠ 0

f(8) ≠ 0

Кроме числа x0 = 3 других рациональных корней нет.


б) х4 – 2х3 – 13х2 – 38х – 24


р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

q: ± 1

f(1) = 1 + 2 – 13 – 38 – 24 ≠ 0

f(–1) = 1 – 2 – 13 + 38 – 24 = 39 – 39 = 0, то есть х = – 1 корень многочлена



1

2

13

38

24

1

1

1

14

24

0


х4 – 2х3 – 13х2 – 38х – 24 = (х + 1) (х3 – х2 – 14х – 24)


Определим корни многочлена третьей степени х3 – х2 – 14х – 24


р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

q: ± 1

f(1) = – 1 + 1 + 14 – 24 ≠ 0

f(–1) = 1 + 1 – 14 – 24 ≠ 0

f(2) = 8 + 4 – 28 – 24 ≠ 0

f(–2) = – 8 + 4 + 28 – 24 ≠ 0

Значит, второй корень многочлена х = – 2



1

1

14

24

2

1

1

12

0


х4 – 2х3 – 13х2 – 38х – 24 = (х + 1) (х2 + 2) (х2 – х – 12) =

= (х + 1) (х + 2) (х + 3) (х – 4)

Ответ: – 3; – 2; – 1; 4


Применение схемы Горнера при решении уравнений с параметром.


Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение f(х) = 0 имеет три различных корня, один из которых х0 .

а) f(х) = х3 + 8х2 + ах + b, х0 = – 3

Так один из корней х0 = – 3 , то по схеме Горнера имеем:



1

8

а

b

3

1

5

15 + а

0


0 = – 3 (– 15 + а) + b

0 = 45 – 3а + b

b = 3а – 45

х3 + 8х2 + ах + b = (х + 3) (х2 + 5х + (а – 15))

Уравнение х2 + 5х + (а – 15) = 0 должно иметь два корня. Это выполняется только в том случае, когда D > 0

а = 1; b = 5; с = (а – 15),

D = b2 – 4ac = 25 – 4 (a – 15) = 25 + 60 – 4a > 0,

85 – 4a > 0;

4a < 85;

a < 21 hello_html_5657f004.gif

Наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение

f(х) = 0 имеет три корня, а = 21

Ответ: 21.


б) f(x) = x3 – 2x2 + ax + b, x0 = – 1

Так как один из корней х0= – 1, то по схеме Горнера имеем


1

2

a

b

1

1

3

3 + а

0


x3 – 2x2 + ax + b = (x + 1) (x2– 3x + (3 + a))

Уравнение x2 – 3x + (3 + a) = 0 должно иметь два корня. Это выполняется только в том случае, когда D > 0

a = 1; b = – 3; c = (3 + a),

D = b2 – 4ac = 9 – 4 (3 + a) = 9 – 12 – 4a = – 3 – 4a > 0,

3 – 4a > 0;

4a < 3;

a < – hello_html_m7a6ff640.gif

Наибольшее значение а = – 1

Ответ: – 1


в) f(x) = x3 + 11x2 + ax + b, x0 = – 4

Так как один из корней х0 = – 4, то по схеме Горнера имеем

x3 + 11x2 + ax + b = (х + 4) (х2 + 7х + (а – 28))

f(x) = 0, если х = – 4 или х2 + 7х + (а – 28) = 0

Уравнение имеет два корня, если D > 0

D = b2 – 4ac = 49 – 4 (a – 28) = 49 + 112 – 4a = 161 – 4a >0,

161 – 4a > 0;

4a < – 161;

a < 40 hello_html_5657f004.gif

Уравнение имеет три корня при наибольшем целом значении а = 40

Ответ: а = 40


г) f(x) = x3 – 11x2 + ax + b, x0 = 4

Так как один из корней х0 = 4, то по схеме Горнера имеем


1

11

a

b

4

1

7

28 + а

0


x3 – 11x2 + ax + b = (x – 4) ( x2 – 7x + (a – 28))

f(x) = 0, если х = 4 или x2 – 7x + (a – 28) = 0

Второе уравнение имеет два корня, если D > 0, то есть

D = b2 – 4ac = 49 – 4 (a – 28) = 49 + 112 – 4a = 161 – 4a >0,

161 – 4a > 0;

4a < – 161;

a < 40 hello_html_5657f004.gif

Уравнение имеет три корня при наибольшем целом значении а = 40

Ответ: а = 40


д) f(x) = x3 – 13x2 + ax + b, x0 = 4

Так как один из корней х0 = 4, то по схеме Горнера имеем



1

13

a

b

4

1

9

36 + а

0


x3 – 13x2 + ax + b = (x – 4) ( x29x + (a – 36))

f(x) = 0, если х = 4 или x2 – 9x + (a – 36) = 0

Второе уравнение имеет два корня, если D > 0, то есть

D = b2 – 4ac = 81 – 4 (a – 36) = 81 + 144 – 4a = 225 – 4a >0,

225 – 4a >0;

4a < – 225;

a < 56 hello_html_5657f004.gif

Уравнение f(x) = 0 имеет три корня при наибольшем значении а = 56

Ответ: а = 56


е) f(x) = x3 + 13x2 + ax + b, x0 = – 5

Так как один из корней x0 = – 5, то по схеме Горнера имеем



1

13

a

b

5

1

8

40 + а

0


x3 + 13x2 + ax + b = (x + 5) ( x2 + 8x + (a – 40))

f(x) = 0, если х = – 5 или x2 + 8x + (a – 40) = 0

Уравнение имеет два корня, если D > 0

D = b2 – 4ac = 64 – 4 (a – 40) = 64 + 160 – 4a = 224 – 4a >0,

224 – 4a >0;

a < 56

Уравнение f(x) имеет три корня при наибольшем значении а = 55

Ответ: а = 55


ж) f(x) = x3 + 19x2 + ax + b, x0 = – 6

Так как один из корней – 6, то по схеме Горнера имеем



1

19

a

b

6

1

13

а – 78

0


x3 + 19x2 + ax + b = (x + 6) ( x2 + 13x + (a – 78)) = 0

f(x) = 0, если х = – 6 или x2 + 13x + (a – 78) = 0

Второе уравнение имеет два корня, если D > 0

D = b2 – 4ac = 169 – 4 (a – 78) = 169 + 312 – 4a = 481 – 4a >0,

481 – 4a >0;

4a < – 481;

a < 120 hello_html_5657f004.gif

Наибольшее целое значение а, при котором уравнение f(x) = 0 имеет три корня, 120.

Ответ: 120


з) f(x) = x3 + 22x2 + ax + b, x0 = – 7

Так как один из корней x0 = – 6, то по схеме Горнера имеем



1

22

a

b

7

1

15

а – 105

0


x3 + 22x2 + ax + b = (x + 7) ( x2 + 15x + (a – 105)) = 0

f(x) = 0, если х = – 7 или x2 + 15x + (a – 105) = 0

Второе уравнение имеет два корня, если D > 0

D = b2 – 4ac = 225 – 4 (a – 105) = 225 + 420 – 4a = 645 – 4a >0,

645 – 4a >0;

4a < – 645;

a < 161 hello_html_5657f004.gif

Уравнение имеет три корня при наибольшем целом значении а = 161.

Ответ: 161



13


Краткое описание документа:

Содержание текстов Единого государственного экзамена показало, что материал учебника не достаточен для успешной сдачи экзамена. Знаний, полученных на школьных уроках, хватает только для решения примеров из группы «В».

На факультативных занятиях необходимо расширить круг имеющихся знаний за счет решения заданий повышенной сложности группы «С».

Данная работа освещает часть вопросов, рассматриваемых на дополнительных занятиях.

 Целесообразно ввести схему Горнера после изучения темы «Деление многочлена на многочлен». Этот материал позволяет решать уравнения высших порядков не способом группировки многочленов, а более рациональным путем, экономящим время.

Общая информация

Номер материала: 119658

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»