Робота учня 9 класу по МАН "Золотое сечение"

Министерство образования и науки Украины

Главное управление образования и науки

Харьковской областной государственной администрации

Харьковское территориальное отделение

Малой академии наук Украины

Научное отделение: Математика

Секция: Прикладная математика

«ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ»  И ГАРМОНИЯ

Работу выполнил:

Дегтярь Александр Евгеньевич,

ученик 9 класса Харьковской гимназии №43

городского совета Харьковской области

Научный руководитель:

Малюк Ирина Владимировна,

учитель Харьковской гимназии №43

городского совета Харьковской области

2013г.

ТЕЗИСЫ

«Золотое сечение» и гармония

Дегтярь Александр Евгеньевич, Харьковское территориальное отделение МАН, ученик 9 класса Харьковской гимназии №43 Московского района.

Руководители – Малюк Ирина Владимировна, учитель математики Харьковской гимназии №43.

Работа посвящена анализу и обобщению материала о «золотом сечении», а также исследованию правила «золотого сечения» для растений, фигуры человека, архитектурных сооружений, живописи и скульптуры, инструментов, сделанных руками человека.

Работа состоит из четырех частей.

В первом разделе рассматриваются исторические аспекты пропорции «золотое сечение»

Во втором разделе проводится деление отрезка и пятиугольника в пропорции золотого сечения, рассматриваются «золотые» фигуры: прямоугольник, треугольник, пятиугольник.

В третьем разделе рассматриваются примеры применения пропорции: в искусстве, в древних сооружениях, в скульптурах Древней Греции, в природе, в анатомии человека.

В четвертом разделе приведены результаты практических опытов: 1) по измерению инструментов, созданных руками человека; 2) по выращиванию растений с применением пропорции; 3) по проверке пропорций человеческого тела.

СОДЕРЖАНИЕ устойчивость экономическая эффективность

Тезисы	2
Введение	4
Раздел 1. История золотого сечения	6
Раздел 2.  Построение пропорции и примеры	8
2.1. Построение пропорции	8
2.2. «Золотые» фигуры	9
Раздел 3. Золотое сечение вокруг нас	10
3.1. Золотое сечение в живописи	10
3.2. Золотое сечение в пирамидах	11
3.3. Золотое сечение в скульптуре Древней Греции	12
3.4. Золотое сечение в природе	13
Раздел 4. Практическая часть	14
Заключение	17
Список использованных источников	19
Приложение А
Приложение Б
Приложение В
Приложение Г
Приложение Д

ВВЕДЕНИЕ

В основе объективных законов красоты лежат два фундаментальных принципа: качественный принцип гармонии и количественный принцип симметрии. Оба принципа – гармонии и симметрии – воплощают в природе и искусстве идею порядка. Под гармонией понимается наиболее оптимальное сочетание противоречивых сторон в едином целом. В состоянии гармонии заложена изначальная противоречивость мира. Многочисленные исследования показывают, что состояние гармонии достигается, когда соотношение порядка в поведении элементов системы и хаоса (непредсказуемого, свободы выбора) тяготеет к Золотой пропорции (^-1 = 0,618,  = 1,618). Не одно столетие ученые применяют уникальные математические свойства числа , и эти исследования продолжаются и в наши дни. Это число нашло широкое применение во всех областях современной науки, включая физику, астрономию, кристаллографию, ботанику, биологию, медицину, психологию, геологию, экономику и все виды искусств.

Актуальность темы. В работе  показано, как из чисто геометрического понятия Золотая Пропорция превращается в фундаментальное понятие, что она не только то, что можно видеть глазами, что Золотая пропорция – вокруг нас, что, более того, она - в основе всего. Если законы природы управляют явлениями, то Золотая пропорция управляет законами природы, и как мера гармонии – тождества противоположностей – лежит в основе метода аналогий (отыскание общих свойств в различных объектах, явлениях и распространение этой общности на другие свойства).

Цель и задачи исследования. Цель работы: узнать, что такое Золотое сечение.

Поставленная цель обусловила необходимость решения таких задач:

1)    анализ  и  обобщение материала о Золотом сечении;

2)    исследовать правило Золотого сечения на предметах искусства, древних сооружениях, в природе, на повседневных  инструментах, созданных руками человека.

Объект исследования: пропорция Золотое сечение.

Предмет исследования: отображение Золотого сечения в аспектах деятельности человека: геометрии; живописи; архитектуре; живой природе и т.п..

Гипотеза: человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами, использующими в своей основе Золотое сечение.

Методы исследования: 1) теоретические: – анализ литературы; - аналогии, которые основаны на общности фундаментальных законов диалектики для процессов природы; - моделирование; 2) эмпирические: – наблюдения, общие и частные; 3) общенаучные: – анализ и синтез, сравнение.

Элемент научной новизны этой работы: состоит в практическом подтверждении выдвинутой гипотезы.

Практическое значение этой работы: состоит в том, что знания о Золотом сечении и о его многочисленных приложениях в Природе, Науке и Искусстве, могут обогатить каждого из нас. А это означает, что изучению уникальных свойств и применений Золотого сечения в окружающем нас мире надо уделять в образовании не меньшее внимание, чем теореме Пифагора. И тогда изучение математики, которую в большинстве своем многие рассматривают как сухую и неинтересную дисциплину, превратиться в увлекательный поиск математических закономерностей окружающего нас мира, то есть введение Золотого сечения в математическое образование поднимает интерес учащихся к изучению математики.

Специфичность и перспективность работы: состоит в практическом исследовании окружающего нас мира.

РАЗДЕЛ 1

История Золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления. Греки были искусными геометрами. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников (рис.1.1 Приложение А). Платон (427-347гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в  частности, вопросам золотого деления.

При раскопках древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) были обнаружены циркули (рис.1.2 Приложение А), которыми пользовались архитекторы  и скульпторы античного мира. В них также заложены пропорции золотого деления. В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается во 2-й книге «Начала» Евклида, где дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида переводчика Дж. Кампано из Наварры (III в.). В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. В 1509г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями. Полагают, что иллюстрации к этой книге сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение Бога Сына, больший отрезок - Бога Отца, а весь отрезок - Бога Духа Святого). Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название Золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное. В то же время в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил Золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Построение ряда отрезков Золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). Если на прямой отложить произвольной длины отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков Золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов (рис.1.3 Приложение А)

Вновь «открыто» Золотое сечение было в середине XIX в. В 1855г. немецкий исследователь профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он абсолютизировал пропорцию Золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.

РАЗДЕЛ 2

2.1. Построение пропорции

Как разделить отрезок в пропорции Золотого сечения?. Из конца В отрезка АВ (рис.2.1.1 Приложение А) восстанавливаем перпендикуляр, равный половине АВ. Полученную точку С соединяем линией с точкой А. На отрезке АС откладываем отрезок СD=ВС. На отрезке АВ откладываем отрезок АЕ=АD. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении Золотой пропорции.

Именно эти отрезки использовал Евклид при построении правильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делится другими именно в такой пропорции. Таким образом, звездчатый пятиугольник (рис.2.1.2 Приложение А) также обладает Золотым сечением. Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться. Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой.

Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком. В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а Золотое сечение вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пяти - лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды (рис.2.1.3 Приложение Б). Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем Золотая пропорция.

2.2.«Золотые» фигуры

2.2.1. Золотой прямоугольник

Построим квадрат АВСD (рис.2.2.1 Приложение Б) со стороной АВ = а, М –середина отрезка АВ и проведем дугу окружности радиуса МС с центром в точке М, Е точка  пересечения стороны АВ  и дуги, то точка В разделит отрезок АЕ в крайнем и среднем отношении. Так как  по теореме Пифагора: МС² = а²+(а/2)²=5а²/4, то АЕ = а/2 +МЕ=(√5+1)а/2= φ·АВ. Прямоугольники АЕFD, ВЕFС и т.д. называются Золотыми.

2.2.2.Золотой треугольник

Проводим прямую АВ (рис.2.2.2 Приложение Б), от т.А откладываем на ней отрезок 3m произвольной величины, через  полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии  АВ, на нем  вправо и влево от т. Р откладываем отрезки m. Полученные т. D и т.D₁ соединяем с т.А. Отрезок DD₁ откладываем на линию AD_1, получая точку С.  Она разделила линию AD₁ в пропорции Золотого сечения. Линиями AD₁ и DD₁ пользуются для построения «золотого» треугольника.

2.2.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида

Пример - правильный пятиугольник (рис.2.2.3 Приложение Б). Для построения пентаграммы необходимо построить  правильный пятиугольник. Пусть О - центр окружности, А - точка на ней и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек, соединяем их. Соединив вершины пятиугольника через один диагоналями, получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции Золотого сечения.

РАЗДЕЛ 3

Золотое сечение в искусстве

3.1. Золотое сечение в живописи

Переходя к примерам Золотого сечения в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете». Портрет Моны Лизы (рис.3.1.1 Приложение В) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Также пропорция Золотого сечения проявляется в картине Шишкина «Сосновая роща» (рис.3.1.2 Приложение В). На этой знаменитой картине И.И.Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы Золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины, а справа от сосны - освещенный солнцем пригорок, делит правую часть картины по горизонтали по Золотому сечению.

В картине Рафаэля «Избиение младенцев» (рис.3.1.3 Приложение В) просматривается другой элемент Золотой пропорции - золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.

3.2. Золотое сечение в пирамидах

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса (рис 3.2.1 Приложение В). Правильная четырехгранная пирамида (рис.3.2.2 Приложение В) является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх. Очевидно, размеры пирамиды: площадь ее основания и высота - не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем эти знания составляли тайну и  поэтому в геометрии пирамиды они должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме. Методической ошибкой многих исследователей является использование размеров в метрической системе мер. У египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6мм). Основные исходные размеры были определены в целых единицах длины – локтях. Длина стороны основания  пирамиды (L) принята равной 233,16м или точно 500 локтям. Высота  пирамиды (H) точно 318 локтей, или 148,28м. Такую высоту, очевидно, имела пирамида Хеопса при завершении ее сооружения (или должна была иметь по проекту), апофема боковой грани ON равна 404,5 локтя. Отношения сторон в треугольнике OMN пирамиды равно: OM/MN=ON/OM=1,272=√; ON/MN=, длина боковых ребер OB и OC равна 475,5 локтя, площадь основания пирамиды равна 250000 кв. локтей, площадь боковой грани 101125 кв. локтей, а площадь четырех граней пирамиды равна 404500 кв. локтей. Отношение поверхности граней к площади основания также равно Золотой пропорции.

3.3.Золотая пропорция в искусстве Древней Греции

Памятником архитектуры Древней Греции является Парфенон (рис.3.3.1 Приложение В). Протяженность холма перед Парфеноном, длина храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном относятся как отрезки Золотой пропорции. Ширина Парфенона оценена в 100 греческих футов (3089см), а высота 61,8, высота трех ступеней основания и колонны – 38,2, высота перекрытия и фронтона – 23,6. Указанные размеры образуют ряд Золотой пропорции: 100:61,8 = 61,8: 38,2 = 38,2:23,6 = . В некоторых сооружениях древнего мира Золотая пропорция выражена не в пропорциях формы зданий, а в деталях внутренней композиции, даже в числе мест для зрителей. Построенный Поликлетом - младшим театр был рассчитан на 15 тыс. зрителей. Места для зрителей (театроп) имели 2 яруса: первый- 34 ряда мест, а второй – 21 ряд (числа Фибоначчи). Раствор угла, охватывающего пространство между театропом и скемой (пристройка для переодевания актеров и хранения  реквизита), делит окружность основания амфитеатра в отношении 137,5º:225,5º, что равно 1: 1,618. Это соотношение углов реализовано практически во всех античных театрах.

Древние скульпторы знали и использовали Золотую пропорцию как критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях человеческого тела. Эталонами красоты человеческого тела считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликлета, Мирона, Праксителя. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип Золотой пропорции. Центр Золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно на месте пупка. Величину Золотой пропорции обозначают буквой  в честь Фидия. Одним из высших достижений могут служить статуи «Венера Милосская» и «Дорифор» (рис.3.3.2 Приложение Г). Широкие плечи почти равны высоте туловища, высота головы восемь раз укладывается в высоте тела, а Золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета. Расстояние от подошвы копьеносца до его колена равна j³, высота шеи вместе с головой - j⁴, длина шеи до уха - j⁵, а расстояние от уха до макушки - j⁶  . Таким  образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем j: 1, j, j², j³, j⁴, j⁵, j⁶.  Таким образом, Золотое сечение – один из основополагающих принципов в искусстве античной Греции.  

3.4. Золотая пропорция в природе

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Спирали очень распространены в природе (рис.3.4.1 Приложение Г). Представление о Золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали. Ее изучал и вывел уравнение спирали, которая  теперь называется его именем, Архимед (рис.3.4.2 Приложение Г). Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. В гидротехнике по «золотой спирали» изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря этому напор воды используется с наибольшей производительностью.

При совместной работе ботаников и математиков выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филлотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны (рис.3.4.3 Приложение Д) проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон Золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью.

Рассмотрим Золотое сечение на примере растения – цикорий (рис.3.4.4 Приложение Д). От основного стебля образовался отросток, потом листок. Если длину первого листка принять за 100 единиц, то второго 62 единицы, третьего – 38, четвертого – 24 и т.д. Длина лепестков подчинена Золотой пропорции. В ящерице (рис.3.4.5 Приложение Д) длина хвоста относится к длине остального тела, как 62:38. И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь Золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и Золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого. Закономерности Золотой симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

РАЗДЕЛ 4

Практическая часть

№	Наименование инструмента	a	b	a/b
1	пассатижи	14,5см	24см	0,604
2	открывалка для бутылок	6,5см	10,5см	0,62
3	открывалка для бутылок	5,5см	9см	0,611
4	отвертка	7,5см	12см	0,625
5	ножницы	6см	10см	0,6
6	вилка серебро	11см	18см	0,61
7	вилка	7,5см	12,5см	0,61
8	ложка столовая серебро	8см	13см	0,616
9	ложка десертная	7см	11,5см	0,608
10	ложка чайная	5,5см	9см	0,611
11	ложка деревянная	10см	16см	0,626
12	ножницы	3,8см	6см	0,6
13	ножницы	6см	10см	0,6
14	вилка для мяса барбекю	14см	23см	0,608
15	венчик для взбивания яиц	12см	19см	0,631
16	деревянная лопатка	14,5см	24см	0,604

Опыт №2. Рассмотрим листорасположение у некоторых растений.

Филлотаксис– особое решётчатое расположение листьев, лепестков и семян у многих видов растений. Практически у всех лиственных растений каждый лист выходит из стебля в соответствии с правильным рисунком, характерным для данного вида растения. Большинство листьев имеют либо спиральное листорасположение, либо очередное, при котором один лист расположен на одной стороне стебля, а следующий за ним - на другой.

Проверим на примере выполнение правила Золотого сечения. Измерим расстояние между  листьями и почками некоторых растений.

А   А   А	АВ = 1,8см ВС = 3см АС = 4,8см  = 0,6  = 0,62
А   А   А	АВ = 1,2см ВС = 2см АС = 3,2см  = 0,6  = 0,625

Опыт №3

Исследование выполнения правила Золотого сечения в анатомии человека.

Было измерено 29 уащихся 9 Б класса Харьковской гимназии №43. По данным таблицы можно сделать вывод о правильности выдвинутой гипотезы.

	Ф.И.О	АВ	ВС	АС	АВ/ВС	ВС/АС
1	Апальков С.	10,9	17,8	28,7	0,61	0,62
2	Архипова А.	9	16	25	0,6	0,6
3	Блакитный М.	9	16	25	0,6	0,6
4	Газимагомедов С.	9	16	25	0,6	0,6
5	Гулиев Д.	10	16,5	26,5	0,61	0,62
6	Дороган М	10	16,5	26,5	0,61	0,62
7	Данильченко И.	10	16,5	26,5	0,61	0,62
8	Данильченко М.	10,9	17,8	28,7	0,61	0,62
9	Китченко В.	9	16	25	0,6	0,6
10	Клец Н.	10,5	17,8	28	0,6	0,63
11	Колесникова А.	9	16	25	0,6	0,6
12	Ермак М	9	16	25	0,6	0,6
13	Дегтярь А.	10,5	17,8	28	0,6	0,63
14	Доженко А..	10	16,5	26,5	0,61	0,62
15	Дронь А.	10	16,5	26,5	0,61	0,62
16	Кузменко В.	10,9	17,8	28,7	0,61	0,62
17	Кузьменко Б.	10,9	17,8	28,7	0,61	0,62
18	Новицкая В.	10	16,5	26,5	0,61	0,62
19	Овечкина Д.	10	16,5	26,5	0,61	0,62
20	Полянская Е.	10	16,5	26,5	0,61	0,62
21	Постникова Н	10,9	17,8	28,7	0,61	0,62
22	Рева А.	10,9	17,8	28,7	0,61	0,62
23	Саид Р.	10,9	17,8	28,7	0,61	0,62
24	Степанова М.	9	16	25	0,6	0,6
25	Слюсарев К.	10,9	17,8	28,7	0,61	0,62
26	Санин П.	10,5	17,8	28	0,6	0,63
27	Тузик А.	10,5	17,8	28	0,6	0,63
28	Тимофеев А.	10,9	17,8	28,7	0,61	0,62
29	Чан	10,5	17,8	28	0,6	0,63

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготения и инерции. Золотая пропорция - символ этого взаимодействия. Человеческие представления о красивом формируются явно под влиянием того, какие воплощения порядка и гармонии человек видит в живой природе. А природа, как известно, любит повторения. В различных своих творениях, казалось бы, очень далеких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы.

Золотое сечение - один из основополагающих принципов природы.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Мною был проведен исторический экскурс и разобрана математическая сущность Золотого сечения, рассмотрено строение «золотых фигур».

Знакомство с принципами Золотого сечения, помогает видеть гармонию и целесообразность окружающих нас творений природы и человека. Выдвинутая гипотеза нашла свое подтверждение.

Можно сделать выводы:

·   во-первых, Золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы;

·   во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

Несмотря на неприятие Золотого сечения современными «официальными науками», оно повсеместно используется в технике, во многих странах мира, в том числе в Украине, довольно крупные учёные продолжают изучать и искать практическое применение одному из «золотых» математических принципов.

Приложение А

Рис.1.1 Построение динамических прямоугольников
Рис.1.2 Античный циркуль	56:90=90:146
Рис.1.3 Построение ряда отрезков золотой пропорции
Рис.2.1.1 Деление отрезка прямой в пропорции золотого сечения ВС=1/2АВ, СД=ВС	Рис.2.1.2 Звезчатый пятиугольник или пентаграмма

Приложение Б

Рис 2.1.3
Рис.2.2.1 Золотой прямоугольник	Рис.2.2.2 Золотой треугольник
Рис.2.2.3 Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Приложение В

Рис.4.1.1 Леонардо да Винчи  «Мона Лиза»	Рис. 4.1.2 И.И.Шишкин «Сосновая роща»
Рис.4.1.3 Рафаэль «Избиение младенцев»	Рис. 4.2.1 Пирамида Хеопса
Рис.4.2.2  Пирамида Хеопса (макет)	Рис.4.3.1 Парфенон

Приложение Г

Рис.4.3.2  Поликлет «Дорифор»                                                     Венера Милосская
Рис4.3.4 Спираль Архимеда	Рис4.3.3 Раковина
рис.4.3.5

Приложение Д

Рис5.1 Цикорий

Рис5.2 Ящерица живородящая

Список литературы:

1.     Волошинов А.В. Математика и искусство. – М.: Просвещение, 2000г.

1.     Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение. Три взгляда на природу гармонии. - М.: Стройиздат, 1990.

2.     Васютинский Н.А. Золотая пропорция. - М.: «Молодая гвардия», 1990.

3.     Виленкин З.Н. Функции в природе и технике. М.: Просвещение, 1978.

4.     Соколов А. Тайны золотого сечения. //Техника – молодежи. -  №5. – 1978.

5.     Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. - М.: «Наука», 1984.

6.     Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир. - М.: Просвещение, 1982.

7.     П. Эткинс. Порядок и беспорядок в природе. - М.: Мир, 1987

8.     Интернет ресурс// режим доступа http:// www.bestreferat.ru