Сабақ жоспары "Алғашқы функция және анықталмаған интеграл"

Пәні: Математика                                                                                                          Сабақтың тақырыбы : Алғашқы функция және анықталмаған интеграл

 Cабақ мақсаты :

-       Теориялық материалдарды нақты есептер шығарту

     арқылы меңгерту.Алғашқы функция, интегралға арналған есептерді    шешу дағдыларына жетілдіру

-       Оқушыларды ұйымшылдыққа, ұқыптылыққа, дәлдікке тәрбиелеу

-       Оқушылардың ойын жеткізе білуін және ой-өрісін дамыту

 Сабақтың түрі:Жаңа   сабақ                                                                                                       Сабақтың көрнекілігі: формула, интер. тақта

Сабақтың барысы :

І. Ұйымдастыру кезеңі    

ІІ. Үй тапсырмасын тексеру.

ІІІ. Жаңа сабақ. Алғашқы функция ұғымы.                                

      Анықтама: Егер берілген аралықта F′(х) = ¦ (х) теңдігі орындалатын болса, онда осы  аралықта F(х) функциясын  ¦(х) функциясы үшін алғашқы функция деп атайды.

      1- мысал:  ¦ (х) =3х², хÎR функциясы үшін алғашқы функция  F(x)=x³ болады, себебі    F' (x)= 3х² =¦ (х) әрбір  хÎR функциясы үшін.

      2- мысал:  F (x)= х³  / 3 функциясы  F (x)= х² функция үшін (- ¥; ¥) интервалында алғашқы функция болады , өйткені барлық  х (- ¥; ¥) үшін

   F' (x)= ( х³  / 3 )'  = 1 / 3 (х³) ' =1 / 3 ∙ 3х²  =  x² = ¦ (х).

Алғашқы функцияның негізгі қасиеті  

 Белгілі бір I аралықта ¦(х) функциясы үшін  алғашқы функциялардың кез-келгенін мына түрде жазып көрсетуге болады,

F (x) + С       (1)

мұндағы С - кез-келген тұрақты шама, ал F(x)+С  I аралығында ¦(х) функциясы   үшін алғашқы функция болып табылады.

егер у = x², онда у' = 2x

егер у = x² +84, онда у'=2x

егер у = x²-15, онда у'=2x

Алғашқы функцияны табудың үш ережесі  

Бұл ережелер дифференциалдаудың сәйкес ережелеріне ұқсас.

1 – ереже.  Егер ¦  үшін алғашқы  функция F, ал g үшін алғашқы функция G болса ,  ¦ + g үшін алғашқы функция  F + G болады .

      Шынында да, F¢ = ¦ және G¢ = g  болатындықтан, қосындының туындысын есептеу ережесі бойынша: (F + G)¢ = F¢ + G¢ = ¦ + g

2 – ереже. Егер ¦  үшін алғашқы  функция F, ал k – тұрақты шама болса , онда k¦ үшін алғашқы функция  k F  болады .

     Шынында да, тұрақты көбейткішті туынды таңбасының алдына шығаруға болады, сондықтан   (kF)¢ = kF¢  = k¦

3 – ереже.  Егер F(x) функциясы ¦ (x)  үшін алғашқы  функция,  ал k мен b – тұрақты шамалар болып ,  k ¹ 0 болса , онда ¦ (kx + b) функциясы  үшін алғашқы функция

      Шынында да, күрделі функцияның туындысын есептеу ережесі  бойынша

                 1                             1

              ── (F (kx + b)) ¢ = ──  F ¢(kx + b)×(kx+b)¢ = ¦ (kx + b)

                k                             k

Функцияның тұрақтылық белгісі . Егер қандай да бір I аралықта

F' (x)=0 болса, онда F функциясы осы аралықта тұрақты шама болады.

Анықталмаған интеграл дегеніміз не? 

Анықтама : Берілген аралықтағы ¦(х) функциясының алғашқы функциясы осы аралықтағы ¦(х) функциясының анықталмаған интегралы деп аталады.

Белгіленуі:  ò ¦(х) dx ( икстен эф де икс функциясының анықталмаған интегралы деп оқылады)

Анықтамаға сәйкес: ò¦(х)dx=F(x)+C

Мұндағы:   ò - интеграл таңбасы

                  ¦(х) – интеграл астындағы функция

                  ¦(х) dx – интеграл астындағы өрнек

                  х- интегралдау айнымалысы

                  C- кез-келген тұрақты шама

 Интегралдау ережелері  

Алғашқы функцияны табудың ережелерін анықталмаған интеграл белгісінің көмегі арқылы жазған ыңғайлы.

1. ∫ [¦ (x)± g (x)]dx =∫ ¦(x)dx ±∫ g (x)dx

     2.   ∫ k∙¦ (x)dx = k∙∫ ¦ (x)∙dx, k- const

                                       1

2. ∫ ¦ (kx+b)dx =  ¾¾  F (kx+b)+C,  k¹0

                            k

   Анықталмаған интеграл қасиеттері:

·   ( ∫ ¦ (x)∙dx)¢ =  ¦(x)

·   d ( ∫¦ (x)∙dx) = ¦(x)∙dx

·    ∫ ¦ ¢(x)∙dx = ¦ (x)+C

·    ∫ d ¦ (x) = ¦ (x) + C

·    ∫ k∙¦ (x)∙dx = k∙∫ ¦ (x)∙dx

·   ∫ [ ¦ (x)+ g (x) - h (x)]∙dx =∫ ¦(x)∙dx +∫ g (x)∙dx - ∫ h (x)∙dx

   ІҮ. Жаттығу жұмысы:                                         

Анықталмаған интегралды табыңыз:

                                          X²

  4.    ò3х dx = 3òх dx=3 ¾ + C                 

                                          2

                                                             x³

  5.    ò(3х²-1) dx = ò3х² dx-  ò1dx=3 ¾ - x+C= x³- x+ C 

                                                             3                                                    

                                          x ^-4+1                  x ^-3                       1

  6.   òdx / x⁴  = ò x ^-4 dx= ¾¾ + C= ¾¾ + C= - ¾¾ + C 

                                          -4+1               -3                     3х³                                                         

Ү. Бақылау сұрақтары: /1-5/

ҮІ. Үйге тапсырма: п-1 бет 5-9 №7

      ҮІІ.  Бағалау.

Пән мұғалімі: Ельжанова Г.Х.