Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Решетка нормальных подгрупп группы симметрии квадрата

Решетка нормальных подгрупп группы симметрии квадрата

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

РЕШЕТКА НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП ГРУППЫ СИММЕТРИИ КВАДРАТА

Д. Г. Гмыза, e-mail: gmyza1988@mail.ru.

АННОТАЦИЯ. Известно, что нормальные подгруппы любой группы образует модулярную решетку. В связи с этим в данной заметке построены решетки нормальных подгрупп группы симметрии треугольника и квадрата.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: группа, нормальная подгруппа, модулярная решетка.

Группой называется множество G элементов произвольной природы, на котором задана бинарная операция hello_html_m2969ccc3.gif такая, что выполняются следующие условия:

  1. ассоциативность: hello_html_553d6fc1.gif для любых элементов a, b, c из G;

  2. в G существует такой элемент e, что hello_html_m48ed7611.gif для любого элемента a из G, такой элемент e называется единицей группы G;

  3. для любого элемента a из G существует такой элемент hello_html_314cefa9.gif из G, что hello_html_mbdfaecb.gif, такой элемент hello_html_314cefa9.gif называется обратным к элементу a.

Алгебра (L; , ) называется решеткой, если L непустое множество, а и - бинарные операции на L, которые идемпотентны, коммутативны, ассоциативны и удовлетворяют двум тождествам поглащения.

Связь между группой и решеткой непосредственно видна из следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 1[1,2]. Нормальные подгруппы любой группы G образуют модулярную решетку.

Подгруппа некоторой группы называется нормальной подгруппой, если она переходит в себя при всех внутренних автоморфизмах группы. Другими словами, подгруппа N группы G называется нормальной подгруппой в G, если для любого элемента a из N и любого g из G элемент hello_html_62d4b0f3.gif содержится в N.

Пусть hello_html_7d21afe3.gif обозначают соответственно вращения квадрата на 00, на 1800, на 900 и на 2700 в направлении указанном стрелкой, то есть hello_html_m25daef04.gif, hello_html_6c18cc6e.gif, hello_html_150c25cb.gif, hello_html_27a747fa.gif (рис а).

Можно составить таблицу умножения, где каждая строка, а также каждый столбец соответствует некоторому вращению, переводящему квадрат ABCD в себя. На пересечении строки, соответствующей преобразованию g2, мы будем ставить преобразование, равное hello_html_2db6c2fa.gif. Так, например, в клеткуhello_html_m190a3d0c.gif поставим: hello_html_22f00a0c.gif, то есть hello_html_306b7403.gif.

Кроме вращений, у квадрата имеется 4 симметрии, а именно, отражения относительно осей d, f, g и h. Эти преобразования мы обозначим соответственно: hello_html_d5f4434.gif, hello_html_f6403f6.gif, hello_html_2b97d934.gif, hello_html_4a7ea852.gif (рис б).

Элемент g стоящий на пересечении столбца а и строки h вычисляется так: hello_html_m73511abd.gif (таблица 1). Аналогично была заполнена другая часть таблицы 1.

Непосредственно проверяется, что множество преобразований квадрата hello_html_199dcf55.gif с таблицей 1 образует группу, которая называется группой симметрии квадрата.

Далее, подгруппами в hello_html_1b462bc6.gif являются следующие: подгруппа вращений квадрата hello_html_m10fe9cc6.gif, подгруппа центральных симметрий hello_html_6b4fe7c6.gif, 4 подгруппы отражений относительно осей симметрии: hello_html_29d5c178.gif, hello_html_m4aab9682.gif, hello_html_m5dc2d75b.gif, hello_html_m6862e1d8.gif, и еще 2 подгруппы: hello_html_m2f39a761.gif и hello_html_m2cda53a4.gif, 2 тривиальные подгруппы: hello_html_m5a9fad4b.gif и вся группа hello_html_1b462bc6.gif. Теперь среди этих 10 подгрупп выделим нормальных, для этого воспользуемся теоремой 2.

Если нормальная подгруппа в группе hello_html_1b462bc6.gif содержит элемент b или c, то она содержит всю подгруппу вращения квадрата, то есть получаем нормальную подгруппу hello_html_4f42103.gif.

Имеем hello_html_m765221f8.gif и hello_html_66968cad.gif. Поэтому если один из элементов d, f входит в нормальную подгруппу, то и второй также входит в нормальную подгруппу. Так как hello_html_m3878f2fc.gif, то в этом случае элемент hello_html_m8f522f9.gif также входит в нормальную подгруппу. Получаем нормальную подгруппу hello_html_7e5c1153.gif.

Так как hello_html_m5dea0f51.gif, hello_html_268a3d00.gif и hello_html_19724db8.gif, то так же, как выше, получаем нормальную подгруппу hello_html_m1b79fb6e.gif.

Если же нормальная подгруппа не содержит элементов hello_html_m6b41a3af.gif, то она совпадает с нормальной группой hello_html_m396ad0c8.gif.

Следовательно, в силу теоремы 1 имеет следующую решетку (рис в).


БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1. Г. Гретцер, Общая теория решеток, М, Мир, 1982

  2. Г. Биркгоф, Теория решеток, М, Наука, 1984

  3. В. Н. Алексеев, Теория Абеля в задачах и решениях, М, Наука, 1976

и т.д.


.

e

a

b

c

d

f

e

e

a

b

c

d

f

a

a

b

e

f

c

d

b

b

e

a

d

f

c

c

c

d

f

e

a

b

d

d

f

c

b

e

a

f

f

c

d

a

b

e

Таблица 1

О

А






С

В


а)

hello_html_m76e3b9ae.png

б)













hello_html_m5a9fad4b.gif

hello_html_m6decdf71.gif

hello_html_4c59e589.gif

в)

Рис. 1

.

e

a

b

c

d

f

g

h

e

e

a

b

c

d

f

g

h

a

a

e

c

b

f

d

h

g

b

b

c

a

e

g

h

f

d

c

c

b

e

a

h

g

d

f

d

d

f

h

g

e

a

c

b

f

f

d

g

h

a

e

b

c

g

g

h

d

f

b

c

e

a

h

h

g

f

d

c

b

a

e

Таблица 2

О

D



A

BО

C



а)

hello_html_63157c92.png

б)

hello_html_m5a9fad4b.gif

hello_html_m1e8d9596.gif

hello_html_67330f50.gif

hello_html_m7a4e13c5.gif

hello_html_m7b8473c8.gif

hello_html_41b25a6f.gif


в)

Рис. 2





Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

АННОТАЦИЯ. Известно, что нормальные подгруппы любой группы образует модулярную решетку. В связи с этим в данной заметке построены решетки нормальных подгрупп группы симметрии треугольника и квадрата.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: группа, нормальная подгруппа, модулярная решетка.

Группой называется множество G элементов произвольной природы, на котором задана бинарная операция такая, что выполняются следующие условия:

  • 1)ассоциативность: для любых элементов a, b, c из G;
  • 2)в G существует такой элемент e, что для любого элемента a из G, такой элемент e называется единицей группы G;
  • 3)для любого элемента a из G существует такой элемент из G, что , такой элемент называется обратным к элементу a.
Алгебра (L; ⋀, ⋁) называется решеткой, если L непустое множество, а ⋀ и ⋁ - бинарные операции на L, которые идемпотентны, коммутативны, ассоциативны и удовлетворяют двум тождествам поглащения.
Автор
Дата добавления 09.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров339
Номер материала 301712
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх