Сабақ жоспары "Математикалық индукция әдісі"

Сабақ жоспары

Реті:

Пән:  математика

Сынып:  

Күні: 12.01.16ж

Сабақтың тақырыбы:  Математикалық индукция әдісі         

Мақсаттары:

Білімділік: Қысқаша көбейту формулаларын, атап айтқанда екі өрнектің квадраттарының айырмасы формулдасын білу, мәнін түсіну, дәлелдей білуі

Дамытушылық:  Екі өрнектің квадраттарының айырмасы формуласын практикада дұрыс қолдана білуі, есептеу жылдамдықтарын арттыру.

Тәрбиелік: Оқушыларды дәлдікке, ізденуге, еңбектенуге тәрбиелеу.

Сабақтың түрі:  Жаңа тақырып

Сабақтың жоспары:     

1)  Мотивациялық кезең: түгендеу, сабаққа ынталандыру

2) өткен тақырыпты қорытындылау(1), (2) -формулалары, 5 минут)

3)  Жаңа тақырып беру, сабақтың мақсатымен таныстыру

4) Практикалық бекіту

5)Үйге тапсырма беру

6) Қорытындылау, бағалау 

    Математикалық индукция әдісі, ұсынылған пікірдің не тұжырымның ақиқаттығын дәлелдеуге көмектесетін әдіс. Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу екі кезеңнен тұрады.
1) Натурал сан n=1 болғанда (немесе бұл тұжырымның мағынасы болатын n-нің басқа мәндерінде) дұрыс болса
2) n=k (к >1) қандай бір натурал мәні үшін ақиқат деп ұйғарып, келесі n=k+1 үшін де ақиқат болса, онда тұжырым n- нің барлық натурал мәндері үшін ақиқат болады.
      Математикалық индукция әдісі натурал n- ге тәуелді тұжырымдарды дәлелдеуге қолданылады.

1- есеп. Тақ натурал сандар үшін 1+3+5+...+ (2n-1) = n² болатындығын дәлелдеу керек

1. 
   n = 1 болса S(1) = 1²
2. 
   n = k үшін формула S(n) = n² орынды деп ұйғарып, n = k+1 үшін орынды болатындығын S(k+1) = (k+1)² дәлелдейік.

S(k+1) = 1+3+5+...+ (2k-1) + (2k+1) = S(k) + (2k+1) = k²+2k+1 = (k+1)² яғни S(k+1) = (k+1)² орынды екендігі дәлелденді. Сондықтан барлық натурал n сандар үшін орынды.

2- есеп. Натурал сандардың алғашқы n мүшелерінің квадраттарының қосындысы үшін 1²+2²+3²+4² +...+ n² = теңдігінің орындалатындығын дәлелдеу керек.

1) S(1) = 1 = 1² =1 n=1 үшін орынды.

2. 
   n=k үшін орынды деп ұйғарамызда,

n=k+1 үшін дәлелдейік.

S(k+1) = 1² +2² +3² + 4² +...+k² +(k+1)² = S(k) + (k+1)² = +(k+1)² = == = мұнан біз n=k+1 үшін формула орынды екендігін дәлелдедік, ендеше кез – келген

натурал n үшін формула орынды.

3-есеп. Кез- келген натурал n үшін мына теңдіктің орынды екендігін дәлелдейік

1+3+6+10+...+ =

1. 
   n=1 онда, 1= орынды.
2. 
   n=k үшін орынды деп ұйғарамызда,

n=k+1 үшін дәлелдейік

1+3+6+...+ +=S(k)+ =

= + = = =

= формула n=k+1 үшін орынды. Онда теңдік кез- келген натурал сан үшінде орынды.

4-есеп. Tеңдіктің тура екендігін дәлелдеу керек.

+++...+=

1) n=1 үшін = орынды.

2) n=k үшін орынды деп ұйғарып,

n=k+1 үшін дәлелдейік

+++...+ + =+=

= = = = n =k+1 үшін дәлелденді, олай болса теңдік кез – келген натурал n үшін орынды.

5-есеп. Кез – келген натурал n >3 үшін + + +…+ < теңсіздігінің

орынды екендігін дәлелдеу керек.

1) n=4 1+ + + = 1+ = < ;

2) n=k үшін орынды деп алып,

n=k+1 үшін дәлелдейміз

++ +...+ +< + = 2- + = -+-

-+= + (- ) < ; себебі -< 0

n=k+1 үшін теңсіздік орынды. Сондықтан кез-келген натурал n>3 орынды болады.

6-есеп. 4ⁿ+15n-1 өрнегі натурал n1 болғанда 9- ға бөлінетіндігін дәлелдейік.

1. 
   n=1 болғанда, 4¹+151-1=18 9-ға бөлінеді.
2. 
   n=k болғанда 4^k+15k-1 өрнегі 9-ға бөлінеді деп ұйғарып,

n=k+1 үшін 9-ға бөлінетіндігін дәлелдейік.

4^k+1+15(k+1)-1=4^k4+15k+15-1+45k-45k-3+3=(4^k4+60k-4)-45k+18=

=4(4^k+15k-1)-9(5k-2) мұндағы 4(4^k+15k-1) де, 9(5k-2) де 9- ға бөлінеді, онда n1 кез- келген натурал сан болғанда берілген өрнек 9- ға еселік болады.