Самостоятельная работа по заданию №15 КЕГЭ

Вариант 1

1. Обозначим через ДЕЛ (n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A формула

(ДЕЛ(90, A) /\ (¬ДЕЛ(x, A) → (ДЕЛ(x, 15) → ¬ДЕЛ(x, 20))))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом натуральном x?

2. Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 1110₂&0101₂ = 0100₂ = 4.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

(x&120 ≠ 0) → ((x&96 ≠ 0) → (x&А ≠ 0))

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

3. На числовой прямой даны два отрезка: P = [24; 35] и Q = [30; 68]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

(¬ (x ∈ P) → ((x ∈ Q) ∨ (x ∈ Р))) → (x ∈ А)

истинна при любом значении переменной х, т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.

4. Для какого наибольшего целого числа А выражение

((x · x ≤ А) ∨ (x > 5)) /\ ((y · y ≤  A) → (y ≤  5))

тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

5. Для какого наибольшего целого неотрицательного числа A выражение

(y > A) \/ (x ≥ A) \/ (x · y < 121)

тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y?

Вариант 2

1.Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A формула

(ДЕЛ(120, A) /\ (¬ДЕЛ(x, A) → (ДЕЛ(x, 18) → ¬ДЕЛ(x, 24))))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом натуральном x?

2. Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 1110₂&0101₂ = 0100₂ = 4.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

(x&56 ≠ 0) → ((x&24 ≠ 0) → (x&А ≠ 0))

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

3. На числовой прямой даны два отрезка: P = [2; 35] и Q = [12; 54]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

((x ∈ P) → ((x ∈ Q) /\ (x ∈ Р))) → ¬ (x ∈ А)

истинна при любом значении переменной х, т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.

4. Для какого наименьшего целого числа А выражение

((x · x ≤ А) → (x ≤ 7)) /\ ((y <  4) → (y · y ≤  A))

тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

5. Для какого наибольшего целого неотрицательного числа A выражение

(y ≥ A) \/ (x > A) \/ (x · y < 100)

тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y?

Ответы

	Зад 1	Зад 2	Зад 3	Зад 4	Зад 5
Вариант 1	Статград 10.12.20 (вар 201)	96	44	35	11
Вариант 2	Статград 10.12.20 (вар 202)	24	10	9	10