Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сборник методических рекомендаций для выполнения практических работ специальности "Технология продукции общественного питания"

Сборник методических рекомендаций для выполнения практических работ специальности "Технология продукции общественного питания"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Сборник методических рекомендаций по проведению практических занятий по дисциплине «Математика»

Стр 10



Министерство образования и науки Самарской областиhello_html_m57aa3027.jpg

Государственное бюджетное профессиональное образовательное

учреждение Самарской области

«Тольяттинский политехнический колледж»

(ГБПОУ СО «ТПК»)



УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора по УР

___________ С.А.Гришина

___ ____________ 2016










СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ РЕКОМЕНДАЦИЙ

ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА


Специальность: 19.02.10 Технология продукции общественного питания











Тольятти, 2016


ОДОБРЕНА


Протокол УПО №1

от ___ _____2016 № ____

Методист УПО №1

________ Е.А. Светличная

___ ______ 2016

















Сборник методических рекомендаций разработан Лабгаевой Э.В. – преподавателем дисциплины «Математика» ГБПОУ СО «ТПК»



Рецензент:





Сборник методических рекомендаций для выполнения практических работ составлен в

соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика», специальности 19.02.10

Технология продукции общественного питания для студентов второго курса















Содержание


Введение 4

Практическая работа №1 «Вычисление пределов функций» 5

Практическая работа №2 Вычисление производных функции» 11

Практическая работа №3 Исследование функции с помощью производной 16

Практическая работа №4 Вычисление интегралов 24

Практическая работа №5 Решение прикладных задач с помощью определённого интеграла 31

Практическая работа 6 Нахождение вероятности событий 38

Практическая работа №7 Нахождение функции распределения и числовых характеристик дискретной случайной величины 47

Практическая работа №8 Обработка статистических данных 54

Практическая работа №9 «Расчёт массы сырья с учётом сезона и вида сырья» 62

Практическая работа №10 «Расчёт калорийности блюда» 67

Литература 68























Введение

Сборник методических рекомендаций для выполнения практических работ дисциплины

«Математика» предназначен для студентов второго курса специальности 19.02.10 Технология

продукции общественного питания.

Дисциплина «Математика» в соответствии с рабочей программой рассчитана на 40 часов, из них 20 часов отведено на проведение практических занятий. Практические занятия направлены на проверку усвоения и закрепление материала, изученного на теоретических занятиях.

Сборник методических рекомендаций содержит 10 практических работ, в каждом из

которых имеются:

  • краткие теоретические сведения

  • образец решений задач

  • задания для самостоятельного решения.

Также приводится список рекомендуемой литературы.

Методическая разработка рекомендуется для использования преподавателями,

ведущими данный предмет в средних специальных учебных заведениях.




















Практическая работа №1

«Вычисление пределов функций»


Цель работы:

освоение знаний правил раскрытия неопределённостей и формул для вычисления пределов

последовательностей и функций, умений раскрывать неопределённости и вычислять пределы

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • определение предела в точке и на бесконечности

  • теоремы о пределах

  • первый и второй замечательные пределы

  • правила раскрытия неопределённостей

  • эквивалентные бесконечно малые

уметь:

  • раскрывать неопределённости различных видов

  • вычислять пределы функций


Краткие теоретические сведения

Понятие предела функции в точке

Пусть функция у = f(x) определена на некотором промежутке Х и пусть точка х0 є Х.

Составим из множества Х последовательность точек: х1, х2,…,хn,…сходящихся к х0. Значения

функции в этих точках также образуют последовательность: f(x1), f(x2),…,f(xn).

Число А называется пределом функции y = f () в точке =, если при любых

значениях , сколь угодно близких к числу (), значение функции f ()

становится сколь угодно близким к числу А, т.е.f () = f ()

Основные теоремы о пределах

Пусть существует f (), g (), тогда верны следующие теоремы:

  • Предел аргумента в точке равен значению аргумента в этой точке: =

  • Если с – постоянная величина, то предел постоянной равен самой постоянной:

c= c, cconst

  • Если с – постоянная величина, то постоянный множитель выносится за знак предела:

cx = cx

  • Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

  • Предел произведения равен произведению пределов:

  • Предел отношения равен отношению пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:

  • Предел степени равен степени пределов:= ()

Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции. Предел функции

на бесконечности

Функция - называется бесконечно малой при , если .

Функция- называется бесконечно большой при , если .

Если функция бесконечно большая, то функция- бесконечно малая и

наоборот.

Число А называется пределом функции на бесконечности, если при всех

достаточно больших значений х разность есть бесконечно малая функция.

Правила раскрытия неопределённостей при вычислении пределов

Часто встречаются случаи, когда непосредственно применить теоремы о пределах нельзя.

В этих случаях необходимо сначала раскрыть неопределенности и потом только вычислять

пределы.

В ситуации, когда числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, говорят, что имеет

место неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности такого вида необходимо:

а) числитель и знаменатель дроби разложить на множители, а затем сократить на множитель, приведший к неопределенности, при этом можно использовать:

  • формулы сокращенного умножения,

  • вынесение общего множителя за скобки,

  • группировку,

  • преобразование квадратного трехчлена с помощью дискриминанта или теоремы Виета;

т.к. ax2 + bx + c = a (x-x1)(x-x2), где x1,x2 - корни уравнения ax2+bx+c=0,

  • преобразование многочлена с помощью деления многочлена на (x-x0),

  • умножение на сопряженное выражение, т.е. если предел содержит выражение то путем умножения на избавляемся от корней, т.к.

б) использовать первый замечательный предел, т.е. формулы ,

в) использовать эквивалентные бесконечно малые (при ), т.е. формулы

,,, ,,,, ,,,

Если числитель и знаменатель неограниченно возрастают при х→∞, то в таком случае

имеет место неопределенность вида . Для ее раскрытия надо разделить числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной х.

Если имеет место неопределённость и , то в этих случаях применяют второй

замечательный предел, т.е. формулы и

Если имеют место неопределённости [∞-∞], [0-0], то в этих случаях необходимо заданную функцию привести к дробно-линейному виду, а затем использовать предыдущие правила


Образец решения задач

Вычислить пределы последовательностей и функций, использую правила раскрытия

неопределённостей

Задание 1

Решение: Имеем неопределённость вида. Используя правило раскрытия

неопределённостей разделим каждое слагаемое почленно на

Задание 2

Решение: Имеем неопределённость вида. Используя правило раскрытия

неопределённостей разделим каждое слагаемое почленно на , учитывая, что под знаком радикала


Задание 3

Решение: Имеем неопределённость вида. Применим формулы сокращённого умножения


Задание 4

Решение: Имеем неопределённость вида. Выделим целую часть, используя

арифметические преобразования. Далее воспользуемся формулой второго замечательного

предела, затем в показателе раскроем неопределённость, разделив почленно на х, ответ

приведём к стандартному виду

= == = =

= = = = = =

Задание 5 Вычислить предел

Решение: Имеем неопределённость вида. Заменим бесконечно малые функции на эквивалентные


Задание 6

Решение: Имеем неопределённость вида.Приведём к дробному виду. Домножим и числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов

=

Задание 7

Решение: Имеем неопределённость вида. Воспользуемся тригонометрическими формулами разности синусов, после преобразований применим формулы первого замечательного предела


Задание 8 Вычислить предел

Решение: Имеем неопределённость вида. Разделим числитель и знаменатель дроби на (х-2), затем сократим на множитель, приводящий к неопределённости

x3 - 5x2 + 8x – 4 x –2 x3 – 3x2 + 4 x – 2

x3 – 2x2 x2 – 3x +2 x3 – 2x2 x2x –2

-3x2 +8x - x2 + 4

-3x2 +6x - x2 + 2x

2x – 4 -2x +4

2x – 4 -2x +4

0 0




Задания для самостоятельного решения

Практическая работа №1 «Вычисление пределов функций»

Вычислить пределы последовательностей и функций, использую правила раскрытия неопределённостей


1

2

3

4

5

6

7

8

1











2










3










4










5











6









7









8










9










10











Практическая работа №2

«Вычисление производных функции»


Цель работы: освоение знаний алгоритмов нахождения производных по правилам

дифференцирования и формулам дифференцирования сложных функций, умений находить производные сложных функций

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • понятие производной, ее физический смысл;

  • таблицу производных; формулы производных суммы, произведения, частного;

  • формулы нахождения производных сложных функций

уметь:

  • находить производную сложной функции


Краткие теоретические сведения

Понятие производной функции.

Пусть дана функция у =f(x) (см. рисунок 3), где x0– фиксированная точка,

x - произвольная точка, x = x-x0– приращение аргумента функции в точке x0,

f(x0) – значение функции в точке x0,f(x) – значение функции в произвольной точке x,

f(x0) – значение функции в точке x0,f(x0) = f(x0 + x) – f(x0) = ∆y.

Тогда = - средняя скорость изменения функции, = - скорость

изменения функции в момент времени t = t0(мгновенная скорость). Обозначают = .

Рисунок 3

hello_html_m14c83a93.gif

Производная функции y = f(x) в точке х0 – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю, т.е.

Производная обозначается («игрек штрих») или(«эф штрих от икс») или («де игрек по де икс»).

Формулы для вычисления производной даны в таблице 3

Таблица 3

Нахождение производной функции называется дифференцированием данной функции.

Производная сложной функции

Если , где , т. е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то функция у называется сложной функцией от х.

Теорема. Производная сложной функции равна произведению ее производной по

промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной, т.е.:

Образец решения задач

Задание 1 Найти производную сложной функции

Решение: Здесь функция - сложная. Пусть согласно

формуле нахождения производной сложной функции имеем:


По таблице производных найдём производную каждой функции


Подставим исходные значения


Примечание: разумеется, нет необходимости в таких подробных записях. Обычно результат

следует писать сразу. Представляя последовательно в уме промежуточные аргументы

Задание 2. Найти производную функции .

Решение. Применим правило дифференцирования частного:


и формулу производной сложной функции:

,

получим



Задание 3. Найти производную функции у=16.

Решение. Применим формулы производной сложной функции:



,

получим

у’=1616 .


Задание 4. Найти производную функции у=.

Решение. Применим формулы производной сложной функции:



получим

у’=


Задание 5. Найти производные первого и второго порядка функции

у=х-arctg x.

Решение. Применим правило дифференцирования разности:

(u-v)`=u`-v`,

получим

.

Вторично дифференцируя, по правилу производной частного имеем:



Задание 6. Найти производную функции у=arсsin(1-2x).

Решение. Применим формулу производной сложной функции:

,

получим

у’=.



Задания для самостоятельного решения

Практическая работа №2 Вычисление производных функций



hello_html_3915a55e.gif






2









3









4









5









6









7






hello_html_3d0755d0.gif



8









9










10










Практическая работа №3

«Исследование функции с помощью производной»


Цель работы:

освоение знаний схемы исследования функции с помощью производной, умений исследовать

функции с помощью производной и строить графики заданных функций

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • основные свойства функции

  • алгоритм исследования функции с помощью производной

  • что называется областью определения функции;

  • какая функция называется возрастающей (убывающей);

  • необходимое условие экстремума функции;

  • определение точки перегиба;

  • определение интервалов выпуклости графика функции;

  • определение асимптот графика функции

уметь:

  • находить область определения и нули функции

  • находить точки пересечения графика функции с осями координат;

  • находить точки экстремума и промежутки монотонности с помощью первой производной

  • находить точки точек перегиба и направление выпуклости графика функции с помощью второй производной;

  • находить асимптоты графика функции

  • строить график функции

  • решать прикладные задачи с помощью производной


Краткие теоретические сведения


Область определения функции

Область определения функции D(y) определяют следующим образом: если функция y= f(x) задана в виде многочлена, то , если дробно-рациональная функция f(x) = , то из условия что; если иррациональная f(x) = , то т.к.

; если логарифмическая f(x) = , то т.к.



Чётность, нечётность

Функция является чётной, если f(-x) = f(x). График чётной функции симметричен относительно оси Oy. Функция является нечётной, если f(-x) = - f(x). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Точки пересечения с осями координат

Для того, чтобы найти точку пересечения с осью ординат необходимо в функцию y = f(x) подставить ноль вместо х и найти соответствующее значение y. Для того, чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс нужно в функцию y = f(x) подставить ноль вместо y , т.е. решить уравнение f(x)=0 и найти соответствующие значения хn. Решения удобно записать в таблице 4

Таблица 4

Ox

Oy

y=0

x=0

(x1;0), (x2;0),…

(y;0)

Асимптоты

Асимптота - прямая, к которой график по направлению приближается,

но не пересекает её. Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и наклонные. Виды

асимптот и формулы для их нахождения представлены в таблице (5)

Таблица 5

Вертикальные

Горизонтальные

Наклонные












x = const

y = const

y = kx + b

из D(y)




Для нахождения горизонтальных и наклонных асимптот необходимо вычислять пределы

функций, используя теоретические положения практического занятия №1. Кроме того можно

использовать правило Лопиталя.

Правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в


некоторой окрестности точки х0 за исключением быть может самой точки х0. Кроме того, пусть

, причем в указанной окрестности точки х0. Тогда если

существует предел отношения (конечный или бесконечный), то существует и предел

причем справедлива формула:

Эта теорема верна и если . Правило Лопиталя можно применять повторно, если и

удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции f(x) и g(x).

Промежутки монотонности и точки экстремума функции  

Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной. Т.о. если  производная функции положительна  на промежутке (a,b), то функция  возрастает на этом промежутке; если  производная функции отрицательна  на промежутке (a,b), то функция  убывает на этом промежутке. Кроме того если функция  f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно:  непрерывная функция может не иметь производной. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

Критические точки 1-го рода - точки, в которых первая производная равна 0  или не

существует. Они делят область определения функции на интервалы, внутри которых

производная сохраняет знак. Используя эти интервалы, находят интервалы монотонности

функций и определяют экстремумы (т.е. точки максимума и минимума).

Алгоритм нахождения промежутков монотонности и точек экстремума:

а) найти производную

б) приравнять производную нулю: . Выяснить, при каких условиях производная не

существует: (с учётом D(y))

в) решив пункт (б) найти …- критические точки первого рода

г) на координатном луче отметить эти точки, используя метод интервалов определить знаки

промежутков.

д) используя свойства производной отметить на луче промежутки возрастания и убывания,

точки максимума, минимума, разрыва и перегиба.

Наглядно координатный луч изображён на рисунке (7)

Рисунок 7

- разрыв + max - перегиб - min +

х1 х2 х3 х4

е) вычислить соответствующие значения функции в критических точках:

;

Промежутки выпуклости и точки перегиба функции

Функция  f(x) называется  выпуклой  на интервале (a,b), если её график на этом интервале лежит  ниже  касательной, проведенной к кривой  y = f(x) в любой точке (x0f(x0)),  где x0 hello_html_1e86036b.gif(a,b). Функция  f(x) называется  вогнутой на интервале (a,b), если её график на этом интервале лежит  выше  касательной, проведенной к кривой  y = f(x) в любой точке (x0f(x0)) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале (a,b), тогда: если  вторая производная положительна, т.е. f ''(x)>0 для любого xhello_html_1e86036b.gif(a,b), то функция  f(x) является вогнутой на интервале (a,b); если  f ''(x)<0 , то функция 

является выпуклой на этом интервале.

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот,называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба  x0  существует вторая производная  f ''(x0), то  f ''(x0)=0.

Критические точки 2-го рода - точки, в которых вторая производная равна 0  или не

существует. Они делят область определения функции на интервалы, внутри которых вторая

производная сохраняет знак. Используя эти интервалы, находят интервалы выпуклости

функций и определяют точки перегиба (не все точки перегиба выявляются с помощью первой

производной).

Алгоритм нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба:

а) найти вторую производную

б) приравнять производную нулю: . Выяснить, при каких условиях производная не

существует: (с учётом D(y))

в) решив пункт (б) найти …- критические точки второго рода

г) на координатном луче отметить эти точки, используя метод интервалов определить знаки

промежутков.

д) используя свойства второй производной отметить на луче промежутки выпуклости и

вогнутости, точки перегиба и разрыва.

Наглядно координатный луч изображён на рисунке (8).

Рисунок 8

- разрыв - перегиб + + перегиб -

х1 х2 х3 х4




е) вычислить соответствующие значения функции в критических точках: ;


Построение графика

Строить график функции целесообразно в следующем порядке:

а) определить на координатной плоскости область определения функции, отметив

промежутки либо точки разрыва

б) отметить точки пересечения с осями координат из таблицы (4)

в) построить асимптоты, используя формулы таблицы (5)

г) отметить точки максимума, минимума и перегиба

д) с помощью отмеченных точек и рисунков (7), (8) сделать эскиз графика и

определить, какие дополнительные точки и сколько необходимо взять для более

точного построения графика, учитывая при этом чётность - нечетность функции

е) вычислить значения функции для дополнительных точек, отметить эти точки на

плоскости

ж) построить график функции


Образец решения задач

Провести полное исследование функции и построить ее график

Задание 1

Решение:

1)

2)

Функция не является ни чётной, ни нечётной, следовательно, симметрии нет.

3)

Сгруппируем:









(1;0)

(0;-1)



4) Асимптот нет, так как нет точек разрыва функции

5)


/:3

+


. Экстремумов нет

6)


- 1 +

, , , т.е. (1;0) - точка перегиба.

7) hello_html_m157d50a7.png

Задание2. В кафе при цене 55 рублей за чашку кофе в среднем бывает 45 заказов в день. Если цену повысить до 60 рублей, то количество заказов снижается до 40 чашек кофе. Считая линейным соотношение между спросом и ценой, найти значение цены, при которой выручка достигает своего максимального значения. Каково максимальное значение выручки?

Решение: обозначим цену чашки кофе – x, функцию спроса от цены – y(x).



По условию y(x) – линейная функция, поэтому y(x)=kx+b, где k и b - некоторые числа. Зная, что при цене 55 рублей за чашку кофе спрос составляет 45, а при цене 60 рублей – 40 чашек, составляем систему линейных уравнений и решаем ее методом сложения:


Получим закон спроса: y(x)= - x+100.

Выручка определяется как произведение спроса на цену:

z=yx=(-x+100)x= - x²+100x.

Исследуем эту функцию на максимум с помощью производной.

1) Область определения функции: , так как цена является положительной величиной.

2) Производная функции:

3) Приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:


Так как в этой точке знак производной меняется с плюса на минус (проверьте самостоятельно методом интервалов), то это – точка максимума. Значит, в этой точке функция выручки достигает своего наибольшего значения, вычислим его:


Итак, максимальная выручка от продажи кофе составляет 2500 рублей в день и достигается при цене 50 рублей за одну чашку.





Задания для самостоятельного решения

Практическая работа №3 «Исследование функции с помощью производной»



Практическая работа №4

«Вычисление интегралов»


Цель работы:

освоение знаний формул и методов интегрирования функций, умений вычислять

неопределённые и определённые интегралы методом непосредственного интегрирования,

интегрирования подстановкой и методом интегрирования по частям

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • основные методы интегрирования;

  • таблицу простейших интегралов;

  • формулу Ньютона-Лейбница;

  • свойства определенного и неопределенного интегралов.

уметь:

  • определять методы интегрирования;

  • находить неопределённые интегралы

  • вычислять определённые интегралы.


Краткие теоретические сведения


Понятие первообразной и неопределённого интеграла

Первообразная – это такая функция F(x) для функции y= f(x), что имеет место равенство: . Понятие первообразной возникает из задачи математического анализа, в которой по данной функции f(x) необходимо найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x). Две первообразные одной функции отличаются друг от друга на постоянную величину. Другими словами, если F(x) – первообразная для функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольное постоянное число, также первообразная для функции f(x), потому что

Неопределенный интеграл функции y= f(x) – это совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x). Неопределенный интеграл обозначается символом

где– знак интеграла; f(x) – подынтегральное выражение;

х – переменная интегрирования; С – постоянная интегрирования, способная принимать любое

значение. Интегрирование – это отыскание первообразной функции по ее производной,

действие обратное дифференцированию.



Основные свойства неопределенного интеграла

  • Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс

произвольная постоянная:

  • Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению


  • Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

  • Неопределённый интеграл алгебраической суммы функций равен сумме интегралов этих

функций:

  • Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла:

Методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования. Метод непосредственного интегрирования

заключается либо в прямом использовании таблиц интегралов, либо сначала применяются

основные свойства неопределенного интеграла, а также производятся элементарные

тождественные преобразования, а затем данный интеграл приводится к одному или нескольким

табличным интегралам (таблица 7 )

Метод интегрирования подстановкой. Метод подстановки заключается в том, что интеграл вида приводится к интегралу вида, который в свою очередь


решается непосредственным интегрированием. Для этого в функции некоторое выражение, содержащее переменную х заменяют на t, т.е. , затем находят

Метод интегрирования по частям. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) определены и непрерывно дифференцируемы. Так как производная произведения двух функций вычисляется по формуле: , то интегрируя обе части этого равенства получим формулу:

Самое трудное в интегрирование по частям – это выбрать сомножитель dv в подынтегральном выражении: интеграл в правой части формулы должен быть проще исходного. Чаще всего формула (4.1) применяется к интегралам вида: , где Р(х) – многочлен,, в эти интегралах u=P(x); или к интегралам вида где R(x) – рациональная функция, здесь .

Определённый интеграл

Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции f(x) на

отрезке [a,b]. Определенный интеграл обозначается где – произвольная точка существующего отрезка.

Если F(x) – первообразная для непрерывной функции , то имеет место формула формула Ньютона-Лейбница – основная формула интегрального исчисления, устанавливающая связь между определенным и неопределённым интегралом:

Правило вычисления определённого интеграла: для того, чтобы вычислить определённый интеграл необходимо сначала найти соответствующий неопределённый интеграл, а затем в полученное выражение подставить вместо х сначала верхний предел интегрирования, а затем нижний, и из первого результата вычесть второй.
Основные свойства определенного интеграла

  • Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

  • При перестановке пределов интегрирования изменяется знак интеграла:

  • Отрезок интегрирования можно разбивать на части: , где

  • Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов:

  • Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:


Образец решения задач

Вычислить определённые и неопределённые интегралы, используя подходяшие методы интегрирования

Задание 1

Решение: используя свойства интегралов (интеграл суммы равен сумме интегралов,

постоянный множитель выносится за знак интеграла) данный интеграл представим в виде


далее используем свойства дифференциала для первого и второго слагаемого и таблицу

интегралов



тогда

Задание 2

Решение: Используя метод интегрирования подстановкой, сделаем замену , тогда

, откуда . Подставим найденные значения в исходный

интеграл, получим , вынесем постоянный множитель за скобки и найдём табличный

интеграл , вернёмся к замене



Задание 3

Решение: используем метод интегрирования подстановкой


Задание 4

Решение: используем метод интегрирования подстановкой


Задание 5

Решение: используем метод интегрирования по частям

Пусть . Найдём значения :

;

Решим последний интеграл методом подстановки:

.

Подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям, получим

, далее


Задание 6

Решение: здесь используется метод интегрирования по частям два раза:


=



==


Задание 7

Решение: имеем определённый интеграл, используем метод подстановки и формулу Ньютона-

Лейбница:

Задание 8 .

Решение: найдём определённый интеграл, используем метод подстановки и формулу

Ньютона-Лейбница:

.













Задания для самостоятельного решения

Практическая работа №4 «Вычисление интегралов»




2









3









4









5









6









7









8









9









10













Практическое занятие №5

«Решение прикладных задач с помощью определённого интеграла»


Цель работы:

освоение знаний алгоритма решения задач на нахождение площади фигур с помощью

интегралов, формул для нахождения физических и геометрических величин с помощью

интегралов, умений находить площади плоских фигур и объёмы тел вращения с помощью

интегралов, решать простейшие задачи на физические приложения интегралов

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • свойства определенного и неопределенного интегралов.

  • геометрический смысл определённого интеграла;

  • формулы для вычисления площадей плоских фигур и объёмов тел вращения;

уметь:

  • вычислять площади плоских фигур и объёмы тел вращения


Краткие теоретические сведения


Геометрический смысл определенного интеграла.

Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью Ох и прямыми х=а; х=b, где на отрезке (рисунок 9). Получаем формулу:

Рисунок 9

y y=f(x)





a b x


Алгоритм решения задач на нахождение площади плоской фигуры

Для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной графиками некоторых функций, необходимо:


а) построить графики заданных функций, ограничивающих площадь плоской фигуры

б) найти пределы интегрирования по чертежу (при необходимости решить уравнение )

в) вычислить площадь заданной фигуры по формуле

г) проверить результат вычислений по чертежу.

Объем тела вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой и прямыми , вращается вокруг оси , то объём тела вращения вычисляется по формуле:hello_html_m40d4aa3e.gifhello_html_5378216b.png






Если фигура, ограниченная кривыми и , причём и прямыми ,вращается вокруг оси , то объём тела вращения вычисляется по формуле: .

Сила давления жидкости

Из физики известно (закон Паскаля), что давление покоящейся жидкости на единицу площади ограничивающей ее поверхности сосуда направлено перпендикулярно к этой поверхности; величина этого давления не зависит ни от направления поверхности,

испытывающей давление, ни от формы остальной части сосуда, но меняется с глубиной погружения; давление на горизонтальную площадку равно весу вертикального столба жидкости, имеющего основанием эту площадку, а высотой – ее глубину под уровнем жидкости. Таким образом, вычисление давления жидкости на горизонтальную поверхность выполняется элементарно. Но для негоризонтальной поверхности элементарных средств недостаточно, ибо глубина площадки не остается постоянной. С помощью интегрального исчисления можно вычислить давление жидкости на вертикальную стенку любой формы. Сила давления Р жидкости плотности hello_html_4782cd02.gif на вертикальную пластинку, погруженную в жидкость, вычисляется по формуле: hello_html_m2ea3726.gif

где g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения, S – площадь пластинки, а глубина погружения пластинки изменяется от a до b.


Образец решения задач

Задание 1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:,

Решение: воспользуемся алгоритмом решения задач на нахождение площади плоской фигуры:

а) построим графики заданных функций.

кубическая парабола, полученная из (см. таблицу 7) смещением на 2

единицы вниз, - квадратичная парабола, для построения которой приведём ей

к стандартному виду

, т.о. получим

параболу со смещением на 2 единицы вправо, на 6 вверх, ветви которой направлены вниз,

полученную из стандартной параболы (см. таблицу 8)


Таблица 7

Таблица 8 Графики заданных функций изображены на рисунке 11


Рисунок 11







-2




б) найдём пределы интегрирования по чертежу: а = -1, в = 2

в) для того, чтобы найти площадь заданной фигуры, необходимо из площади фигуры,


ограниченной графиком верхней функции вычесть площадь фигуры,

ограниченной нижней функцией: , т.е.

=


=

г) проверим результат вычислений по чертежу, получим ответ: 11,25 кв.ед.

Задание 2. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: у = sinх, х = 0, , у = 0.

Решение: выполним чертеж

hello_html_m7b6027b7.pngрисунок

Объем тела вращения вычисляется по формуле:

В нашем случае a = 0, , у(х) = sinх

По формуле вычисляем:


(куб.ед.)

Задание 3 Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией z(t) = - 0,00625t² + 0,05t + 0,5 (ден. ед/ч), где t – время в часах от начала работы, 0 ≤ t ≤ 8. Найти функцию u = u(t), выражающую объем продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.

Решение: Функцию объема продукции найдем как первообразную функции производительности труда:



Значение объема продукции вычислим с помощью определенного интеграла функции производительности труда:

.

Итак, объем произведенной за рабочий день продукции составил 4,53 ден. ед.

Задание 7 Вычислить силу давления воды, заполняющей цилиндрический стакан, на боковую поверхность стакана, если высота стакана h=8 см., радиус основания r=3,5 см., плотность воды ρ=1000 кг/м³.

Решение: так как площадь, испытывающая давление воды, не горизонтальна, то давление на нее будет различным на разной глубине, следовательно, сила давления является функцией от x – глубины погружения: p=p(x).

Выделим участок боковой поверхности стакана, нижний и верхний края которого погружены соответственно на глубину xx и x (сделайте рисунок самостоятельно). Так как его разверткой является прямоугольник длиной 2πr и шириной Δx, то его площадь равна ΔS=2πrΔx. Тогда сила давления на этот участок при малых значениях Δx будет ΔpgxΔS=2πrρgxΔx, отсюда:


Перейдя к пределу при получим в левой части равенства производную функции p(x):


Проинтегрировав обе части равенства по x от 0 до h, получим:


По выведенной формуле вычисляем силу давления воды на боковую поверхность стакана:





Задания для самостоятельного решения

Практическая работа №5 «Решение прикладных задач с помощью определённого интеграла»

Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией z = z(t) (ден. ед/ч), где t – время в часах от начала работы, 0 ≤ t ≤ 8. Найти функцию

u = u(t), выражающую объем продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день

Решить задачу

Решить задачу

1


z(t) = - 0,0001t² + 0,01t + 0,2

Найти u(t) и его величину за

первую половину рабочего дня

Плод манго имеет форму тела вращения арки косинусоиды (см) вокруг оси Ox при (см). Сделайте чертеж и вычислите объем плода манго (в дм³).

Вычислите силу давления воды, заполняющей цилиндрическую турку, на боковую поверхность турки, если высота турки h=7 см., диаметр основания d=9 см., плотность воды ρ=1000 кг/м³.


2


z(t) = - 0,00625t² + 0,05t + 0,5

Найти u(t) и его величину за

за вторую половину рабочего дня

Картофельный клубень имеет форму тела вращения арки синусоиды (см) вокруг оси Ox при (см). Сделайте чертеж и вычислите объем клубня (в дм³).


Вычислите силу давления воды, заполняющей цилиндрическую кастрюлю, на боковую поверхность кастрюли, если высота кастрюли h=12 см., диаметр основания d=15 см., плотность воды ρ=1000 кг/м³.


3


z(t) = - 0,0003t² + 0,04t + 0,25

Найти u(t) и его величину за

за весь рабочий день.

Плод дыни имеет форму тела вращения арки косинусоиды (см) вокруг оси Ox при (см). Сделайте чертеж и вычислите объем плода манго (в дм³).

Вычислите силу давления воды, заполняющей цилиндрическую турку, на боковую поверхность турки, если высота турки h=7 см., диаметр основания d=9 см., плотность воды ρ=1000 кг/м³.


4


z(t) = - 0,003t² + 0,04t + 0,5

Найти u(t) и его величину за

первую половину рабочего дня

Свёкла имеет форму тела вращения арки синусоиды (см) вокруг оси Ox при (см). Сделайте чертеж и вычислите объем клубня (в дм³).


Вычислите силу давления воды, заполняющей цилиндрическую кастрюлю, на боковую поверхность кастрюли, если высота кастрюли h=12 см., диаметр основания d=15 см., плотность воды ρ=1000 кг/м³.


5


z(t) = - 0,001t² + 0,01t + 0,12

Найти u(t) и его величину за

за вторую половину рабочего дня

Манго имеет форму тела вращения арки косинусоиды (см) вокруг оси Ox при (см). Сделайте чертеж и вычислите объем плода манго (в дм³).

Вычислите силу давления воды, заполняющей цилиндрическую турку, на боковую поверхность турки, если высота турки h=7 см., диаметр основания d=9 см., плотность воды ρ=1000 кг/м³.


6


z(t) = - 0,0025t² + 0,15t + 0,25

Найти u(t) и его величину за

за весь рабочий день.

Картофельный клубень имеет форму тела вращения арки синусоиды (см) вокруг оси Ox при (см). Сделайте чертеж и вычислите объем клубня (в дм³).


Вычислите силу давления воды, заполняющей цилиндрическую кастрюлю, на боковую поверхность кастрюли, если высота кастрюли h=12 см., диаметр основания d=15 см., плотность воды ρ=1000 кг/м³.


7


z(t) = - 0,003t² + 0,05t + 0,5

Найти u(t) и его величину за

первую половину рабочего дня

Плод манго имеет форму тела вращения арки косинусоиды (см) вокруг оси Ox при (см). Сделайте чертеж и вычислите объем плода манго (в дм³).

Вычислите силу давления воды, заполняющей цилиндрическую турку, на боковую поверхность турки, если высота турки h=7 см., диаметр основания d=9 см., плотность воды ρ=1000 кг/м³.


8


z(t) = - 0,0006t² + 0,02t + 0,2

Найти u(t) и его величину за

за вторую половину рабочего дня

Помидор имеет форму тела вращения арки синусоиды (см) вокруг оси Ox при (см). Сделайте чертеж и вычислите объем клубня (в дм³).


Вычислите силу давления воды, заполняющей цилиндрическую кастрюлю, на боковую поверхность кастрюли, если высота кастрюли h=12 см., диаметр основания d=15 см., плотность воды ρ=1000 кг/м³.


9


z(t) = - 0,0005t² + 0,02t + 0,4

Найти u(t) и его величину за

за весь рабочий день.

Плод манго имеет форму тела вращения арки косинусоиды (см) вокруг оси Ox при (см). Сделайте чертеж и вычислите объем плода манго (в дм³).

Вычислите силу давления воды, заполняющей цилиндрическую турку, на боковую поверхность турки, если высота турки h=7 см., диаметр основания d=9 см., плотность воды ρ=1000 кг/м³.


10


z(t) = - 0,00125t² + 0,025t + 0,5

Найти u(t) и его величину за

первую половину рабочего дня

Картофельный клубень имеет форму тела вращения арки синусоиды (см) вокруг оси Ox при (см). Сделайте чертеж и вычислите объем клубня (в дм³).


Вычислите силу давления воды, заполняющей цилиндрическую кастрюлю, на боковую поверхность кастрюли, если высота кастрюли h=12 см., диаметр основания d=15 см., плотность воды ρ=1000 кг/м³.



Практическая работа №6

«Нахождение вероятности событий»


Цель работы:

освоение знаний основных понятий по теории вероятностей, умений решать простейшие задачи

на определение вероятности событий

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • понятия вероятности события,

  • понятия совместные и несовместные события;

  • теорему сложения вероятностей;

  • теорему умножения вероятностей;

  • формулу полной вероятности,

  • формулу Бернулли

  • формулу Байеса

уметь:

  • находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение

  • вероятностей и формулы комбинаторики;

  • решать задачи с применением теорем и формул


Краткие теоретические сведения

Основные понятия

Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений, т.е. таких явлений, которые при неоднократном повторении каждый раз протекают по-разному.

Комбинаторикаэто раздел теории вероятностей, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций из конечного числа элементов, удовлетворяющих некоторым условиям и подсчета числа всех возможных комбинаций.

Существует три типа комбинаторных задач: 1) на составление перестановок, 2) на составление размещений, 3) на составление сочетаний

Перестановки - всевозможные упорядоченные комбинации, состоящие из n различных элементов. Число перестановок вычисляется по формуле:

Размещения - всевозможные упорядоченные комбинации m элементов, составленные из n различных элементов, вычисляется по формуле:

Сочетания - всевозможные неупорядоченные комбинации m элементов, составленные из n различных элементов, вычисляется по формуле:

При решении комбинаторных задач используют следующие правила:

Правило суммы: если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов s способами, а другой объект B может быть выбран t способами, то выбрать объект A либо B можно (s+t) способами.

Правило произведения: если объект A можно выбрать из совокупности объектов s способами и после каждого такого выбора можно выбрать объект B t способами, то объект A и B можно выбрать способами.

Событие – это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или нет. События обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В,С...

Виды событий:

Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания непременно должно

произойти.

Невозможное событие – это событие, которое в результате испытания не может произойти.

Случайное событие – это событие, которое при испытаниях может произойти или не может

произойти.

Несовместные события - события, если в результате данного испытания появление одного

из них исключает появление другого.

Совместные события - события, если в результате данного испытания появление одного из

них не исключает появление другого.

Равновозможные события - события, если нет оснований считать, что одно из них

происходит чаще, чем другое.

События образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно

произойдет хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.

Противоположные события - два несовместных события А и Ā (читается «не А»), если в

результате испытания одно из них должно обязательно произойти.

Операции над событиями

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

Произведением нескольких событий называется событие, которое состоит в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

Определение вероятности

Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления событий при многократном повторении событий.


Вероятность обозначается буквой Р (probability (англ.) – вероятность).

Классическое определение вероятности: Вероятностью Р(А) события А называется

отношение числа благоприятствующих исходов m к общему числу равновозможных

несовместных исходов n: Р(А)=m/n

Свойства вероятности:

  • Вероятность случайного события А находится между 0 и 1, т.е. 0<Р(А)<1

  • Вероятность достоверного события равна 1

  • Вероятность невозможного события равна 0

Условная вероятностьвероятность наступления событий, вычисленная в предположении, что событие уже произошло

Теоремы сложения вероятностей

  • Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих

событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

  • Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме

вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В).

Теоремы умножения вероятностей

  • Вероятность произведения 2 независимых событий А и В равна произведению вероятностей

этих событий: Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

  • Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного

из них на условную вероятность второго при условии первого:

P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B)

Формула полной вероятности

Пусть событие А может быть реализовано только при условии появления одного из событий Hi, i = 1,..., n. Предположим, что события Hi несовместны, образуют полную группу (т.е. в результате испытания непременно произойдет одно из них) и вероятности их до опыта известны. Такие события Hi называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить с помощью формулы полной вероятности:

Формулы Байеса

Предположим теперь другую ситуацию: пусть теперь известно, что событие A произошло. Это знание влияет на нашу оценку вероятностей гипотез Нk, т.е. на вероятность того, что событие A произошло именно путем Нk. Эти условные вероятности (т.е. при условии,







что событие А произошло), вычисляются с помощью формулы Байеса:.

Отметим, что в знаменателе этой формулы записана ничто иное как вероятность Р(А), вычисленная по формуле полной вероятности.

Формула Бернулли

Под схемой Бернулли понимают конечную серию n повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления одного исхода при одном испытании обозначают p , а не появления его q, причём q=1-p. Вероятность ровно m успехов в серии из n повторных независимых испытаний вычисляется по формуле:


Образец решения задач

Задание 1 Для контроля качества продукции из партии готовых изделий выбирают для проверки 100 изделий. Проверку не выдерживают 5 изделий. Какова вероятность того, что наугад взятое изделие будет качественным?

Решение:

n=100 - число всех исходов – количество всех изделий

m=100-5 - число благоприятных исходов – количество качественных изделий



Задание 2 Из 500 деталей, среди которых 100 бракованных, наугад берутся 2 детали. Какова вероятность того, что из двух взятых деталей одна бракованная?

Решение:

n - число всех исходов (взяли 2 детали из 500)


m - число благоприятных исходов (взяли 1 деталь из 100 бракованных и 1 деталь из 400 годных)


, т.е. 32%


Задание 3 Мастер обслуживает 5 станков. 30% рабочего времени он проводит у первого станка, 20 – у второго, 15 – у третьего, 25 – у четвертого и, наконец, 10 % – у пятого. Найти


вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится у второго или пятого станка

Решение: пусть A,B,C,D,E - события, которые состоятся, если в наугад выбранный момент времени мастер находится соответственно у 1,2,3,4-го или 5 станка. Из условия задачи следует что A,B,C,D,E попарно несовместные события.

Р(А)=0,20, Р(В)=0,10, Р(С)=0,15, Р(D)=0,25, Р(Е)=0,30.

В+Е-событие, которое состоится, если мастер находится у 2-го или 5-го станка.

По теореме сложения вероятностей

Р(В+Е)=Р(В)+Р(Е)=0,10+0,30=0,40, т.е. 40%

Задание 4 В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны , и . Найдите вероятность того, что тока в цепи не будет.

Решение: А - событие, состоящее в том, что тока нет,

- событие, состоящее в том, что ток есть,

= В123, где Вi - событие, состоящее в том, что элемент исправен


Задание 5 С первого станка-автомата на сборочный конвейер поступает деталей, со 2-го и 3-го – по и соответственно. Вероятности выдачи бракованных деталей составляют для каждого из них соответственно , и . Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь окажется бракованной, а также вероятности того, что она изготовлена на 1-м, 2-м и 3-м станках-автоматах, при условии, что она оказалась бракованной.

Решение: по формуле полной вероятности: найдём вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная:


По формуле Байеса:

найдём вероятности того, что она изготовлена на 1-м, 2-м и 3-м станках-автоматах





Задание 6 Вероятность допустить ошибку сверх требуемой точности при одном измерении данным прибором равна 0,2. Найдите вероятность того, что при 10 измерениях этим же прибором число измерений с подобными ошибками будет равно трём

Решение: искомую вероятность найдём по формуле Бернулли:

Из условия задачи n = 10, m = 3, p = 0,2, тогда q = 1 – p = 1 – 0,2 = 0,8, следовательно

, т.е. 30%

Задание 7 В магазине покупателей обслуживают три кассовых аппарата А1, А2, А3, каждый из которых в течение рабочего дня может проработать безотказно с вероятностями 0,85, 0,9 и 0,95 соответственно. Найти вероятность того, что в течение дня выйдут из строя:

а) первый и третий аппарат;

б) только один аппарат;

в) хотя бы один аппарат.

Решение: Вычисляем вероятности противоположных событий, состоящих в том, что в течение дня кассовые аппараты выйдут из строя:




а) Вероятность того, что в течение дня выйдут из строя первый и третий аппарат, вычисляем по теореме вероятности произведения событий. Так как события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:



б) Вероятность того, что в течение дня выйдет из строя только один аппарат, вычисляем по теоремам вероятностей суммы и произведения событий:


в) Событие, состоящее в том, что в течение дня хотя бы один кассовый аппарат выйдет из строя, противоположно событию, состоящему в том, что в течение дня все аппараты проработают безотказно. Применяя формулу вероятности противоположного события и теорему вероятности произведения событий, получим:


Задания для самостоятельного решения

Практическая работа №6 «Нахождение вероятности событий»

Из 5000 взятых наугад деталей 32 бракованных. Извлекается 1 деталь. Какова вероятность того, что взяли деталь без брака?




В группе 15 студентов, из них 7 девушек. Группе нужно послать 5 человек на собрание. Какова вероятность того, что пойдут 2 юношей и 3 девушки


Данное предприятие в среднем дает 11% продукции высшего сорта и 80% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта

В мастерской два мотора работают, независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,9, для второго мотора эта вероятность равна 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

Литьё на болванках для дальнейшей обработки поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго, при этом материал первого цеха имеет 10% брака, а материал второго цеха - 20% Найти вероятность того, что одна взятая на удачу болванка не имеет дефектов

Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении одних суток не превысит установленной нормы равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы

2

Для контроля качества продукции из партии готовых изделий выбирают для проверки 100 деталей. Проверку не выдерживают в среднем 8 деталей. Какова вероятность того, что наугад взятое изделие будет качественным?

Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Какова вероятность того, что в делегацию попадут 2 женщины и 1 мужчина?

Студент сдаёт экзамен по математике. Вероятность получить на экзамене «неуд» равна 0,1, «уд» - равна 0,5, «хор» - 0,3, «отл» - 0,1. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен


Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго – 0,8, и для третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа все станки потребуют внимания рабочего

На склад поступили детали с трёх станков, на первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором 35% и на третьем 25%, причём на первом станке было изготовлено 90% процентов деталей первого сорта, на втором - 80% и на третьем - 70%. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь окажется первого сорта?

В цеху имеются 3 резервных мотора. Для каждого мотора вероятность того, что он включён, равна 0,2. Найти вероятность того, что в данный момент выключены 2 мотора


3

Среди 500 изделий, подвергавшихся термической обработке, в среднем 430 высшего сорта. Найти вероятность извлечения не высококачественного изделия

В партии из 20 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих деталей две окажутся бракованными


Студент сдаёт экзамен по математике. Вероятность получить на экзамене «неуд» равна 0,1, «уд» - равна 0,6, «хор» - 0,2, «отл» - 0,1. Какова вероятность того, что студент хорошо сдаст экзамен


Прибор, работающий в течение суток, состоит из 3 узлов, каждый из которых, независимо от других, может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0,8, второго – 0,95, третьего – 0,85. Найти Р того, что в течение суток прибор будет работать безотказно


В ящике сложены детали.16 деталей с первого участка, 24 со второго и 20 - с третьего, вероятность того, что деталь изготовленная на втором участке, отличного качества равно 0,6, а для деталей изготовленных на первом и третьих участках вероятности равы 0,8, найти вероятность того, что на удачу извлечённая деталь отличного качества

В мастерской имеется 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент 10 моторов работают с полной нагрузкой

4

Студент знает 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что предложенный вопрос студент не знает?


Из трёх юношей и двух девушек выбирается комиссия из трёх человек. Какова вероятность того, что в комиссию попадут одна девушка и два юноши?


Мастер обслуживает 5 станков. 30% рабочего времени он проводит у первого станка, 20 – у второго, 15 – у третьего, 25 – у четвертого и, наконец, 10 % – у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится у первого или третьего станка

Прибор, работающий в течение суток, состоит из 3 узлов, каждый из которых, независимо от других, может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0,9, второго – 0,95, третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в течение суток прибор будет работать безотказно

В цехе три типа автоматических станков производят одни и те же детали. Известно, что станки первого типа производят 0,94 деталей отличного качества, второго- 0,9, третьего - 0,85.Все детали в пересортированном виде сложены на складе. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь отличного качества, если станков первого типа 5 штук, второго 3 штуки, третьего 3 штуки?

В цеху 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включено 4 мотора



5

При передаче сообщения в среднем происходит искажение трёх знаков из 100. Найти вероятность того, что сообщение будет принято без искажения



В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными


Данное предприятие в среднем дает 21% продукции высшего сорта и 70% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта


Участок электрической цепи состоит из трёх элементов, каждый из которых работает независимо от двух других. Элементы не выходят из строя за определённый промежуток времени соответственно с вероятностью . Определить вероятность нормальной работы всего участка

В ящике сложены детали.16 деталей с первого участка, 24 со второго и 20 - с третьего, вероятность того, что деталь изготовленная на втором участке, отличного качества равно 0,6, а для деталей изготовленных на первом и третьих участках вероятности равы 0,8, найти вероятность того, что на удачу извлечённая деталь отличного качества


Вероятность допустить ошибку сверх требуемой точности при одном измерении данным прибором равна 0,2. Найдите вероятность того, что при 10 измерениях этим же прибором число измерений с подобными ошибками будет равно трём

6

Из 2000 взятых наугад изделий 5 бракованных. Извлекается 1 изделие. Какова вероятность того, что взяли изделие без брака?




Из 10 железобетонных конструкций две высокого качества. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу пяти конструкций две высокого качества

В ящике находятся катушки четырех цветов: белых катушек 50%, красных – 20, зеленых – 20, синих – 10%. Какова вероятность того, что взятая наудачу катушка окажется зеленой или синей


Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст все экзамены


На сборку попадают детали с трёх станков автоматов, известно, что первый автомат даёт 3% брака, второй - 0,2,третий - 0,4. найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000,со второго 2000 и с третьего 2500 деталей




Продукция, поступающая из цеха в ОТК, не удовлетворяет условиям стандарта в среднем в 8 % случаев. Найти вероятность того, что из наугад взятых семи изделий не удовлетворяют условиям стандарта шесть изделий

7

Из партии готовых изделий выбирают для проверки 200 деталей. Проверку не выдерживают в среднем 8 деталей. Какова вероятность того, что наугад взятое изделие будет качественным?


В партии из 20 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 3 стандартных


В ящике с деталями оказалось 300 деталей первого сорта, 200 деталей второго и 50 деталей третьего сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь второго или третьего сорта

Из трёх станков, обслуживаемых одним рабочим, вероятность остановки на протяжении одного часа составляет для первого станка 0,21, для второго - 0,15 и для третьего - 0,12. Какова вероятность бесперебойной работы всех трёх станков на протяжении одного часа?


Электролампы изготавливаются на 3-х заводах,1 завод производит 45% процентов общего количества электроламп, второй - 40%,третий - 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго - 80%,третьего- 81%, в магазины поступает продукция со всех трёх заводов, какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Вычислить вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров 36 выдержат гарантийный срок.


8

Студент знает 23 вопроса из 30. Какова вероятность того, что предложенный вопрос студент не знает?


В группе 25 студентов, из них 8 девушек. Группе нужно послать 5 человек на собрание. Какова вероятность того, что пойдут 2 юношей и 4 девушки


Студент сдаёт экзамен по математике. Вероятность получить на экзамене «неуд» равна 0,1, «уд» - равна 0,6, «хор» - 0,2, «отл» - 0,1. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен


В мастерской два мотора работают, независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,8, для второго мотора эта вероятность равна 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

Литьё на болванках для дальнейшей обработки поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго, при этом материал первого цеха имеет 10% брака, а материал второго цеха - 20% Найти вероятность того, что одна взятая на удачу болванка не имеет дефектов


30% изделий данного предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность, что 4 из них высшего сорта

9

При передаче сообщения в среднем происходит искажение 2-х знаков из 50. Найти вероятность того, что сообщение будет принято без искажения

В группе 20студентов, среди которых 6 отличников. По списку наудачу выбирают 5 студентов. Какова вероятность того, что среди них 3 отличника?

В ящике находятся катушки четырех цветов: белых катушек 50%, красных – 20, зеленых – 20, синих – 10%. Какова вероятность того, что взятая наудачу катушка окажется зеленой или красной

Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течении часа первый автомат не потребует внимания рабочего, равна 0,9, а для второго автомата эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что в течении часа ни один из автоматов не потребует внимания рабочего

На склад поступили детали с трёх станков, на первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором 35% и на третьем 25%, причём на первом станке было изготовлено 90% процентов деталей первого сорта, на втором - 80% и на третьем - 70%. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь окажется 1сорта?


Станок состоит из 2000 независимо работающих узлов. Вероятность отказа одного узла в течение года равна 0,0005. Найти вероятность отказа в течение года двух узлов


Практическая работа №7

«Нахождение функции распределения и числовых характеристик дискретной случайной величины»

Цель работы:

освоение знаний построения закона распределения дискретной случайной величины,

нахождение функции распределения и числовых характеристик дискретной случайной

величины

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • способы задания случайной величины,

  • определения непрерывной и дискретной случайных величин;

  • закон распределения случайной величины,

  • определение математического ожидании, дисперсии и среднего квадратического отклонения

  • дискретной случайной величины;

уметь:

  • строить ряд распределения случайной величины;

  • находить функцию распределения случайной величины.

  • находить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

  • случайной величины по заданному закону ее распределения


Краткие теоретические сведения

Случайная величина - величина, которая принимает в результате испытания то или иное возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретной называют такую случайную величину, которая принимает счётное

множество значений

Непрерывной называют такую случайную величину, которая может принимать любые значения в определённом интервале. Занумеровать все значения величины, попадающие даже в узкий интервал принципиально невозможно.

Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их возможное значение – соответствующими строчными буквами x, y, z.



При многократных испытаниях определённые значения случайной величины могут встречаться несколько раз. Поэтому, для задания случайной величины недостаточно перечислить лишь все

её возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появляться те или иные значения в результате испытания при одних и тех же условиях, т.е. нужно задать вероятности их появления.

Случайная величина считается заданной, если известен закон распределения случайной величины.

Распределением (законом распределения) случайной величины называется всякое соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Распределение дискретной случайной величины может быть задано в виде таблицы, в графическом и аналитическом виде.

Пусть дискретная величина X принимает значения Х=х1, Х=х2,…, Х=хn. Обозначим вероятности этих событий соответственно: Р(Х = х1) = р1, Р(Х = х2) = р2,…, Р(Х = хn) = рn.

Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания распределения дискретной случайной величины:

Так как в результате испытания случайная величина Х всегда примет одно из своих возможных значений х1, х2, … хn, то эти случайные события образуют полную группу событий и

n

р1 + р2 + …+ рn = pi = 1.

i =1

Табличную формулу задания называют также рядом распределения.

Для наглядности ряд распределения можно представить в графическом виде, где по оси абсцисс откладываются значения случайной величины, а по оси ординат вероятности этих значений.

Функция распределения

В ряде практических случаев вместо вероятности того, что случайная величина Х принимает некоторое определённое значение хi ,необходимо знать, что случайная величина Х меньше хi. Эта вероятность задаётся интегральной функцией распределения.

Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее фиксированного действительного числа х, т.е. F(x) = P(X < x).

Функцию распределения F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.




Функцию F(x) можно получить, суммируя значения вероятностей по тем значениям случайной величины, которые меньше xi, т. е. F(xi) = P (X < xi) = ∑ P(xi), где неравенство x < xi под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на все значения х меньше xi.

Для дискретной случайной величины график функции распределения представляет собой разрывную ступенчатую функцию. Когда переменная х принимает какое-нибудь из своих возможных значений, функция распределения увеличивается скачкообразно на величину вероятности этого значения. Причём при переходе слева к точкам разрыва функция сохраняет своё значение. На графике это отмечено чёрной точкой. Сумма величин всех скачков функции F(x) равна 1.

Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые в сжатой форме дают достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются: математические ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, определяя некоторое среднее значение, около которого сосредоточены все возможные значения случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных её значений на соответствующие вероятности: hello_html_m36c6b52b.gif

Дисперсия характеризует рассеяние (отклонение) случайной величины относительно математического ожидания. Дисперсия случайной величины Х - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от её математического ожидания М (Х), обозначают D(X), т.е. D(X) = M(XM(X))2

Для дискретных случайных величин эту формулу можно записать в следующем виде:

Для вычислений удобно использовать формулу: D(Х) = М(Х2) –М2(Х)

Размерность дисперсии равна квадрату случайной величины и её неудобно использовать для характеристики разброса, поэтому удобнее применять корень квадратный из дисперсии – среднее квадратическое отклонение. Эта величина даёт представлять о размахе колебаний случайной величины около математического ожидания: (Х) =



Образец решения задач

Задание 1 Дан закон распределения случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график. Найти числовые характеристики

Решение: Сначала найдём неизвестное р2 =1– р1 – р3 =1–0,5–0,2=0,3

Для нахождения функции распределения воспользуемся схемой:


Получим

Построим график функции распределения

hello_html_m2f334cfa.png

Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой:

Получим M(X)=(-1).0,5+2.0,3+6.0,2=1,3

Для вычисления дисперсии воспользуемся двумя соотношениями, одно из которых соответствует определению дисперсии, другое – ее свойству.

По определению:

В примере получим: D(X)=(-1-1,3)2 . 0,5+(2-1,3)2 . 0,3+(6-1,3)2 . 0,2=7,21

По формуле: D(Х) = М(Х2) –М2(Х)

M(X2) = (-1)2 . 0,5+22 . 0,3+62 . 0,2=8,9

М2(Х) = 1,32 = 1,69

D(X) = 8,9 – 1,69 =7,21

Проверяем: значения D(X) совпадают

Среднее квадратическое отклонение находим по формуле

(Х) =

(Х) =


Задание 2 Депозитный риск (вероятность досрочного отзыва депозита) для трех клиентов некоторого банка есть величина постоянная, равная p=0,2. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа отозванных депозитов. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины

Решение: Имеем серию n=3 независимых испытаний, в каждом из которых событие A (отзыв депозита) происходит с вероятностью p=0,2. Так как описанная в условии случайная величина X распределена по закону Бернулли, то вероятности p(X=m) того, что событие A произойдет m раз, могут быть вычислены по формуле Бернулли:


где - количество сочетаний из n элементов по m, определяемое комбинаторной формулой:


В нашем случае: n=3, p=0,2, q=1-p=1-0,2=0,8, поэтому:





Контроль:

Составляем закон распределения случайной величины X:

Вычисляем числовые характеристики данной случайной величины, распределенной по закону Бернулли:

математическое ожидание: M(X)=np

M(X)=3·0,2=0,6.

дисперсия: D(X)=np(1-p)

D(X)=3∙0,2∙0,8=0,48.

среднее квадратическое отклонение: (Х) =

(Х) =

Задание 3 Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р1=0,3; p2=0,4; p3=0,5; p4=0,6. Найти закон распределения этой случайной величины, математическое ожидание и дисперсию


числа отказавших приборов. 
Решение: принимая за случайную величину число отказавших  приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.
Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем 
hello_html_24bc061b.gif – вероятность безотказной работы приборов
Рассмотрим все возможные варианты:

1) Не отказал ни один прибор
hello_html_5a2b4872.gif
2) Отказал один из приборов
hello_html_5246fa5c.gif0,302.
3) Отказали два прибора
hello_html_m51071a55.gif
4) Отказали три прибора
hello_html_m45df126e.gif
5) Отказали все приборы
hello_html_1b13e41f.gif
Получаем закон распределения:

Контроль: р=0,084+0,302+0,38+0,196+0,036=1

Математическое ожидание:
hello_html_m6810abee.gif


Дисперсия:
hello_html_2e732038.gif





Задания для самостоятельного решения

Практическая работа №7 «Нахождение функции распределения и числовых характеристик дискретной случайной величины»

Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины (СВ) X и её функцию распределения F(x).

Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (Х).

Построить график функции распределения

Дан закон распределения случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график. Найти числовые характеристики


1

2

3

1

Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1

Вероятность того, что деталь с первого авто мата удовлетворяет стандарту, равна 0,9, для второго автомата – 0,8, для третьего – 0,7. СВ X – число дета лей, удовлетворяющих стандарту, при условии, что с каждого автомата взято наугад по одной детали

2

В цеху имеются 4 резервных мотора. Для каждого мотора вероятность того, что он включён, равна 0,2. СВ X – число выключенных моторов

Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока каждого из трех узлов прибора соответственно равны: 0,2; 0,3; 0,1. СВ X – число узлов, вышедших из строя в течение гарантийного срока

3

Вероятность выхода из строя каждого из трех блоков прибора в течение гарантийного срока равна 0,3. СВ X – число блоков, вышедших из строя в течение гарантийного срока

Вероятность перевыполнения плана для СУ-1 равна 0,9, для СУ-2 – 0,8, для СУ-3 – 0,7. СВ X - число СУ, перевыполнивших план

4

Проводятся 4 независимых измерения исследуемого образца. Вероятность допустить ошибку в каждом измерении равна 0,01. СВ X – число ошибок, допущенных в измерениях.

Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для приборов первого типа равна 0,9, второго типа – 0,7, третьего типа – 0,8. СВ X – число приборов, проработавших гарантийный срок, среди трех приборов разных типов.

5

Вероятность отказа прибора за время испытания на надежность равна 0,2. СВ X – число при боров, отказавших в работе, среди трёх испытываемых

Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность выхода из строя в течение смены для первого станка равна 0,6, для второго – 0,5, для третьего - 0,4, для четвертого – 0,5. СВ X – число станков, вышедших из строя за смену

6

90% панелей, изготовляемых на железобетонном заводе, – высшего сорта. СВ X – число пане лей, высшего сорта из четырёх, взятых наугад

Вероятность успешной сдачи первого экзамена для данного студента равна 0,9, второго экзамена - 0,8, третьего – 0,7. СВ X – число сданных экзаменов.

7

Вероятность сдачи данного экзамена для каждого из трёх студентов равна 0,8. СВ X – число студентов, сдавших экзамен

В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна: 0,2; 0,3; 0,1. СВ X – число включенных электродвигателей

8

При обработке деталей на станке в среднем 4% из них бывают с дефектами. На проверку взяли три детали. СВ Х - число деталей с дефектами

Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй – 0,2 и третий - 0,3. СВ X – число станков которые выйдут из строя в течении смены

9

Вероятность поступления вызова на АТС в течение 1 мин равна 0,4. СВ X – число вызовов, посту пивших на АТС за 4 мин

В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока для них соответственно равны: 0,3; 0,2; 0,4. СВ X – число радиоламп, которые выйдут из строя течение гарантийного срока


Практическая работа №8

«Обработка статистических данных»

Цель работы:

приобретение навыков записи выборки в виде вариационного ряда и в виде статистического ряда, вычисления числовых характеристик выборки, закрепить навыки вычисления числовых характеристик выборки и обработки результатов исследования с помощью математической статистики

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • основные понятия математической статистики

уметь:

  • определять объем и размах выборки, моду и медиану

  • составлять вариационный ряд и статистическое распределение

  • строить функцию распределения, полигон гистограмму

  • находить статистические оценки параметров распределения


Краткие теоретические сведения

Задачи математической статистики

Математическая статистика — раздел прикладной математики, наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятности, позволяющую оценить надежность и точность выводов. Этот раздел прикладной математики посвящен изучению случайных величин по результатам наблюдений.

В прикладных задачах вероятность исследуемого события обычно неизвестна. Она

определяется приближенно по статистическим данным. Дать оценку полученной на основе опытных данных, вероятности события - одна из основных задач математической статистики.

Разработать методы анализа статистических данных зависимости от целей исследования. определить ее распределение с точностью до некоторого неизвестного параметра. Дать оценку этого параметра в виде числа или интервала, в котором с заданной вероятностью заключено значение неизвестного параметра.

Методы математической статистики широко применяются в самых различных областях

знаний - в физике, звездной астрономии, экономике, геологии, гидрологии, климатологии, биологии, медицине и др. Также широко используется математическая статистика и в промышленности. Исходным материалом являются статистические данные.


Основные понятия

Статистические данные - сведения о числе объектов какой-либо более или менее

обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

Генеральная совокупность - совокупность всех исследуемых объектов.

Выборочная совокупностью (или выборка) - совокупность случайно отобранных

объектов из генеральной совокупности.

Объём выборки -число объектов выборочной или генеральной совокупности

Размах выборки -разность между наибольшим значением числовой выборки и ее

наименьшим значением.

Медиана – это значение, занимающее середину упорядоченного ряда, а в случае четного количества равное среднему арифметическому двух средних значений ряда

Модаэто значение признака выборки, имеющее наибольшую частоту

Распределение выборки

Пусть для изучения количественного признака X из генеральной совокупности извлечена выборка x1, х2,...., хi. Наблюдавшиеся значения хi, признака X называют вариантами. Повторяемость признака хi называется частотой ni. Сумма всех частот равна п. Относительная частота — рi = ni /n — выборочный аналог вероятности pi появления значения xi случайной величины X. Тогда выборочным аналогом ряда распределения естественно считать вариационный ряд. Вариационный ряд - выборка, представляющая собой неубывающую последовательность чисел

Частота - число членов совокупности с данной вариацией.

Относительная частота - отношение частоты к объему выборки

Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная (расположенная в порядке возрастания или убывания) совокупность вариантов хi с соответствующими им частотами пi или относительными частотами рi.

Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений величины.

Функция распределения - функцию F(x) ,определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F(x)=Р(Х>x)

Графические изображения выборки

Для наглядного представления выборки часто используют различные графические

изображения. Простейшими графическими изображениями выборки являются полигон и гистограмма. Пусть выборка задана статическим рядом: (x1, п1), (х2, п2), ..., i, ni).

Полигон частот - ломанная, отрезки которой соединяют точки(xi ;ni).



Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат соответствующие им частоты ni. Точки (xi ;ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Аналогично полигону распределения строится полигон относительных частот. Нецелесообразно построение дискретного ряда для непрерывной случайной величины или для дискретной, число возможных значений которой велико. В подобных случаях следует построить интервальный ряд.

Полигон относительных частот - ломаная, отрезки которой соединяют точки (xi; Wi).

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты Xi, а на оси ординат - соответствующие им относительные частоты Wj Точки (xi; Wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

Гистограмма частот - ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями

которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n,/h (плотность частоты). При большом объеме выборки более наглядное представление дает гистограмма

Статистические оценки распределения

Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить

первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в ряду наблюдений. Однако на практике зачастую этого недостаточно. Поэтому для дальнейшего изучения изменения значений случайной величины используют числовые характеристики вариационных рядов. Их обычно называют статистическими характеристиками или оценками.

Статистическое распределениеэто таблица, в первой строке которой записаны все различные значения выборки в порядке возрастания, а во второй строке указаны соответствующие им частоты

Выборочной средней (выборочным математическим ожиданием) hello_html_51f04cf1.gif называют среднее

арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения hello_html_abc5995.gif признака выборки объема hello_html_fb10917.gif различны, то:hello_html_a6a15c2.gifЕсли же значения признака hello_html_m3e2f55d4.gif имеют соответственно частоты hello_html_m1ba3f521.gif, причем hello_html_701f2c89.gif, то hello_html_6d9eaa25.gif или hello_html_2bf77da9.gif.

Выборочной дисперсией hello_html_m60fd6736.gif называют среднее арифметическое квадратов отклонения

наблюдаемых значений признака от их среднего значения hello_html_51f04cf1.gif.

Если все значения hello_html_abc5995.gif признака выборки объема hello_html_fb10917.gif различны, то hello_html_10b2cbac.gif



Если же значения признака hello_html_m3e2f55d4.gif имеют соответственно частоты hello_html_m1ba3f521.gif, причем hello_html_701f2c89.gif, то hello_html_m23fba8ab.png

Выборочное среднее квадратическое отклонениеэто квадратный корень из hello_html_1262741a.jpg

выборочной дисперсии


Образец решения задач

Задание 1 В опыте было получено 30 наблюдений над случайной величиной X, составляющих выборочную совокупность. Они приведены в таблице.

83

94

90

95

90

98

82

89

87

92

92

94

98

95

94

88

86

80

90

82

92

84

99

86

92

91

81

86

82

По выборочным данным: 1) составить ряд распределения; найти размах выборки; 2) построить эмпирическую функцию распределения; 3) найти числовые характеристики выборки: в- выборочное среднее, Dв- выборочную дисперсию; в- выборочное среднее квадратическое отклонение;

Решение: 1) Составим ряд распределения: расположим наблюдения в порядке возрастания в верхней строке таблицы, в нижней строке nί - количество наблюдений в общем ряду наблюдений.

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

n.ί

1

1

3

1

1

0

3

1

1

2

3

1

4

0

3

2

0

0

2

1


Из этих наблюдений определим наибольшее Хмах = 99 и наименьшее Хмin = 80.

Вычислим размах варьирования d=Xmax – Xmin = 99-80=19.

2) Эмпирическая функция распределения определяет для каждого значения х относительную частоту события Х < x. Она принимает значения причем при >Таким образом, имеем
















Построим график эмпирической функции распределения


1

9/10

8/10

7/10

6/10

5/10

4/10

3/10

2/10

1/10

0

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

3) Найдем числовые характеристики выборочной совокупности

Оценка математического ожидания признака Х


Выборочная дисперсия

=

Среднеквадратическое отклонение

Задание 2 В результате измерения получена выборка: 121, 115, 125, 125, 117, 124, 120, 120, 119, 121, 122, 127, 118, 120, 123, 130, 123, 116, 124, 127,122. Постройте гистограмму, если число частичных промежутков равно 5.

Решение: Наименьшее значение выборки: 115. Наибольшее значение выборки: 130.

hello_html_m49c9b8f9.png


Число попаданий выборки в частичные промежутки соответственно равно:

[115, 118)— 3, [118, 121)— 8, [121, 124)— 6, [124, 127) — 4, [127, 130] — 3.

Составим интервальный вариационный ряд:

hello_html_m75759169.png

Для контроля правильности находим

hello_html_m17515690.png

Строим гистограмму:

hello_html_m2c3897c4.png

Задание 3 Для выборки 3, 8, -1, 3, 0, 5, 3, -1, 3, 5 определите объем и размах. Запишите выборку в виде вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найдите выборочное распределение.

Решение: Объем выборки n=10; ее размах равен Δx=х-x=8-(-1)=9.

Записав значения выборки в виде неубывающей последовательности, получим вариационный ряд: -1, -1, 0, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 8.

Составим статистический ряд

Для контроля находим сумму частот 2+1+4+2+1=10 и убедимся в том, что она равна объему выборки. Вычислив относительные частоты, найдем выборочное распределение 2

10

1

10

4

10

2

10

1

10

Для контроля убедимся в том, что сумма относительных частот равна 1:

Задание 4 Постройте полигон относительных частот для статистического распределения выборки, заданной таблицей:




Решение: находим объем выборки как сумму частот всех вариант: n=4+6+12+16+44+18=100.

Находим относительные частоты всех вариант как отношения соответствующих частот к объему выборки:

Строим полигон относительных частот:

hello_html_4088fae7.png






Задания для самостоятельного решения

Практическая работа №8 «Обработка статистических данных»

Город N активно посещается туристами. Кафе в этом городе работает с 8-00 до 20-00, то есть 12 часов в сутки. Среднее количество посетителей в течение первого, второго и т.д. часа работы для кафе определяется выборкой

По выборочным данным требуется:

  1. определить объем и размах выборки

  2. определить моду и медиану

  3. составить вариационный ряд

  4. составить статистическое распределение частот и относительных частот

  5. построить эмпирическую функцию распределения

  6. построить полигон частот и относительных частот

  7. построить гистограмму частот и относи тельных частот

  8. найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю; выборочную дисперсию; выборочное среднее квадратическое отклонение

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10




Практическая работа №9

«Расчёт массы сырья с учётом сезона и вида сырья»


Цель работы: умений расчитывать массу сырья с учётом сезона и вида сырья

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • типа задач на проценты

уметь:

  • решать прикладные задачи на проценты


Краткие теоретические сведения

Существует три основных типа задач на проценты.

  1. Нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

  1. Нахождение числа по его проценту

Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то сколько процентов она составляет от числа.

  1. Сколько процентов одно число составляет от другого

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100 %.



До обработки продукции – БРУТТО

После обработки продукции – НЕТТО

% ОТХОДОВ смотрим в сборнике рецептур

БРУТТО=НЕТТО+ОТХОДЫ

100% = % НЕТТО + % ОТХОДОВ


Образец решения задач



Задание 3Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили незрелый арбузы?

Решение:О чем спрашивают? О незрелых арбузах. Значит, 16 делим на общее количество арбузов и умножаем на 100 %.






hello_html_m157e3f08.jpg

Задание Купили 40 кг капусты. Отходы составляют 15%. Найти массу готовой продукции.

Решение:

БРУТТО 40 кг – 100%

НЕТТО Х кг – 85%

ОТХОДЫ Х кг – 15%

Задание Приготовили 5 кг салата из капусты. Отходы составили 10%. Сколько нужно купить капусты?

Решение:

БРУТТО Х кг – 100%

НЕТТО 5 кг – 90%

ОТХОДЫ Х кг – 10%

Задание Определить, сколько отходов получится при обработке 50 кг картофеля в январе. (Отходы 5%). Сколько выйдет готового сырья?

Решение:

БРУТТО 50 кг – 100%

НЕТТО Х кг – 95%

ОТХОДЫ Х кг – 5%

Задание Нужно приготовить 30 котлет. По сборнику одна порция составляет 150 гр. Отходы 20%. Сколько сырья надо заказать?

Решение:

На одну котлету:

БРУТТО Х гр. – 100%

НЕТТО 150 гр. – 85%

ОТХОДЫ Х гр. – 20%

Задание Купили 10 кг мяса. Одна котлета весит 200 гр. (по сборнику). Отходы 5%. Сколько котлет изготовили?

Решение:

БРУТТО 10 кг – 100%

НЕТТО Х кг – 95%

ОТХОДЫ Х кг – 5%

- весят все котлеты (НЕТТО)

котлет

Задание Отходы при чистке картофеля, собранного в октябре, составляют 25% массы картофеля, а при его длительном хранении увеличиваются на 5% каждые 2 месяца. Сколько картофеля необходимо в декабре для получения 75 кг сырого очищенного картофеля?

Решение: обозначим массу брутто (неочищенного картофеля) в декабре – x. Отходы при чистке картофеля в декабре составляют 25%+5%=30% массы картофеля, тогда масса нетто (очищенного картофеля) составляет 70% массы брутто. Составляем и решаем уравнение:


Значит, необходимо около 107 кг картофеля.


Задание Для приготовления мучных изделий 1 кг хлебопекарных дрожжей может быть заменен на 0,25 кг сухих дрожжей. Для выпечки хлеба необходимы 15 кг хлебопекарных дрожжей, но на предприятие завезли дрожжи сухие. Определить, какое количество сухих дрожжей необходимо.





Решение: обозначив через x количество сухих дрожжей, составляем пропорцию:


По правилу пропорции выражаем неизвестную величину:

(кг)

Значит, необходимо взять 3,75 кг сухих дрожжей.


Задание Определить массу выхода картофеля отварного (3% потери массы при варке) из картофеля массой брутто 30 кг, если блюдо готовится в феврале.

Решение: из условия первой задачи получаем процент отходов при чистке картофеля в феврале: 25%+5%+5%=35%. Тогда масса нетто (очищенного картофеля) составляет 100%-35%=65% массы брутто. Определим массу нетто: .

Так как при варке картофеля теряется 3% его массы, то масса выхода составляет 97% массы до тепловой обработки. Вычисляем массу выхода отварного картофеля:

Значит, масса выхода отварного картофеля приблизительно равна 19 кг.






Задания для самостоятельного решения

Практическая работа №9 ««Расчёт массы сырья с учётом сезона и вида сырья»

При приготовлении запеканки из творога потери массы составляют 15% от массы полуфабриката. Сколько весит полуфабрикат, если масса выхода (готового продукта) равна 100 граммов?


Для ароматизации супа 1 кг свежего укропа может быть заменен на 0,76 кг быстрозамороженной зелени укропа. Зимой, ввиду отсутствия свежей зелени, применяют замороженную зелень. Какое количество замороженного укропа необходимо для замены 1,3 кг укропа свежего


Определить массу брутто потрошеных кур первой категории (11,1% отходов) для приготовления 4 кг вареной курятины (28% потери массы при варке).


2

Отходы при чистке картофеля, собранного в октябре, составляют 25% массы картофеля, а при его длительном хранении увеличиваются на 5% каждые 2 месяца. Какова масса сырого очищенного картофеля, полученного в декабре из 75 кг картофеля?

Для приготовления супа необходимы 10 кг свежих помидор. Зимой, ввиду их отсутствия, применяется томатное пюре. Сколько понадобится пюре, если по нормам взаимозаменяемости соотношение свежих помидор и томатного пюре – 1:0,46?


Определить массу брутто картофеля, необходимого для приготовления в апреле 1 кг чипсов (66% потери массы при тепловой обработке).


3

При приготовлении омлета с сыром потери массы составляют 8%. Рассчитайте массу выхода (готового продукта), зная, что масса полуфабриката равна108,7 граммов.


Какое количество кофе натурального растворимого потребуется для замены 200 г кофе натурального жареного, если по нормам взаимозаменяемости 1 кг жареного кофе соответствуют 0,35 кг растворимого кофе?

Определить массу выхода баклажанов, жаренных кружочками, если для приготовления блюда используется 10 кг баклажанов (масса брутто) и известно, что отходы при чистке составляют 5%, а потери массы при жарке – 26%.


4

При приготовлении запеканки из творога потери массы составляют 15% от массы полуфабриката. Сколько весит полуфабрикат, если масса выхода (готового продукта) равна 100 граммов?


Для ароматизации супа 1 кг свежего укропа может быть заменен на 0,76 кг быстрозамороженной зелени укропа. Зимой, ввиду отсутствия свежей зелени, применяют замороженную зелень. Какое количество замороженного укропа необходимо для замены 1,3 кг укропа свежего


Определить массу брутто потрошеных кур первой категории (11,1% отходов) для приготовления 4 кг вареной курятины (28% потери массы при варке).


5

Отходы при чистке картофеля, собранного в октябре, составляют 25% массы картофеля, а при его длительном хранении увеличиваются на 5% каждые 2 месяца. Какова масса сырого очищенного картофеля, полученного в декабре из 75 кг картофеля?

Для приготовления супа необходимы 10 кг свежих помидор. Зимой, ввиду их отсутствия, применяется томатное пюре. Сколько понадобится пюре, если по нормам взаимозаменяемости соотношение свежих помидор и томатного пюре – 1:0,46?


Определить массу брутто картофеля, необходимого для приготовления в апреле 1 кг чипсов (66% потери массы при тепловой обработке).


6

При приготовлении омлета с сыром потери массы составляют 8%. Рассчитайте массу выхода (готового продукта), зная, что масса полуфабриката равна108,7 граммов.


Какое количество кофе натурального растворимого потребуется для замены 200 г кофе натурального жареного, если по нормам взаимозаменяемости 1 кг жареного кофе соответствуют 0,35 кг растворимого кофе?

Определить массу выхода баклажанов, жаренных кружочками, если для приготовления блюда используется 10 кг баклажанов (масса брутто) и известно, что отходы при чистке составляют 5%, а потери массы при жарке – 26%.


7

При приготовлении запеканки из творога потери массы составляют 15% от массы полуфабриката. Сколько весит полуфабрикат, если масса выхода (готового продукта) равна 100 граммов?


Для ароматизации супа 1 кг свежего укропа может быть заменен на 0,76 кг быстрозамороженной зелени укропа. Зимой, ввиду отсутствия свежей зелени, применяют замороженную зелень. Какое количество замороженного укропа необходимо для замены 1,3 кг укропа свежего


Определить массу брутто потрошеных кур первой категории (11,1% отходов) для приготовления 4 кг вареной курятины (28% потери массы при варке).


8

Отходы при чистке картофеля, собранного в октябре, составляют 25% массы картофеля, а при его длительном хранении увеличиваются на 5% каждые 2 месяца. Какова масса сырого очищенного картофеля, полученного в декабре из 75 кг картофеля?

Для приготовления супа необходимы 10 кг свежих помидор. Зимой, ввиду их отсутствия, применяется томатное пюре. Сколько понадобится пюре, если по нормам взаимозаменяемости соотношение свежих помидор и томатного пюре – 1:0,46?


Определить массу брутто картофеля, необходимого для приготовления в апреле 1 кг чипсов (66% потери массы при тепловой обработке).


9

При приготовлении омлета с сыром потери массы составляют 8%. Рассчитайте массу выхода (готового продукта), зная, что масса полуфабриката равна108,7 граммов.


Какое количество кофе натурального растворимого потребуется для замены 200 г кофе натурального жареного, если по нормам взаимозаменяемости 1 кг жареного кофе соответствуют 0,35 кг растворимого кофе?


Определить массу выхода баклажанов, жаренных кружочками, если для приготовления блюда используется 10 кг баклажанов (масса брутто) и известно, что отходы при чистке составляют 5%, а потери массы при жарке – 26%.


10

При приготовлении запеканки из творога потери массы составляют 15% от массы полуфабриката. Сколько весит полуфабрикат, если масса выхода (готового продукта) равна 100 граммов?


Для ароматизации супа 1 кг свежего укропа может быть заменен на 0,76 кг быстрозамороженной зелени укропа. Зимой, ввиду отсутствия свежей зелени, применяют замороженную зелень. Какое количество замороженного укропа необходимо для замены 1,3 кг укропа


Определить массу брутто потрошеных кур первой категории (11,1% отходов) для приготовления 4 кг вареной курятины (28% потери массы при варке).






Практическая работа №10

«Расчёт калорийности блюда»

Цель работы: освоение умений рассчитывать калорийность блюд

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • Основные типы задач на проценты

уметь:

  • рассчитывать калорийность блюда


Краткие теоретические сведения


Существует три основных типа задач на проценты.

  1. Нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

  1. Нахождение числа по его проценту

Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то сколько процентов она составляет от числа.

  1. Сколько процентов одно число составляет от другого

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100 %.


Образец решения задач

Задание 100 граммов плавленого сыра «Кисломолочный» содержат 20,8 граммов белка, 20,2 граммов жира и имеют калорийность 265 ккал. Зная калорийность одного грамма белка, жира и углевода, рассчитайте процент углеводов в этом виде сыра.

Решение: обозначим процент углеводов в сыре – x. Так как калорийность одного грамма белка, жира и углевода равна соответственно 4 ккал, 9 ккал и 3,75 ккал, то составляем и решаем уравнение:


Значит, содержанием углеводов в данном виде сыра можно пренебречь.


Задания для самостоятельного решения

Практическая работа №10 «Расчёт калорийности блюда»

100 граммов сметаны содержат 2,7 граммов белка, 3,6 граммов углеводов и имеют калорийность 160 ккал. Зная калорийность одного грамма белка, жира и углевода, вычислите жирность сметаны (в процентах).


2

В 100 граммах кукурузного хлеба с сыром содержится 12,03 граммов белка, 2,53 грамма жира. Зная калорийность одного грамма белка, жира и углевода и калорийность 100 граммов этого вида хлеба (260,4 ккал), вычислите процент углеводов в нем.


3

Сухари «Ванильные» имеют энергетическую ценность 387,125 ккал и содержат 11,4% жиров, 66,7% углеводов. Зная калорийность одного грамма белка, жира и углевода, рассчитать процент белка в сухарях.


4

100 граммов сметаны содержат 2,7 граммов белка, 3,6 граммов углеводов и имеют калорийность 160 ккал. Зная калорийность одного грамма белка, жира и углевода, вычислите жирность сметаны (в процентах).


5

В 100 граммах кукурузного хлеба с сыром содержится 12,03 граммов белка, 2,53 грамма жира. Зная калорийность одного грамма белка, жира и углевода и калорийность 100 граммов этого вида хлеба (260,4 ккал), вычислите процент углеводов в нем.


6

Сухари «Ванильные» имеют энергетическую ценность 387,125 ккал и содержат 11,4% жиров, 66,7% углеводов. Зная калорийность одного грамма белка, жира и углевода, рассчитать процент белка в сухарях.


7

100 граммов сметаны содержат 2,7 граммов белка, 3,6 граммов углеводов и имеют калорийность 160 ккал. Зная калорийность одного грамма белка, жира и углевода, вычислите жирность сметаны (в процентах).


8

В 100 граммах кукурузного хлеба с сыром содержится 12,03 граммов белка, 2,53 грамма жира. Зная калорийность одного грамма белка, жира и углевода и калорийность 100 граммов этого вида хлеба (260,4 ккал), вычислите процент углеводов в нем.


9

Сухари «Ванильные» имеют энергетическую ценность 387,125 ккал и содержат 11,4% жиров, 66,7% углеводов. Зная калорийность одного грамма белка, жира и углевода, рассчитать процент белка в сухарях.


10

100 граммов сметаны содержат 2,7 граммов белка, 3,6 граммов углеводов и имеют калорийность 160 ккал. Зная калорийность одного грамма белка, жира и углевода, вычислите жирность сметаны (в процентах).





Литература

  1. Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2015.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)

  2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк. 2014.- 479с.: ил.

  3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2014.-495с

  4. Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 1. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2014.-304с., ил.

  5. Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2015.- 192с.: ил.

  6. Перетятко, Т.И. Основы калькуляции и учета в общественном питании: учебно-практическое пособие. – М.: Дашков и К°, 2012. – 232, с.










Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 23.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров229
Номер материала ДБ-381722
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх