Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сборник индивидуальных заданий по алгебре
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Сборник индивидуальных заданий по алгебре

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ СБОРНИК.docx

библиотека
материалов

hello_html_55ef51d5.gifhello_html_38212f65.gifhello_html_56b9b021.gifТема 1. Действительные числа.


Действительные числа – это положительные  числа, отрицательные числа или нуль. Все действительные числа делятся на рациональные и иррациональные. Первые – это числа, представленные в виде дроби. Вторые – это действительное число, не являющееся рациональным. Совокупность действительных чисел обладает рядом свойств.

  1. Свойство упорядоченности.

Свойство упорядоченности. Для любых двух чисел hello_html_41419690.gif определено соотношение порядка, т. е. два произвольных действительных чисела hello_html_41419690.gif удовлетворяют одному и только одному из следующих соотношений: hello_html_maa52a1c.gif или hello_html_43643b61.gif; при этом, если hello_html_m5de84740.gif, то hello_html_215fe266.gif


  1. Свойства операций сложения.


hello_html_m3e46579d.gif - свойство коммутативности ,

hello_html_m236daf71.gif- свойство ассоциативности.

hello_html_m2c0328f5.gif.

hello_html_34ffccee.gif.


  1. Свойства операции умножения.


hello_html_223b267c.gif - свойство коммутативности,

hello_html_38f966bd.gif - свойство ассоциативности

hello_html_7a254594.gif

hello_html_m5bff1cf4.gif


  1. Свойство дистрибутивности умножения относительно сложения.


hello_html_m2607ccb1.gif


Рациональные числа - это положительные и отрицательные числа и нуль.

Рациональной дробью называется выражение вида hello_html_4b823660.gif ,гдеhello_html_m6fcfd213.gif -целое число - числитель дроби, аhello_html_443248c0.gif- натуральное число  - знаменатель дроби.

Дроби  hello_html_m3095bc52.gif - эквивалентны, если hello_html_m76ec78e6.gif.

Сложение рациональных чисел. 

При сложении рациональных чисел с равными знаками складывают их абсолютные величины и ставят общий знак.

При сложении рациональных чисел с разными знаками из большего по модулю числа вычитают меньшее и ставят знак большего.

Умножение рациональных чисел. 

При умножении двух отрицательных чисел умножают их модули и ставят знак плюс ( минус на минус дают плюс) При умножении двух чисел с разными знаками умножают их модули и ставят знак минус (минус на плюс дают минус)

Деление рациональных чисел. 

При делении двух отрицательных чисел делят их модули и ставят знак плюс ( минус на минус дают плюс) При делении двух чисел с разными знаками делят их модули и ставят знак минус (минус на плюс дают минус)



Сравнение чисел с рациональным показателем.

Дано x1 и x2 и 0<x1<x2 и р>0, тогда xp1<xp2.

Дано x1 и x2 и p<0, тогда hello_html_m37de785b.gif

Иррациональные числа – это все бесконечные десятичные непериодические дроби.

Действия над иррациональными числами располагают теми же свойствами, какие принадлежат действиям над числами рациональными.















Индивидуальные задания по теме

«Действительные числа»



Задание 1. Вычислите:

Вариант 1.

hello_html_5f4441d1.gif

Вариант 2.

hello_html_2a9d4ab8.gif

Вариант 3.

hello_html_m3376f778.gif

Вариант 4.

hello_html_m2b96e45f.gif

Вариант 5.

hello_html_6e7cbe55.gif

Вариант 6.

hello_html_12c15372.gif

Вариант 7.

hello_html_m5422545a.gif

Вариант 8.

hello_html_m4c310af7.gif



Вариант 9.

hello_html_3acce43f.gif

Вариант 10.

hello_html_25aeb9d9.gif

Вариант 11.

hello_html_425f5a96.gif

Вариант 12.

hello_html_m67fb6d7e.gif

Вариант 13.

hello_html_m644a4c89.gif

Вариант 14.

hello_html_183e7950.gif

Вариант 15.

hello_html_m22933fb7.gif















Задание 2. Найдите значение выражения.

Вариант 1.

hello_html_m4042d537.gifhello_html_62c4c613.gifhello_html_m7d37d6c1.gif


Вариант 2.

hello_html_46cd9958.gifhello_html_6f39e6e3.gifhello_html_m7ebc06c8.gif

Вариант 3.

hello_html_m2b9c582d.gifhello_html_m5e44aaeb.gifhello_html_7db21644.gif

Вариант 4.

hello_html_m7a027948.gifhello_html_m1fb17023.gifhello_html_m74595e8.gif


Вариант 5.

hello_html_68c2dfaa.gifhello_html_33023c7b.gifhello_html_m30fe9e93.gif


Вариант 6.

hello_html_2c687877.gifhello_html_5c5f4f6e.gifhello_html_m36bdc519.gif


Вариант 7.

hello_html_m188134b3.gifhello_html_1cdb3e88.gifhello_html_6afdd6ad.gif



Вариант 8.

hello_html_563622cc.gifhello_html_4906e513.gifhello_html_2152f0ec.gif



Вариант 9.

hello_html_m537af4fe.gifhello_html_m13cb71f1.gifhello_html_m4cfb7099.gif


Вариант 10.

hello_html_m2461d905.gifhello_html_m21469d84.gifhello_html_465eba9e.gif



Вариант 11.

hello_html_740cc0fc.gifhello_html_94d984c.gifhello_html_m114a054d.gif


Вариант 12.

hello_html_m598a4dbd.gifhello_html_6ef2ef9d.gifhello_html_m6a3aab8b.gif


Вариант 13.

hello_html_ma37c6bb.gifhello_html_m400b8bdb.gifhello_html_5daba5ac.gif


Вариант 14.

hello_html_ma37c6bb.gifhello_html_33073de6.gifhello_html_487c56d5.gif


Вариант 15.

hello_html_m2d0266df.gifhello_html_m18732175.gifhello_html_704899dd.gif













Задание 3. Найдите значение выражения:

Вариант 1.

а). hello_html_211174f5.gif при a=31,2

б). hello_html_5c53d8bf.gif если hello_html_m5447c6ec.gif

Вариант 2.

а). hello_html_77e5a13d.gif при a=22,8

б). hello_html_39b50e25.gif если hello_html_7a5e37bf.gif

Вариант 3.

а). hello_html_m5de75ea7.gif при a=35,4

б). hello_html_5fff930.gif если hello_html_m5447c6ec.gif

Вариант 4.

а). hello_html_m5fe76bbc.gif при a=28,5

б). hello_html_6db19e7a.gif если hello_html_mb759027.gif

Вариант 5.

а). hello_html_m285b8fbf.gif при a=12,6

б). hello_html_32d0df79.gif если hello_html_m5447c6ec.gif

Вариант 6.

а). hello_html_m499ff112.gif при a=35,1

б). hello_html_2ff4a583.gif если hello_html_m5447c6ec.gif


Вариант 7.

а). hello_html_4e63528e.gif при a=20,7

б). hello_html_m7fd7e817.gif если hello_html_mb759027.gif

Вариант 8.

а). hello_html_m33d40494.gif при a=14,1

б). hello_html_28acd096.gif если hello_html_7a5e37bf.gif

Вариант 9.

а). hello_html_m1703198f.gif при a=21

б). hello_html_3fd6f133.gif если hello_html_m5447c6ec.gif

Вариант 10.

а). hello_html_m285b8fbf.gif при a=12,9

б). hello_html_m1c4c9f86.gif если hello_html_7a5e37bf.gif

Вариант 11.

а). hello_html_m739c17.gif при a=29,4

б). hello_html_m1325022f.gif если hello_html_7a5e37bf.gif

Вариант 12.

а). hello_html_2e7371e2.gif при a=36,6

б). hello_html_16d650d3.gif если hello_html_7a5e37bf.gif

Вариант 13.

а). hello_html_mc1b2d62.gif при a=36,9

б). hello_html_m162fe4a7.gif если hello_html_70a23f63.gif

Вариант 14.

а). hello_html_5cd5ddab.gif при a=13,5

б). hello_html_m46e7dac9.gif если hello_html_m5447c6ec.gif

Вариант 12.

а). hello_html_69dcfb87.gif при a=36,3

б). hello_html_97c7f85.gif если hello_html_70a23f63.gif

































Решение типового варианта.

Задание 1. Вычислите:

hello_html_376d6d58.gif

Решение:

hello_html_376d6d58.gif

1). hello_html_m5fd99387.gif

2). hello_html_m274e919f.gif

3). 3,41*2,15+2,975*0,4=7,3315+1,19=8,5215



Ответ: 8,5215



Задание 2. Найдите значение выражения.

а). hello_html_5967f69d.gif б). hello_html_m31066ba6.gif в). hello_html_m59ff461b.gif

Решение :

а). hello_html_5967f69d.gif

Выполним преобразования:



hello_html_m79351b53.gif



Ответ: 2.







б). hello_html_m31066ba6.gif.

Решение.



hello_html_m753c71cc.gif


Ответ: 33.



в). hello_html_m59ff461b.gif

Решение.


hello_html_m25780cc8.gif



Ответ: 2.



Задание 3. Найдите значение выражения:

а). hello_html_7ffdf229.gif при a=36,7 б). hello_html_42e6b01e.gif , если hello_html_m5447c6ec.gif

Решение:

а). hello_html_7ffdf229.gif при a=36,7

Выполним действия в скобках:



hello_html_m4d901e09.gif

 

Тогда:


hello_html_1750d49b.gif


Подставляем a=36,7:


-10a=-10*36,7=-367


Ответ: -367.



б). hello_html_42e6b01e.gif если hello_html_m5447c6ec.gif

Из условия  hello_html_m651e9556.gif=3 находим, что hello_html_338f1dae.gif, и подставляем в дробь:

 

hello_html_75d0dd9d.gif


Ответ: 2.





































Тема 2. Степень числа, степенная функция.


Степень с натуральным показателем

Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

hello_html_6a1f6a4f.gif





Записывается: аⁿ

Если a>0, то an>0.

Если a<0, то an>0 при aчетном; an<0 при aнечетном.

Степень отрицательного числа

Если а<0 и n – нечетное число, то аn<0.

Если а<0 и n – четное число, то аn>0.

а²≥0 при любом а.

Степень с целым показателем

Если а≠0 и n – натуральное число, то

hello_html_m4068b6f4.gif



Степень с рациональным показателем

Если а – положительное число, hello_html_492b665e.gif – рациональное число

(m – целое, n – натуральное), то

hello_html_m11aee013.gif







Умножение степеней с одинаковым основанием

hello_html_m776a4e91.gif

Деление степеней с одинаковым основанием

hello_html_53cdd7bb.gifhello_html_m69be4598.gif



hello_html_5a6537bc.gif



Возведение степени в степень

hello_html_m7a7f202.gif

hello_html_m2f3db2b6.gif

hello_html_m12bfd551.gif





hello_html_1ef590e1.gifВозведение в степень произведения









Возведение в степень дроби

hello_html_4e2d298d.gif













Формулы сокращённого умножения .http://uztest.ru/plugins/abstracts/91_1.gif

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Функция вида http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image001.gifназывается степенной функцией, где http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image002.gif - показатель степени.

Общий вид http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image003.gif.

Свойства степенной функции:

Если http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image002.gif - натуральное число , то функция http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image014.gif :

определена на всей числовой оси

обращается в нуль при http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image015.gif

четная при http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image016.gifчетном  и нечетная при http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image016.gif нечетном

неограниченно возрастает при бесконечном возрастании аргумента http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image005.gif.

282-1.jpg



282-2.jpg



Если http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image002.gif - отрицательное целое число , то степенная функция определяется равенством http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image026.gif. Она определена при всех отличных от нуля http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image005.gif.

283-1.jpg





Для рационального показателя http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image041.gif (http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image042.gif - несократимая дробь) степенная функция определяется формулой

http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_129.files/image043.gif.

Графики типичных степенных функций с рациональным показателем

283-5.jpg



283-6.jpg



283-7.jpg





 







Индивидуальные задания по теме

«Степень числа. Степенная функция.»



Задание 1. Упростите выражение.

Вариант 1.


hello_html_mfbea13f.gif


Вариант 2.



hello_html_me857072.gif


Вариант 3.



hello_html_m31e9bb43.gif



Вариант 4.



hello_html_627b0b9.gif



Вариант 5.



hello_html_m34320aef.gif


Вариант 6.



hello_html_m5cd1a956.gif



Вариант 7.



hello_html_m6c10f664.gif


Вариант 8.



hello_html_2a590a55.gif



Вариант 9.



hello_html_2811cffd.gif

Вариант 10.



hello_html_m4f8b65b0.gif


Вариант 11.



hello_html_m760bb71a.gif



Вариант 12.



hello_html_m40c3a1e4.gif



Вариант 13.


hello_html_m4d8ba9e4.gif

Вариант 14.



hello_html_7cc97cd3.gif



Вариант 15.



hello_html_32944874.gif































Задание 2. При каком значении р прямая  имеет с параболой  ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении p.



Вариант 1.

hello_html_m79b2bae4.gif



Вариант 2.

hello_html_m5872f29a.gif



Вариант 3.

hello_html_m2323da8d.gif



Вариант 4.

hello_html_m38a454f8.gif



Вариант 5.

hello_html_63ea7d33.gif



Вариант 6.

hello_html_1f45cbd6.gif



Вариант 7.

hello_html_23adb375.gif





Вариант 8.

hello_html_m4fc45064.gif



Вариант 9.

hello_html_m58b65f9e.gif



Вариант 10.

hello_html_6733fa42.gif



Вариант 11.

hello_html_m131d7e9b.gif



Вариант 12.

hello_html_m798139f3.gif



Вариант 13.

hello_html_b250954.gif



Вариант 14.

hello_html_m1d6465fd.gif



Вариант 15.

hello_html_m1207b800.gif





Задание 3. Решите задачу.

Вариант 1.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5r2, где h – расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Вариант 2.

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1,4+9t+5t2 , где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Вариант 3.

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением  T(t)=T0+bt+at2, где t - время в минутах, T0=135 К, a=-7,5 К/минhttp://reshuege.ru/formula/02/02850d6a647bc6cdb7f44baeb1f90089.png b=105 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1650 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Вариант 4.

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v0=16 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a=2 м/сhttp://reshuege.ru/formula/02/02850d6a647bc6cdb7f44baeb1f90089.png. За t секунд после начала торможения он прошел путь hello_html_m11eb977f.gif (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 63 метров. Ответ выразите в секундах.

Вариант 5.

Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия – монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой q=100-10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q*p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.



Вариант 6.

Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l м с постоянным ускорением a км/ч2, вычисляется по формуле v2=2la. Определите, с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 1 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не меньше 5000 км/ч2. Ответ выразите в км/ч.

Вариант 7.

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: hello_html_m1468639c.gif, где hello_html_390878cb.gif – постоянная, площадь http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png измеряется в квадратных метрах, а температура http://reshuege.ru/formula/b9/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png – в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь hello_html_m2a732278.gif мhttp://reshuege.ru/formula/02/02850d6a647bc6cdb7f44baeb1f90089.png, а излучаемая ею мощность P не менее 9,12*1025 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

Вариант 8.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью http://reshuege.ru/formula/eb/ebd8b92b8a55aaad9fe610d210b16a56.png км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением http://reshuege.ru/formula/45/4562f4b5ec3a05aa3dcd01c21aa6a285.png км/чhttp://reshuege.ru/formula/02/02850d6a647bc6cdb7f44baeb1f90089.png. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением http://reshuege.ru/formula/60/607136f0e8a9860f129d27d9e0d854b8.png. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 72 км от города. Ответ выразите в минутах.

Вариант 9.

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трех однородных соосных цилиндров: центрального массой http://reshuege.ru/formula/fb/fb376e1b8242ec927a27c76597edc7aa.png кг и радиуса http://reshuege.ru/formula/1a/1aaa8f88494609eee8f5a978d69c3f91.png см, и двух боковых с массами http://reshuege.ru/formula/16/16394fca0405a7339ada1becb2298ead.png кг и с радиусами http://reshuege.ru/formula/1f/1ff08755ce810fd44626dfb826f3f4ff.png. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в http://reshuege.ru/formula/cb/cb4216055b24bba25919a144922d784d.png, дается формулой http://reshuege.ru/formula/64/644e2e8c553bc10a47bc315d459424ae.png. При каком максимальном значении http://reshuege.ru/formula/25/2510c39011c5be704182423e3a695e91.png момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 http://reshuege.ru/formula/97/972a0b9a612fa4f0ae3f0b66bcb2a826.png? Ответ выразите в сантиметрах.



Вариант 10.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: http://reshuege.ru/formula/cb/cb78d12a79a19a2ea896c25f2838dcbd.png, где http://reshuege.ru/formula/2d/2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png – длина ребра куба в метрах, http://reshuege.ru/formula/c0/c0ba9202b1fde2e54cb71de864126bad.png кг/м3 – плотность воды, а http://reshuege.ru/formula/b2/b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png – ускорение свободного падения (считайте http://reshuege.ru/formula/ea/eaf3e976e2dc1f0c809d849bd51438f1.png Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400 Н? Ответ выразите в метрах.

Вариант 11.

Если достаточно быстро вращать ведерко с водой на веревке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведерка сила давления воды на дно не остается постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна http://reshuege.ru/formula/de/de63e1ab9e3a87e0807fa88c70f378b2.png, где http://reshuege.ru/formula/6f/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png – масса воды в килограммах, http://reshuege.ru/formula/9e/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.png скорость движения ведерка в м/с, http://reshuege.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png – длина веревки в метрах, g – ускорение свободного падения (считайте http://reshuege.ru/formula/11/112f48e4093c514cc217aced1a5dfb3b.png м/сhttp://reshuege.ru/formula/02/02850d6a647bc6cdb7f44baeb1f90089.png). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведерко, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Вариант 12.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по законуhttp://reshuege.ru/formula/4d/4d398caabb8f08d01bf888042434cd0c.png где http://reshuege.ru/formula/e3/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png – время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, http://reshuege.ru/formula/3e/3e3192410621f47eeb3845c813594bb8.png – начальная высота столба воды, http://reshuege.ru/formula/e3/e3a464cc45786acdcd51b29fa4469eb2.png – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а http://reshuege.ru/formula/b2/b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.png – ускорение свободного падения (считайте http://reshuege.ru/formula/11/112f48e4093c514cc217aced1a5dfb3b.png м/сhttp://reshuege.ru/formula/02/02850d6a647bc6cdb7f44baeb1f90089.png). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

Вариант 13.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по законуhttp://reshuege.ru/formula/26/2632e24a9ad9dc4d1417470a39e31a1a.png, где http://reshuege.ru/formula/da/da0cf27c96d1e5d82aa22fe79c32378a.png – начальный уровень воды, http://reshuege.ru/formula/f4/f47b48a9eb808236c39a28557065e405.png м/мин2, и http://reshuege.ru/formula/23/23443a8a74b9226a3cf75c67a8a4e179.png м/мин постоянные, http://reshuege.ru/formula/e3/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png – время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Вариант 14.

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полета камня описывается формулой http://reshuege.ru/formula/6b/6b952c4f7e7a9f301aaea917923c7054.png, где http://reshuege.ru/formula/6d/6d5e2216a8f2b9870137239bc0471fb4.png мhttp://reshuege.ru/formula/81/81d2b6451712e3cca06a72d9bcb6b5f6.png, http://reshuege.ru/formula/3c/3c94d884933477acdc14fc70da4b987a.png – постоянные параметры, http://reshuege.ru/formula/df/df58e01656011f9fe7da7cf9efb1b468.png – смещение камня по горизонтали, http://reshuege.ru/formula/62/626b5cc33232b9f464dc81c438d01af6.png – высота камня над землей. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Вариант 15.

Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой http://reshuege.ru/formula/6d/6d9a72939d2b333e5619d1964ed21514.png. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле http://reshuege.ru/formula/05/057bff322ec781b365316b29eaa74f4a.png. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка http://reshuege.ru/formula/0e/0e13de97006f6d788537f542d874fa1b.png составит не менее 450 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.









Задание 4. Решите уравнение.

Вариант 1.

hello_html_m4d5872f4.gif

Вариант 2.

hello_html_m56bec34c.gif

Вариант 3.

hello_html_m6d826686.gif

Вариант 4.

hello_html_m1ac65056.gif

Вариант 5.

hello_html_ma34f6e6.gif

Вариант 6.

hello_html_1880b01b.gif

Вариант 7.

hello_html_m7f798b3b.gif

Вариант 8.

hello_html_411eaa3d.gif

Вариант 9.

hello_html_m443ddcb0.gif

Вариант 10.

hello_html_m2c174b4d.gif

Вариант 11.

hello_html_m1c65e7fe.gif

Вариант 12.

hello_html_m46dcd4fb.gif

Вариант 13.

hello_html_m22e44117.gif

Вариант 14.

hello_html_f019fc1.gif

Вариант 15.

hello_html_mb03091f.gif









































Решение типового варианта.



Задание 1. Упростите выражение.

hello_html_3ae0e812.gif



Решение.

hello_html_3ae0e812.gif

Решение будем проводить по действиям:

1). hello_html_2c484a50.gif

2). hello_html_6fa9ca59.gif

3). hello_html_2bad12d2.gif



Задание 2.

При каком значении p прямая у=6х-p имеет с параболой y=x2+4x ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении p.



Решение.

Т.к. прямая и парабола имеют общую точку, то hello_html_m53e552ee.gif

hello_html_6d3cbbfc.gif

x 2 - 2x + p = 0

Т.к. они имеют одну общую точку, поэтому дискриминант равен 0.

D/4 + 1 – p = 0 ; p = 1

Это означает, что при p=1 прямая у= 6x-1 и парабола y=x2+4x имеют одну общую точку.

Найдем координаты общей точки: x2-2x+1=0; то x= 1, тогда y=1+4=5, т.е. А(1;5) .

Построим графики функций у= 6x-1 и y=x2+4x.

hello_html_m367d5717.png

Ответ. p=1 ; А(1;5) .



Задание 3.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебедку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону http://reshuege.ru/formula/11/1159331caa7ac0d3ffdfdd62e7d42fd7.png, где t — время в минутах, http://reshuege.ru/formula/60/60d65efc73fc6f8f4f64dcd895c3dcf4.pngмин — начальная угловая скорость вращения катушки, а http://reshuege.ru/formula/7d/7dd58842b23d25006812f5469b09bcd7.pngмин2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки http://reshuege.ru/formula/87/87567e37a1fe699fe1c5d3a79325da6f.png достигнет http://reshuege.ru/formula/05/0503cfb5136533577fc2defcc3ade588.png. Определите время после начала работы лебедки, не позже которого рабочий должен проверить ее работу. Ответ выразите в минутах.

Решение.

Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства http://reshuege.ru/formula/b2/b25fae959845f5145ca70f6a81d738de.png при заданных значениях параметров http://reshuege.ru/formula/26/260b57b4fdee8c5a001c09b555ccd28d.png и http://reshuege.ru/formula/b0/b0603860fcffe94e5b8eec59ed813421.png:

 

http://reshuege.ru/formula/b5/b596911493d0494b161cce8c3170c87c.png http://reshuege.ru/formula/bd/bd967c92c8c1461647d9315280a996e2.png.

Учитывая то, что время — неотрицательная величина, получаем http://reshuege.ru/formula/e6/e6cdec08940585be955abd281e401b20.png. Угол намотки достигнет значения 1200° при t = 20 мин.

 

Ответ: 20.



Задание 4.

Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/16/1600a3b6eb03944a22987bc435d93057.png.


Решение.


Квадраты чисел равны, если сами числа равны или противоположны. Поэтому:

http://reshuege.ru/formula/34/346107b273157f9483331b058cb0168a.png


Ответ: −1.













Тема 3. Показательные уравнения и неравенства.


Функцию вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции y = ax:

Свойство

a > 1

0 < a < 1

Область определения

D(f) = (-∞; +∞)

D(f) = (-∞; +∞)

Область значений

E(f) = (0; +∞)

E(f) = (0; +∞)

Монотонность

Возрастает

Убывает

Непрерывность

Непрерывная

Непрерывная

График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента:

Экспоненты, графики показательной функции, графики функции y = a^x

Графики показательных функций (экспоненты)

Решение показательных уравнений

Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую теорему:

Теорема 1. Показательное уравнение af(x) = ag(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Основные формулы и действия со степенями:

  \[ \fbox{\begin{array}{l} a>0,\, b>0: \\ a^0 = 1, 1^x = 1; \\ a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k} \, (k\in Z,\, n\in N);\\ a^{-x} = \frac{1}{a^x}; \\ a^x\cdot a^y = a^{x+y}; \\ \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}; \\ (a^x)^y = a^{xy}; \\ a^x\cdot b^x = (ab)^x; \\ \frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x.\\ \end{array}} \]

Решение показательных уравнений.

Рассмотрим основные способы решения показательных уравнений на частных примерах.

1. Приведение к одному основанию и приравнивание степеней.

Если две степени одного и того же положительного числа, отличного от 1, равны, то равны и их показатели.

По этому же принципу можно решать и показательное уравнение аx = b, если b есть целая степень числа а.

II. Замена переменных.

При введении в показательное уравнение новой переменой решение сводится к алгебраическому уравнению.

III. Деление обоих частей уравнения на одну из составляющих.

hello_html_m553a45db.gif, где а не является целой степенью числа b, а b не является целой степенью числа а, обе части делятся либо на hello_html_m66205966.gif, либо на hello_html_21ca0d90.gif.

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:

1. Если a > 1, неравенство

a f(x) > a g(x)

равносильно неравенству

f(x) > g(x).

Аналогично,   a f(x) < a g(x)  f(x) < g(x).

2. Если 0 < a < 1, неравенство

a f(x) > a g(x)

равносильно неравенству

f(x) < g(x).

Аналогично,   a f(x) < a g(x)  f(x) > g(x).

3. Неравенство

[h(x)] f(x) > [h(x)] g(x)

(1)

равносильно совокупности систем неравенств

http://www.math.md/school/praktikum/expr/t1x.gif

http://www.math.md/school/praktikum/expr/t0x.gif

h(x) > 1,

f(x) > g(x),

http://www.math.md/school/praktikum/expr/t0x.gif

0 < h(x) < 1,

f(x) < g(x).

Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай

http://www.math.md/school/praktikum/expr/t0x.gif

h(x) = 1,

x  D(f) D(g),

где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).

4. Если b ≥ 0, неравенство

af(x) < b

не имеет решений (следует из свойств показательной функции).

При решении систем показательных уравнений или неравенств используются обычные приемы решения показательных уравнений и неравенств и обычные приемы решения систем.







































Индивидуальные задания по теме

«Показательные уравнения и неравенства.»



Задание1. Решите уравнения.

Вариант 1.

hello_html_m3224d6d.gifhello_html_m4e0ee908.gif

Вариант 2.

hello_html_718db7e2.gif

Вариант 3.

hello_html_22573346.gifhello_html_m7575d4f9.gif

Вариант 4.

hello_html_m3f5e3639.gif

Вариант 5.

hello_html_4f3c5a72.gif

Вариант 6.

hello_html_70661fc0.gif

Вариант 7.

hello_html_7d9b67e4.gif



Вариант 8.

hello_html_m5ac30582.gif

Вариант 9.

hello_html_m657dace9.gif

Вариант 10.

9-x = 27 hello_html_12a62912.gif

Вариант 11.

hello_html_m3b7df1be.gif

Вариант 12.

hello_html_m7cf0b8db.gif

Вариант 13.

hello_html_cc3cab8.gif

Вариант 14.

hello_html_70a241f8.gif

Вариант 15.

hello_html_m3b06f2c9.gif





Задание 2. Решите неравенство.

Вариант 1.

hello_html_62ae093d.gif

Вариант 2.

hello_html_m289776db.gif

Вариант 3.

hello_html_7a601eed.gif

Вариант 4.

hello_html_m18cf79be.gif

Вариант 5.

hello_html_m2c30e34e.gif

Вариант 6.

hello_html_3a4750f8.gif

Вариант 7.

hello_html_m1769bd84.gif

Вариант 8.

hello_html_mba44187.gif

Вариант 9.

hello_html_m3fd5b3c0.gif

Вариант 10.

hello_html_m37cfe74e.gif



Вариант 11.

hello_html_1ecdd26e.gif

Вариант 12.

hello_html_m7fea71ea.gif

Вариант 13.

hello_html_62ae093d.gif

Вариант 14.

hello_html_m6806c617.gif

Вариант 15.

hello_html_m5d6848c.gif



























Задание 3. Решите систему уравнений.

Вариант 1.

hello_html_m35d470d.gif



Вариант 2.

hello_html_m29b0806a.gif



Вариант 3.

hello_html_12d8b86f.gif



Вариант 4.

hello_html_61a2784e.gif



Вариант 5.

hello_html_548de5ff.gif



Вариант 6.

hello_html_16834649.gif







Вариант 7.

hello_html_1ce0e599.gif



Вариант 8.

hello_html_m30a7bfa4.gif



Вариант 9.

hello_html_m20e7ffc.gif



Вариант 10.

hello_html_41c3f66d.gif



Вариант 11.

hello_html_44492f7a.gif



Вариант 12.

hello_html_m4e348cf0.gif



Вариант 13.

hello_html_m1439cb03.gif





Вариант 14.

hello_html_66ff00b6.gif



Вариант 15.

hello_html_md3460ea.gif









































Решение типового варианта.

Задание 1. Решите уравнения.

  1. http://reshuege.ru/formula/d3/d3fb32d2eb52265bde7f1d02b1a0eba5.png.


Решение.


Перейдем к одному основанию степени:

http://reshuege.ru/formula/9f/9fbd898964e37a56f5302d6e7a741379.png


Ответ: −1.



2.   http://reshuege.ru/formula/44/44ac8c9c6408943f2a99bb5cf714722e.png

Решение.


Преобразуем уравнение:

 

http://reshuege.ru/formula/4f/4f3aaa25c8dd687b96558cee1dc89872.png

http://reshuege.ru/formula/c6/c68c5a291b66c10318eb19e5aefee921.png

 

Откуда http://reshuege.ru/formula/27/27e7995eea6d7da10f8f5339f46a8eaa.png

 


Ответ  http://reshuege.ru/formula/61/6182fdb462ed0a4902d5e8940d605d4e.png




3. http://reshuege.ru/formula/c4/c4cfb8bd10d58e3af6dba87c0e4af551.png.

Решение.


Разделим обе части уравнения на hello_html_16450cb5.gif

http://reshuege.ru/formula/8c/8c3ad779c5a47102acd59913dd84ac87.png

Ответ: −2.









Задание 2. Решите неравенство.

2x+2 - 2x+3 - 2x+4 > 5x+1 - 5x+2

Решение.

Используя метод общего множителя, получим

2x+2 - 2x+3 - 2x+4 > 5x+1 - 5x+2      2x·4 - 2x·8 - 2x·16 > 5x·5 - 5x·25   

   2x(4 - 8 - 16) > 5x(5 - 25)      2x·(-20) > 5x·(-20)      2x < 5x     

http://www.math.md/school/praktikum/expr/expi28x.gif



Ответ: hello_html_58c0b5df.gif



Задание 3. Решите систему уравнений.

hello_html_3b9c1e64.gif



Решение.

1) Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:

 hello_html_m61ffec49.gif

hello_html_1e1f1895.gif

hello_html_38e407aa.gif

hello_html_m2615c496.gif

hello_html_m4fb2e353.gif

hello_html_m2a8cd621.gif


2)    Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду. Введем новую переменную hello_html_4189ed8.gif . Тогда второе уравнение системы примет вид:

z2 - z = 72, откуда находим: z1 =9, z2 = -8.

Из уравнения hello_html_4800c574.gif находим х + у = 2; уравнение hello_html_m66a4b02e.gif не имеет решений.
Итак, второе уравнение системы нам удалось преобразовать к виду: х + у = 2.

3)    Решим полученную систему уравнений:

hello_html_m35edec50.gif

Умножим обе части второго уравнения на 9 и сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

hello_html_m418cc0cb.gif

hello_html_46c453a3.gif


Из уравнения х + у = 2 находим:

hello_html_65525945.gif



Ответ: hello_html_385cf864.gif





























Тема 4. Логарифмические уравнения и неравенства.


Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести  a, чтобы получить b.

Математическая операция  логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Cвойства логарифмов:

(a>o» title=»a>o»/> <img src=,  a<>1″ title=»a<>1″/><img src=,   b>0″ title=»b>0″/><img src=,  c>0″ title=»c>0″/><img src=,   c<>1″ title=»c<>1″/><img src=

1. a^{log_{a}b}=b - основное логарифмическое тождество

2. log_{a}a=1

3. log_{a}1=0

4. log_{a}{(bc)}=log_{a}b+log_{a}c

5. log_{a}{(b/c)}=log_{a}b-log_{a}c

6. log_{a}b^n=nlog_{a}b

7. log_{a^k}b={1/k}log_{a}b

8. log_{a^k}b^n={n/k}log_{a}b

9. log_{a^n}b^n=log_{a}b



Формулами перехода к новому основанию:

10. log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}

11. log_{a}b=1/{log_{b}a}

12. (следствие из свойства 11)

{log_{a}b}*{log_{b}a}=1

13. a^{log_{b}c}=c^{log_{b}a}

14. a^{log^2_{a}b}=b^{log_{a}b}



Частные случаи:

log_{10}a=lg(a) – десятичный логарифм

log_{ e}(a)=ln(a)   натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы  применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.



 Логарифмической называется функция вида у = loga x, где а – заданное число, а > 0, а ≠ 1.

Логарифмическая функция и ее график 1

Рассмотрим свойства логарифмической функции.

1) Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных чисел.

Это утверждение следует из определения логарифма, так как только при х > 0 выражение loga x имеем смысл.

2) Множество значений логарифмической функции представлено множеством R всех действительных чисел.

3) Логарифмическая функция у = loga x является возрастающей на промежутке х > 0, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1.


4) Если а > 1, то при х > 1 функция у = loga x принимает положительные значения, а при при 0 < х < 1 – отрицательные. Если 0 < а < 1, то функция у = loga x принимает положительные значения при 0 < х < 1, отрицательные – при х > 1.


Отметим, что график любой логарифмической функции у = loga x проходит через точку (1; 0).



При решении уравнений часто используется теорема:

Если loga х1 = loga х2, где а > 0, а ≠ 1, х1 > 0, х2 >0, то х1 = х2.



Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма.

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

log_{a}{f(x)}=log_{a}{g(x)}

Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов. Однако это действие расширяет область допустимых значений уравнения и может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать появления посторонних корней, можно применить одним из трех способов:

1. Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)=g(x)} {f(x)>0} }}{ }» title=»delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)=g(x)} {f(x)>0} }}{ }»/><img src=

или

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)=g(x)} {g(x)>0} }}{ }» title=»delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)=g(x)} {g(x)>0} }}{ }»/><img src=,

в зависимости от того, какое неравенство  f(x)>0″ title=»f(x)>0″/><img src= или  g(x)>0″ title=» g(x)>0″/><img src=  проще.

2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.



3. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.

Все логарифмические уравнения можно  условно разделить на четыре типа:

1. Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью  преобразований и использования свойств логарифмов приводятся к виду

log_{a}{f(x)}=log_{a}{g(x)}

Внимание! Мы всегда ищем ОДЗ исходного уравнения, а не того, которое получится в процессе преобразований. То есть ОДЗ записываем перед тем, как переходим к решению уравнения. 


2. Уравнения, которые содержат логарифмы в степени, отличной от 1 (в частности, в знаменателе дроби). Такие уравнения решаются с помощью введения замены переменной.


Важно! Прежде чем вводить замену, нужно «растащить» логарифмы, входящие в состав уравнения на «кирпичики», используя свойства логарифмов.


3. Методом логарифмирования можно решать:

Уравнения вида http://festival.1september.ru/articles/604860/Image10688.gif

Область определения уравнения - интервал (0, http://festival.1september.ru/articles/604860/img2.gif). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, затем применим формулы логарифма степени и произведения

http://festival.1september.ru/articles/604860/Image10689.gif

http://festival.1september.ru/articles/604860/Image10690.gif



Приведем подобные и получим линейное уравнение относительно loga x.



Уравнения вида

http://festival.1september.ru/articles/604860/Image10695.gif

Область определения уравнения - интервал (0, img2.gif (66 bytes)). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, получим

http://festival.1september.ru/articles/604860/Image10696.gif

Применим формулы логарифма степени и логарифма произведения

http://festival.1september.ru/articles/604860/Image10697.gif

Введем новую переменную t=loga x , t http://festival.1september.ru/articles/604860/Image10706.gif R. Решив квадратное уравнение At2 + (B-а)t-loga C=0, найдем его корни t1 и t2. Значение x найдем из уравнений t1 = loga x и t2=loga x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения.


Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств:

а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей;

б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства.

Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений.

Если при решении логарифмического уравнения  можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении  логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.

Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:

log_a{f(x)} log_a{g(x)}, где V – один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥.

Если основание логарифма больше единицы (a>1″ title=»a>1″/><img src=)http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710.png, то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство

log_a{f(x)}>log_a{g(x)}» title=»log_a{f(x)}>log_a{g(x)}»/><img src=

равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)>g(x)} {g(x)>0} }}{ }» title=»delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)>g(x)} {g(x)>0} }}{ }»/><img src=

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0<a<1), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство

log_a{f(x)}>log_a{g(x)}» title=»log_a{f(x)}>log_a{g(x)}»/><img src=

равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)<g(x)} {f(x)>0} }}{ }» title=»delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)<g(x)} {f(x)>0} }}{ }»/><img src=

 



























Индивидуальные задания по теме

«Логарифмические уравнения и неравенства.»


Задание 1. Решить уравнения.


Вариант 1.

hello_html_m34d2e45b.gif

hello_html_f1ab3a3.gif


Вариант 2.


hello_html_ae8c569.gif

hello_html_6dab64a1.gif


Вариант 3.


hello_html_4bfc35fe.gif

hello_html_m657f6c8e.gif


Вариант 4.


hello_html_b1a436c.gif

hello_html_579024f.gif


Вариант 5.


hello_html_m5b0fd07c.gif

hello_html_30f75658.gif




Вариант 6.



hello_html_m3f5295a.gif

hello_html_m726c17cf.gif


Вариант 7.


hello_html_3564974a.gif

hello_html_42650e28.gif


Вариант 8.

hello_html_3bb6c9d0.gif

hello_html_m6935982b.gif


Вариант 9.


hello_html_m190f0468.gif

hello_html_m793fa0.gif



Вариант 10.

hello_html_m66808bbb.gif

hello_html_m29b44633.gif



Вариант 11.

hello_html_35d3f112.gif

hello_html_m22f0312a.gif



Вариант 12.

hello_html_m1e446845.gif

hello_html_m745bc2c9.gif



Вариант 13.

hello_html_4749ff0c.gif

hello_html_692116c0.gif



Вариант 14.

hello_html_m2fb11043.gif

hello_html_m11f696b.gif



Вариант 15.

hello_html_2ae99abe.gif

hello_html_d6d14f5.gif









Задание 2. Решить неравенство.



Вариант 1.



hello_html_m14886276.gif


Вариант 2.


hello_html_m4384b41a.gif


Вариант 3.


hello_html_m6891e052.gif


Вариант 4.


hello_html_25e1ced3.gif


Вариант 5.


hello_html_m296df559.gif


Вариант 6.


hello_html_384c61f9.gif


Вариант 7.


hello_html_4ac84083.gif





Вариант 8.



hello_html_607b4c96.gif


Вариант 9.


hello_html_7eb63e88.gif



Вариант 10.

hello_html_3ce2a2b0.gif



Вариант 11.

hello_html_m610d4b3f.gif

Вариант 12.

hello_html_4819e913.gif

Вариант 13.

hello_html_m30cfdd7f.gif

Вариант 14.

hello_html_m24d3e8c5.gif

Вариант 15.

hello_html_22608405.gif





Задание 3. Решите задачу.



Вариант 1.

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 5∙10-6 Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением R = 2∙10 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U0 = 25 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за  время,   определяемое  выражением:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2012/12/214.gif

Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 46 с.   



Вариант 2.

Для обогрева помещения, температура в котором равна http://reshuege.ru/formula/1e/1e47ccfbdac9ab01c814154016ff8b24.png, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой http://reshuege.ru/formula/0d/0dc88ea3c469b459d52641356da4cb60.png. Расход проходящей через трубу воды http://reshuege.ru/formula/44/444d647bc7a38e52c7a39633ab545051.png кг/с. Проходя по трубе расстояние http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png(м), вода охлаждается до температуры http://reshuege.ru/formula/6d/6d767d5799f0244ae57f717336f8c756.png, причем:

 http://reshuege.ru/formula/eb/ebc1a539eaf932e4bac404ad63e367fd.png (м),

Где

 http://reshuege.ru/formula/10/1076f2a3c203b955ef5844acc46a2176.png – теплоeмкость воды,

 http://reshuege.ru/formula/df/df8186355a2d7a229e430f0a760713b9.png – коэффициент теплообмена,

 http://reshuege.ru/formula/92/9225557aa1eb701116ce67b4713d6b68.png – постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м?



Вариант 3.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени http://reshuege.ru/formula/b1/b1debeb56f88a7a3e156591ef944ba2b.png моля воздуха объeмом http://reshuege.ru/formula/75/752a3854126199b320f910a730fd1e29.png л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма http://reshuege.ru/formula/81/81ed5ef3779e6b081b22740d7399b22f.png. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением

 http://reshuege.ru/formula/a4/a48841acb116a49134d01f191059c4fc.png (Дж),

Где

 http://reshuege.ru/formula/e4/e4c171c6e5d08da1111fc11d7098a731.png – постоянная,

 http://reshuege.ru/formula/f2/f2846cf06838102fe3844e367fd5dc26.png – температура воздуха.

Какой объeм http://reshuege.ru/formula/81/81ed5ef3779e6b081b22740d7399b22f.png (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж?



Вариант 4.

Для обогрева помещения, температура в котором равна Тп = 200С, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой  Тв = 1000С. Расход проходящей через трубу воды m = 0,2 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры Т оС, при чём

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2012/12/74.gif





где с = 4200Дж/кг∙С — теплоемкость воды

γ = 42 Вт/м∙0С— коэффициент теплообмена,

α = 1,4 — постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 28 м.


Вариант 5.

Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре http://reshuege.ru/formula/03/035151e9e04a23b5f5028057c9615213.png Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением http://reshuege.ru/formula/eb/eb9a222c98cc798e9b60f40af7360996.png Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе http://reshuege.ru/formula/17/17ba2c32eb128195732dd7a5680cb333.png кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением

http://reshuege.ru/formula/75/75a176911bbf42de0bd53619bad9ffd8.png (с),

где 

  • - постоянная.

Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 21 с?





Вариант 6.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени http://reshuege.ru/formula/aa/aab017502c9140727d5aa924fbe8663f.png моля воздуха объeмом http://reshuege.ru/formula/2b/2b92da1a7e20200356fb4d225b57b8ab.png л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма http://reshuege.ru/formula/81/81ed5ef3779e6b081b22740d7399b22f.png. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением

 http://reshuege.ru/formula/a4/a48841acb116a49134d01f191059c4fc.png (Дж),

Где

 http://reshuege.ru/formula/5e/5e1bce8fe477158a20d5905207ea81a3.png постоянная,

 http://reshuege.ru/formula/f2/f2846cf06838102fe3844e367fd5dc26.png К — температура воздуха.

Какой объeм http://reshuege.ru/formula/81/81ed5ef3779e6b081b22740d7399b22f.png (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10980 Дж?

Вариант 7.

Для обогрева помещения, температура в котором равна http://reshuege.ru/formula/32/32a22339700315f0a1908e193dd60ef7.png, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой http://reshuege.ru/formula/f5/f5fd97afff3a1fa80d20adbd82c88265.png. Расход проходящей через трубу воды http://reshuege.ru/formula/44/444d647bc7a38e52c7a39633ab545051.png кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры http://reshuege.ru/formula/6d/6d767d5799f0244ae57f717336f8c756.png, причeм

 http://reshuege.ru/formula/a6/a6627b4d7c360f607df4b9266423d09c.png (м),

Где

 http://reshuege.ru/formula/10/1076f2a3c203b955ef5844acc46a2176.png — теплоeмкость воды,

 http://reshuege.ru/formula/df/df8186355a2d7a229e430f0a760713b9.png — коэффициент теплообмена,

 http://reshuege.ru/formula/fc/fcb0c21992347cba6cad28d797e3dfc8.png — постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 66 м?

Вариант 8.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени http://reshuege.ru/formula/09/098b6ff6415df54293d875fb1b88ee1e.png моля воздуха объeмом http://reshuege.ru/formula/45/45e54b56944f2aaff1e43de0e978dcf4.png л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма http://reshuege.ru/formula/81/81ed5ef3779e6b081b22740d7399b22f.png. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением

 http://reshuege.ru/formula/a4/a48841acb116a49134d01f191059c4fc.png (Дж),

Где

 http://reshuege.ru/formula/a1/a173611d6cc4f190b90a53c5eb648cce.png постоянная,

 http://reshuege.ru/formula/f2/f2846cf06838102fe3844e367fd5dc26.png К — температура воздуха.

Какой объeм http://reshuege.ru/formula/81/81ed5ef3779e6b081b22740d7399b22f.png (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 35760 Дж?

Вариант 9.

Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре http://reshuege.ru/formula/85/858013d2db6353fea5d962137e3c766f.png Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением http://reshuege.ru/formula/eb/eb9a222c98cc798e9b60f40af7360996.png Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе http://reshuege.ru/formula/53/53b9aa789bd8ab8d28b3c48ee937794f.png кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражениемhttp://reshuege.ru/formula/75/75a176911bbf42de0bd53619bad9ffd8.png (с),

Где

 http://reshuege.ru/formula/33/331384c199f25d3919a999f28f755e61.png — постоянная.

Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 72 с?



Вариант 10.

Для обогрева помещения, температура в котором равна http://reshuege.ru/formula/1e/1e47ccfbdac9ab01c814154016ff8b24.png, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой http://reshuege.ru/formula/57/579b996b02b9a892c46a499fea77787d.png. Расход проходящей через трубу воды http://reshuege.ru/formula/d2/d25a9c747ce43adc691e40cb33810d21.png кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры http://reshuege.ru/formula/6d/6d767d5799f0244ae57f717336f8c756.png, причeм

 http://reshuege.ru/formula/eb/ebc1a539eaf932e4bac404ad63e367fd.png (м),

Где

 http://reshuege.ru/formula/10/1076f2a3c203b955ef5844acc46a2176.png — теплоeмкость воды, 

http://reshuege.ru/formula/df/df8186355a2d7a229e430f0a760713b9.png — коэффициент теплообмена,

  • постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 136 м?



Вариант 11.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени http://reshuege.ru/formula/64/64e362f95ad268213b5cdebe319a4f42.png молей воздуха объeмом http://reshuege.ru/formula/69/699dd21d19b0e70648bb671b83fabecb.png л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма http://reshuege.ru/formula/81/81ed5ef3779e6b081b22740d7399b22f.png. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением

 http://reshuege.ru/formula/a4/a48841acb116a49134d01f191059c4fc.png (Дж),

Где

 http://reshuege.ru/formula/df/dffaff3c074e32b46c723f792572fac0.png постоянная,

 http://reshuege.ru/formula/f2/f2846cf06838102fe3844e367fd5dc26.png К — температура воздуха.

Какой объeм http://reshuege.ru/formula/81/81ed5ef3779e6b081b22740d7399b22f.png (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 20100 Дж?

Вариант 12.

Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре http://reshuege.ru/formula/f0/f01a6fad0c5f0afbf11f9decfe5832be.png Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением http://reshuege.ru/formula/bb/bbbd0bbdce1013a23fc24c4b8482c607.png Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе http://reshuege.ru/formula/7b/7b2bc612ad3e149b5d8d3e8fdfa03737.png кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением

http://reshuege.ru/formula/75/75a176911bbf42de0bd53619bad9ffd8.png (с),

Где

 http://reshuege.ru/formula/83/8381f7e29317c0b30b9e72fcce97f119.png — постоянная.

Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 84 с?



Вариант 13.

Для обогрева помещения, температура в котором равна http://reshuege.ru/formula/1e/1e47ccfbdac9ab01c814154016ff8b24.png, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой http://reshuege.ru/formula/cb/cb4a08a44103962e658123f9c9fda0f5.png. Расход проходящей через трубу воды http://reshuege.ru/formula/e9/e92c7d2b1a2cace7662cbb9de083401d.png кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры http://reshuege.ru/formula/6d/6d767d5799f0244ae57f717336f8c756.png, причeм

 http://reshuege.ru/formula/eb/ebc1a539eaf932e4bac404ad63e367fd.png (м),

Где

 http://reshuege.ru/formula/10/1076f2a3c203b955ef5844acc46a2176.png — теплоeмкость воды, 

http://reshuege.ru/formula/7e/7e54d2efa12e55eb713006e377f4a968.png — коэффициент теплообмена,

  • постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 108 м?

Вариант 14.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени http://reshuege.ru/formula/d6/d642223e223de22e10a4fcc32bc32dc7.png моля воздуха объeмом http://reshuege.ru/formula/6c/6ce40009091a391b1a8e9affc3f93e72.png л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма http://reshuege.ru/formula/81/81ed5ef3779e6b081b22740d7399b22f.png. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением

 http://reshuege.ru/formula/a4/a48841acb116a49134d01f191059c4fc.png (Дж),

Где

 http://reshuege.ru/formula/72/728188a8ac418c8901f40a041f6af655.png постоянная,

 http://reshuege.ru/formula/f2/f2846cf06838102fe3844e367fd5dc26.png К — температура воздуха.

Какой объeм http://reshuege.ru/formula/81/81ed5ef3779e6b081b22740d7399b22f.png (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 28260 Дж?

Вариант 15.

Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре http://reshuege.ru/formula/f0/f01a6fad0c5f0afbf11f9decfe5832be.png Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением http://reshuege.ru/formula/bb/bbbd0bbdce1013a23fc24c4b8482c607.png Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе http://reshuege.ru/formula/7b/7b2bc612ad3e149b5d8d3e8fdfa03737.png кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражениемhttp://reshuege.ru/formula/75/75a176911bbf42de0bd53619bad9ffd8.png (с),

Где

 http://reshuege.ru/formula/83/8381f7e29317c0b30b9e72fcce97f119.png — постоянная.

Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 84 с?



















Решение типового варианта.

Задание 1. Решите уравнения.

  1.  log_3(28-3^x)=2^{log_2(3-x)}

Решение:


Уравнение определено для 3-x>0 и 28-3^x>0. Первое неравенство эквивалентно x<3 и поэтому 28-3x > 28-33=28-27=1>0.
Уравнение принимает вид
log_3(28-3^x)=3-x
28-3^x=3^{3-x}
28-3^x=\frac{27}{3^x}
hello_html_76cefc48.gifhello_html_m74234b49.gifhello_html_m2a04b552.gif
3^x(3^x-27)-(3^x-27)=0
(3^x-1)(3^x-27)=0.

Так как x<3, x=3 (3x=27) не является корнем уравнения, поэтому единственный корень получается из 3x=1, или x=0.

Ответ: x=0



  1. log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2

Решение:

Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x2 - 8x + 15) = (2x + 1)2


или, после элементарных преобразований,


x2 + 6x-7 = 0,



откуда x1 = -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1.

Ответ: x=1





Задание 2. Решите неравенство.

hello_html_m79099136.gif

Решение:

http://www.math.md/school/praktikum/logr/log101x.gif

Решение первой системы совокупности:

http://www.math.md/school/praktikum/logr/log102x.gif

Решение второй системы совокупности:

http://www.math.md/school/praktikum/logr/log103x.gif

 http://www.math.md/school/praktikum/logr/t1x.gif

x  (3;4),

   x  (3;4).

x  ,





Ответ: 3< x <4



Задание 3. Решите задачу.

Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий http://reshuege.ru/formula/c5/c57168ae819172a49d6a1a92198aedb7.png моля воздуха при давлении http://reshuege.ru/formula/6a/6a1753868f19a93be889ea8cba140719.pngатмосферы, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением

 http://reshuege.ru/formula/16/166b11616490cb955532624488c05e1a.png (Дж),

Где

 http://reshuege.ru/formula/e4/e4c171c6e5d08da1111fc11d7098a731.png – постоянная, 

  • температура воздуха,

 http://reshuege.ru/formula/03/03b632315ee5bee654b60a6bd902a249.png (атм) – начальное давление,

 http://reshuege.ru/formula/6f/6fe97b358b528edc477ba63d50b652af.png (атм) – конечное давление воздуха в колоколе.

До какого наибольшего давления http://reshuege.ru/formula/6f/6fe97b358b528edc477ba63d50b652af.png можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 6900 Дж? Ответ приведите в атмосферах.

Решение:

Задача сводится к решению неравенства

 http://reshuege.ru/formula/58/5842ce232cc8afd7424b5c3d307e24bf.png 

при заданных значениях постоянной http://reshuege.ru/formula/db/db4a5ea473dcbfe78453abf2ab633596.png, температуры воздуха http://reshuege.ru/formula/6f/6f8bc7f7f92d8b80ff1895a14db1b1df.png К, начального давления http://reshuege.ru/formula/a4/a43a774f8ebf3761b30430864a0bb8ec.png атм и количества воздуха http://reshuege.ru/formula/89/891c1818bc506d52a40cc104a4732127.png моль:

 

http://reshuege.ru/formula/4c/4c52c9fe82d74c5c1f27a87d0728a102.png атм.


Ответ: 6.

































Тема 5. Тригонометрические формулы, тригонометрические уравнения и неравенства.



Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса R = 1 с центром O в начале координат. Координатные оси делят окружность на четыре дуги, которые называют четвертями.

opredelenie

 

 

 Рассмотрим произвольный угол http://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/144/char0B.png. Точка  M(x;y) лежит на единичной окружности, считаем, что точка  M результат поворота точки A(1;0) на угол http://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/144/char0B.png. На оси OX находятся значения cos угла поворота, а на оси OY, соответственно, находятся значения  sin углов поворота. На дополнительных осях ctg и tg  параллельных осям OX и OY, соответственно, находятся значения  ctg и tg  угла поворота.

Тригонометрические функции (функции угла) определяются следующими равенствами:

  • синус: sinhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char0B.png=y, то есть ордината точки M;

  • косинус: coshttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char0B.png=x, то есть абсцисса точки M;

  • тангенс: tghttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char0B.png=x/y, то есть отношение ординаты к абсциссе точки M;

  • котангенс: ctghttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char0B.png=y/x, то есть отношение абсциссы к ординате точки M.

Замечание.  Значение tg  угла поворота не существует для углов 2http://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/100/char19.png+http://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/144/char19.pngnhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/144/char3B.pngnhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/144/char32.pngZ .Значение ctg  угла поворота не существует для углов http://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/144/char19.pngnhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/144/char3B.pngnhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/144/char32.pngZ .

 Основные тригонометрические свойства:


Sin^2x+Cos^2x=1 (основное тригонометрическое тождество)

tg x=\dfrac{sinx}{Cosx}

ctg x=\dfrac{Cosx}{Sinx}

tg x \cdot ctgx=1

1+ tg^2x=\dfrac{1}{Cos^2x}

1+ctg^2x=\dfrac{1}{Sin^2x}

Четность и нечетность тригонометрических функций:


Sin(-x)= - Sinx нечетная

Cos(-x)=Cosx четная

tg(-x)=-tgx нечетная

ctg(-x)=-ctgx нечетная


Знаки тригонометрических функций


знаки тригонометрических функций


Таблица значений тригонометрических функций 


C:\Documents and Settings\Смирнова\Мои документы\Мои рисунки\таблица-значений-тригоном-функций_крупная.jpg




Формулы приведения:


Чтобы написать правую часть формул приведения нужно:
1) найти четверть в которой лежит угол в скобках, считая X острым углом.
2) поставить знак данной функции в данной четверти.
3) сменить или сохранить функцию.
При 
\dfrac {\pi}{2} или \dfrac{3\pi}{2} функция меняется (Sinx \leftrightarrow Cosxtgx \leftrightarrow ctgx)
При 
\pi или 2\pi функция не меняется.


Формулы сложения углов:


Sin (\alpha + \beta)=Sin(\alpha)Cos(\beta)+Cos(\alpha)Sin(\beta)

Sin (\alpha - \beta)=Sin(\alpha)Cos(\beta)-Cos(\alpha)Sin(\beta)

Cos (\alpha + \beta)=Cos(\alpha)Cos(\beta)-Sin(\alpha)Sin(\beta)

Cos (\alpha - \beta)=Cos(\alpha)Cos(\beta)+Sin(\alpha)Sin(\beta)

Формулы двойного угла:


Sin2x=2SinxCosx

Cos2x=Cos^2x-Sin^2x=1-2Sin^2x=2Cos^2x-1

1+Cos2x=2Cos^2x , Cos^2x=\dfrac{1+Cos2x}{2}

1-Cosx2x=2Sin^2x , Sin^2x= \dfrac{1-Cos2x}{2}

tg2x=\dfrac{2tgx}{1-tg^2x}

ctg2x=\dfrac{ctg^2x-1}{2ctgx}

Формулы сложения тригонометрических функций:


Sin\alpha+Sin\beta=2Sin\left (\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)

Sin\alpha-Sin\beta=2Sin\left (\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)

Cos\alpha+Cos\beta=2Cos\left (\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)

Cos\alpha-Cos\beta=-2Sin\left (\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)Sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)

Простейшие тригонометрические уравнения:

C:\Documents and Settings\Смирнова\Мои документы\Мои рисунки\простейшее-тригоном-уравнение-с-синусом_.jpg

  1. Уравнения вида Sinx=a

Уравнения вида Sinx=a ,
a \in [-1;1]

  1. Частные формулы:
    x_1=arcSin(a)+2\pi n
    x_2=\pi - arcSin(a)+2\pi n
    где 
    n \in Z


Общая формула:
x=(-1)^n arcsin(a) + \pi n,
где 
n \in Z
нули синуса

Частные случаи:

1) Нули синуса:

Sinx=0

x=\pi n

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие нуля в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.






2) решение уравнения hello_html_43865e11.gifсинус равен_1

Sin x=1

x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие единицы в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.


  1. решение уравнения hello_html_678782e6.gif
    синус равен_минус1

x=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие минус единицы в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.




C:\Documents and Settings\Смирнова\Мои документы\Мои рисунки\простейшее-тригоном-уравнение-с-косинусом.jpg

2) Уравнения вида Cosx=a

Уравнения вида Cosx=a ,
a \in [-1;1]

Частные формулы:
x_1=arccos(a)+2\pi n
x_2= - arccos(a)+2\pi n
где 
n \in Z

Общая формула:
x=\pm arccosa+2\pi n,
где 
n \in Z

Частные случаи:нули косинуса

1) Нули косинуса:

cosx=0

x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие нуля в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.


2) решение уравнения hello_html_37853a0b.gif
косинус равен_1

cosx=1

x=2\pi n

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие единицы в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.


3)решение уравнения hello_html_m9bc131.gif
cosx=-1
косинус равен_минус1

x=\pi+2\pi n

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие единицы в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.


3) Уравнения вида tgx=a


Уравнения вида   

tgx=aa \in (- \infty; + \infty )

Частные формулы:
x_1=arctg(a)+2\pi n
x_2=arctg(a)+\pi+2\pi n
где 
n \in Z

Общая формула:
x=arctg(a) + \pi n,
где 
n \in Z

Решение на круге. C:\Documents and Settings\Смирнова\Мои документы\Мои рисунки\простейшее-тригонометрическое-уравнение-с-тангенсом.jpg



1) Уравнения вида ctgx=a


Уравнения вида 
 ,

ctgx=aa \in (- \infty; + \infty )

Частные формулы:

hello_html_m4dca8c02.gif

hello_html_5ff2a12f.gif где nZ
C:\Documents and Settings\Смирнова\Мои документы\Мои рисунки\простейшее-тригонометрическое-уравнение-с-котангенсом.jpg

Общая формула:

hello_html_59d15416.gif, где nZ



Решение на круге.



Простейшие тригонометрические неравенства.

Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.

К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся следующие 16 неравенств: 
hello_html_m452fde6c.gifhello_html_6f2f313.gifhello_html_m2dc6407e.gifhello_html_47e8b135.gif

Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.

  

Неравенства вида   sin x > a,   sin x ≥ a,   sin x < a,   sin x ≤ a

решения простейших неравенств с функцией синус



   

Неравенство sin x > a

При a ≥ 1 неравенство sin x > a не имеет решений: 
x 

При a < −1 решением неравенства sin x > a является любое действительное число: 
x  R

При −1 ≤ a < 1 решение неравенства sin x > a выражается в виде 
arcsin a + 2πn < x < π arcsin a + 2πn,  n  Z  


   Неравенство sin x ≥ a

При a > 1 неравенство sin x ≥ a не имеет решений: 
x 

При a ≤ −1 решением неравенства sin x ≥ a является любое действительное число: 
x  R

Случай a = 1 
x = π/2 + 2πn,  n  Z

При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства sin x ≥ a включает граничные углы и имеет вид 
arcsin 
a + 2πn ≤ x ≤ π − arcsin a + 2πn,  n  Z  






 Неравенство sin x < a

При a > 1 решением неравенства sin x < a является любое действительное число: 
x  R

При a ≤ −1 у неравенства sin x < a решений нет: 
x 

При −1 < a ≤ 1 решение неравенства sin x < a лежит в интервале 
− 
π − arcsin a + 2πn < x < arcsin a + 2πn,  n  Z   

   

Неравенство sin x ≤ a

При a ≥ 1 решением неравенства sin x ≤ a является любое действительное число: 
x  R

При a < −1 неравенства sin x ≤ a решений не имеет: 
x 

Случай a = −1 
x = − π/2 + 2πn,  n  Z

При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства sin x ≤ a находится в интервале 
− 
π − arcsin a + 2πn ≤ x ≤ arcsin a + 2πn,  n  Z   

 

Неравенства вида   cos x > a,   cos x ≥ a,   cos x < a,   cos x ≤ a


решения простейших неравенств с функцией косинус



   



Неравенство cos x > a

При a ≥ 1 неравенство cos x > a не имеет решений: 
x 

При a < −1 решением неравенства cos x > a является любое действительное число: 
x  R

При −1 ≤ a < 1 решение неравенства cos x > a имеет вид 
− arccos 
a + 2πn < x < arccos a + 2πn,  n  Z  

  

 Неравенство cos x ≥ a

При a > 1 неравенство cos x ≥ a не имеет решений: 
x 

При a ≤ −1 решением неравенства cos x ≥ a является любое действительное число: 
x  R

Случай a = 1 
x = 2πn,  n  Z

При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства cos x ≥ a выражается формулой 
− arccos 
a + 2πn ≤ x ≤ arccos a + 2πn,  n  Z  

   

Неравенство cos x < a

При a > 1 неравенство cos x < a справедливо при любом действительном значении x
x  R

При a ≤ −1 неравенство cos x < a не имеет решений: 
x 

При −1 < a ≤ 1 решение неравенства cos x < a записывается в виде 
arccos 
a + 2πn < x < 2π − arccos a + 2πn,  n  Z  

   

Неравенство cos x ≤ a

При a ≥ 1 решением неравенства cos x ≤ a является любое действительное число: 
x  R

При a < −1 неравенство cos x ≤ a не имеет решений: 
x 

Случай a = −1 
x = π + 2πn,  n  Z

При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства cos x ≤ a записывается как 
arccos 
a + 2πn ≤ x ≤ 2π − arccos a + 2πn,  n  Z  

  

Неравенства вида   hello_html_33ac7bc6.gif

решения простейших неравенств с функцией тангенс



   Неравенство tg x > a

При любом действительном значении a решение строгого неравенства tg x > a имеет вид 
arct
g a + πn < x < π/2 + πn,  n  Z  

   

Неравенство tg x ≥ a

Для любого значения a решение неравенства tg x ≥ a выражается в виде 
arct
g a + πn ≤ x < π/2 + πn,  n  Z  

   

Неравенство tg x < a

Для любого значения a решение неравенства tg x < a записывается в виде 
− 
π/2 + πn < x < arctg a + πn,  n  Z  

   


Неравенство tg x ≤ a

При любом a неравенство tg x ≤ a имеет следующее решение: 
− 
π/2 + πn < x ≤ arctg a + πn,  n  Z  


Неравенства вида   ctg x > a,   ctg x ≥ a,   ctg x < a,   ctg x ≤ a


решения простейших неравенств с функцией котангенс



   Неравенство ctg x > a

При любом a решение неравенства ctg x > a имеет вид 
πn < x < arcctg a + πn,  n  Z  

   

Неравенство ctg x ≥ a

Нестрогое неравенство ctg x ≥a имеет аналогичное решение 
πn < x ≤ arcctg a + πn,  n  Z  

 Неравенство ctg x < a

Для любого значения a решение неравенства ctg x < a лежит в открытом интервале 
arcct
g a + πn < x < π + πn,  n  Z  

  

 Неравенство ctg x ≤ a

При любом a решение нестрогого неравенства ctg x ≤ a находится в полуоткрытом интервале 
arcct
g a + πn ≤ x < π + πn,  n  Z  









Индивидуальные задания по теме

«Тригонометрические формулы.

Тригонометрические уравнения и неравенства.»

Задание 1. Упростите выражение.

Вариант 1.

hello_html_43e96972.gif

Вариант 2.

hello_html_1173ea0.gif

Вариант 3.

hello_html_m5dfb93ae.gif

Вариант 4.

hello_html_1441919c.gif

Вариант 5.


hello_html_47d52619.gif

Вариант 6.

hello_html_m234a0b86.gif

Вариант 7.

hello_html_3f8df60f.gif



Вариант 8.

hello_html_m50603122.gif

Вариант 9.

hello_html_5380cde1.gif

Вариант 10.

hello_html_87a6d5.gif

Вариант 11.

hello_html_m27e361d5.gif

Вариант 12.

hello_html_m4b321769.gif

Вариант 13.

hello_html_m3919d9cc.gif

Вариант 14.

hello_html_m7e102ad1.gif

Вариант 15.

hello_html_m565ad263.gif



Задание 2. Решите уравнение.

Вариант 1.

http://reshuege.ru/formula/1b/1bb5a56c7570c3e626c627bab17baa4d.png

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/b1/b1f50dc83f998c7897aaca8beda2e5e6.png


Вариант 2.

 http://reshuege.ru/formula/2d/2df3132ccd4576052d4956600271e0ac.png

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку http://reshuege.ru/formula/75/757b21e479a83ab5b8163c9ec01fcb85.png


Вариант 3.

 http://reshuege.ru/formula/64/64b5e84154dfaf00b856c5f42f2e7245.png

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку http://reshuege.ru/formula/1d/1d17ff92c1bfe5fac80c23eea0bf8913.png


Вариант 4.

http://reshuege.ru/formula/e7/e758b371e75a77bca6d8c4f0271b071c.png

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие http://reshuege.ru/formula/dc/dced1e3d2d8131c40bff53ff8ebd7bdd.png


Вариант 5.

 http://reshuege.ru/formula/2d/2df3132ccd4576052d4956600271e0ac.png

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку http://reshuege.ru/formula/75/757b21e479a83ab5b8163c9ec01fcb85.png




Вариант 6.

http://reshuege.ru/formula/9b/9b016fb6962578a9ee585bba2c7d0ae3.png

Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/b5/b53a09fafa73a407a19dbbc573435df1.png


Вариант 7.

http://reshuege.ru/formula/50/50e09864189c14b6e40c2baaa0186866.png.

Укажите его корни, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/6d/6df25ba6b644c7091aa6c7042a1a6ef7.png


Вариант 8.

http://reshuege.ru/formula/a8/a8775d1cfa78abac3b4b2b0879e5e9ec.png

Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/7a/7adcacb0d2a8d8e4e70860bc15222e05.png


Вариант 9.

http://reshuege.ru/formula/a5/a57af52c2c524df70852ac275256b15f.png.

Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку http://reshuege.ru/formula/38/3845e3097fccf499462653be3a171bae.png


Вариант 10.

http://reshuege.ru/formula/27/27cc75ddd2a58e552aad2fa65d31dba6.png.

 Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/17/17e156cedf5f1656a8045d12d80db0d9.png .


Вариант 11.

http://reshuege.ru/formula/f4/f47380ecbce789a4ebd2458967645536.png

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку http://reshuege.ru/formula/38/3845e3097fccf499462653be3a171bae.png


Вариант 12.

http://reshuege.ru/formula/6d/6d0bc5aa0516ef14b044c9a7a485fb91.png

Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/86/8680344dc18c8504eaebe685fcb6663b.png


Вариант 13.

http://reshuege.ru/formula/38/386c087f13148fc98ddbc0f02045f300.png

 

Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/38/3845e3097fccf499462653be3a171bae.png


Вариант 14.

http://reshuege.ru/formula/2c/2c830900c8930be8ee7ebf788ffff39a.png

Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/f2/f2bc7c658508373bfdb62f78fc6b7da1.png


Вариант 15.

http://reshuege.ru/formula/45/45262cae1a9b889cd1b9e05fdf1acbfa.png.

Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку http://reshuege.ru/formula/38/38a29361b279c54dec38c577297bff25.png.













Задание 3. Решите неравенства.

Вариант 1.

hello_html_74eaf3ea.gif

hello_html_m30efcab3.gif


Вариант 2.

hello_html_m4a721531.gif

hello_html_m3504c2bb.gif


Вариант 3.

hello_html_m4b258c24.gif

hello_html_m78e5df2c.gif


Вариант 4.

hello_html_1d879710.gif

hello_html_11fcdf21.gif


Вариант 5.

hello_html_m593b8555.gif

hello_html_m148a6aa1.gif


Вариант 6.

hello_html_47114d5f.gif

hello_html_2f236c35.gif



Вариант 7.

hello_html_m26012d61.gif

hello_html_4b0ce7bd.gif


Вариант 8.

hello_html_5722b595.gif

hello_html_14952046.gif


Вариант 9.

hello_html_m248670d3.gif

hello_html_m3d28b3b4.gif


Вариант 10.

hello_html_m6009cdec.gif

hello_html_39feb70d.gif


Вариант 11.

hello_html_m36b5c1f6.gif

hello_html_m7ea4156b.gif


Вариант 12.

hello_html_m542d92e4.gif

hello_html_2f236c35.gif


Вариант 13.

hello_html_m3ec8194d.gif

hello_html_87ef250.gif

Вариант 14.

hello_html_m754ee983.gif

hello_html_4b0ce7bd.gif


Вариант 15.

hello_html_73cfde96.gif

hello_html_m30efcab3.gif
























Решение типового варианта.



Задание 1. Упростите выражение.

hello_html_565de487.gif


Решение.


hello_html_39c3d307.gif

hello_html_m1a5ae3f9.gif


Ответ: 0



Задание 2. Решите уравнение.

  1. hello_html_7bef5610.gif

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  hello_html_764d904a.gif


Решение.


а) Преобразуем уравнение:

 

hello_html_m562041b2.gif


б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни уравнения, принадлежащие интервалуhello_html_764d904a.gif

 hello_html_292554a9.gif

Ответ:hello_html_28927ccb.png

http://reshuege.ru/formula/46/463b42fcd5541ed96334ed3ea25f6308.png

а) 


hello_html_m675bd7f8.png

б)   



Задание 3. Решите неравенства


hello_html_11e7dbae.png

  1.  


Решение.

Преобразуем левую часть неравенства по формуле косинуса двойного аргумента:

hello_html_m4edcb45b.pnghello_html_m4d6bfa8.png

Получим

hello_html_m4f4e09f3.png

Построим графики функций


hello_html_m5e2269dd.jpg


Определяем промежуток значений х, при которых точки синусоиды лежат ниже точек прямой.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/320.jpg










Учтем периодичность функции косинуса и запишем в виде двойного неравенства решение данного неравенства:

hello_html_3686a47.pnghello_html_m5c63e808.png



  1. Разложим на множители hello_html_m538c9c40.png



  1. Находим точки разрыва и нули функции. hello_html_m5f860be0.pnghello_html_m27f46810.png

hello_html_26ffc17a.png



(1): hello_html_m17c45ae6.png

(2): hello_html_4bfe8097.png

hello_html_2137f46a.png

(3): hello_html_17809dc7.png

hello_html_m58fe3bbf.png

3. Возьмем точку hello_html_5ffd94e5.png





  1. Точки четной кратности :

0

hello_html_73ef2cbb.png

Ответ:

Тема 6. Производная и её применение к исследованию функций.


Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Производной функцией hello_html_52762f6a.gifв точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение

http://matematika.egepedia.ru/lib/exe/fetch.php/%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8B_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F/213.gif,при Δx, стремящемся к нулю.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа)

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv07.gif

2. Производная независимой переменной

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv08.gif

3. Производная степени

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv14.gif

4. Производная переменной в степени -1

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv75.gif

5. Производная квадратного корня

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv76.gif

6. Производная синуса

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv77.gif

7. Производная косинуса

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv78.gif

8. Производная тангенса

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv79.gif

9. Производная котангенса

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv80.gif

10. Производная натурального логарифма

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv85.gif

11. Производная логарифмической функции

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv86.gif

12. Производная экспоненты

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv87.gif

13. Производная показательной функции

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv88.gif

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv09.gif

2. Производная произведения

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv10.gif

2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv11.gif

3. Производная частного

http://function-x.ru/deriv_theory/deriv12.gif

Геометрический смысл производной

Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке

http://matematika.egepedia.ru/lib/exe/fetch.php/%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8B_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F/210.gif



Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x0:


hello_html_594ff028.gif



Исследование функций с помощью производной.

 

Возрастание и убывание функций.

 

            Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x)  0.

                              2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].


Точки экстремума.

 

            Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функцияf(x) имеет в точке х2 минимум, если hello_html_m8366437.gif > f(x2) при любом х (х может быть и отрицательным).

 

            Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

 

            Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

 

            Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то  производная функции обращается в нуль в этой точке.


Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция  у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

 

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

 

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.




            Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

           

  Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).

           

Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

 

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

 

1)      Найти критические точки функции.

2)      Найти значения функции в критических точках.

3)      Найти значения функции на концах отрезка.

4)      Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

 

Схема исследования функции.


  1. Найти область определения функции;

  2. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность;

  3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат;

  4. Исследовать функция на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;

  5. Найти точки экстремума и экстремальные значения функции;

  6. Построить график функции.






















Индивидуальные задания по теме

«Производная и её применение к исследованию функций.»


Задание 1. Найдите производные функций.


Вариант 1.


hello_html_56fc3c40.gif hello_html_m61648fc9.gif hello_html_m253d18c6.gif hello_html_775ba55b.gif


Вариант 2.

hello_html_4a20f31b.gif hello_html_m50ac2a5b.gif hello_html_m54f199c9.gif hello_html_6eac4d4a.gif


Вариант 3.

hello_html_m523f1e97.gif hello_html_m63cfd9fb.gif hello_html_m583c820a.gif hello_html_m5b9dc556.gif


Вариант 4.

hello_html_60039b29.gif hello_html_2d6716f1.gif hello_html_136ea01e.gif hello_html_7874ec37.gif


Вариант 5.

hello_html_m5e632c8b.gif hello_html_me1646be.gif hello_html_45bb89c0.gif hello_html_675e9a7a.gif


Вариант 6.

hello_html_42615435.gif hello_html_6ead9f6b.gif hello_html_m70951b28.gif hello_html_m530239cc.gif


Вариант 7.

hello_html_m42c927e9.gif hello_html_m41efbcb.gif hello_html_42b5aaea.gif hello_html_m42cfe58a.gif


Вариант 8.

hello_html_692306fb.gif hello_html_18ec1c63.gif hello_html_53652a18.gif hello_html_abd0616.gif


Вариант 9.

hello_html_61f6826e.gif hello_html_m2901756d.gif hello_html_4807b817.gif hello_html_60214fe4.gif


Вариант 10.

hello_html_m21a48745.gif hello_html_m4c1a5ecc.gif hello_html_44ca84b1.gif hello_html_m4b267600.gif


Вариант 11.

hello_html_m523f1e97.gif hello_html_m63cfd9fb.gif hello_html_136ea01e.gif hello_html_7874ec37.gif


Вариант 12.

hello_html_60039b29.gif hello_html_m7ca0b6fd.gif hello_html_m253d18c6.gif hello_html_775ba55b.gif


Вариант 13.

hello_html_m523f1e97.gif hello_html_m63cfd9fb.gif hello_html_136ea01e.gif hello_html_7874ec37.gif


Вариант 14.

hello_html_60039b29.gif hello_html_3876f152.gif hello_html_m6c23484.gif hello_html_m5b9dc556.gif


Вариант 15.

hello_html_m5e632c8b.gif hello_html_me1646be.gif hello_html_m70951b28.gif hello_html_m530239cc.gif





















Задание 2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.


Вариант 1.

 Найти наибольшее значение функции http://reshuege.ru/formula/a8/a8977476e6dc05f1a5fd6019d3b14056.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/b2/b26fc149fca505efcd5342202d06aab9.png.


 Вариант 2.


Найти наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/aa/aafaab294b0dbdab1750590036bbbb7d.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/a7/a779432c5064225c4a1edb0b1512745a.png.


Вариант 3.

Найти наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/7b/7b4c07270d370bc14fed34a9cb48807f.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/70/7029a2cc30d981aa7725535f460e5d49.png.


Вариант 4.


Найти наибольшее значение функции  http://reshuege.ru/formula/ae/ae527b3c0d248a855efffbfbb51641a4.png  на отрезке http://reshuege.ru/formula/a5/a53e6a2dfe80fd8fb5f5185a68718ec3.png


Вариант 5.

Найти наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/52/5206f116b8ebc60b7563d7e31fbdc7f1.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/0c/0c8cfffccff117380bceb4bf268ee7c3.png.


Вариант 6.


Найти наибольшее значение функции http://reshuege.ru/formula/18/186d52d15cdb898b4e375b140acf3b10.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/7c/7c72307a4639f129b05b4e6537684abf.png


Вариант 7.

Найти наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/fc/fc857bd3e76cfafe14f7c46f5dadba19.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/80/8016612d3b2c97dd5f838e78f4d6acb8.png.


Вариант 8.


Найти наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/89/895b1dc46f309ff2cab7e512e3e18f69.png  на отрезке http://reshuege.ru/formula/7c/7c72307a4639f129b05b4e6537684abf.png


Вариант 9.

Найти наибольшее значение функции http://reshuege.ru/formula/a5/a5152a0e68ab93d949d33bf65335a5a8.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/8a/8aae8126e3731adfbfb5c24af35e3b61.png.


Вариант 10.

Найти наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/75/750456177dd6207de92a25faf787a704.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/aa/aa172e8ce22aa5b12f8fbbee6f424127.png.



Вариант 11.

Найти наибольшее значение функции http://reshuege.ru/formula/31/31d6b8456753453c88abb8ae2fc382ad.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/9e/9ea628f96940339af440e27ddbf625df.png.


Вариант 12.

Найти наибольшее значение функции http://reshuege.ru/formula/67/6705567e54eb8b53ead0e72d560e73cb.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/78/78e5c65c423bd15e21cf016e7e640f6c.png


Вариант 13.

Найти наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/54/54d1278bbc4b10348664b23413216d75.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/24/24a6c6e1533ca8cf73d66776d7df89a2.png


Вариант 14.

Найти наибольшее значение функции http://reshuege.ru/formula/d9/d9323427daf4fd6e245b62f5dacf02ae.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/f2/f27fa0658c666a1eb4f07c60cefffd08.png.


Вариант 15.

Найти наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/95/95c76dc06976558b0d33972801d992d1.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/9e/9ea628f96940339af440e27ddbf625df.png









Задание 3. Касательная к графику функции.


Вариант 1.

Прямая http://reshuege.ru/formula/d8/d8dc0b6796ef507d055ddc1189f9d18d.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/04/046a2e453af5f8657d947dcff6332b7d.png. Найдите абсциссу точки касания.


 Вариант 2.

Прямая http://reshuege.ru/formula/f7/f76f958631cebb1a3bafdce03bde1efa.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/25/25577026aa337b98726b84befda24b03.png. Найдите абсциссу точки касания.


Вариант 3.

Прямая http://reshuege.ru/formula/9c/9c47422980919ac63a9b21b14feadb6a.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/f7/f7f6681755b39e1ec8dfe2b390fb905a.png. Найдите абсциссу точки касания.


Вариант 4.

Прямая http://reshuege.ru/formula/55/551d4dac342030a736d25da2e67985fb.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/24/24eef0fd72f384c0439fd9c78a7cad1f.png. Найдите абсциссу точки касания.


Вариант 5.

Прямая http://reshuege.ru/formula/fd/fd4c0a1e72f5cd49d2b1456f02a8126a.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/d4/d4c3c626e2650e9a44c3a02a7599bd08.png. Найдите абсциссу точки касания.


Вариант 6.

Прямая http://reshuege.ru/formula/0c/0c0df81d507eed545ef5e15f254b6769.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/d6/d67423bec82760be84a9e9ae71504b06.png. Найдите абсциссу точки касания


Вариант 7.

Прямая http://reshuege.ru/formula/91/91cc82767fcd99027adfd03440370e53.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/f2/f2158cf0d3f812382c51a791bc43b529.png. Найдите абсциссу точки касания.


Вариант 8.

Прямая http://reshuege.ru/formula/ea/eadd2d94ec914b04c18b62a2cf2782b9.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/2d/2dfa928c15f8f923cc23c123a40021c1.png. Найдите абсциссу точки касания.


Вариант 9.

Прямая http://reshuege.ru/formula/a9/a94d726ff208ac9ff9ad8192658b4c0a.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/56/563ff5e0bd5556105fa1d868e315ed44.png. Найдите абсциссу точки касания.


Вариант 10.

Прямая http://reshuege.ru/formula/12/1283ef99c2f20aaa4181c0415a42b6ce.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/c8/c8670117d544f49de7128a73b72df2e9.png. Найдите абсциссу точки касания.


Вариант 11.

Прямая http://reshuege.ru/formula/76/7665bd5926f102cadcf14140659ba079.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/50/5062cd1fab9a9ec33d3e2adc6a8260ca.png. Найдите абсциссу точки касания.

Вариант 12.

Прямая http://reshuege.ru/formula/71/713443639d932ee94628e6ca2cac59b1.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/1e/1ead035a765558abf35d0f684f7263b5.png. Найдите абсциссу точки касания.


Вариант 13.

Прямая http://reshuege.ru/formula/fb/fbd8ac6406e48da19c7196fad9c222aa.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/97/9799d6c2e9da061655cb4949c378de81.png. Найдите абсциссу точки касания.


Вариант 14.

Прямая http://reshuege.ru/formula/6c/6c9433fd33a7d2276812914beca8b111.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/01/0199ab9f04fbee15210029983bff2035.png. Найдите абсциссу точки касания.


Вариант 15.

Прямая http://reshuege.ru/formula/e9/e91f1a4c45c93846a9fcf7dc0ba13173.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/ce/ce5b0b358e7334a608319e3f9cc13eb0.png. Найдите абсциссу точки касания.






























Задание 4. Исследуйте функцию и постройте её график.


Вариант 1.

hello_html_2e8dc975.gif

Вариант 2.

hello_html_m7b75c4f8.gif

Вариант 3.

hello_html_m37184d24.gif

Вариант 4.

hello_html_4ec42209.gif

Вариант 5.

hello_html_125d891.gif

Вариант 6.

hello_html_44b3f80a.gif

Вариант 7.

hello_html_4323ae8f.gif

Вариант 8.

hello_html_569320dd.gif

Вариант 9.

hello_html_413fba44.gif

Вариант 10.

hello_html_m37184d24.gif

Вариант 11.

hello_html_4ec42209.gif

Вариант 12.

hello_html_125d891.gif

Вариант 13.

hello_html_2e8dc975.gif

Вариант 14.

hello_html_4323ae8f.gif

Вариант 15.

hello_html_569320dd.gif






































Решение типового варианта.


Задание 1. Найдите производные функций.


  1. hello_html_m51ce7eed.gif

Решение.

hello_html_m28bcda0c.gif



  1. hello_html_m44ae5ed2.gif

Решение.

hello_html_m3e833ad0.gif



  1. hello_html_m5ce515b9.gif

Решение.

hello_html_m6dac516b.gif



  1. hello_html_576cd107.gif

Решение.

hello_html_dbf4151.gif





Задание 2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.


Найдите наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/0f/0f82ca1489a137f52571441126341439.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/8a/8acbd5f23e46613b0d67b15cf52eb8ab.png.


Решение.


Найдем производную заданной функции:

 

http://reshuege.ru/formula/eb/eb4004cb3244a2fca8ff4b45be4b04a2.png

Найдем нули производной:

 

http://reshuege.ru/formula/59/59c9c6ada35bf703de5c7565773d4426.png

 

Отметим на рисунке нули производной и поведение функции на заданном отрезке:

http://reshuege.ru/get_file?id=6855

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является ее значение в точке минимума. Найдем его:

 

http://reshuege.ru/formula/4b/4be925518bb463914f33d7b98315901c.png

 

Ответ: −6.




Задание 3. Касательная к графику функции.


Прямая http://reshuege.ru/formula/9c/9c47422980919ac63a9b21b14feadb6a.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/f7/f7f6681755b39e1ec8dfe2b390fb905a.png. Найдите абсциссу точки касания.


Решение.

Условие касания графика функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png и прямой http://reshuege.ru/formula/10/10afe20a154e668773a425e2b93af4cc.png задаётся системой требований:

 

http://reshuege.ru/formula/46/46c17bd791b046bddbfa6a8e38a81162.png

 

В нашем случае имеем:

 

http://reshuege.ru/formula/73/73c7fce77e4f679f8c18d9328201d397.png


Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

 

Ответ: −1.




Задание 4. Исследуйте функцию и постройте её график.


hello_html_m166960f4.gif


Решение.


Функция   hello_html_m166960f4.gif

  1.  определена для всех  hello_html_m1eec3579.gif.

  2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

Если http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image009.gif, то http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image010.gif, то есть график функции пересекает ось Оy в точке А(0,-4).

Если http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image011.gif, тогда из уравнения  hello_html_4a942173.gifнайдем hello_html_m309c04ea.gif

То есть график функции пересекает ось Ох в точках В(1,0), С(-2,0).

  1. Заданная функция непрерывна во всех точках числовой оси как многочлен третьей степени.

  1. Исследуем заданную функцию на возрастание, убывание и экстремумы.

Найдем производную:

http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image016.gif

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image017.gif

Найдем промежутки монотонности функции:

http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image018.gif

http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image019.jpg

 Таким образом, функция http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image006.gif:

- возрастает на интервалах http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image020.gif

- убывает на интервале http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image021.gifhttp://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image023.gif

- в точке http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image022.gif имеет максимум ;

- в точке http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image024.gif имеет минимум:http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image025.gif



Для удобства построения объединяем полученные результаты в таблицу:

http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image034.gif

http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image035.gifhttp://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image036.gif

-2

(-2;0)

0

http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image039.gif

http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image040.gif

+

0

-

0

+

http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image042.gif


max

0


min

-4


 http://ktoreshit.ru/images/reshit/49/image045.gif













Тема 7. Первообразная и интеграл.


Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции

hello_html_m4fff64e1.gif

Обозначение

http://integraloff.net/int/theory/01.GIF

где hello_html_m4fff64e1.gif Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.

Существует три основных правила нахождения первообразных функций.

Правило 1

Если F есть первообразная дл некоторой функцииhello_html_m261c8cc.gif, а hello_html_m76888d17.gif есть первообразная для некоторой функции hello_html_2f596507.gif, то hello_html_m5be71036.gifбудет являться первообразной для hello_html_m2f77db2a.gif.

Правило 2

Если hello_html_m5b9b30f8.gif есть первообразная для некоторой функции hello_html_m261c8cc.gif, а hello_html_m417594b3.gif – некоторая постоянная. Тогда hello_html_2d79a88d.gif есть первообразная для функции hello_html_m1970bb55.gif.

Правило 3

Если hello_html_1111931.gif есть некоторая первообразная для функции hello_html_mb93dfec.gif, аhello_html_m417594b3.gif и hello_html_58847f7b.gif есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда hello_html_e67b08.gif будет первообразной для функции hello_html_364c4c5f.gif


Свойства неопределенного интеграла


1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

http://integraloff.net/int/theory/02.GIF


2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

http://integraloff.net/int/theory/03.GIF


3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если
hello_html_m52ffb724.gif, то

http://integraloff.net/int/theory/04.GIF


4° . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.



Понятие определенного интеграла


Пусть функция http://www.bestreferat.ru/images/paper/59/45/4884559.png определена на отрезке http://www.bestreferat.ru/images/paper/60/45/4884560.pnghttp://www.bestreferat.ru/images/paper/61/45/4884561.png. Выполним следующие операции:

1)  разобьем отрезок http://www.bestreferat.ru/images/paper/62/45/4884562.png точками http://www.bestreferat.ru/images/paper/63/45/4884563.png на n частичных отрезковhttp://www.bestreferat.ru/images/paper/64/45/4884564.png;

2)  в каждом из частичных отрезков http://www.bestreferat.ru/images/paper/65/45/4884565.pnghttp://www.bestreferat.ru/images/paper/66/45/4884566.png выберем произвольную точку http://www.bestreferat.ru/images/paper/67/45/4884567.png и вычислим значение функции в этой точке: http://www.bestreferat.ru/images/paper/68/45/4884568.png

3)  найдем произведения http://www.bestreferat.ru/images/paper/69/45/4884569.png, где http://www.bestreferat.ru/images/paper/70/45/4884570.png – длина частичного отрезка http://www.bestreferat.ru/images/paper/65/45/4884565.pnghttp://www.bestreferat.ru/images/paper/66/45/4884566.png;

4)  составим сумму

http://www.bestreferat.ru/images/paper/71/45/4884571.png (1)

которая называется интегральной суммой функции hello_html_m6ebf54ee.gif на отрезкеhello_html_52eaecc1.gif. С геометрической точки зрения интегральная сумма http://www.bestreferat.ru/images/paper/72/45/4884572.png представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки http://www.bestreferat.ru/images/paper/73/45/4884573.png, а высоты равны http://www.bestreferat.ru/images/paper/74/45/4884574.png соответственно (рис. 1). Обозначим через http://www.bestreferat.ru/images/paper/75/45/4884575.png длину наибольшего частичного отрезка http://www.bestreferat.ru/images/paper/76/45/4884576.png;

5)  найдем предел интегральной суммы, когда http://www.bestreferat.ru/images/paper/77/45/4884577.png.



http://www.bestreferat.ru/images/paper/78/45/4884578.png

Рис. 1

 

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка http://www.bestreferat.ru/images/paper/62/45/4884562.png на частичные отрезки, ни от выбора точек http://www.bestreferat.ru/images/paper/79/45/4884579.png в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции http://www.bestreferat.ru/images/paper/59/45/4884559.png на отрезке http://www.bestreferat.ru/images/paper/62/45/4884562.png и обозначается http://www.bestreferat.ru/images/paper/80/45/4884580.png.


Теорема 1. Если функция http://www.bestreferat.ru/images/paper/59/45/4884559.png непрерывна на отрезке http://www.bestreferat.ru/images/paper/62/45/4884562.png, то она интегрируема на этом отрезке.

2.  Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке http://www.bestreferat.ru/images/paper/62/45/4884562.png задана непрерывная неотрицательная функция http://www.bestreferat.ru/images/paper/59/45/4884559.png. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).

http://www.bestreferat.ru/images/paper/85/45/4884585.png

Рис. 2

Определенный интеграл http://www.bestreferat.ru/images/paper/80/45/4884580.png от неотрицательной функции http://www.bestreferat.ru/images/paper/59/45/4884559.png с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции http://www.bestreferat.ru/images/paper/59/45/4884559.png, слева и справа – отрезками прямых http://www.bestreferat.ru/images/paper/86/45/4884586.png и http://www.bestreferat.ru/images/paper/87/45/4884587.png, снизу – отрезком http://www.bestreferat.ru/images/paper/62/45/4884562.png оси Ох.



3. Основные свойства определенного интеграла

 

1.  Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: http://www.bestreferat.ru/images/paper/88/45/4884588.png.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: http://www.bestreferat.ru/images/paper/89/45/4884589.png

3.  Если http://www.bestreferat.ru/images/paper/90/45/4884590.png, то, по определению, полагаем http://www.bestreferat.ru/images/paper/91/45/4884591.png

4.  Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: http://www.bestreferat.ru/images/paper/92/45/4884592.png

5.  Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

http://www.bestreferat.ru/images/paper/93/45/4884593.png.

6.  Если функция http://www.bestreferat.ru/images/paper/82/45/4884582.png интегрируема на http://www.bestreferat.ru/images/paper/62/45/4884562.png и http://www.bestreferat.ru/images/paper/94/45/4884594.png, то

http://www.bestreferat.ru/images/paper/95/45/4884595.png.

7.  (теорема о среднем). Если функция http://www.bestreferat.ru/images/paper/59/45/4884559.png непрерывна на отрезке http://www.bestreferat.ru/images/paper/62/45/4884562.png, то на этом отрезке существует точка http://www.bestreferat.ru/images/paper/96/45/4884596.png, такая, что http://www.bestreferat.ru/images/paper/97/45/4884597.png.


4. Формула Ньютона–Лейбница


Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2. Если функция http://www.bestreferat.ru/images/paper/59/45/4884559.png непрерывна на отрезке http://www.bestreferat.ru/images/paper/62/45/4884562.png и http://www.bestreferat.ru/images/paper/98/45/4884598.png – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:



http://www.bestreferat.ru/images/paper/99/45/4884599.png, (2)

которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность http://www.bestreferat.ru/images/paper/00/46/4884600.png принято записывать следующим образом:

http://www.bestreferat.ru/images/paper/01/46/4884601.png,

где символhttp://www.bestreferat.ru/images/paper/02/46/4884602.png называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

http://www.bestreferat.ru/images/paper/03/46/4884603.png.

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную http://www.bestreferat.ru/images/paper/98/45/4884598.png для подынтегральной функции http://www.bestreferat.ru/images/paper/82/45/4884582.png; на втором – находится разность http://www.bestreferat.ru/images/paper/04/46/4884604.png значений этой первообразной на концах отрезка http://www.bestreferat.ru/images/paper/62/45/4884562.png.







































Индивидуальные задания по теме

«Первообразная и интеграл.»

Задание 1. Найдите все первообразные F(x) для функции f(x)

Вариант 1.

hello_html_mb1f3614.gif

Вариант 2.

hello_html_7720ac46.gif

Вариант 3.

hello_html_m2163c7e.gif

Вариант 4.

hello_html_3139bf70.gif

Вариант 5.

hello_html_m1b895481.gif

Вариант 6.

hello_html_1146e984.gif

Вариант 7.

hello_html_m377d8ce5.gif



Вариант 8.

hello_html_6560e965.gif

Вариант 9.

hello_html_m48f577ac.gif

Вариант 10.

hello_html_5d7ce87a.gif

Вариант 11.

hello_html_3139bf70.gif

Вариант 12.

hello_html_1146e984.gif

Вариант 13.

hello_html_7720ac46.gif

Вариант 14.

hello_html_m48f577ac.gif

Вариант 15.

hello_html_5d7ce87a.gif

Задание 2. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 1.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/97/97a6abb57c5fff085a1d4279eb7f26a2.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-32.eps



Вариант 2.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/05/0562044621ec34ee2580479a0f54e9be.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-30.eps



Вариант 3.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/a4/a4756204895b705c275698f51f0e4c83.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-28.eps





Вариант 4.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/b1/b13051d83d103201acfa090428b4638a.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-26.eps



Вариант 5.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/9f/9f28342ac16ce3104adab5d93d5cfcb2.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-24.eps


Вариант 6.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/79/79980f90c1f5e7a4c206de932c82e201.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-22.eps







Вариант 7.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/82/82def0c6d7455e9f5f3578239a6d3a99.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-20.eps



Вариант 8.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/d9/d9e2650791def0c2ba1c3c27b65bd420.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-18.eps





Вариант 9.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/72/72230cfb3af81478c661eaef6f764bd5.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-16.eps









Вариант 10.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/3b/3bc40a374b385fa7098f5df11ecf8d5d.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-14.eps



Вариант 11.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/3b/3bc40a374b385fa7098f5df11ecf8d5d.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-14.eps



Вариант 12.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/e3/e35f149a1fc0774d49c6e32b8b65bb4d.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-12.eps



Вариант 13.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/d7/d7d7a34a152701bb91170d89a2f732a9.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-10.eps



Вариант 14.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/97/979033a3978d4e4cdfa7763d1dfe0eec.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-8.eps



Вариант 15.

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция http://reshuege.ru/formula/be/bed3d878e5d445d2f8ec8253b7bfc589.png — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

 

b8-44-6.eps





Задание 3. Вычислите интеграл.

Вариант 1.

hello_html_m4d5cc26b.gif hello_html_mdb3fbaa.gif

Вариант 2.

hello_html_32b7143.gif hello_html_4f6dfac4.gif

Вариант 3.

hello_html_m69720752.gif hello_html_36f51352.gif

Вариант 4.

hello_html_m5fad610e.gif hello_html_m285f4b29.gif

Вариант 5.

hello_html_m18055e9d.gif hello_html_m3fa19fab.gif

Вариант 6.

hello_html_2108f1a0.gif hello_html_m6b960122.gif

Вариант 7.

hello_html_1641a0db.gif hello_html_13600c13.gif

Вариант 8.

hello_html_1a77ef68.gif hello_html_m44ac3ada.gif



Вариант 9.

hello_html_5f86f6c9.gif hello_html_5edf4a84.gif

Вариант 10.

hello_html_1a77ef68.gif hello_html_m44ac3ada.gif

Вариант 11.

hello_html_m1acac74c.gif hello_html_m6ab38542.gif

Вариант 12.

hello_html_m182d479d.gif hello_html_m83d3b2f.gif

Вариант 13.

hello_html_m676cdb29.gif hello_html_7234852f.gif

Вариант 14.

hello_html_641bdb68.gif hello_html_m38839cb1.gif

Вариант 15.

hello_html_753764d6.gif hello_html_m262aa827.gif









Задание 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.



Вариант 1.

у = 4 - x2,

у = 4 - 2х.

Вариант 2.

у = 4 - х2,

у = х + 2.

Вариант 3.

у = 9 - х2,

у = 5.



Вариант 4.

у = 9 - х2,

у = х + 3.

Вариант 5.

у = - х2 + 4

y = 2х + 4

Вариант 6.

у =-х2+4,

у = 2 - х.

Вариант 7.

у=х2+ 2,

y = 6.



Вариант 8.

у = х2 + 2,

y = х + 4.



Вариант 9.

y=(x+1)2

y=1-x



Вариант 10.

y=4-x2

y=x+2



Вариант 11.

y=4x-x2

y=4-x



Вариант 12.

y=3x2

y=1,5x+4,5



Вариант 13.

y=x2+3x

ось OX



Вариант 14.

y=x2-4x+3

ось OX


Вариант 15.

y=0,5x2-2x+3

y=7-x







Решение типового варианта.



Задание 1. Найдите все первообразные F(x) для функции f(x)

1). hello_html_51e207dc.gif

Решение.

Для функции hello_html_m15264eec.gif одной из первообразных будет функция hello_html_245b2cef.gif, а для функции hello_html_m30a1bd44.gif одной из первообразных будет являться функция hello_html_m16273a11.gif. Используя первое правило, имеем:

hello_html_m7d5b5a65.gif


2). hello_html_5031017f.gif


Решение.

Для функции hello_html_21927e13.gif одной из первообразных будет являться функция hello_html_7aa506b8.gif Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:

hello_html_fc65adc.gif


3). hello_html_m13583b91.gif



Решение.

Первообразной для функции hello_html_20e4d401.gif будет являться функция hello_html_m1af0b95b.gif. Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим:

hello_html_79e58b5.gif



4).   hello_html_m71045d51.gif




Решение.

Первообразной для функции hello_html_72ba4f5c.gif будет являться функция hello_html_287a72ab.gif. Теперь воспользовавшись третьим правилом получаем:

hello_html_1e691539.png





Задание 2. Найдите площадь закрашенной фигуры.http://reshuege.ru/get_file?id=6802

На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png. Функция  — одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.hello_html_49351aa9.png

Решение.

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках http://reshuege.ru/formula/25/252e691406782824eec43d7eadc3d256.png и http://reshuege.ru/formula/f2/f249a0bd3fa82a25579a8039efe96c24.png

Имеем:

 

http://reshuege.ru/formula/1c/1c414f237570746545ff0da7b3160c34.png

http://reshuege.ru/formula/aa/aac05c5eaea096932bc751957aa5780a.png

http://reshuege.ru/formula/85/85cc9f9cb3b15ddbabe11cef5f041822.png

 

  

Ответ:6.



Задание 3. Вычислите интеграл.

Вычислить определенный интеграл
http://www.mathprofi.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image067.gif

Решение:
http://www.mathprofi.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image069.gif

(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:
http://www.mathprofi.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image071.gif


hello_html_m320bc61c.gif

Ответ: 36



Задание 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

hello_html_219099d9.gif

hello_html_m47bd61d0.gif

Решение.

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101719.JPGhttp://www.pm298.ru/Mathem/ds0201719.JPG

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101720.JPGhttp://www.pm298.ru/Mathem/ds0201720.JPG    или    http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101721.JPG.

Находим: x1 = -2, x2 = 4.

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101722.JPG

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101723.JPGhttp://www.pm298.ru/Mathem/ds0201723.JPGhttp://www.pm298.ru/Mathem/ds0301723.JPG

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101724.JPGhttp://www.pm298.ru/Mathem/ds0201724.JPGhttp://www.pm298.ru/Mathem/ds0301724.JPG

Ответ: 18 ед.

























Литература:


  1. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 кл.  Колмогоров А.Н. и др.

  2. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник. (базовый уровень) Алимов А.Ш, Колягин Ю.М. и др. 

  3. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник (профильный уровень). Мордкович А.Г., Семенов П.В.

  4. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.2. Учебник (профильный уровень). Мордкович А.Г., Семенов П.В.

  5. Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу с ответами и решениями для 10-11 классов.Рыжик В.И., Черкасова Т.Х.

  6. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс.  Дорофеев Г.В. и др.  

  7. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов А.П. Ершова, В.В. Голобородько.



Интернет - ресурсы:

  1. http://ru.wikipedia.org/wiki/Число

  2. http://live.mephist.ru/show/mathege-variant/

  3. http://www.test1.21416s19.edusite.ru/p32aa1.html

  4. http://mat-ege.ru/publ/zadanija_urovnja_b/b12/12

  5. http://krivoleg.blogspot.com/2011/04/7.html

  6. http://webmath.exponenta.ru/mege/b/12/i.html

  7. http://uch.znate.ru/docs/5107/index-3694.html?page=7

  8. http://56ouo43-matem.ucoz.ru/varianty_egeh_6_shtuk.doc

  9. http://s11033.edu35.ru/attachments/category/52/В12 ЗАДАЧИ С ПРИКЛАДНЫМ СОДЕРЖАНИЕМ.doc

  10. http://matematikalegko.ru/prikladnie/zadachi-s-logarifmami.html

  11. http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems.html?protoId=27996

  12. http://studopedia.ru/3_63226_opredelenie-tochki-maksimuma-i-minimuma-funktsii-nazivayutsya-tochkami

  13. http://do.gendocs.ru/docs/index-26179.html

  14. http://matica.org.ua/kurs-visshey-matematiki-2/24-tochki-ekstremuma/pdf

  15. http://www.coolreferat.com/Дифференциальное_исчисление_функции_одной_переменной_часть=4

  16. http://www.referat.ru/referats/view/30627



139


Выбранный для просмотра документ тит.docx

библиотека
материалов

Министерство образования и науки Астраханской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Астраханской области среднего специального образования

«Камызякский сельскохозяйственный колледж»





РАССМОТРЕНО

Председатель цикловой комиссии

___________________ Васильев Н.С.



Протокол №___ «___»_______2014 г.

УТВЕРЖДЕНО

на заседании

Методического совета колледжа

Председатель Методического совета

_____________ Ивакина М.В.

«____»_______________2014 г.







СБОРНИК

ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

РАЗДЕЛА «АЛГЕБРА и начала анализа»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА

ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ СРЕДНЕГО ЗВЕНА.



Составитель: Смирнова Ольга Владимировна







2014



Выбранный для просмотра документ титульный2.docx

библиотека
материалов

Аннотация.

Сборник индивидуальных заданий составлен в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика». Каждый раздел содержит достаточное количество задач с разной степенью трудности для формирования знаний и умений по дисциплине «Математика» раздела «Алгебра и начала анализа». Сборник индивидуальных заданий содержит теоретический материал: основные законы и формулы; даются примеры решения типовых вариантов. 
Предназначен для преподавателей и студентов.































Содержание.

1.

Аннотация

2

2.

Введение

4

3.

Действительные числа

5

4.

Индивидуальные задания по теме «Действительные числа»

7

5.

Решение типового варианта

14

6.

Степень числа, степенная функция

17

7.

Индивидуальные задания по теме «Степень числа, степенная функция»

22

8.

Решение типового варианта

33

9.

Показательные уравнения и неравенства

36

10.

Индивидуальные задания по теме «Показательные уравнения и неравенства»

40

11.

Решение типового варианта

47

12.

Логарифмические уравнения и неравенства

50

13.

Индивидуальные задания по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»

56

14.

Решение типового варианта

68

15.

Тригонометрические формулы, тригонометрические уравнения и неравенства

71

16.

Индивидуальные задания по теме «Тригонометрические формулы, тригонометрические уравнения и неравенства»

83

17.

Решение типового варианта

91

18.

Производная и её применение к исследованию функций

94

19.

Индивидуальные задания по теме «Производная и её применение к исследованию функций»

98

20.

Решение типового варианта

106

21.

Первообразная и интеграл

110

22.

Индивидуальные задания по теме «Первообразная и интеграл»

115

23.

Решение типового варианта

126

24.

Литература

130













Введение.

Сборник индивидуальных заданий соответствует разделу «Алгебра» дисциплины «Математики».

Дисциплина «Математика» входит в общеобразовательный цикл профессиональной образовательной программы и изучается на курсе 1 курсе .

Сборник состоит из тематических задач и заданий по математике для студентов нематематических специальностей - юристов, социальных работников, ветеринаров, ихтиологов, агрономов и других.

Курс разработан в соответствии с базовым ядром Федерального Государственного образовательного стандарта по дисциплине "Математика". 

Данный сборник содержит индивидуальные задания по всем разделам курса алгебры и началом анализа. В сборнике содержатся индивидуальные задания по темам: действительные числа; степень числа, степенная функция; показательные уравнения и неравенства; логарифмические уравнения и неравенства; тригонометрические формулы, тригонометрические уравнения и неравенства; производная и её применение к исследованию функций; первообразная и интеграл. Каждое индивидуальное задание содержит 15 вариантов и сопровождается решением типового варианта.

Задачи и примеры индивидуальных заданий различаются по степени сложности, но любые из них можно решить, рассмотрев методику решения, указанную в данном сборнике.

Весь материал снабжен необходимыми теоретическими материалами (основные определения, понятия, формулировки правил и формулы), используемыми при выполнении индивидуальных заданий.

Оценки, полученные в результате выполнения индивидуальных заданий, позволяют контролировать учебный процесс и диагностировать уровень усвоения материала.


4



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 24.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров879
Номер материала ДВ-006583
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение