Самостоятельная работа по геометрии в 11 классе на тему: "Объём многогранников"

Г – 11 Сам раб Объём многогранников Задания ЕГЭ В - 1

1. Во сколько раз увеличится объем пирамиды (рис 1), если ее высоту увеличить в четыре раза?

рис 1 рис 2

2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды (рис 1), если все ее ребра увеличить в 2 раза?

3. В правильной треугольной пирамиде  (рис 2) медианы основания пересекаются в точке . Объем пирамиды равен , . Найдите площадь треугольника .

4. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , ,  правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

5. Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его площадь поверхности увеличится на 234. Найдите ребро куба.

6.Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 5, а объем равен .

Г – 11 Сам раб Объём многогранников Задания ЕГЭ В – 2

1. Во сколько раз увеличится объем пирамиды (рис 1), если ее высоту уменьшить в 7раз?

рис 1 рис 2

2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды (рис 1), если все ее ребра увеличить в 4 раза?

3. В правильной треугольной пирамиде  (рис 2) медианы основания пересекаются в точке . Объем пирамиды равен 6, PS = 3. Найдите площадь треугольника .

4. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , ,  правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 6.

5. Если каждое ребро куба увеличить на 2, то его площадь поверхности увеличится на144. Найдите ребро куба.

6.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , ,  правильной треугольной призмы , сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно .

Г – 11 Сам раб Объём многогранников Задания ЕГЭ В – 3

1.  В правильной треугольной пирамиде  медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника  равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка .

2. Объем куба равен 132. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

3. От треугольной призмы, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

4. Объем параллелепипеда  равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

5.  Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 10. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

6. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 6.

Г – 11 Сам раб Объём многогранников Задания ЕГЭ В – 4

1. В правильной треугольной пирамиде  медианы основания  пересекаются в точке . Площадь треугольника  равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .

2. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

3. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , , ,  правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 15.

4. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , ,  прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .

5. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 23,5. Найдите объем исходной призмы.

рис 5

6. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра (рис 5), радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответы сам работа Г - 11 Объём многогранников Задания ЕГЭ

Вариант

1

2

3

4

5

6

1

4

4

3

4

5

2,88

2

49

16

6

24

5

36

3

1

22

8

1,5

20

432

4

9

3

50

16

94

8

Решение:

Г – 11 Сам раб Объём многогранников Задания ЕГЭ В - 1

1. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

Решение.

Объем пирамиды равен

,

где   – площадь основания, а   – высота пирамиды. При увеличении высоты в 4 раза объем пирамиды также увеличится в 4 раза.

Ответ: 4.

2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Решение.

Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому, если все ребра увеличены в 2 раза, площадь поверхности увеличится в 4 раза.

Ответ: 4.

3. В правильной треугольной пирамиде  медианы основания пересекаются в точке . Объем пирамиды равен , . Найдите площадь треугольника .

Решение.

Основание пирамиды — равносторонний треугольник, поэтому,  является центром основания, а  — высотой пирамиды . Ее объем вычисляется по формуле . Тогда

.

Ответ: 3.

4. .Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , ,  правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Решение.

Основание пирамиды такое же, как основание правильной шестиугольной призмы, и высота у них общая. Поэтому

Ответ: 4.

5. Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его площадь поверхности увеличится на 306. Найдите ребро куба.

Ответ: 4.

6.Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 5, а объем равен .

Решение.

Объем пирамиды равен

,

где  — площадь основания, а  — высота пирамиды. Найдем площадь равностороннего треугольника, лежащего в основании:

.

Тогда высота пирамиды равна

Ответ: 2,88.

Г – 11 Сам раб Объём многогранников Задания ЕГЭ В – 2

1. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту уменьшить в 7раз?

2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 4 раза?

3. В правильной треугольной пирамиде  медианы основания пересекаются в точке . Объем пирамиды равен 6, PS = 3. Найдите площадь треугольника .

4. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , ,  правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 6.

Решение.

Ответ: 24.

5. Если каждое ребро куба увеличить на 2, то его площадь поверхности увеличится на144. Найдите ребро куба.

Ответ: 5.

6.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , ,  правильной треугольной призмы , сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно .

Ответ: 36

Г – 11 Сам раб Объём многогранников Задания ЕГЭ В – 3

1.  В правильной треугольной пирамиде  медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника  равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка .

Решение.

Основание пирамиды — равносторонний треугольник, поэтому, точка  является центром основания, а  — высотой пирамиды . Ее объем вычисляется по формуле . Тогда .

Ответ: 1.

2. Объем куба равен 132. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение.

Объем пирамиды равен

.

Ответ: 22.

3. От треугольной призмы, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Решение.

Объем призмы больше объема пирамиды с такой же площадью основания и высотой в 3 раза. Объем оставшейся части составляет тогда две трети исходного, он равен 8.

Ответ: 8.

4. Объем параллелепипеда  равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

Решение.

Объем параллелепипеда равен  , где  – площадь основания,  – высота. Объем пирамиды равен

где  – площадь основания пирамиды, по построению равная половине площади основания параллелепипеда. Тогда объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ: 1,5.

5.  Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 10. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Решение.

Каждая из боковых граней исходной призмы вдвое больше соответствующей грани отсечённой призмы. Следовательно, площадь боковой поверхности исходной призмы вдвое больше площади поверхности отсечённой призмы. Поэтому она равна 20.

Ответ: 20.

6. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 6.

Решение.

Сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности как  Площадь боковой поверхности призмы тогда равна

Ответ: 432.

Г – 11 Сам раб Объём многогранников Задания ЕГЭ В – 4

1. В правильной треугольной пирамиде  медианы основания  пересекаются в точке . Площадь треугольника  равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .

Решение.

Отрезок  высота треугольной пирамиды , ее объем выражается формулой

Таким образом,

Ответ: 9.

2. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Решение.

Объем пирамиды . Площадь основания отсеченной части меньше в 4 раза (так как высота и сторона треугольника в основании меньше исходных в 2 раза), поэтому и объем оставшейся части меньше в 4 раза. Тем самым, он равен 3.

Ответ: 3.

3. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , , ,  правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 15.

Решение.

Площадь основания четырехугольной призмы равна двум третьим площади основания правильной шестиугольной призмы, а высота у них общая. Поэтому

.

 Ответ: 50.

4. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , ,  прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .

Решение.

Основанием пирамиды, объем которой нужно найти, является боковая грань параллелепипеда, а ее высотой является ребро . Поэтому

 Ответ: 16.

5. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 23,5. Найдите объем исходной призмы.

Решение.

Площадь основания отсеченной части меньше площади основания всей призмы в 4 раза (так как и высота и основание треугольника уменьшились в 2 раза). Высоты обеих частей одинаковы, поэтому объем отсеченной части в 4 раза меньше объема целой призмы, который равен 94.

Ответ: 94.

6. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Высота призмы равна высоте цилиндра, а сторона ее основания равна диаметру цилиндра. Тогда площадь боковой поверхности

.

Ответ: 8.