Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Роль математики в современном мире
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Роль математики в современном мире

библиотека
материалов


Роль математики в современном мире


УДК 510.21(470.638)

Фадеева Наталья Олеговна,

старший преподаватель

кафедры естественно – научных дисциплин

Северо-Кавказского филиала

Белгородского государственного

технического университета им. В.Г. Шухова

«Разве ты не заметил,

что способный к математике

изощрен во всех науках в природе?»

(Платон)


Математика в настоящее время перестала быть предметом занятий только научной элиты; теперь занятия математикой привлекают к себе всё большее число одарённых людей. Значительно расширились область математических исследований и применения математического аппарата. Приложения математических методов проникают далеко за пределы собственно математики: в физику, новые отрасли техники, биологию, в экономику и другие социальные науки; без строгой математической логики невозможна работа юриста или менеджера. Информационно – компьютерные технологии способствовали появлению новых областей научных исследований, имеющих, несомненно, чрезвычайно огромное значение как для самой математики, так и для всех наук, непосредственно связанных с ней.

Для жизни в современном информационном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в умении применять индукцию и дедукцию, обобщение и конкретизацию, анализ и синтез, классификацию и систематизацию, абстрагирование и аналогию. Для того чтобы уверенно чувствовать себя в современном мире, человек должен уметь проанализировать возникающую проблему, учесть все ее аспекты и сделать правильный выбор. Занятия математикой не столько самоцель, сколько средство к углублённому изучению теории и вместе с тем средство развития мышления, путь к осознанию окружающей действительности, тропинка к пониманию мира.


Краткий экскурс в историю математики

Математика

(греч. mathematike, от máthema — знание, наука) - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

(академик Колмогоров А.Н.)


Ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции

в 6—5 веках до н. э. Развитие математики до этого времени - это период зарождения науки, когда математические исследования имеют дело с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших ещё на очень ранних ступенях исторического развития, в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам, навигации и тому подобным. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники и астрономии вызывают развитие начал геометрии.

Особое значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Египте и Вавилоне. В Вавилоне на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начала алгебры, а в связи с запросами астрономии — начала тригонометрии. Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке тригонометрии, как плоской, так и сферической.

Первый век александрийской эпохи (3 век до н.э.) – век наибольшей напряжённости математического творчества. Этому веку принадлежат Евклид, Архимед, Эратосфен. В своих «Началах» Евклид собрал и логически переработал достижения предыдущего периода в области геометрии, а также впервые заложил основы систематической теории чисел. Из геометрических работ Евклида наибольшее значение имело создание законченной теории конических сечений. Главная заслуга Архимеда в геометрии - определение разнообразных площадей и объёмов (в том числе площадей параболического сегмента и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести.

Большое развитие математические исследования получили в Древнем Китае. Уже во 2—1 веках до н. э. у китайских математиков имелась блестящая техника вычислений. В труде «Арифметика в девяти главах», составленном Чжан Цаном и Цзин Чоу-чаном, описываются, в частности, способы извлечения квадратных и кубических корней из целых чисел. Пример высокого развития вычислительных методов в геометрии - результат Цзу Чун-чжи (2-я половина 5 века), доказавшего, что отношение длины окружности к диаметру лежит в пределах

3,1415926 < π < 3,1415927.

Особенно значимы работы учёных Древнего Китая по численному решению уравнений. Геометрические задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика Ван Сяо-туна (1-я половина 7 века).

Расцвет индийской математики относится к 5—12 векам (наиболее известны индийские математики Ариабхата, Брахмагупта, Бхаскара). Индийцам принадлежат две основные заслуги: введение в широкое употребление современной десятичной системы счисления, систематическое употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда и создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. В тригонометрии заслугой индийских математиков явилось введение линий синуса и косинуса.

Огромен вклад в развитие математической науки учёных, писавших на арабском языке: хорезмийских, узбекских, таджикских и азербайджанских. В 1-й половине 9 века Мухаммед бен Муса Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоятельной науки в своём сочинении «Аль-джебр», по которому европейские математики раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. Поэт, астроном и математик Омар Хайям систематизировал и классифицировал уравнения третьей степени, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Большое развитие в арабских странах получила тригонометрия: Аль-Баттани ввёл в употребление тригонометрические функции: синус, тангенс и котангенс, Абу-ль-Вефа — все шесть тригонометрических функций.

Годы 12—15 веков для западноевропейской математики - период усвоения математического наследства древнего мира и Востока. Основными центрами теоретической научной мысли в это время становятся европейские университеты. Прогресс алгебры как теоретической дисциплины, а не только собрания практических правил для решения задач, сказывается в ясном понимании природы иррациональных чисел как отношений несоизмеримых величин [английский математик Т. Брадвардин (1-я половина 14 века)

и Н. Орем (середина 14 века)] и особенно во введении дробных (Н. Орем), отрицательных и нулевых [французский математик Н. Шюке (конец 15 века)] показателей степеней. Широкий размах научных исследований этой эпохи нашёл отражение не только в многочисленных переводах и изданиях греческих и арабских авторов, но и в таких начинаниях, как составление обширных тригонометрических таблиц, вычисленных с точностью до седьмого знака И. Мюллером. Значительно совершенствуется в эти годы математическая символика.

XVI век - это век начинающегося превосходства в развитии науки Западной Европы над древним миром и Востоком: в астрономии (открытие Н. Коперника), в механике (к концу этого столетия уже появляются первые исследования Г. Галилея) и в математике

(Дж. Кардано исследовал уравнения третьей степени, в котором действительные корни уравнения выражаются комплексно; Ф. Виет основал настоящее алгебраическое буквенное исчисление (1591); учение о перспективе в геометрии изложил немецкий художник

А. Дюрер (1525); С. Стевин разработал (1585) правила арифметических действий с десятичными дробями).

В России в 9—13 веках математическое образование находилось на уровне наиболее культурных стран Восточной и Западной Европы. Затем оно было надолго задержано монгольским нашествием. В 15—16 веках в связи с укреплением Русского государства и экономическим ростом страны значительно выросли потребности общества в математических знаниях. В конце 16 века и особенно в 17 веке появились рукописные руководства по арифметике, геометрии, в которых излагались сведения, необходимые для практической деятельности (торговли, налогового дела, артиллерийского дела, строительства и пр.). Наиболее древнее российское математическое произведение относится к 1136 году и принадлежит новгородскому монаху Кирику. В нём приводятся арифметико-хронологические расчёты для решения сложной задачи ежегодного вычисления дня праздника пасхи. Геометрические рукописи, преследовавшие практические цели, содержали изложение правил определения площадей фигур и объёмов тел, часто приближённые.

В 1703 году издана знаменитая «Арифметика» Л. Ф. Магницкого.

С 17 века начинается существенно новый период развития математики. На первый план выдвигается понятие функции. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создаётся анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений - одна из важнейших задач математики. Отыскание неизвестных функций, определённых другого рода условиями - предмет вариационного исчисления. В геометрии был найден универсальный способ перевода задач на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраическими и аналитическими методами, поэтому открылась широкая возможность иллюстрирования алгебраических и аналитических фактов геометрически, например, при графическом изображении функциональных зависимостей

Математические достижения 17 века начинаются открытием логарифмов (Дж. Непер, опубликовавший свои таблицы в 1614). В 1637 Р. Декарт публикует свою «Геометрию», содержащую основы координатного метода в геометрии, классификацию кривых с подразделением их на алгебраические и трансцендентные. Свойства простейших рядов, начиная с геометрической прогрессии, изучил Дж. Валлис (1685). Н. Меркатор (1668) получил разложение In(1 + x) в степенной ряд. И. Ньютон нашёл (1665—69) формулу бинома для любого показателя, степенные ряды функций ex, sinx, arcsinx. В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах приняли участие почти все математики 17 века

(Дж. Валлис, Х. Гюйгенс, Г. Лейбниц, Я. Бернулли и другие). К последней трети 17 века относится открытие дифференциального и интегрального исчисления в собственном смысле слова.

Создание новой математики переменных величин в 17 веке - дело учёных передовых стран Западной Европы, в первую очередь И. Ньютона и Г. Лейбница, но в 18 веке одним из основных центров научных математических исследований становится Петербургская академия наук, где работал ряд крупнейших математиков того времени (Л. Эйлер,

Д. Бернулли) и складывается русская математическая школа.

Если виднейшие математики 17 века очень часто были в то же время философами или физиками-экспериментаторами, то в 18 веке научная работа математика становится самостоятельной профессией. Благодаря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и А. Лежандра теория чисел приобретает характер систематической науки. Ж. Лагранж дал общее решение неопределённых уравнений второй степени. Л. Эйлер установил закон взаимности для квадратичных вычетов. Он же привлек для изучения простых чисел дзета-функцию, чем положил начало аналитической теории чисел. При помощи разложений в непрерывные дроби Л. Эйлер доказал иррациональность е и e2, а И. Ламберт — иррациональность числа π. В алгебре Г. Крамер ввёл для решения систем линейных уравнений определители.

Накопленный в 17 и 18 веках огромный фактический материал привёл к необходимости углублённого логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Открытие и введение в употребление геометрической интерпретации комплексных чисел, доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени, разработка О. Коши основ теории функций комплексного переменного, его работы по строгому обоснованию анализа бесконечно малых, создание Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии, работы К. Гаусса по внутренней геометрии поверхностей — типичные примеры наметившихся на рубеже 18 и 19 веков новых тенденций в развитии математики. Все созданные в 17 и 18 веках разделы математического анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 веках, их развитие продолжается и в наши дни. Чрезвычайно расширился за это время и круг их применений к задачам, выдвигаемым естественными науками и развивающейся техникой.


От теории – к практике

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. «Тот, кто хочет решить вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу. Следует измерять то, что измеримо, и делать измеримым то, что таковым не является», - утверждал выдающийся итальянский физик и астроном, один из основоположников естествознания Галилео Галилей.

В биологических науках математический метод играет более подчинённую роль. В ещё большей степени, чем в биологии, математический метод уступает своё место непосредственному анализу явлений во всей их конкретной сложности в социальных и гуманитарных науках. Применение математического метода в биологических, социальных и гуманитарных науках осуществляется главным образом через информационно-компьютерные технологии. Существенным остаётся значение математики для социальных дисциплин в форме подсобной науки — математической статистики.

Можно также утверждать, что в экономической науке не должно быть деления на «экономику» и «математику». Основная масса статей по экономике, так или иначе, использует математический аппарат. Либо это описание модели, либо эмпирическая проверка обсуждаемых гипотез или явлений средствами корреляционного или регрессионного анализа, либо удобная система обозначений, позволяющая в дальнейшем легко формулировать изучаемые отношения на количественном языке. Но количественное описание экономических законов средствами математики и статистики требует использования более сложного математического инструментария и в большинстве случаев оказывается более сложной задачей, чем описание законов природы. Многие экономические явления, например, развитие фондовых рынков или инфляция, хорошо описываются при помощи математического аппарата теории хаоса или законов, которым подчиняется поведение динамических систем. И сейчас актуальны слова классика математической экономики Парето: «Экономисты, не знающие математики, находятся в положении людей, желающих решить систему уравнений, не зная ни того, что она из себя представляет, ни того даже, что представляет из себя каждое входящее в нее единичное уравнение».

На примере ряда физических теорий можно наблюдать способность математического метода охватывать и самый процесс перехода познания действительности с одной ступени на следующую. Почти не существует области физики, не требующей употребления весьма развитого математического аппарата, но часто основная трудность исследования заключается не в развитии математической теории, а в выборе предпосылок для математической обработки и в истолковании результатов, полученных математическим путём. Американский исследователь Ф. Дайсон пишет: "Математика для физики - это не только инструмент, с помощью которого она может количественно описать явление, но и главный источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории".

Прямые связи математики с техникой имеют характер применения уже созданных математических теорий к техническим проблемам. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезическими работами; изучение многих новых типов дифференциальных уравнений в частных производных было начато с решения технических проблем; операторные методы решения дифференциальных уравнений были развиты в связи с электротехникой. Из запросов связи возник новый раздел теории вероятностей — теория информации. Задачи синтеза управляющих систем привели к развитию новых разделов математической логики. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в развитии методов приближённого решения дифференциальных уравнений играли технические задачи. Целиком на технической почве были созданы многие методы приближённого решения дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений. Задача быстрого фактического получения численных решений приобретает большую остроту с усложнением технических проблем. В связи с возможностями, которые открыли компьютеры для решения практических задач, всё большее значение приобретают численные методы. Высокий уровень теоретической математики дал возможность быстро развить методы вычислительной математики. Вычислительная математика сыграла большую роль в решении ряда крупнейших практических проблем, включая проблему использования атомной энергии и космические исследования.

Принципиально новые возможности мыслительной деятельности открылись с изобретением ЭВМ, с созданием машинной математики. В языке математики произошли существенные изменения. Если язык классической вычислительной математики состоял из формул алгебры, геометрии и анализа, ориентировался на описание непрерывных процессов природы, изучаемых, прежде всего в механике, астрономии, физике, то современный её язык - это язык алгоритмов и программ, включающий старый язык формул в качестве частного случая. Выдающийся учёный Н. Винер – в 1945–1947 заинтересовался системами с обратной связью и проблемами передачи, хранения и переработки информации. Новую науку – общую теорию управления и связи – он назвал кибернетикой. В своей книге, подводившей итог жизни, и названной «Я – математик» Винер сказал: «Высшее назначение математики состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает». Современные создатели компьютерных программ отчётливо осознают, что без знания математического аппарата их работа невозможна. Опрос программистов, проведённый на сайте CyberForum.ru показал, что подавляющее большинство (91 %) программистов применяют или применяли математику в программировании.

Может возникнуть вопрос: «А присутствует ли математика в архитектуре?». Достаточно взглянуть на здания, и мы тут же увидим знакомые геометрические фигуры: параллелепипед, треугольные фронтоны, полукруглые и прямоугольные окна.… И это лишь малая часть геометрических фигур, которые радуют глаз при взгляде на красивые здания и сооружения. До определенного момента в истории математика и архитектура развивались в тесной взаимосвязи. В XVIII веке математика и архитектура начинают развиваться параллельно. Изобретение компьютера послужило отправной точкой для повторного проникновения математики в архитектуру. В это же время выясняется, что уже давно существует некий параллелизм их языков: по-разному формулируются одни и те же проблемы. То есть разрыв между дисциплинами ни к чему не привел и гораздо выгоднее восстановить существовавшие прежде связи, нежели поддерживать искусственное разделение - то есть шире использовать математические методы в архитектурном проектировании.

Математика используется, в том числе, и для решения строительных задач. Конечно, существуют сложные строительные задачи – такие, например, как расчет прочности несущих элементов здания. Здесь могут применяться громоздкие математические формулы, объемные таблицы сопротивления материалов и емкие расчеты. Но существуют более простые задачи, с которыми сталкивается буквально каждый строитель – практик. Например, широко известна строительная задача, которую с успехом решает математика. Одним из самых важных условий при постройке нового дома всегда было правильно разметить углы. Но как получить прямой угол? Ответ на этот вопрос дал греческий математик Пифагор, сформулировав и доказав свою известную теорему. С тех пор задача разметки углов в профессиональном строительстве решается именно через прямоугольный треугольник.

Еще одна строительная задача, при решении которой применяется математика – замер площадей сложной формы. Допустим, есть зал с большим количеством ниш, и в некоторых местах стены соприкасаются не под прямым углом. Требуется застелить пол зала каким – либо материалом. Но чтобы заказать нужное количество материала, необходимо знать площадь пола. Математика решает эту задачу путем разделения сложной фигуры на прямоугольники и треугольники. После вычисления их площадей, полученные значения суммируются.

С развитием технологий математика начинает влиять и на процессы проектирования и строительства. Так В. Г. Шухов (имя которого носит университет) был блестящим математиком. Виртуозное соединение научных поисков с практическими знаниями во многих областях техники и технологии позволили Шухову сделать множество открытий и изобретений. Уникальным достижением, демонстрирующим победоносный союз науки и производства, была выставка в Нижнем Новгороде 1896 года. Строительной фирмой, главным инженером которой в то время был В.Г. Шухов, построено 8 павильонов, общей площадью 25 тыс.м2. Конструкции каждого павильона уникальны, ни одного повторяющегося решения не позволил себе великий инженер. На примере этих построек можно говорить о формообразующей роли математики. Идя от математических формул, Шухов пришел к конструктивно совершенным и легким строительным конструкциям. Творчество В. Г. Шухова — пример уникального синтеза теоретических и практических задач.

рис. 1 В 1913-1917 годах, над перронами Киевского вокзала сооружен красивый навес из 31 арки высотой более 28 м ( современное фото)


рис. 2 Гиперболоидные мачты броненосца «Император Павел I», Кронштадт.

(фото 1912 г.)

hello_html_6f70ab3b.png

hello_html_m39cb4de4.png


hello_html_m1a4ee8d2.png

hello_html_4478d704.png

рис. 3 Вид работ по строительству одного из павильонов Нижегородской выставки (фото1895 г.)

рис. 4 Вид на павильоны Нижегородской выставки (фото1896 г.)



Математика и математическое образование в современном мире

Опыт предыдущих поколений и прикладная роль математики в различных областях человеческой деятельности предопределяют особый статус математики в современном естествознании. По итогам ЕГЭ 2010 5,1% выпускников российских школ не смогли сдать экзамен по математике, только 157 человек из 970 000 набрали высший балл. Такие результаты говорят о серьёзности ситуации с изучением данного предмета, и не только в средней школе. Вопрос о пользе проведения выпускного экзамена в форме ЕГЭ и сегодня остается открытым. Математическое сообщество несет свою долю ответственности за повсеместно наблюдаемое давление со стороны правительства и общества в целом, направленное на уничтожение математической культуры как части культурного багажа каждого человека и, в особенности на уничтожение математического образования. Выхолощенное и формализованное изучение математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой.

В истории России был премьер-министр с математическим образованием: окончивший Санкт-Петербургский университет по курсу математике в школе П.Л. Чебышева - граф Витте. Стиль работы Витте по руководству Кабинетом министров заключался вовсе не в применении какой-либо математики ("исчисления"), а в том способе мышления, который он сам называл "математикой-философией" и который заставляет человека с математическим образованием думать обо всех реалиях окружающего мира с помощью (сознательного или бессознательного) математического моделирования. Витте отлично разбирался в реальной жизни страны и в проблемах экономики и техники. С его именем связана вся грандиозная эпоха "развития капитализма в России", в том числе - строительство действующей и сейчас сети железных дорог.

Математическое образование должно составлять неотъемлемую часть культурного багажа каждого человека, но, к сожалению, в настоящее время, повсеместно наблюдается отвращение к математике руководителей различных уровней, стремление отомстить за перенесенные в школе «унижения» уничтожением математических знаний.

А ведь ещё древнегреческий философ Платон говорил: «Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само государство и если бы лиц, занимающих высшие государственные должности, приучали заниматься математикой и в нужных случаях к ней обращаться .

( из сочинения «Государство» 370-360 г. до н.э.)






Литература


  1. Колмогоров А. Н., Математика. //Математический энциклопедический словарь. – М. СЭ, 1988;

  2. Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961;

  3. Рыбников К. А., История математики, т. 1—2, М., 1960—63;

  4. Бурбаки Н., Очерки по истории математики, перевод с французского, М., 1963;

  5. Курант Р., Вступительная статья к сборнику «Математика в современном мире» М., Мир, 1967;

  6. Винер Н., «Я – математик» изд.2, - М. Наука, 1967;

  7. Гильде В. Зеркальный мир. - М., Мир, 2007;

  8. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - М., Просвещение, 2007;

  9. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М., Просвещение, 2005;

  10. Фирсов В.В. О прикладной ориентации курса математики. Статья в журн. «Математика в школе» № 6-7 -2006.




Использованы материалы сайтов:

  1. http://gorod.tomsk.ru;

  2. http://ru.wikipedia.org;

  3. http://www.mmonline.ru;

  4. http://www.cultinfo.ru;

  5. http://www.cyberforum.ru;

  6. http://khpi-iip.mipk.kharkiv.edu.

  7. http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika







УДК 510.21(470.638)

Фадеева Наталья Олеговна, старший преподаватель кафедры естественно – научных дисциплин Северо-Кавказского филиала Белгородского государственного технического университета им. В.Г. Шухова.

В предлагаемой статье рассматривается прикладная роль математики для специальностей, по которым ведет подготовку вуз. Работа содержит краткий экскурс в историю развития математики с древности до наших дней. Поднимаются проблемы развития математического образования в современном обществе.








Краткое описание документа:

Фадеева Наталья Олеговна, старший преподаватель кафедры естественно – научных дисциплин Северо-Кавказского филиала Белгородского государственного технического университета им. В.Г. Шухова.

 

             В предлагаемой статье рассматривается прикладная роль математики для специальностей, по которым ведет подготовку вуз. Работа содержит краткий экскурс в историю развития математики с древности до наших дней. Поднимаются проблемы развития математического образования в современном обществе.

УДК 510.21(470.638)

Автор
Дата добавления 14.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1572
Номер материала 188725
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх