Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение задач на сплавы, смеси и растворы
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Решение задач на сплавы, смеси и растворы

библиотека
материалов

14


hello_html_2bcb077e.gifhello_html_m3de8704e.gifhello_html_m2ff6b22c.gifhello_html_3b2ee5.gifhello_html_6d4804bd.gifhello_html_7115e965.gifhello_html_m2ff6b22c.gifhello_html_2bcb077e.gifhello_html_m3de8704e.gifhello_html_3b2ee5.gifhello_html_6d4804bd.gifhello_html_7115e965.gifhello_html_67e60529.gifhello_html_m35553e17.gifhello_html_mf3280e0.gifhello_html_mf3280e0.gifhello_html_20e37e0c.gifhello_html_m35553e17.gifhello_html_21cca576.gifhello_html_m4e414fcc.gifhello_html_m57adc830.gifhello_html_m2b4d6990.gifhello_html_6d4804bd.gifhello_html_7115e965.gifhello_html_m775c1851.gifhello_html_m241cdd53.gifhello_html_m392d2f92.gifhello_html_4f0a6c3d.gifhello_html_m599ded1d.gifhello_html_m72f3bc2e.gifhello_html_4196a9ab.gifhello_html_mc29db43.gifhello_html_m2506bd39.gifРешение задач на сплавы, смеси и растворы.

Гасинов Батраз

РСО – Алания, г. Владикавказ

МОУ СОШ № 46 имени И.М. Дзусова, 7 класс

Рассмотрим условия разнообразных задач на сплавы, смеси и растворы. Конечно, на первый взгляд, эти условия сильно отличаются друг от друга.

1 Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был на 25% выше, чем во втором. Когда сплавили их вместе, то получили сплав, содержащий 30% серебра. Определить веса сплавов, если известно, что серебра в первом сплаве было 4 кг, а во втором 8 кг.

2 Имеется два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, а в другим – 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золото и серебро относились бы как 1:4?

3 Проценты содержания (по весу) спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2:3:4 , то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если же смешать их в весовом отношении 3:2:1, то получится раствор, содержащий 32%. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?

4 Имеются три сплава. Первый сплав содержит 10% золота, 40% серебра и 50% меди, второй – 20% серебра и 80% меди, третий – 20% золота, 30% серебра и 50% меди. Сплавив их, получили сплав, содержащий 5% золота. Какое наибольшее и наименьшее процентное содержание серебра может быть в этом сплаве?

5 К раствору, содержащему 30г соли, добавили 400г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10%. Найти первоначальную концентрацию соли в растворе.

6 Смешали 30% и 5% растворы соли с 500г воды и получили 1000г 10% раствора соли. Найти массы двух растворов соли, слитых в общий раствор.

Если решать такие задачи, используя каждый раз смысл процентного содержания компонента в сплаве, в смеси или в растворе, то решение получается достаточно трудоёмким.

Решение задач данного типа получается намного проще, если установить некоторые общие подходы в этих решениях.

А для этого рассмотрим следующие две задачи.

Задача №1.

Смешали m1 граммов a1% раствора кислоты c m2 граммами a2% раствора той же кислоты и получили с % раствор. Установите, что изменения концентраций в вступающих долях обратно пропорциональны массам соответствующих долей.

Доказательство.

Пусть a1.> a2 , тогда a1.>с > a2 .

Значит, нужно доказать равенство hello_html_m73b55832.gif=hello_html_38f3b0e5.gif.

Для этого используем смысл концентрации.

Найдем массу концентрированной кислоты в каждое из смешиваемых растворов.

a1% от m1 г,

hello_html_809df40.gifот m1 г; hello_html_809df40.gifm1 г – содержится в первом растворе.

a2% от m2 г,

hello_html_m450e4f0d.gifот m2 г; hello_html_m1dc652bc.gifm2 г – содержится во втором растворе.

Тогда в смешанном растворе масса концентрированной кислоты будет:

hello_html_46475d17.gif(г).

Так как m1+m2 есть масса смеси, то c = hello_html_m570392b7.gif%=hello_html_26effecd.gif%.

найдем изменения концентраций в вступающих долях.

a1- c=hello_html_1df54f9.gif

hello_html_m7db9aa99.gif.

Найдем теперь отношение полученных изменений концентраций.

hello_html_m1e74afff.gif, то есть hello_html_m13a5f5ab.gifhello_html_25c5e6f1.gif. Что и требовалось доказать.

Для использования этой пропорции к решению задач удобна следующая схема:

а1 % (m1 г) (а1-с) %

с %

а2 % (m2 г ) (с-а2) % ,

заполнение, которой облегчает ход решения.

Перейдем к более сложным сплавам.

Задача № 2. Имеются три сплава меди и цинка. Процент содержания меди в первом сплаве с массой m1 кг равен а1 %, во втором сплаве с массой m2 кг содержится а2 % меди, в третьем массой m3 кг - а3 % меди. Найдите процентное содержание меди в сплаве, полученном из этих трех сплавов.

Решение. Представим, что вначале сплавили два первых сплава. Условимся обозначать процентное содержание сплава через с(n), если сплавлены n сплавов. Значит, сейчас ищем с(2). По решению предыдущей задачи имеем:

hello_html_m64db1354.gif(%).

Выходит, что процентное содержание сплава из двух равно hello_html_m64db1354.gif, а масса его равна m1+m2.

Сплавим с этим сплавом из двух третий сплав, получим:

hello_html_93839b8.gif;

hello_html_38f293d3.gif.

Замечание.

Методом математической индукции можно доказать, что при смешивании n сплавов определенного вещества результативное процентное содержание имеет вид hello_html_2bde9514.gif (1).

Доказательство.

Шаг 1. Равенство (1) верно при n =2, то есть hello_html_9b8f6a8.gif.

Шаг 2. Допустим, что (1) верно при n= k, то есть hello_html_m4f0a0eac.gif (2).

Шаг 3. Докажем, что из справедливости равенства (1) при n=k вытекает его справедливость при n=k+1.

Пусть сплав массой m1+m2+…+mk и содержащий hello_html_m70c54950.gif % некоторого вещества добавили mk+1 кг сплава того же вещества с процентным содержанием ak+1.

Тогда имеем:

hello_html_m498e2128.gif. А это означает, что формула (1) верна при любом n.

В схеме

а1 % (m1 г) (а1-с) %

с %

а2 % (m2 г ) (с-а2) % , решения задач двух смесей, сплавов или растворов, а также и в формуле hello_html_3079ad53.gif процентного содержания вещества при более сложных смесях числа процентов an можно заменить дробями dn, массы mn – заменять объемами vn или одновременно производить замены и тех и других величин:

d1 (v1) d1-d

d

d2 (v2) d-d2 , то есть hello_html_278b8743.gif.

hello_html_m57bee390.gif, смотря на условия конкретных задач.

Решение №1.

С учетом равенства a1= a2+25 подготовим данные условия к заполнению таблицы

а1 % (m1 г) (а1-с) %

с %

а2 % (m2 г ) (с-а2) %

m1 кг – 100%;

m2 кг- (а2+25)%;

hello_html_mc79ee87.gif;

m2 кг – 100%

8 кг- а2%

hello_html_34f4f2fe.gif

а1-с=(а2+25)-30=(а2-5)%

с-а2=30-а2

2+25)%(hello_html_696e32eb.gif)кг-(а2-5)%

30%

а2%(hello_html_5585d954.gif)кг-(30-а2)%

hello_html_32815281.gif;

hello_html_26a7fa37.gif;

hello_html_34d289f2.gif;

hello_html_4cdcfced.gif;

hello_html_m7407298d.gif;

hello_html_3d518c72.gif

а2=-20;25.

Из этих значений подходит только а2=25%.

При этом hello_html_m425fd842.gif(кг), и hello_html_5094d2fc.gif(кг).

Ответ:m1=8кг; m2=32кг.

Решение № 2.

Заменим запись процентов в таблице просто отношением. Тогда в первом сплаве содержание золота будет hello_html_m743165d0.gif, во втором -hello_html_m667f4399.gif, а в новом -hello_html_5b84c723.gif.

Пусть первый сплав имеет массу m кг, тогда (15-m)кг есть масса второго сплава.

При этом имеем таблицу

hello_html_m743165d0.gif(m кг) hello_html_5b84c723.gif- hello_html_m743165d0.gif=hello_html_m743165d0.gif

hello_html_5b84c723.gif

hello_html_m667f4399.gif(15-m кг) hello_html_m667f4399.gif- hello_html_5b84c723.gif=hello_html_5b84c723.gif

Откуда hello_html_m28c8b56.gif;

hello_html_3b90a7f7.gif; m=30-2m;

3m=30;

m=10(кг)- нужно взять из первого сплава

15-10=5 (кг)- нужно взять из второго сплава.

Ответ: 10 кг; 5 кг.

Решения № 3,5,6 представлены в прилагаемой презентации.

Решение № 4. (Гиперссылка к соответствующему условию).

Пусть m1, m2, m3 – массы сплавов, а с (3)зол и с(3)с – процентное содержание золота и серебра в окончательном сплаве.

Тогда по выведенной формуле имеем систему:

hello_html_md72986a.gif

hello_html_m21c419e8.gif.

Из первого равенства выразим m2.

10m1+20m3=5m1+5m2+5m3 ;

5m2=5m1+15 m3 ;

m2 = m1+3m3.

Подставим найденное выражение во второе уравнение системы.

hello_html_462ac6b9.gif;

hello_html_m2d8515bd.gif.

Выделим из полученной дроби целую часть.

hello_html_m61ca398a.gif.

Поделим числитель и знаменатель дроби hello_html_m22796b30.gif на m3.

hello_html_m13a5f5ab.gifhello_html_3258c99b.gif.

Так как hello_html_8a04615.gif, то hello_html_9907129.gif.

Значит, 30-7,5=22,5% - наименьшее значение hello_html_36bf7463.gif;

30-0=30% - наибольшее значение hello_html_36bf7463.gif.

Ответ: 22,5%; 30%.





















Использованные источники

  1. Задачи, поставленные учителем математики Бетановым Д.М.

  2. «Сборник задач по математике» для подготовленных курсов,

Р.В. Сагитова, В.Г. Шершнева



Краткое описание документа:

Решение задач на сплавы, смеси и растворы

Рассмотрим  условия разнообразных задач на сплавы, смеси и растворы. Конечно, на первый взгляд, эти условия сильно отличаются друг от друга.

№1     Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был на 25% выше, чем во втором. Когда сплавили их вместе, то получили сплав, содержащий 30% серебра. Определить веса сплавов, если известно, что серебра в первом сплаве было 4 кг, а во втором 8 кг.

№2     Имеется два сплава золота и серебра. В  одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, а в другим – 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15  кг нового сплава, в котором  золото и серебро относились бы как 1:4?

№3     Проценты содержания (по весу) спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2:3:4 , то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если же смешать их в весовом отношении 3:2:1, то получится раствор, содержащий 32%. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?

Автор
Дата добавления 17.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1011
Номер материала 312688
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх