5.Ряд Фибоначчи и золотое отношение. Спецкурс "Математика Золотого Сечения"

5. Ряд Фибоначчи и золотое отношение

Прогрессии  и   можно переписать так:

φ; 1 - φ; 2φ - 1; 2 - 3φ; 5φ – 3; 5 - 8φ; 13φ - 8; …

φ + 1; φ + 2; 2φ + 3; 3φ + 5; 5φ + 8; 8φ + 13; 13φ + 21; …

Коэффициенты (или их модули) при φ в каждом двучлене полученных последовательностей составляют ряд

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; …,

каждый член которого, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:

1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.

Этот ряд носит имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы (1180-1240), более известного как Фибоначчи (сын Боначчи).

Найдем отношение смежных чисел ряда Фибоначчи и составим таблицу:

Пары смежных чисел ряда Фибоначчи	1; 1	1; 2	2; 3	3; 5	5; 8	8; 13	13; 21	21; 34
α	1	0,5	≈ 0,667	0,600	0,625	≈ 0,615	≈ 0, 619	≈ 0,617

Замечаем, что отношение смежных чисел ряда Фибоначчи приближается к золотому отношению = 0,6180339887…, то есть . При этом дроби

, , , , , , , , …

называют подходящими.

Построим график приближения подходящих добей к числу φ. Для этого на оси абсцисс будем отмечать номера пар смежных чисел ряда Фибоначчи – n, а на оси ординат – соответствующие подходящие дроби α_n. График приближения представляет собой бесчисленное множество точек, расположенных выше и ниже прямой α = φ (рис.14).

Соединим смежные точки графика отрезками. Получается бесконечная ломаная, которая с ростом номера n «выпрямляется», приближаясь к прямой α = φ. Этот рисунок – наглядная иллюстрация равенства .

Но на этом не заканчивается связь чисел Фибоначчи с золотым отношением.

Перепишем подходящие дроби в таком виде:

Так как , то .

Получилось, что число золотого отношения, иррациональное число φ, равное , можно представить цепной дробью, которая состоит из одних только единиц! Оборвав  бесконечную дробь на каком-нибудь шаге, мы получим одну из подходящих дробей, составленную из чисел Фибоначчи.

Известно и другое представление числа φ, оно также состоит из одних единиц:

Позднее было установлено, что не только классический ряд Фибоначчи (то есть ряд 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; …), но и любой ряд с таким же рекуррентным свойством

f_n+2 = f_n + f_n+1,

но с другими начальными членами a и b, порождает последовательность

a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b, 5a + 8b, ...,

отношение соседних членов которой по мере удаления от начала стремится к величине

φ = ≈ 0,618.

Примером такой последовательности может служить ряд Люка: 1;3;4;7;11;18;29;47; …

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?

Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через φ_S (n), то получим общую формулу φ_S (n) = φ_S (n – 1) + φ_S (n – S – 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 – ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения x^S+1 – x^S – 1 = 0.

Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 –знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезу о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики – новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.

С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.

Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения – числа рациональные. И лишь позже – после открытия пифагорейцами несоизмеримых отрезков – на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа 10, 5, 2, из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.

Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начало счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем золотого уравнения); через него уже выражаются другие действительные числа.

В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной – а не бесконечной, как думали ранее! – суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.