Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение задач геометрии с использованием свойств площадей
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Решение задач геометрии с использованием свойств площадей

библиотека
материалов

hello_html_7d5143fa.gifhello_html_7d5143fa.gifhello_html_56fd041f.gifhello_html_56fd041f.gifhello_html_mb3b9e9a.gifhello_html_mb3b9e9a.gifhello_html_79d4c514.gifhello_html_79d4c514.gifhello_html_m6f59e0cb.gifhello_html_7215f981.gifhello_html_m6a0c767d.gifhello_html_m150ee825.gifhello_html_m29141c3.gifhello_html_m29141c3.gifhello_html_1664aa7a.gifhello_html_1664aa7a.gifhello_html_m79818cb.gifhello_html_d5991fd.gifhello_html_3ebb566e.gifhello_html_6a8c8784.gifhello_html_6a8c8784.gifhello_html_356b4782.gifhello_html_m7c2e5cf6.gifhello_html_m28034d7e.gifhello_html_m28034d7e.gifhello_html_m2834946.gifhello_html_m2834946.gifhello_html_6d4e7ecf.gifhello_html_6d4e7ecf.gifhello_html_8869339.gifhello_html_8869339.gifhello_html_8b2f3ce.gifhello_html_8b2f3ce.gifhello_html_79c822db.gifhello_html_79c822db.gifhello_html_m37477a1.gifhello_html_m37477a1.gifhello_html_5ffa551f.gifhello_html_5ffa551f.gifhello_html_m1255cae2.gifhello_html_m6ee69e2.gifhello_html_m24c95ca7.gifhello_html_5ffa551f.gifhello_html_5ffa551f.gifhello_html_m37477a1.gifhello_html_m37477a1.gifhello_html_m73488bad.gifhello_html_m73488bad.gifhello_html_633733ce.gifhello_html_633733ce.gifhello_html_2dc1d9d2.gifhello_html_m5c088b8b.gifhello_html_42378e2b.gifhello_html_m3267fe13.gifhello_html_m3267fe13.gifhello_html_1a0826c.gifhello_html_m5f50b1a9.gifhello_html_m4ca96a11.gifhello_html_m37477a1.gifhello_html_m37477a1.gifhello_html_m37477a1.gifhello_html_m37477a1.gifhello_html_m685dba0.gifhello_html_m256004ee.gifhello_html_m256004ee.gifhello_html_2e5060cc.gifhello_html_m261614f9.gifhello_html_6aede7a2.gifhello_html_4518e52a.gifhello_html_m59ce8c14.gifhello_html_577c3673.gifhello_html_m5a67346b.gifhello_html_7f1d94b3.gifhello_html_73ea59fd.gifhello_html_m2e998d7d.gifhello_html_m3ae31d6f.gifhello_html_7d08e190.gifhello_html_2c91f88c.gifhello_html_m797e16ad.gifhello_html_40cace98.gifhello_html_m138d1f20.gifРешение задач геометрии с использованием свойств площадей.

Работа учителя математики

МОУ СОШ №46

Бетанова Дантеса Магометовича

  • В приведенных разработках рассматривается использование наряду с традиционной теоретической информацией учебников геометрии некоторое ее расширение и актуализация ряда утверждении, вытекающих изсвойств площади.

  • Так как основной фигурой при решении задач оказывается треугольник, то полезно в актив возможностей учащихся ввести следующие утверждения.

Ряд полезных утверждении

  • Утверждение №1

Пусть дан отрезок АВ Геометрическое место точек М таких, что площадь треугольника АВМ равна заданной величине S, естьдве прямые, параллельные отрезку АВ и находящихся от прямой АВ на расстоянии h=2S/AB

  • Утверждение №2

Если треугольники имеют равные высоты, то отношение их площадей равно отношению основании.

Утверждение №3

  • Если треугольники имеют равные основания, то отношение их площадей равно отношению их высот.

Утверждение №4

  • Если два треугольника имеют по одному равному углу, то отношение их площадей равно отношению произведении соответствующих сторон, заключающих эти стороны.

Утверждение №5

  • Если на сторонах треугольника отложить по одной точке, циклически

( то есть обходом по сторонам в одном направлении) делящих стороны треугольника в одном и том же отношении, то отрезки, попарно соединяющие эти три точки, отсекают от данного треугольника три равновеликих треугольника.



  • Пополнение формул площадей треугольника

  • hello_html_7e653f5d.gifПриведем ряд формул площади треугольника, знание которых полезно не только на элективном курсе, но и самому учителю. В этом ряду , конечно, видим и знакомые из наших учебников формулы

hello_html_2319f83c.gifhello_html_1d866a84.gifhello_html_6518f7f4.gifhello_html_m62a14e8e.gif











hello_html_2a399d0b.gif

hello_html_7f42dff8.gif





hello_html_474c2c4.gif



hello_html_m2f61e6d8.gifhello_html_m513a4927.gifhello_html_47a65d1d.gifhello_html_7677ac17.gif









Рассмотрим вывод восьми незнакомых в школьном курсе формул.
Формула №5

Для вывода рассмотрим рисунок 1.
Из рисунка видно, что

hello_html_4631f3e0.gif











7 Для вывода формулы (7) используем формулу (5) трижды



hello_html_m305f4e2b.gifhello_html_m7e877eb2.gif

hello_html_2ff4fba6.gif

Подставим эти выражения в формулу Герона

hello_html_m25b49441.gif

hello_html_30da6828.gif

hello_html_5bdd6f47.gifhello_html_615c8ccb.gifhello_html_m25e7bdcd.gif







8 По рисунку 1 нетрудно установить , что AD=p. Тогда

hello_html_27ced96c.gifПодставив это выр-е в формулу (5) получим

hello_html_7407ed0f.gif



hello_html_680d930b.gifhello_html_11cb3f57.gifПодставив





hello_html_38f7fc32.gif

hello_html_1c9451c.gif В формулу (7), имеем



hello_html_m1c2ea7c5.gif11 Для вывода формулы 11используем теорему синусов



Подставим эти значения синусов половинных углов в выражение

hello_html_4a0f0520.gifhello_html_ma98748.gif



hello_html_3d51b453.gif





hello_html_29feaf88.gif По обобщенной теореме синусов







hello_html_35e0dc81.gifПодставим

hello_html_20301d9a.gif





hello_html_5f77c7f0.gifПо формуле





hello_html_m517ac4a2.gifПолучим

hello_html_m2056feb7.gif



hello_html_m7d1f8e37.gif



hello_html_13b36c18.gif

Итак





Теоремы Менелая и Чевы

При док-ве этих теорем используется лемма

  • Лемма. Дан произвольный треуг-к АВС, точка В



лежит на стороне отрезка ВВ

  • hello_html_58b6f8cb.gif

hello_html_m224c1c55.gif Доказательство
Из свойств площадей следует, что

hello_html_2416cec5.gif





hello_html_2aad4161.gifИз этих



hello_html_64d3058f.gif



Что и требовалось доказать



Замечание . Утверждение леммы
верно и в том случае, если Е будет на прямой ВВ‚ в любой ее точке.

Теорема Чевы

hello_html_ma288d88.gifПусть точка

hello_html_m3dae872b.gifлежит на стороне ВС треугольника АВС, точка

- на стороне АС, точка на стороне АВ.

hello_html_7e193c43.gifОтрезки

( называемые также Чевианами) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, если







Доказательство необходимости.

hello_html_m8a04659.gifПусть отрезки

hello_html_61f4129c.gifhello_html_m36052d5.gifhello_html_m731f657.gifпересекаются в некоторой точке Е, тогда согласно Лемме имеем

hello_html_52a5f9bb.gif







Что и требовалось доказать.

Доказательство достаточности

hello_html_m4b99891d.gifПусть точки таковы , что









hello_html_2b85e382.gifДокажем, что тогда ,и

пересекаются в одной точке.

Допустим

hello_html_39a95c42.gifпротивное, что отрезки

hello_html_73536a58.gifпересекаются в точке Е , а не

проходит через точку Е .

hello_html_6807b38d.gifhello_html_23463c05.gifТогда проведем через точку Е отрезок , где

лежит на стороне АВ . По необходимому признаку имеем:







hello_html_m1057134c.gifhello_html_m6d4c1325.gifИз равенств (1) и (2) видно:



hello_html_m1c985948.gifhello_html_24e88b58.gif

Откуда



hello_html_1f1ebae7.gifЗначит отрезок проходит через ту же точку Е.

Достаточный признак доказан.

hello_html_277b052b.gifТеорема Менелая.

Пусть точка лежит

hello_html_4d2c9e0f.gif- на стороне ВС , а точка на продолжении

hello_html_m79518cde.gifhello_html_m550f4cc.gifточки , и лежат на одной прямой тогда и

только тогда, когда выполняется условие:





Доказательство необходимости

hello_html_a145666.gifПусть три точки , лежат

на одной прямой. Докажем что

выполняется равенство:hello_html_m3aa7e87c.gif









hello_html_m19f2a76e.gifhello_html_m2f591e2e.gifДля этого проведем отрезки и и введем

hello_html_4bca0248.gifобозначение площадей так.как это показано на рисунке 5

Тогда по лемме можем написать следующее:

Кроме этого, с учетом ранее приведенного утверждения

hello_html_1be7fb30.gifhello_html_7ff12f97.gifоб отношении площадей треугольников с равными

высотами, можем написать две пропорции:

hello_html_m73f72ab1.gifИз записанных трех пропорций следует:



Необходимость доказана.

hello_html_m2eb2c4ff.gifДоказательство достаточности

Пусть известно, что

hello_html_3109ca5e.gifhello_html_m3b525e83.gifДокажем, что в таком случае три точки лежат на одной прямой.

Допустим противное, что

hello_html_m1a9d4020.gifЛежащая на прямой АВ и удовлетворяющая равенству(1), не лежит на прямой



hello_html_2522c15d.gifhello_html_7734b1b9.gifПредположим , что прямая пересекает продолжение стороны АВ в некоторой другой точке

hello_html_7f4c35da.gifТогда по необходимому признаку для трех точек

hello_html_m76d17467.gifвыполняется равенство

hello_html_59e79162.gifИз равенств 1 и 2 получаем

hello_html_57e2853.gif



hello_html_m2c04ee2f.gif,

откуда: , то есть С2 совпадает с С1 и достаточный признак

доказан.

Теорема Дезарга.

Используя теорему Менелая, можно показать один из способов доказательства теоремы Дезарга, одной из основных теорем проективной геометрии.

(Док-ва теоремы Чевы, Менелая и Дезарга я осмеливаюсь выставлять потому, что проделал их, не используя никакого источника, кроме самих формулировок).



Прямая теорема.

Если два треугольника расположены так, что прямые, соединяющие соответственно вершины треугольников, проходят через одну точку, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой





Дано, что треугольники АВС и А1В1С1 с попарно непараллельными сторонами расположены так, что прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Точки М, К, Р – точки пересечения прямых АВ и А1В1, ВС и В1С1, АС и А1С1 соответственно. Докажем, что точки М, К и Р лежат на одной прямой.

Доказательство:

По условию М=(АВ)U1В1) и К=(ВС)U1С1).

Пусть Р1 есть точка пересечения прямых А1С1 и МК, а точка Р2 есть точка пересечения прямых АС и МК. Докажем, что точки Р1и Р2 совпадают.

По теореме Менелая для точек P1, A1, C1 и треугольника МВ1К имеем:



Аналогично для точек A, C, и треугольника MBKполучается:



С другой стороны для треугольников BMи BKс соответствующими секущими OAи OCимеем:





Из равенств (3) и (4) получается следующее равенство произведений



Из равенства (5) выразим :



Подставим этот результат в равенство (1).





Сравнив полученное с равенством (2), имеем:

. Значит .

А это означает, что три точки M,KиPлежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Верна и обратная теорема:

Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трех пар соответственных сторон треугольника, лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через пары соответственных вершин треугольников, пересекаются в одной точке.

Док-во:

Используем тот же чертеж. Так как три точкиP,Kи Mлежат на одной прямой, то из треугольников MKи MBK, с секущими P и PAсоответственно, по теореме Менелая имеем:






Сравнивая равенства (1) и (2) получаем:



Положим, что прямыеAи Bпересекаются в точке , а прямые и - в точке . По теореме Менелая из треугольников , с секущими соответственно, имеем:





Выразим дробь из равенства (3).



Подставим полученное в (4).





Сравнив равенство (6) с равенством (5); получаем, что Отсюда имеем:









А так как подразумеваются на одной прямой с и по одну сторону от этих точек, то . Получим, что пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.















Рассмотрим решение ряда задач с использованием приведенных фактов.









Использовано:

  • 1. Задачи, предлагаемые на заочном отдел МММФ составитель

Е.Ю. Иванова

  • 2. Материалы ФИПИ к ЕГЭ



Краткое описание документа:

Решение задач геометрии с использованием свойств площадей

¨В приведенных разработках рассматривается  использование наряду с традиционной теоретической информацией учебников геометрии некоторое ее расширение и актуализация ряда утверждении, вытекающих изсвойств площади.

¨Так как основной фигурой при решении задач оказывается треугольник, то полезно в актив возможностей учащихся ввести следующие утверждения.

Ряд полезных утверждении

¨Утверждение №1

Пусть дан отрезок АВ Геометрическое место точек М таких, что площадь треугольника АВМ равна заданной величине S, естьдве прямые, параллельные отрезку АВ и находящихся от прямой АВ на расстоянии h=2S/AB

¨Утверждение №2

Если треугольники имеют равные высоты, то отношение их площадей равно отношению основании.

Утверждение №3

¨Если треугольники имеют равные основания, то отношение их площадей равно отношению их высот.

Утверждение №4

¨Если два треугольника имеют по одному равному углу, то отношение их площадей равно отношению произведении соответствующих сторон, заключающих эти стороны.

Утверждение №5

¨Если на сторонах треугольника отложить по одной точке, циклически

 ( то есть обходом по сторонам в одном направлении) делящих стороны треугольника в одном и том же отношении, то отрезки, попарно соединяющие эти три точки, отсекают от данного треугольника три равновеликих треугольника.

 

Общая информация

Номер материала: 312637

Похожие материалы