Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Тесты / Решения и пояснения к материалу "Подборка заданий ЕГЭ по теме "Пирамида""
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Решения и пояснения к материалу "Подборка заданий ЕГЭ по теме "Пирамида""

библиотека
материалов

Задачи ЕГЭ по теме «Пирамида»

B 13 № 901.  В правильной треугольной пирамиде http://reshuege.ru/formula/a5/a50b32b001d7b7c5bba7d080e4ad8fc7.png медианы основания http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png пересекаются в точке http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png. Площадь треугольника http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка http://reshuege.ru/formula/17/17bc10091293fdc562a6db69940ee924.png.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=565

Пояснение.

Отрезок http://reshuege.ru/formula/17/17bc10091293fdc562a6db69940ee924.png высота треугольной пирамиды http://reshuege.ru/formula/a5/a50b32b001d7b7c5bba7d080e4ad8fc7.png, ее объем выражается формулой

 

http://reshuege.ru/formula/e2/e275345ea9b2808f0d25e0814b7d6512.png

Таким образом,

 

http://reshuege.ru/formula/e6/e6a671e303e6460f798fe2aa2d71d0c6.png

Ответ: 9.


B 13 № 911.  В правильной четырехугольной пирамиде http://reshuege.ru/formula/47/47a5be4b665b453f634b35cb50a9c6ef.png точка http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png – центр основания, http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png – вершина, http://reshuege.ru/formula/90/90128f39f47dfc2bf16308129a05bef5.pnghttp://reshuege.ru/formula/49/49308f375ab6a171d68406fc7ceb2201.png. Найдите боковое ребро http://reshuege.ru/formula/3d/3dd6b9265ff18f31dc30df59304b0ca7.png

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=575

Пояснение.

В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно http://reshuege.ru/formula/98/98d0360b392de5f1d53acdd6489b6e88.png является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора

 

http://reshuege.ru/formula/c2/c2ba2352e96a51ab233a60b83fa04708.png

Ответ: 17.




B 13 № 920.  В правильной треугольной пирамиде http://reshuege.ru/formula/a5/a50b32b001d7b7c5bba7d080e4ad8fc7.png точка http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png – середина ребра http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.pnghttp://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png – вершина. Известно, что http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png=3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка http://reshuege.ru/formula/4e/4e0d4f6ce30646f5a3f3e2a7422c1c5a.png.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=627

Пояснение.

Найдем площадь грани http://reshuege.ru/formula/7f/7f02460d2ad12b96acd1384f0a821562.png:

 

http://reshuege.ru/formula/d1/d1971d2397034ad70a2614a411aba751.png

Отрезок http://reshuege.ru/formula/4e/4e0d4f6ce30646f5a3f3e2a7422c1c5a.png является медианой правильного треугольника http://reshuege.ru/formula/7f/7f02460d2ad12b96acd1384f0a821562.png, а значит, его высотой. Тогда

 

http://reshuege.ru/formula/da/da47293c95e5e9cd8050067eed2e5435.png

Ответ: 10.


B 13 № 27074.  Объем параллелепипеда http://reshuege.ru/formula/1f/1f98fd4abe2a7ebc84481105039f3a71.png равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды http://reshuege.ru/formula/1b/1b07189cd22709dd0772d42e7af9452f.png.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=2844

Пояснение.

Объем параллелепипеда равен http://reshuege.ru/formula/b8/b87c138964cee630fa6b15a51bee8ef3.png , где http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png – площадь основания, http://reshuege.ru/formula/25/2510c39011c5be704182423e3a695e91.png – высота. Объем пирамиды равен

 

http://reshuege.ru/formula/04/04c7149a0b83a83dc3a4322eecabbc48.png,

где http://reshuege.ru/formula/13/1346bf53b2b94169403472f504b48e15.png – площадь основания пирамиды, по построению равная половине площади основания параллелепипеда. Тогда объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

 

Ответ: 1,5.

B 13 № 27085.  Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=791

Пояснение.

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому если все ребра увеличить в 2 раза, объём увеличится в 8 раз.

 

Это же следует из формулы для объёма правильного тетраэдра http://reshuege.ru/formula/ff/ff7a002b073dae04af21024b38160cae.png, где http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png — длина его ребра.

 

Ответ: 8.


B 13 № 27089.  Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?


Пояснение.

Объем пирамиды равен

 

http://reshuege.ru/formula/ed/ed99feac685faf1877477f6ab12f1cd1.png,

где  http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png – площадь основания, а  http://reshuege.ru/formula/25/2510c39011c5be704182423e3a695e91.png – высота пирамиды. При увеличении высоты в 4 раза объем пирамиды также увеличится в 4 раза.

Ответ: 4.


B 13 № 27113.  Объем треугольной пирамиды http://reshuege.ru/formula/a5/a50b32b001d7b7c5bba7d080e4ad8fc7.png, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды http://reshuege.ru/formula/4e/4e4bfc676db9a62f3d0cc79703a4cd78.png, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=831

Пояснение.

Данные пирамиды имеют общую высоту, поэтому их объемы соотносятся как площади их оснований. Площадь правильного шестиугольника со стороной http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png равна http://reshuege.ru/formula/0f/0f831d62301c9a79cfa177a87c7d47d3.png Площадь же равнобедренного треугольника http://reshuege.ru/formula/79/79661ff25e39af70fc48d7785f587e85.png с боковой стороной http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png и углах при основании http://reshuege.ru/formula/92/920bb6f12a119bc7b83de6e1454ab1d7.png равна http://reshuege.ru/formula/78/7815b554afed3d765d81c445dc206c89.png Получаем, что площадь шестиугольника больше площади треугольника  http://reshuege.ru/formula/79/79661ff25e39af70fc48d7785f587e85.png  в  http://reshuege.ru/formula/07/07c1f64635fe5223e9ae99adcb26b552.png раз и равна 6.

 

Ответ: 6.


B 13 № 27114.  Объем правильной четырехугольной пирамиды http://reshuege.ru/formula/47/47a5be4b665b453f634b35cb50a9c6ef.png равен 12. Точка http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png – середина ребра http://reshuege.ru/formula/a0/a06b33d1ea28e90733617ec889d4e76e.png. Найдите объем треугольной пирамиды http://reshuege.ru/formula/2b/2b720aca10013734090cdecb9ae6a40b.png.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=832

Пояснение.

Площадь основания пирамиды http://reshuege.ru/formula/2b/2b720aca10013734090cdecb9ae6a40b.png по условию в 2 раза меньше площади основания пирамиды http://reshuege.ru/formula/47/47a5be4b665b453f634b35cb50a9c6ef.png. Также высота данной треугольной пирамиды в 2 раза меньше высоты пирамиды http://reshuege.ru/formula/47/47a5be4b665b453f634b35cb50a9c6ef.png (т.к. точка http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png – середина ребра http://reshuege.ru/formula/a0/a06b33d1ea28e90733617ec889d4e76e.png). Поскольку объем пирамиды равен http://reshuege.ru/formula/ed/ed99feac685faf1877477f6ab12f1cd1.png, то объем данной треугольной пирамиды в 4 раза меньше объема пирамиды http://reshuege.ru/formula/47/47a5be4b665b453f634b35cb50a9c6ef.png и равен 3.

 

Ответ: 3.



B 13 № 27115.  От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=6967

Пояснение.

Объем пирамиды http://reshuege.ru/formula/ed/ed99feac685faf1877477f6ab12f1cd1.png. Площадь основания отсеченной части меньше в 4 раза (так как высота и сторона треугольника в основании меньше исходных в 2 раза), поэтому и объем оставшейся части меньше в 4 раза. Тем самым, он равен 3.

 

Ответ: 3.


B 13 № 27131.  Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=846


Пояснение.

Площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей его граней, которые равны http://reshuege.ru/formula/0f/0f345f7a9de28c8bc270e087a8e6de64.png. Поэтому при увеличении ребер вдвое, площадь поверхности увеличится в 4 раза.

 

Ответ: 4.


B 13 № 27157.  Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=861


Пояснение.

При увеличении ребер в 3 раза площади треугольников, образующих грани октаэдра, увеличатся в 9 раз, поэтому суммарная площадь поверхности также увеличится в 9 раз.

 

Ответ: 9.


B 13 № 27172.  Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Пояснение.

Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому, если все ребра увеличены в 2 раза, площадь поверхности увеличится в 4 раза.


 


B 13 № 27175.  Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=879


Пояснение.

В правильном тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Каждая сторона сечения является средней линией соответствующей грани, которая, как известно, в 2 раза меньше параллельной ей стороны и равна поэтому 0,5. Значит сечением является квадрат со стороной 0,5. Тогда площадь сечения http://reshuege.ru/formula/ae/ae461468695934612bb2838d79624b25.png.

 

Ответ: 0,25.


B 13 № 27182.  Объем параллелепипеда http://reshuege.ru/formula/3d/3dcbf64aebe65200503211a8fc5a3518.pngравен 12. Найдите объем треугольной пирамиды http://reshuege.ru/formula/39/394f57ae405c9b35d2f2bfc39236818d.png.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=885


Пояснение.

Объем параллелепипеда равен http://reshuege.ru/formula/23/239ce5c86673493f4796e40b87d2a8db.png а объем пирамиды равен http://reshuege.ru/formula/27/2717d88933fe99bc213931dcee2fd89f.png. Высота пирамиды равна высоте параллелепипеда, а ее основание вдвое меньше, поэтому

 

http://reshuege.ru/formula/2f/2f6831e429e44c74384c122f0422b66c.png

 

Ответ: 2.


B 13 № 27184.  Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=886


Пояснение.

Объем пирамиды равен

 

http://reshuege.ru/formula/d2/d2b83205f72344f0d1ded9402fa3a393.png.Ответ: 2.

 

Примечание.

Куб состоит из 6 таких пирамид, объем каждой из них равен 2.

B 13 № 77154.  Найдите объем параллелепипеда http://reshuege.ru/formula/1f/1f98fd4abe2a7ebc84481105039f3a71.png, если объем треугольной пирамиды http://reshuege.ru/formula/48/487b86fcb531a49e225857d731603a65.png равен 3.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=919


Пояснение.

Объем параллелепипеда равен http://reshuege.ru/formula/b8/b87c138964cee630fa6b15a51bee8ef3.png, где http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png – площадь основания, http://reshuege.ru/formula/25/2510c39011c5be704182423e3a695e91.png – высота. Объем пирамиды равен http://reshuege.ru/formula/04/04c7149a0b83a83dc3a4322eecabbc48.png, где http://reshuege.ru/formula/13/1346bf53b2b94169403472f504b48e15.png – площадь основания пирамиды, равная половине площади основания параллелепипеда. Тогда объем параллелепипеда в 6 раз больше объема пирамиды http://reshuege.ru/formula/13/133ce207f78ef376938a861c4e8fe50a.png.

 

Ответ: 18.



B 13 № 284351. В правильной треугольной пирамиде http://reshuege.ru/formula/a5/a50b32b001d7b7c5bba7d080e4ad8fc7.png http://reshuege.ru/formula/e1/e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png — середина ребра http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.pnghttp://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png — вершина. Известно, чтоhttp://reshuege.ru/formula/59/5985309ccee9b7f6ce883983d55aad5e.png, а http://reshuege.ru/formula/77/77836d74f6d6d449a78f489d8a015b23.png. Найдите площадь боковой поверхности.


Пояснение.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=705Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

 

http://reshuege.ru/formula/a9/a9bc4dc3c20a19da70e33b526275c628.png

 

Ответ:3.


B 13 № 284356. В правильной треугольной пирамиде http://reshuege.ru/formula/a5/a50b32b001d7b7c5bba7d080e4ad8fc7.png медианы основания пересекаются в точке http://reshuege.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png. Объем пирамиды равен http://reshuege.ru/formula/c4/c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.pnghttp://reshuege.ru/formula/44/44a0fd55e9c56ead2ff45a6dc0aa0212.png. Найдите площадь треугольника http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png.

Пояснение.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=11217Основание пирамиды — равносторонний треугольник, поэтому, http://reshuege.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png является центром основания, а http://reshuege.ru/formula/67/674769e3326f8cf937af4282f2815c02.png — высотой пирамиды http://reshuege.ru/formula/a5/a50b32b001d7b7c5bba7d080e4ad8fc7.png. Ее объем вычисляется по формуле http://reshuege.ru/formula/ca/cab38f4d96b3405058cf2bcf1ca2c683.png. Тогда

http://reshuege.ru/formula/dc/dccd11c466e013bf1455a59a92aa324c.png.

Ответ: 3.

Краткое описание документа:

В данном материале приводятся решения и пояснения к материлу "Подборка заданий ЕГЭ по теме "Пирамида". Этот материал поможет учителю сэкономить время при проверке работ учащихся. Также его можно использовать для коррекции знаний учащихся по данной теме как в классе так и при самостоятельном изучении материала. Все задания соответствуют темам, заявленным в спецификации и кодификаторе ЕГЭ - 2015. Отдельные задания данного материала можно использовать и в других классах при изучении таких тем, как, например, теорема Пифагора (8 класс), подобие фигур (9 класс), площади правильных многоугольников (9 класс) и др.

Автор
Дата добавления 14.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Тесты
Просмотров493
Номер материала 298220
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх