Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

16





Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Треба математику не тільки викладати,

як науку абстрактну, а й переходити до

різноманітних практичных ії застосувань.

М.В.Остроградський.

Тема уроку: Роз`язування рівнянь з параметрами.(10клас).

Мета уроку: вивчити означення рівняння з параметрами,

навчитися розв`язувати лінійні та дробові

рівняння з параметрами,

розвивати логічне мислення учнів, вміння

аналізувати, робити висновки,

виховувати культуру математичної мови .

Тип уроку: комбінований .

Формувати компетентності:

- продуктивної творчої діяльності- вміння побачити та сформулювати проблему, знаходити нові рішення;

- інформаційні- розуміння та усвідомлення інформації, залу- чення власного досвіду;

- комунікативні - вмінні доводити власну точку зору;

4.)соціальні:-стимулювання пізнавальної активності учнів,

встановлення причинно-наслідкових зв`язків.

Хід уроку

1.Вступне слово вчителя.

Постановка проблеми.

Задачі з параметрами завжди зустрічалися на вступних іспитах до вищих навчальних закладів, і вже на протязі трьох років проведення тестування випускників середніх шкіл пропонуються при виконанні завдань високого рівня. Розв`язання задач з параметрами є одним із самих ефективних способів розвинення інтелектуальних здібностей учнів. Взагалі, при розв`язанні задач з хімії та фізики вам неодноразово приходилось розв`зувати задачі з параметрами.

Які рівняння можна вважати рівняннями з параметрами?

Які рівняння з параметрами ви вже роз`язували?

2.Актуалізація опорних знань учнів:

Розв`яжіть рівняння 2x-8=2x+6 ; та 2x-8=2x-8.

В обох випадках в результаті розв`язання ми отримали лінійне рівняння виду ax=b. Але від чого залежить його відповідь?

hello_html_6f74ba29.gif Розв`язування рівняння зручно записати у вигляді

























Повторити загальний вигляд слідуючих функцій:

1).Пряма пропорційність y=kx (x ,y –змінні; k– параметр, hello_html_31f1264c.gif);

2).Лінійна функція y=kx+b ( x –змінна; a і b - параметри ) ;

3)Квадратне рівняння hello_html_m22f8cc0e.gif (xзмінна; a ,b,. с параметри, hello_html_m170a01d8.gif).

3.Вивчення нового матеріалу.

Рівнянням зі змінною х і параметром а називається рівняння

виду f(x;а)=0.

Розв`язати рівняння з параметром - означає знайти для кожного допустимого значення а множину розв`зків рівняння.

Для розв`язування рівнянь з параметрами необхідно знати властивості елементарних функцій, властивості рівнянь і нерівностей і вміти їх досліджувати. Одним із важливих етапів розв`язування рівнянь з параметрами є запис відповіді.

Складання відповіді - це сбір отриманих раніше результатів. У відповіді дуже важливо відобразити всі етапи розв`язування приклада.

Розв`язувати рівняння з параметром доцільніше з а слідую чим планом.

План роз`язування рівнянь з параметрами.

1.Знайти критичні значення параметра.

2.Знайти розв`язкі рівняння для критичних значень параметра.

3.Знайти множини розв`язків на інтервалах між критичними значеннями параметра.

4.Побудувати графічну ілюстрацію і записати відповідь.



4.Сприймання і усвідомлення прийомів розв`язування

рівнянь з параметрами.

Колективне розв`язування вправ.

Приклад. Розв`язати рівняння hello_html_m5d3fd84b.gif

Розв`язання.

Щоб знайти критичні значення параметра, необхідно знайти ті значення параметра, які обертають в нуль коефіцієнт при х.

  1. а =0 , 2х+1=0 , х= -0,5.

  2. hello_html_1805c1e5.gif

hello_html_m4bcbe820.gifВідповідь. Якщо hello_html_m2c6f6dbb.gif ,то розв`язків немає;

якщо а=1 , то х=-1 ;

якщо а=0 , то х=-0,5;

якщо hello_html_1ba38614.gif





Р`язування лінійних рівнянь з параметрами.

На початку уроку ми розглянули таблицю , в якій було показано, які можливі критичні значення лінійних рівнянь з параметрами.

За допомогою цієї схеми розв'яжіть рівняння з параметром.

Приклад 1. hello_html_mec407f7.gif

Розв`язання.

1hello_html_7cf97e8e.gif)а=0, рівняння приймає вигляд hello_html_37917e4e.gif ;це рівняння коренів немає;

2)а=2,рівняння приймає вигляд hello_html_1d1f383b.gif; х є R.

3)Якщо hello_html_56ebf473.gif ,то рівняння можливо перетворити до виду х=1/2а.

Відповідь: якщо а=0 ,то коренів немає, якщо а=2,то х є R , якщоhello_html_56ebf473.gif , то х=1\2а.

Приклад 2. hello_html_m38e63cce.gif

Відповідь:

hello_html_m78bfe352.gif

5.Осмислення вивченого матеріалу.

Виконання вправ.

1.Для кожного допустимого значення а розв’язати рівняння :

а) (аhello_html_m3172e248.gif -9)х=а+3;

б) (а+1)х =аhello_html_m3172e248.gif -1.

2. а) Для яких значень t рівняння 3(2-х)=4(t-2х) має додаткові

hello_html_m53d4ecad.gifрозв’язки ?

б) Для яких значень k рівняння hello_html_m5a25e7e6.gif

має від’ємні розв’язки ?

Питання вчителя : 1.Чи правильним шляхом пішли учні

при розв’язуванні вправ ?

2. З чим із сказаного ви згодні і чому ?

3. Для яких значень k рівняння hello_html_m728b7e03.gif

має єдиний розв’язок ; не має розв’язків ?

(k=0, єдиний розв’язок); (k=5,немає розв’язків )

6. Сприймання і усвідомлення методів розв’язування дро

бових рівнянь з параметрами.

Пригадати :

- які рівняння називаються дробовими ?

- що називається множиною допустимих значень дробового

рівняння?

Колективне розв’язування вправ.

Приклад 1. Для кожного допустимого значення параметра а

розв’язати рівняння

hello_html_79ebaf54.gif

Розв’язання.

У даному рівнянні допустимими є будь-які значення параметра

а є R. hello_html_m3481ad87.gif hello_html_m7921ebaf.gif, при hello_html_m41874834.gif. Розв’яжемо спочатку перше рівняння системи. Критичними значеннями параметра є а=8/9 .

якщо а=8/9,тоhello_html_m1db8903b.gif,

якщо hello_html_dbfe58.gif

Знайдемо ті значення параметра а, для яких знайдений розв’язок hello_html_m53d4ecad.gifрівняння задовольняє системі нерівностей:

hello_html_5dc59d75.gif

Самостійно побудуйте графічну ілюстрацію.



Відповідь: hello_html_m5e972806.gifякщо а=8/9 або

hello_html_m4fd6b943.gifто рівняння коренів немає.

Приклад 2.

Залежно від значення параметра а ,розв’язати рівняння

hello_html_m3a4bd18d.gif

Відповідь : якщо а=1 або а=1,25 ,то розв’язків немає,

якщо hello_html_m2bc7dc1f.gif



Приклад 3.

При яких значеннях параметра а рівняння hello_html_m1533b1c2.gif



має недодатні розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Відповідь:

якщо hello_html_m77d60bd0.gif



7.Осмислення вивченого матеріалу.

Виконання вправ.

а)Для яких значень t рівняння hello_html_6f29e615.gif має додатні розв’язки?

б)Для яких значень k рівняння

-hello_html_m16498c97.gif має від’ємні розв’язки ?

в) Розв’язати рівняння :

hello_html_m4d6b009.gif; hello_html_m43baff7d.gif .

8.Підведення підсумків уроку.

Проаналізуйте приклади, які ми розв’язували на уроці.

Які рівняння називаються рівняннями з параметрами ?

Що таке критичні значення параметра ?

Як визначити інтервал між критичними значеннями параметра ?

Як записати відповідь при розв’язанні рівнянь з параметрами ?

Що особливого у розв’язанні рівнянь з параметрами , на відміну від всіх відомих вам рівнянь ?

Параметр має противоречиві характеристики. З однієї сторони параметр в рівнянні треба вважати величиною відомою , а з іншої конкретне значення параметра - невідоме. З однієї сторони параметр величина постійна , а з іншої – вона може приймати різні значення. Тобто параметрце невідома відома змінна , постійна величина. Цей «каламбур» дуже влучно відображає гнучкість параметра.

9.Домашнє завдання.

1.Розв`язати рівняння:

а) hello_html_m9fea577.gif;

б) hello_html_m3d1a8111.gif

2.Знайти всі цілі корені рівнянь а) ах=а+5 ; б) hello_html_m296cb9e7.gif







Тема уроку: Розв'язування квадратних рівнянь з параметрами.

(10 клас).

Мета уроку: формувати уміння розв'язувати рівняння з двома па-

раметрами та квадратні рівняння з параметрами;

розвивати вміння аналізувати, робити висновки, зна-

ходити власні оригінальні способи розв'язків задачі;

виховувати інтерес до навчання, творче мислення.

Форма роботи—групова.

Формувати компетентності:

-продуктивної творчої діяльності - вміння побачити та сформувати проблему, знаходити нові рішення, діяти в нестандартних ситуаціях;

-інформаційні – розуміння та усвідомлення інформації, залучення власного досвіду;

-комунікативні – розвитку культури математичного мовлення,

надання аргументованих відповідей, створення проблемних ситуацій;

-соціальні – формування власної оцінки і самооцінки, стимулювання пізнавальної активності учнів.







Хід уроку.

На дошці записано слова Рене Декарта:

«І чим важче доведення, тим більше задоволення тому, хто це доведення знайде.»

1.Перевірка домашнього завдання.

4 учня біля дошки обґрунтовують свої розв'язки.

2.Актуалізація опорних знань учнів.

Які рівняння називаються рівняннями з параметрами?

Як розв'язувати лінійні рівняння з параметрами?

Чим відрізняються розв'язання дробових рівнянь з параметрами від лінійних рівнянь з параметрами?

Як записувати відповідь при розв'язанні цих рівнянь?

3.Сприймання і усвідомлення особливостей розв'язування рівнянь з двома невідомими.

Досі рівняння з параметрами мало лише одну «відомо -невідому» величину а. Чи може наше рівняння мати больше таких величин ?

Учні обговорюють відповідь.

Наприклад як розв`язати рівняння ах=b ?

Скільки параметрів має це рівняння?

У якому вигляді можливо надати означення такого рівняння?

Заслуховуються і рецензуються відповіді учнів.

Вчитель. hello_html_m13d916cb.gif

Нехай f(х,y,a.b)=0 ,де а і b—параметри, тоді:

1)називають недопустимою системою значень параметрів, якщо вираз f(х,y,a.b)=0 немає змісту ні для яких значень х і у;

2)називають допустимою системою значень параметрів, якщо вираз f(х,y,a.b)=0 має зміст для деяких значень х і у.





Розв`язати рівняння з параметрами а і b - означає знайти для кожного допустимого значення а і b , множину розв'язків рівняння.

Виконання вправ.

Група А виконує вправу ах -b-1 = х - а;

Група В виконує вправу х/а +х/b =0;

Гhello_html_m1cb5605e.gifрупа С виконує вправу



Після цього кожна з груп пропонує свої розв`язки біля дошки і обґрунтовує їх.

Рецензують їх розв'язки експерти з інших груп.

4.Сприймання і усвідомлення методів розв`язування квадратних рівнянь з параметрами.

Питання класу.

-дайте означення квадратного рівняння;

- за яких умов квадратне рівняння має два корені, один корінь, не має дійсних коренів;

- сформулюйте теорему Вієта;

- як ви вважаєте , якими будуть критичні значення параметрів a,b, с рівняння де х –невідома змінна?

Підвожу учнів до формулювання алгоритму розв'язування квадратних рівнянь з параметрами.

hello_html_7cf97e8e.gif- якщо а=0, то отримуємо лінійне рівняння;

- якщо то кількість коренів залежить від знака дискримінанта hello_html_m28da1cc0.gif

Виконання вправ.

Група А.Розв'язати рівняння hello_html_a65ebe0.gif

Відповідь :якщо m=0 , то hello_html_m52a6c9a9.gif

якщо hello_html_64a4c483.gif





Група В. Розв`язати рівняння hello_html_m479346b9.gif

Відповідь:якщо k=0 ,то х=-1/2;

якщо hello_html_27e4799f.gif



Група С.Розв'яжіть рівняння hello_html_m38be6d4c.gif

Відповідь: якщо hello_html_m4d95b406.gif то розв'язків немає;

якщо а=-2,то х=-2/3;

якщо hello_html_m6b893768.gif

5.Підсумок уроку.

- Які особливості розв'язування рівнянь , що містять більше ніж один параметр?

- Які особливості розв'язування квадратних рівнянь з параметрами?

6.Домашнє завдання.

1.Скласти лінійне рівняння з двома параметрами.

2.Скласти квадратне рівняння з параметром . Яке б мало дві відповіді.

3.Розв'язати рівняння:hello_html_m4ab4b8f3.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m6ee98633.gif



Тема уроку: Графічні методи розв'язування задач з

параметрами.(10 клас).

Мета уроку: формувати уміння розв'язувати задачі з параметрами,

розвивати уяву, творче мислення, вміння аналізувати,

тренувати зорову пам'ять,

виховувати культуру графічних побудов.



Тип уроку — комбінований.

Формувати компетентності:

-продуктивної творчої діяльності активізацію творчих здібностей учнів;

-інформаційні використання додаткової інформації, вміння переробити інформацію для отримання розв`язку задачі;

-саморозвитку і самоосвіти узагальненя власних знань,

- комунікативну - надання аргументованих відповідей, усні рецензії на відповіді;

- соціальну підвищеня соціального статусу обдарованих учнів, виконання завдань різного рівня, створення проблемних ситуацій.



Хід уроку

1.Перевірка домашнього завдання .

Чотирьом групам учнів були запропоновані завдання повторити властивості і графики елементарних функций, геометричні перетворення графіків функций.

Учні доповідають біля дошки, використовуючи заготовлені заздалегіть плакати і приклади.

Група А –лінійна функція та ії перетворення.

Група В - квадратична функція та ії перетворення.

Група С - обернена пропорційність та ії перетворення.

Група D - графіки з мадулями та їх перетворення.



2.Сприймання і усвідомлення графічних методів розв`язування задач з параметрами.

Пояснення вчителя.

Які знання властивостей графіків функцій можуть допомогти при розв'язанні задач з параметрами ?





Побудова графічної моделі в системі координат х0а.

Параметр а розглядається , як рівноправна змінна з аргументом х.

1.Будуємо графічну модель задачі.

2.Використовуючи прямі а=const отримуємо потрібну інформацію (наприклад, кількість коренів рівняння залежно від значень параметра, властивості розв'язків рівняння).

Побудова графічної моделі в системі координат х0у.

Параметр а нерівноправний зі зміною х.

1.Зводимо рівняння f (x, a)=g (x, a) до вигляду hello_html_m752c166b.gif

2.У системі координат х0у будуємо графік hello_html_m552504e2.gif і сукупність графіків hello_html_60058fd8.gif

3.Аналізуючи гафічну модель, отримуємо потрібну інформацію.

Приклад. Визначте всі значення параметра а для яких рівняння

hello_html_19a621ea.gifмає хоч один додатній корінь.

Розв'язання

hello_html_19a621ea.gifhello_html_m2153a860.pnghello_html_18c6c92.gif





1.hello_html_25c52cc0.gif

2.hello_html_m604c44a9.gif hello_html_m4fc5bf9c.gif

Для кожного фіксованого значення параметра hello_html_2bf087cd.gif параметра а розв` язками рівняння є абсцисами точок перетину даного графіка з горизонтальною прямою hello_html_4ec2545b.gif , яка відповідає цьому значенню параметра.

Як ми бачимо з малюнка ,одна з точок перетину буде мати додатню абсцису тоді і тільки тоді, коли hello_html_2c2b75ce.gif . Це і є шукана

множина значень параметра.

Відповідь.hello_html_m597237f6.gif

3.Осмислення вивченого матеріалу.

Виконання вправ.

1.Знайти всі значення параметра а для яких рівнянняhello_html_m23f541de.gif

має точно 3 корені.

2.Для яких значень параметра а рівняння hello_html_m6a267a09.gif має лише два

різні розв`язки?

3.Для яких значень параметра а має точно два розв'язки система рівнянь hello_html_374e9e35.gif

4.Для якого найбільшого значення параметра а має тільки чотири розв'язки система hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_3872f880.gif

4.Перевірка знань учнів шляхом проведення самостійної роботи під копірку.

1 варіант. Знайти суму всіх значень параметра а для яких має єдиний розв'язок система hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m48afd450.gif

2 варіант. Для якого найменшого цілого додатного значення параметра а система hello_html_1ee05e10.gif не має розв'язків?



5.Підсумок уроку.

Як побудувати графічну модель в системі координат х0а?

Як побудувати графічну модель в системі координат х0у?

Як отримати необхідну інформацію, аналізуючи графічну модель?

6.Домашнє завдання.

Проаналізувати виконання власної самостійної роботи та виконати завдання іншого варіанта.

Підготувати власні вправи з даної теми.







/

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 24.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров748
Номер материала ДВ-482826
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх