Розныя спосабы рашэння квадратных ураўненняў

Тэма: Розныя спосабы рашэння квадратных ураўненняў

Мэты:

1. Адукацыйная:

Паўтарыць асноўныя віды квадратных ураўненняў і метады іх рашэння; пазнаёміць з новымі метадамі; абагульніць і сістэматызаваць уменні вучняў рашаць квадратныя ўраўненні; прымяняць веды пры падрыхтоўцы да ЦТ.

2. Развіваючая:

Удасканальваць лагічнае мысленне вучняў; ўмення класіфікаваць аб'екты; ўмення выбіраць галоўнае; матэматычнай мовы вучняў;

3. Выхаваўчая:

працягваць выхаванне пазнавальнай цікавасці да прадмета.

Ход урока

I Арганізацыйны момант

Сёння на ўроку мне хацелася б запрасіць вас зазірнуць у цудоўны свет матэматыкі - у свет ураўненняў, у свет пошуку.

Тэма нашага урока “Розныя спосабы рашэння квадратных ураўненняў”.

Мы замацуем навыкі рашэння ураўненняў, успомнім асноўныя спосабы іх рашэння, і вывучым новыя. Кожны з вас павінен умець правільна, хутка і рацыянальна рашаць квадратныя ўраўненні.

Таму дэвізам нашага ўрока будуць словы вялікага матэматыка Андрэя Мікалаевіча Калмагорава "Паспрабуйце замяніць запамінанне разуменнем".

Гэтая тэма вельмі важная ў курсе матэматыкі, так як яна з'яўляецца першай ступенькай у вывучэнні больш складанага матэрыялу. Вам дадзены ключ да рашэння квадратных ураўненняў, і, калі вы навучыліся ім карыстацца, вы зможаце рашыць любое квадратнае ўраўненне. А сёння вы пакажаце, наколькі гатовыя карыстацца гэтым ключом.

Сёння я хачу падарыць вам ключ, які адкрывае ўсе «замкі» ў душах людзей. Ці ведаеце вы такі ключ? Гэта ўсмешка. Прыгожа ўсміхацца трэба ўмець. Падаруйце мне ўсмешку. Павярніцеся да свайго суседа і падаруйце яму ўсмешку.

Квадратныя ўраўненні - гэта фундамент, на якім пакоіцца велічны будынак алгебры. Квадратныя ўраўненні знаходзяць шырокае прымяненне пры рашэнні трыганаметрычных, паказальных, лагарыфмічных, ірацыянальных ураўненняў і няроўнасцей.

У школьным курсе матэматыкі вывучаюцца формулы каранёў квадратнага ураўненняў, з дапамогай якіх можна рашаць любыя квадратныя ўраўненні. Аднак маюцца і іншыя спосабы рашэння квадратных ураўненняў, якія дазваляюць хутка і рацыянальна вырашаць многія ўраўненні.

Сёння на ўроку мы з вамі будзем прымаць удзел у будаўніцтве Храма Ведаў. Любое будаўніцтва пачынаецца з закладкі фундамента. Фундаментам для трывалых ведаў з'яўляецца добрае веданне тэарэтычнага матэрыялу.

-Итак, Закладваем фундамент.

II Паўтарэнне тэарэтычнага матэрыялу па тэме “Квадратныя ўраўненні”

Будаўніцтва фундаменту

1

Тэарэтычная размінка

1. Якое ўраўненне называецца квадратным?

Адказ: квадратнае ўраўненне называецца ўраўненнем выгляду x - зменная, а, b, с- лікі.

2. Як называюць каэфіцыенты квадратнага ўраўнення?

Лікі а, b, с называюцца каэфіцыентамі квадратнага ўраўнення. Лік a называюць старшым каэфіцыентам, лік b- сярэднім каэфіцыентам, лік с- свабодным членам.

3. Якія ўраўненні называюцца няпоўнымі квадратнымі ураўненнямі?

Адказ: няпоўнымі квадратнымі ўраўненнямі называюцца ураўненні калі, b = 0 або с = 0.

3. Якое квадратнае ўраўненне называецца прыведзеным?

Адказ: Квадратнае ўраўненне называюць прыведзеным, калі яго старэйшы каэфіцыент роўны 1. Квадратнае ўраўненне называюць не прыведзеным, калі старэйшы каэфіцыент адрозны ад 1.

5. Які выраз называецца дыскрымінантам квадратнага ўраўнення?

6 Для квадратнага ўраўнення запішыце формулу каранёў.

7. Што вызначаюць па дыскрымінанту квадратнага ўраўнення?

Адказ: Па дыскрымінанту квадратнага ўраўненні вызначаюць, колькі яно мае каранёў.

8. Метады рашэння квадратных ураўненняў

Адказ: Метад вылучэння поўнага квадрата. Па формуле каранёў. З дапамогай тэарэмы Віета

9. Якія ўраўненні называюцца біквадратнымі?

Адказ: Ураўненне выгляду ax⁴ + bx² + с = 0

10. Сфармулюйце тэарэму Віета?

 Адказ: Сума каранёў прыведзенага квадратнага ўраўнення роўна другому каэфіцыенту, ўзятаму з процілеглым знакам, а здабытак каранёў роўны свабоднаму члену.

РАЗМІНКА

;

Знайдзі “памылку”

Адказ: 1 і 1,5. Адказ: 6 і -1.

2

Адказ: 3 і -8.

Заданні для вуснай працы:

1.Заданне на вызначэнне віду ўраўненняў.

Ребята, тут вы бачыце ўраўненні падобныя па нейкай прыкмеце. Як вы думаеце, якое з ураўненняў кожнай групы лішняе.

Адказ:

А: 3- лішняе, бо гэта поўнае квадратнае ўраўненне, а 1; 2; 3-няпоўныя квадратныя ўраўненні.

Б: 2-лішняе, бо гэта ўраўненне агульнага выгляду, а 1; 2; 3- прыведзеныя квадратныя ўраўненні.

2. Не рашаючы ўраўненні, знайдзіце карані:

3. Якія з ураўненняў не маюць каранёў

4. Не рашаючы ўраўненне: х² −8х + 7 = 0.

Знайдзіце:

а) суму каранёў:

          б) здабытак каранёў:

          в) карані дадзенага ураўнення:

Рашэнне прыкладаў каля дошкі

1. 2х²-5х+2=0,

2. 6х²+5х+1=0,

3. 2х²-3х+2=0,

4. 4х²-12х+9=0.

Адказы: 1) х₁= ½, х₂=2. 2) х₁= -½, х₂= -⅓. 3) рашэнняў няма. 4) х₁=1,5, х₂=1,5.

3

Давайце праверым, ці моцны у нас атрымаўся фундамент (работа ў парах)

5. Знайдзіце суму і здабытак каранёў у наступных ураўненнях:

Скажыце,якім метадам лепш рашыць гэтыя ўраўненні?

Дадатковае пытанне: знайдзіце суму квадратаў яго каранёў.

(Адказ: З формулы квадрата сумы лікаў х₁ і х₂ вынікае, што х₁² + х₁² = (х₁ + х₂)² – 2х₁х₂

6. Метад вылучэння поўнага квадрата

Рашыць ураўненні метадам вылучэння поўнага квадрата

х² + 6х – 7 =0 х² – 8х – 9=0

7. Рашэнне біквадратных ураўненняў

х⁴-14х²-32=0; х₁=-4,х₂=4

4х⁴-5х²+1=0; х₁=1,х₂=1,х₃=½,х₄=-½

Моцны атрымаўся фундамент.

А зараз прыступім да будаўніцтва сцен.

IV Будаўніцтва сцен

Ребяты, якія сцены вы хочаце бачыць у сваім Храме Ведаў?

- Сцены павінны быць трывалымі;

- якасна пабудаванымі;

- прыгожа і маляўніча аформленымі;

- акуратнымі.

Усё гэта, вядома, залежыць ад вас, а вашыя пажаданні я прапаную рэалізаваць у рашэнні гэтых ураўненняў.

345х²-137х-208=0

313х²+326х+13=0

Вы рашалі квадратныя ўраўненні рознымі спосабамі: вылучэннем квадрата двучлена, па формуле каранёў, з дапамогай тэарэмы Віета, і кожны раз пераконваліся ў тым, што ўраўненні можна рашыць лягчэй і хутчэй. Зараз мы пазнаёмімся яшчэ з адным спосабам рашэння, які дазволіць вусна і хутка знаходзіць карані квадратнага ўраўненні.

Ребяты, паглядзіце на гэтыя ўраўненні і іх карані. Паспрабуйце знайсці заканамернасць:

а) у каранях гэтых ураўненняў;

б) у адпаведнасці паміж асобнымі каэфіцыентамі і іх каранямі;

в) у суме каэфіцыентаў.

Заданне 1 групе

Ураўненні

Карані

a + b + c

3х² - 7х + 4 = 0

х₁ = 1, х₂ =

3-7+4

5 х² - 8х + 3 = 0

х₁ = 1, х₂ =

5-8+3

5 х² - 6х + 1 = 0

х₁ = , х₂ = 1

5-6+1

х² + 5х – 6 = 0

х₁ = 1, х₂ = - 6

1+5-6

4

Заданне 2 групе

Ураўненні

Карані

a+ c = b

х² - 22х – 23 = 0

х₁ = - 1, х₂ = 23

1 – 23 = - 22

15 х² - 22х – 37 = 0

х₁ = - 1, х₂ =

15 – 37 = - 22

5 х² + 9х + 4 = 0

х₁ =, х₂ = - 1

5 + 4 = 9

х² - 8х – 9 = 0

х₁ = 9, х₂ = - 1

1 – 9 = - 8

Вывад групы № 1:

Сума каэфіцыентаў роўная 0

а + в + с = 0 .

Першы корань: х₁ = 1 .

Другі корань: х₂ = .

Вывад групы № 2 :

а + с = в.

Першы корань: х₁ = -1.

Другі корань: х₂ = .

Заданне II групе

1. 5х²-7х+2=0; х₁= 1, х₂=

2. 3х²+5х-8=0; х₁=1, х₂=

Заданне I групе

3. 11х²+27х+16=0; х₁= - 1, х₂ =

4. 939х²+978х+39=0 х₁ = -1, х₂ = -

345х²-137х-208=0 (345-137-208=0), значыць, х₁= 1,х₂= - 208/345.

313х²+326х+13=0 (326=313+13), значыць х₁=-1,х₂=-13/313.

Прапаную рашыць задачу індыйскага матэматыка Бхаскара Агара.

5

Я бачу, што з гэтай працай вы справіліся паспяхова, сцены збудавалі моцныя і трывалыя, а цяпер настаў час крыху адпачыць.

V Фізкультхвілінка

А вось цяпер можна смела пераходзіць да наступнага этапу будаўніцтва даху.

VI Будаўніцтва даху

Ребята, я вельмі баюся вышыні, таму прапаную вам ўзвесці дах самастойна. Для нас з вамі ўзвядзенне даху - гэта выкарыстанне атрыманых ведаў на вышыні, гэта значыць, самастойнае выкананне задання.

Вам прапануецца самастойна рашыць тэсты.

Самастойная работа

Кітайская мудрасць гаворыць: " Я чую - я забываю, я бачу - я запамінаю, я раблю - я засвойваю ". Зараз Вам трэба будзе выканацьсамастойную работу. Я спадзяюся, што ў ходзе гэтай працы вы засвоіце ўсё тое, што яшчэ ў пачатку ўрока выклікала ў вас цяжкасці.

Ребята, вы выдатна справіліся з будаўніцтвам і пабудавалі Храм Ведаў. Як вы лічыце, якія будынкі можна аднесці да Храма Ведаў?

(Школы, бібліятэкі, навучальныя ўстановы, музеі, а таксама нашу школу). Чаму?

Ребяты, вы павінны берагчы яе, радаваць сваімі поспехамі і дасягненнямі, бо - наша школа - гэта «Белы Храм навукі і дабра».

VII Падвядзенне вынікаў.

Ребяты, на гэтым наша будаўніцтва Храма Ведаў падышло да канца. Засталося толькі падвесці вынік.

Так, чым мы сёння займаліся на ўроку?

 Малайцы, ребяты, вы сёння вельмі добра папрацавалі на ўроку. А цяпер я хачу прапанаваць вашай увазе прытчу. Паслухаўшы яе ўважліва, вы павінны будзеце ацаніць сваю працу на ўроку.

Прытча. Ішоў мудрэц, а насустрач яму тры чалавекі, везлі пад гарачым сонцам каляскі з камянямі для будаўніцтва храма. Мудрэц спыніўся і задаў кожнаму па пытанні. 6.

У першага спытаў: Што ты рабіў цэлы дзень?

І той з ухмылкай адказаў, што цэлы дзень вазіў праклятыя камяні.

У другога спытаў: «А ты што рабіў цэлы дзень?» І той адказаў: «Я добрасумленна выконваў сваю працу».

А трэці ўсміхнуўся, яго твар засвяціўся радасцю і задавальненнем, і ён адказаў: «А я прымаў удзел у будаўніцтве Храма».

Ребяты! Хто працаваў так, як першы чалавек, падніміце жоўтыя карткі.

Хто працаваў добрасумленна? Падніміце зялёныя карткі.

А хто прымаў удзел у будаўніцтве Храма Ведаў? Падніміце чырвоныя карткі.

А скончыць наш ўрок мне хочацца такімі словамі:

        Да матэматыкі здольнасць праяўляй,

        Не лянуйся, а штодня развівай,

        Паўтарай, вучы, працуй,

        З матэматыкай сябруй!

Дзякуй за ўрок!

Гімнастыка для вачэй

Практыкаванне 1. Зрабіце 15 вагальных рухаў вачыма па гарызанталі справа-налева, затым злева-направа.

Практыкаванне 2. 15 вагальных рухаў вачыма па вертыкалі - уверх-уніз і ўніз-уверх.

Практыкаванне 3. Таксама 15, але кругавых вярчальных рухаў вачыма злева-направа.

Практыкаванне 4. Тое ж самае, але справа-налева.

Практыкаванне 5. Зрабіце па 15 кругавых вярчальных рухаў вачыма спачатку ў правую, затым у левую боку, як бы вычэрчваючы вачыма выкладзеную набок лічбу

7

Дзяржаўная ўстанова адукацыі

“Прыбалавіцкая сярэдняя школа”

Розныя спосабы рашэння квадратных ураўненняў

Акуліч Е. К.

настаўнік матэматыкі

2015 г.

Варыянт1

1. Якое з ўраўненняў не з'яўляецца квадратным?

1. х + 5 =6

2. 4х² + х = 4х – 2

3. 3 + х² = 0

4. 2х – х² – 8 = 0

2. Знайдзіце каэфіцыенты a, b, c квадратнага ўраўнення

х – 2х ² + 7 = 0.

а)1, -2, 7

б) 0, -2, 7

в) -2, 1, 7

д) другой ответ

3. Выберыце ўраўненне, дыскрымінант якога роўны 49..

а) 5х²+3х + 2= 0

ы) 2х² – 3х – 5 =0

о) 3х² – 3х – 7 = 0

е) 2х² – 3х + 5 = 0

4. Знайдзіце суму і здабытак каранёў ўраўнення

х² + 17х+ 52 = 0

к) 17 і 52; д) -17 і 52; с) - 17 і – 52.

5. Знайдзіце суму каранёў ураўнення: 5х² - 13х + 9 = 0.

а) 2,6; б) - 2,6; в) 13; г) 9.

6. Знайдзіце здабытак каранёў ўраўнення: 3х² - 7х - 8 = 0.

к) 8; л) ; т) ; п) – 8.

7. Рашыць метадам каэфіцыентаў 3х² + 4х + 1 = 0

п) 1 і 3; д) – 1 і ; н) 1 і ; к) 1 і - .

8. Рашыць метадам каэфіцыентаў 5х² - 4х – 9 = 0

а) -1 і б) 4і – 9; в) – 4 і 9.

9. Рашыце біквадратнае ўраўненне х⁴ +5х² - 36 = 0

?) -3; -2; 2; 3, !) -2; 2; !?) 2 і 3.

Варыянт2

1. Якое з ураўненняў не з'яўляецца квадратным?

1. 2х – 3х² = х +5

2. 4 + х = 4х – 2

3. 3 + х² = х²

4. х² – 4 = 12

2. Знайдзіце каэфіцыенты a, b, c квадратнага ўраўнення

3х² – 2х + 7 = 0.

а) 3, -2, -7

к) -2, 3, 7

ц) 3, -2, 7

г) другой ответ

3. Выберыце ураўненне, дыскрымінант якога роўны 25.

ю)х²+3х + 4= 0

у) 4х² + 3х – 1 =0

э) 16х² – 3х = 0

с) 2х² – 3х + 2 = 0

4. Знайдзіце суму і здабытак каранёў ўраўнення

х² - 15х+ 36 = 0

а) - 15 і 36; б) 15 і - 36; в) – 15 і – 36; д) 15 і 36.

5. Знайдзіце суму каранёў ураўнення: 4х² + 22х - 7 = 0.

а) 22; б) корней нет; в) - 22; о) -5,5.

6. Знайдзіце здабытак каранёў ўраўнення: 5х² - 2х + 9 = 0.

а) 9; ў) 1,8; в) каранёў не мае; г) - 2.

7. Рашыць метадам каэфіцыентаў 7х² + 2х – 5 = 0

к) 1 і – 5; л) – 1 і ; м) 1 і ; н) - 1 і .

8. Рашыць метадам каэфіцыентаў 13х² - 18х + 5 = 0

а) 1 і б) – 1 і 13; в) 1 і .

9. Рашыце біквадратнае ўраўненне х⁴ – 7х² + 12 = 0

?) - 2 і 2; !) -2 ; 2; ; - ; !?) 3 і 4.

Алгарытм рашэння квадратнага ўраўнення

Рашыць квадратнае ўраўненне

1. Знайдзіце каэфіцыенты квадратнага ўраўнення

2. Запішыце формулу для знаходжання дыскрымінанта квадратнага ўраўнення

3. Знайдзіце дыскрымінант

4. Запішыце формулу для знаходжання каранёў квадратнага ўраўнення

5. Знайдзіце карані квадратнага ўраўнення

6. Запішыце адказ

2х²+5х-7=0

a= , b= , c=

D=

D=

х_1,2=

х₁=

х₂=

Ответ:

Алгарытм рашэння квадратнага ўраўнення

Рашыць квадратнае ўраўненне

1. Знайдзіце каэфіцыенты квадратнага ўраўнення

2. Запішыце формулу для знаходжання дыскрымінанта квадратнага ўраўнення

3. Знайдзіце дыскрымінант

4. Запішыце формулу для знаходжання каранёў квадратнага ўраўнення

5. Знайдзіце карані квадратнага ўраўнення

6. Запішыце адказ

2х²+5х-7=0

a= , b= , c=

D=

D=

х_1,2=

х₁=

х₂=

Ответ:

Алгарытм рашэння квадратнага ўраўнення

Рашыць квадратнае ўраўненне

1. Знайдзіце каэфіцыенты квадратнага ўраўнення

2. Запішыце формулу для знаходжання дыскрымінанта квадратнага ўраўнення

3. Знайдзіце дыскрымінант

4. Запішыце формулу для знаходжання каранёў квадратнага ўраўнення

5. Знайдзіце карані квадратнага ўраўнення

6. Запішыце адказ

2х²+5х-7=0

a= , b= , c=

D=

D=

х_1,2=

х₁=

х₂=

Ответ:

I

1. 11х²+27х+16=0;

2. 939х²+978х+39=0.

II

1. 5х²-7х+2=0;

2. 3х²+5х-8=0.

Работа ў групе 1

Паспрабуйце знайсці заканамернасць:

а) у каранях гэтых ураўненняў;

б) у адпаведнасці паміж асобнымі каэфіцыентамі і іх каранямі;

в) у суме каэфіцыентаў.

Заданне 1 групе

Ураўненні

Карані

a + b + c

3х² - 7х + 4 = 0

х₁ = 1, х₂ =

3-7+4=0

5 х² - 8х + 3 = 0

х₁ = 1, х₂ =

5-8+3=0

5 х² - 6х + 1 = 0

х₁ = , х₂ = 1

5-6+1=0

х² + 5х – 6 = 0

х₁ = 1, х₂ = - 6

1+5-6=0

Работа ў групе 2

Паспрабуйце знайсці заканамернасць:

а) у каранях гэтых ураўненняў;

б) у адпаведнасці паміж асобнымі каэфіцыентамі і іх каранямі;

в) у суме каэфіцыентаў.

Заданне 2 групе

Ураўненні

Карані

a+ c = b

х² - 22х – 23 = 0

х₁ = - 1, х₂ = 23

1 – 23 = - 22

15 х² - 22х – 37 = 0

х₁ = - 1, х₂ =

15 – 37 = - 22

5 х² + 9х + 4 = 0

х₁ =, х₂ = - 1

5 + 4 = 9

х² - 8х – 9 = 0

х₁ = 9, х₂ = - 1

1 – 9 = - 8