"Резиновая геометрия" или топология глазами учащегося

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 2

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ. 3

Топология как наука и предпосылки её возникновения. 3

Топологические свойства объектов. 5

Односторонние поверхности. 6

Практическое применение топологии. 11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 16

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 17

ВВЕДЕНИЕ

Будущий исследователь рождается

не в 30 лет, обучаясь в аспирантуре,

а гораздо раньше того времени, когда

родители впервые поведут его в детский сад.

Александр Ильич Савенков

д.п.н., профессор МПГУ

В условиях развития новых технологий резко возрос спрос на людей, обладающих нестандартным мышлением, умеющих ставить и решать новые задачи. Поэтому как никогда актуальной становится математическая подготовка учащихся. Здесь уместно вспомнить высказывание великого русского учёного Михаила Васильевича Ломоносова «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит».

Каждый человек имеет наглядное понятие о пространстве, телах и геометрических фигурах. В школьном курсе геометрии мы будем изучать различные тела и их свойства.

Но это будет в будущем, а пока меня заинтересовал вопрос: «Что такое лист Мёбиуса?». Вы спросите меня, почему мне это интересно. Отвечу. Я очень люблю читать. Особенно фантастику. Одним из моих любимых писателей - фантастов является Артур Кларк.

В его рассказе «Стена Мрака» один из героев совершает путешествие по необычной планете, изогнутой в виде листа Мёбиуса. Мне стало интересно, что это за фигура и каковы её свойства.

Изучив соответствующую литературу и Интернет-источники я узнал, что изучением этого вопроса занимается отдельный раздел математики – топология. Вот почему моя работа посвящена решению простейшей исследовательской задачи в данной области.

Цель работы можно сформулировать как получение представления об одном из интереснейших и необычных разделов математики, а именно топологии и изучение топологических свойств некоторых объектов.

Для реализации цели мною были решены следующие задачи:

– разобраться в том, что изучает данная наука;

– изучить историю её возникновения;

– рассмотреть топологические свойства некоторых объектов;

– узнать о практическом применении топологии.

Актуальность выбранной темы состоит в том, что за последнее время данная наука всё более проникает в такие фундаментальные области человеческих знаний как физика, химия, биология. Поэтому знание её основ становится значимым для технически образованного человека, живущего в XXI веке.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Топология как наука и предпосылки её возникновения

В отличие от других разделов геометрии, где большое значение имеют соотношение длин, площадей, углов и других количественных характеристик объектов, топологию это всё не интересует, поскольку здесь изучаются иные, качественного свойства вопросы о геометрических структурах.

Давайте начнём постижение азов этой увлекательной науки. Если мы обратимся к литературным источникам, то можно найти следующее определение данного понятия.

Топология – раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгиб [1, с.12].

Поясним встречающееся здесь понятие «непрерывная деформация». Непрерывная деформация – это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (то есть нарушения целостности фигуры) или склеиваний (то есть отождествления её точек) [3, с.32].

В основе каждого раздела математики лежит основная идея. Не является исключением и топология. Основной идеей топологии является идея непрерывности, то есть топология изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях.

Непрерывные преобразования характеризуются тем, что точки, расположенные «близко одна к другой» до преобразования, остаются такими и после того, как преобразование закончено [4, с.30]. При топологических преобразованиях разрешается растягивать и изгибать объекты, но не разрешается их рвать и ломать.

Для наглядного представления определения топологии следует сказать, что с точки зрения данной науки такие объекты как чайная чашка и бублик неотличимы друг от друга. Именно поэтому в среде учёных существует крылатая фраза, которая гласит, что математик, занимающийся топологией – это человек, который не отличит бублик от чайной чашки. Данное утверждение справедливо поскольку, сжимая и растягивая кусок резины из которого изготовлены эти объекты, можно перейти от одного тела ко второму.

Рисунок 1 Процесс преобразования чашки в бублик (тор)

Совершим исторический экскурс и вернёмся в XVIII век, когда были заложены основы данной науки.

Одним из учёных, которые стояли у истоков зарождения этой науки является немецкий математик и механик XVIII века Леонард Эйлер. В 1752 году он доказал формулу Декарта, выражающую связь между числом вершин, ребёр и граней простых многогранников:

 где , , .

Следующий вклад Эйлера в развитие топологии – это решение знаменитой задачи о мостах. Речь шла об острове на реке Преголь в Кёнигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава – Старый и Новый Преголь) и семи мостах, соединяющих остров с берегами (рис.2).

Необходимо было выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты – линиями. Полученную схему Эйлер назвал графом (рис. 3), точки – его вершинами, а линии – ребрами.

Рисунок 2 Задача о Кенигсбергских мостах

Л - левый берег, П - правый берег,

Рисунок 3 Граф

Вершины учёный разделил на чётные и нечётные в зависимости от того какое число рёбер выходит из вершины. Эйлер доказал, что все рёбра графа можно обойти ровно по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь, если граф содержит только чётные вершины.

Так как граф в задаче о кёнигсбергских мостах содержит только нечётные вершины, то требуемого маршрута прогулки не существует.

Данная задача иллюстрирует практическое применение понятия «уникурсальный граф», которое появилось в словаре топологии в XX веке. Граф называется уникурсальным, если его можно «нарисовать одним росчерком», т.е. пройти его весь непрерывным движением, не проходя одно и то же ребро дважды [2, с.17].

Таким образом, граф задачи о кёнигсбергских мостах является не уникурсальным и поэтому задача не имеет решения.

Термин «топология» впервые встречается в письме к своему школьному учителю Мюллеру, которое немецкий математик и физик, профессор Геттингенского университета Иоганн Листинг написал в 1836 году. Общая топология, зародившаяся в XIX веке, окончательно оформилась в самостоятельную математическую дисциплину ко второй половине XX века. В значительной степени этому способствовали труды академика П.С. Александрова.

Топологические свойства объектов

Топологию в научно-популярной литературе часто называют резиновой геометрией. Чтобы это понять необходимо, представить себе, что геометрический объект выполнен из резины и при этом обладает следующими свойствами: его можно сжимать, растягивать, закручивать (то есть подвергать всяческим видам деформации), но при этом нельзя разрывать и склеивать.

Например, маленький шарик можно надуть до размеров большого, затем превратить его в эллипс, потом – деформировать в гантель.

Рисунок 4 Процесс деформации объектов

Подобным образом можно поверхность шара превратить в поверхность куба, конуса и других фигур. В математике имеются свойства, которые не нарушаются ни при каких непрерывных деформациях. Это и есть топологические свойства. Изучением этих свойств занимается один из разделов топологии – общая топология.

Свойства, которые изучают в школьной (евклидовой) геометрии, не являются топологическими. Например, прямолинейность не топологическое свойство, поскольку прямую линию можно изогнуть, и она станет извилистой. Треугольность тоже не является топологическим свойством, так как треугольник можно непрерывно деформировать в окружность.

Длины отрезков, величины углов, площади – все эти понятия изменяются при непрерывных преобразованиях. Примером топологического свойства является наличие «дырки» у тора (бублика). Причём важно, что дырка не является частью тора. Какую бы непрерывную деформацию не претерпел тор, дырка останется [6, с.39].

Односторонние поверхности

У каждого из нас есть представление о том, что такое "поверхность". Мы просто окружены различными поверхностями: поверхность листа бумаги, поверхность озера, поверхность земного шара...

Как правило, мы представляем поверхность с двумя сторонами: внешняя и внутренняя, лицевая и изнаночная и т. п. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Оказывается, что может.

В 1858 г. немецкий математик и астроном Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) открыл поверхность, которую позже стали называть "лист Мёбиуса". Согласно легенде открыть Мёбиусу свой «лист» помогла горничная, которая неправильно сшила концы обычной ленты [5].

Лист Мёбиуса – простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки такой поверхности в другую можно, не пересекая края.

Давайте повторим это открытие. Создадим исследуемую поверхность и изучим её свойства.

Для работы нам понадобиться лист формата А4, линейка, карандаш, ножницы и клей.

Рисунок 5 Рабочие инструменты

На листе начертим две полоски шириной 4 см и вырежем их. Это будут заготовки, из которых мы будем делать нашу ленту (лист).

Рисунок 6 Создание заготовки

Из одной полоски мы склеим обычное кольцо, а из другой - лист Мёбиуса. Для этого вторую полоску повернем на половину оборота и склеим концы.

Рисунок 7 Этапы работы

Вот что должно у нас получиться.

Рисунок 8 Результат работы

Давайте займёмся исследования свойств полученных фигур. У листа Мёбиуса нельзя отличить лицевую сторону от изнаночной. Они непрерывно переходят друг в друга. Задание окрасить у кольца разные стороны разными цветами не вызовет затруднения. Давайте убедимся в этом на простом примере. Возьмите фломастер, поставьте точку и начинайте непрерывно закрашивать одну сторону. Вы увидите, что закрасится только его внутренняя поверхность.

Рисунок 9 Окрашивание кольца

Но будет ли это справедливо для второго нашего бумажного объекта? Давайте повторим опыт, выбрав в качестве опытной поверхности не кольцо, а лист Мёбиуса.

Рисунок 10 Окрашивание листа Мёбиуса

Вы видите, что весь лист стал окрашенным. А ведь мы по-прежнему вели фломастером только по одной стороне. Из этого можно сделать вывод о том, что у ленты, из которой сделан лист Мёбиуса две стороны, а у самого листа – одна.

Если двигаться по краю листа Мёбиуса, то через полный оборот мы окажемся на другом краю и придём с противоположной стороны.

Продолжим наши изыскания и рассмотрим вопрос о том, как поведут себя наши две фигуры (кольцо и лист Мёбиуса) при их разрезании. Если разрезать кольцо вдоль средней линии, то получится два более узких кольца

Рисунок 11 Разрезание кольца

Рисунок 12 Результат разрезания кольца

Если разрезать вдоль средней линии лист Мёбиуса, то он не распадётся на два кольца, как это было в опыте с кольцом. Мы получим одно кольцо, но в два раза длиннее (полученное кольцо будет иметь двустороннюю поверхность).

Рисунок 13 Разрезание листа Мёбиуса вдоль средней линии

А что будет, если разрезать лист Мёбиуса по линии, лежащей недалеко от края? Чтобы придти в начало разреза, нам придётся проделать путь вдвое длиннее, чем с разрезанием этого листа по средней линии. Получится два сцеплённых кольца, причём одно большое и узкое, а другое маленькое и широкое. Наиболее интересным фактом является то, что большое кольцо будет иметь одностороннюю поверхность, а маленькое – двустороннюю.

Если изготовить лист Мёбиуса, который закручен на 3 полуоборота (540 градусов), а затем разрезать его пополам, то получится лист Мёбиуса, закрученный узлом.

Интересные вещи получаться, если сложить бумагу гармошкой, затем сделать из неё лист Мёбиуса и разрезать его пополам или на одну треть. Перед нами предстанут три сцеплённых между собой кольца [6, с.47].

Как исследователей свойств данной фигуры нас заинтересовал вопрос: всегда ли можно создать ленту Мёбиуса? Оказалось, что если взять квадратный лист бумаги и вырезать из него полоску, то мы не сможем получить интересующую нас фигуру.

Тогда встаёт новый вопрос: каково должно быть отношение длины и ширины полоски, чтобы из неё всегда можно было получить ленту Мёбиуса? Математически было доказано, что если мы примем ширину полоски за 1, то длина должна быть 1,73.

Практическое применение топологии

Когда говорят о топологии, то лист Мёбиуса это первое, что приходит в голову человеку знакомому с данным вопросом. Поэтому в сфере практического применения данной науки в различных отраслях человеческой деятельности чаще всего встречается использование именно этой фигуры.

Удивительные свойства ленты Мёбиуса служат источником вдохновения для писателей и поэтов. В качестве примера хочу привести небольшой отрывок из стихотворения Натальи Ивановой:

Лист Мебиуса - символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нём бесконечность свернута кольцом.

В нём – простота, и вместе с нею – сложность,

что недоступна даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца.

Классической книгой о жизни в двумерном пространстве по праву считается «Флатландия» Эдвина Эббота и её продолжение «Сферландия», написанная Дэвидом Бюргером в 1976 году.

Флатландец обитает на планете, имеющей форму двумерной поверхности. Если его вселенная бесконечная плоскость, то он может путешествовать на любые расстояния в любом направлении. Но если поверхность, на которой он обитает, замкнута подобно сфере, то она неограниченна и конечна.

В какую бы сторону ни отправился флатландец, двигаясь прямо и никуда не сворачивая, он непременно вернётся туда, откуда он начал своё путешествие. Когда флатландец совершает кругосветное путешествие по сфере, он как бы движется по полоске, склеенной в кольцо [7, с.57-68].

Но если житель этой планеты путешествует по ленте Мёбиуса, то вернувшись в исходную точку, он обнаружит у себя сердце не слева, а справа! Подобная ситуация описана в фантастическом рассказе Герберта Уэллса «История Платтнера». Человек, побывав в четвёртом измерении, вернулся на Землю своим зеркальным двойником – с сердцем, расположенным справа.

На производстве в виде листа Мёбиуса изготавливают ленту для конвейера. Такая конструктивная особенность позволяет увеличить срок службы ленты, так как происходит равномерное изнашивание её поверхности.

Рисунок 14 Ленточный конвейер

Сравнительно недавно основным устройством вывода информации с компьютера на печать был матричный принтер. В его печатной головке красящая лента также была уложена в виде ленты Мёбиуса.

Рисунок 15 Матричный принтер

Поскольку разговор пошёл о компьютерах, то для того чтобы соединить несколько машин в единое целое применяется компьютерная сеть. Одним из основных терминов сетевой технологии является понятие топологии сети. Топология – общая схема компьютерной сети, отображающая физическое расположение компьютеров и соединение между ними.

Рисунок 16 Примеры топологии компьютерной сети

Форма ленты Мёбиуса достаточно успешно применяется и в архитектуре. Приведём несколько подобных примеров.

Рисунок 17 Лента Мёбиуса в архитектуре

Идея листа Мёбиуса активно используется при создании логотипов компаний и организаций.

Рисунок 18 Логотипы на основе листа Мёбиуса

Существует гипотеза, что спираль ДНК сама по себе является фрагментом листа Мёбиуса и поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Кроме того такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Рисунок 19 Спираль ДНК

Художники и графики также не обошли своим вниманием интересующую нас тему. Показательным в этом отношении является творчество нидерландского художника-графика XX века Мориса Эшера. Известен он своими литографиями, в которых мастерски исследовал пластические аспекты бесконечности и симметрии.

О своём творчество он говорил: «Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам – художникам».

Рисунок 20 Литографии Мориса Эшера

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Топология самая юная и самая

мощная ветвь геометрии, наглядно

демонстрирует плодотворное влияние

противоречий между интуицией и логикой.

Рихард Курант

американский математик

Русская народная пословица гласит: «Конец – делу венец». Вот и подошло к завершению моё маленькое путешествие в увлекательный и необычный мир топологии. Пришло время подвести итоги.

В ходе выполнения работы я познакомился с новой для меня областью математики – топологией. Рассмотрел некоторые из простейших понятий, используемых данной наукой и доступных для понимания без серьёзной математической подготовки.

На практике воссоздал самую известную топологическую поверхность – лист Мёбиуса и исследовал его общие свойства. Также познакомился с практическим применением топологических поверхностей в различных сферах человеческой деятельности.

Таким образом, были успешно решены все задачи, поставленные мною в начале этой работы. Я надеюсь, что моё знакомство с данной областью математики в дальнейшем не будет столь поверхностным, что даёт основания для продолжения работы по выбранной теме по мере накопления моего математического багажа.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математический энциклопедический словарь / Ю.В. Прохоров [и др.]. – М.: Издательство «Советская энциклопедия», 1988. – 340 с.

2. Болтянский, В.Г. Наглядная топология / В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович – М.: Наука, 1975. – 160 с.

3. Старова, О.А. Топология / О.А. Старова // Математика. Всё для учителя. – 2013. – № 9. – с.28-34.

4. Стюарт, Я. Топология / Я. Стюарт // Квант. – 1992. – № 7. – с. 28-30.

5. Проект для одарённых детей: Алые паруса [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://nsportal.ru/ap/blog/nauchno-tehnicheskoe-tvorchestvo/list-myobiusa – дата доступа: 18.01.2017

6. Прасолов, В.В. Наглядная топология / В.В. Прасолов. – М.: МЦНМО, 1995. – 110 с.

7. Эббот, Э. Флатландия / Э.Эббот. – М.: Мир, 1976. – 130 с.

Краткое описание документа:

Работа посвящена достаточно молодому разделу математики - топологии. В ней освещаются некоторые основополагающие термины данной науки. Рассматриваются исторические предпосылки её возникновения и описывается практическое изготовление самой известной топологической фигуры - листа Мёбиуса. Также нашло отражение практическое применение этой фигуры в различных сферах человеческой деятельности. Работа может быть полезна при проведении внеклассной и кружковой работы по математике.