Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

библиотека
материалов

Министерство образования и науки Самарской области

ГБОУ СПО «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»



СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ



ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ



hello_html_3ae3783b.jpg





ДИСЦИПЛИНА «МАТЕМАТИКА»

математический и общий естественнонаучный цикл



социально-экономический профиль



Специальность:

080109 Финансы



ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ



Самара, 2014 г.



ОДОБРЕНО

Предметной (цикловой)

методической комиссией

математики

Председатель ПЦМК

_________Н.Е. Афонина

____ ____________2014 г.







Составители:Афонина Надежда Евгеньевна, преподаватель математики ГБОУ СПО «Поволжский государственный колледж».

Рецензенты:

Левина Г.Г. , преподаватель математических дисциплин ГБОУ СПО «Поволжский государственный колледж».

Мезенева О.В., методист ГБОУ СПО «Поволжский государственный колледж».





Методические указания для студентов по практическим занятиямявляются частью основной профессиональной образовательной программы ГБОУ СПО «ПГК» по специальности 080109 «Финансы» в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения и рабочей программы по дисциплине.

Методические указания по выполнению практических занятий адресованы студентам очной (заочной) форм обучения.

Методические указания по каждому практическому занятию включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных в рабочей программе дисциплины, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практического занятия студентов, инструкцию по ихвыполнению, методику анализа полученных результатов, порядок выполнения и образец отчета о проделанной работе.



СОДЕРЖАНИЕ



Название практических занятий


Стр.

Практическое занятие № 1. «Вычисление определителя»

11

Практическое занятие № 2: «Отработка алгоритма вычисления обратной матрицы»

16

Практическое занятие № 3: «Решение систем линейных уравнений методами Крамера, обратной матрицы и Гаусса»

22

Практическое занятие № 4: «Решение задач на применение множеств и кругов Эйлера»

32

Практическое занятие № 5: «Решение вероятностных задач»

45

Практическое занятие № 6. «Решение статистических задач и обработка информации»

55

Практическое занятие № 7: «Вычисление пределов функции»

66

Практическое занятие № 8: «Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Асимптоты графика функции»

73

Практическое занятие № 9: «Исследование функции и построение графика»

81

Практическое занятие № 10: «Интегрирование по частям, тригонометрических функций, иррациональностей»

90




























Введение



УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!



Методические указания по дисциплине «МАТЕМАТИКА» по практическим занятиям созданы Вам в помощь для работы на занятиях, подготовки к практическим занятиям, правильного составления отчетов.

Приступая к выполнению заданий практического занятия, Вы должны внимательно прочитать его цель и задачи, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами третьего поколения или примерной программой дисциплины МАТЕМАТИКА, краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практического занятия, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

Все задания к практическому занятию Вы должны выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.

Отчет по практическому занятию Вы должны выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.

Наличие положительной оценки по практическим занятиям необходимо для получения допуска к экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическоеВы должны найти время для ее выполнения или пересдачи.



Внимание!Если в процессе подготовки к практическим занятиямили при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его кабинета.





Желаем Вам успехов!!!





Раздел 1 «ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ»

Темы 1.1. «МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ»

Практическое занятие №1

«Вычисление определителя»

Учебная цель: формировать умение вычислять определители 2-го, 3-го и n-го порядка.

Учебные задачи:

  1. Научиться вычислять определитель 2-го порядка;

  2. Научиться вычислять определитель 3-го порядка;

  3. Научиться определять определитель n-го порядка;

  4. Научиться применять свойства при вычислении определителей.



Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

- основные понятия линейной алгебры.

Задачи практического занятия №1

  1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

  2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

  3. Изучить методические рекомендации по выполнению работы.

  4. Выполнить задания на вычисление определителей.

  5. Оформить отчет.



Обеспеченность занятия (средства обучения):

  1. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб.пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.

  1. Тетрадь для практических занятий в клетку.

  2. Калькулятор: простой.

  3. Ручка.

  4. Карандаш.









Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

Определитель матрицы второго порядка называется число

.

Определитель матрицы третьего порядка называется число

.

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, который получается в результате вычёркивания в определителе n-го порядка строки и столбца, содержащих элемент .

Алгебраическим дополнениемэлемента называется его минор, умноженный на: .

Разложение определителя по элементам ряда. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.



или

.

Если в определителе все элементы ряда, кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению отличного от нуля элемента на его алгебраическое дополнение, т.е.

.

Правила Саррюса (правило треугольников)

Три слагаемых, входящих в сумму со знаком «плюс», находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других – произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла. (Получается два треугольника, вершинами которых являются перемножаемые элементы.) (рис. 1). 



hello_html_2bf7a316.jpg hello_html_m4fc5fdc1.jpg

Рис.1 Рис.2

Слагаемые, входящие в сумму со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали. (рис.2). 

Свойства определителей:

1. При замене каждой строки определителя столбцом с тем же самым номером значение определителя не изменяется.

2. Общий множитель всех элементов ряда определителя можно вынести за знак определителя.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

4. Определитель не изменяется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

5. Если каждый элемент какого-либо столбца определителя представлен в виде суммы двух слагаемых , то этот определитель равен сумме двух определителей, у которого k-й столбец первого определителя состоит из элементов , а k-й столбец второго – из элементов



Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию№1.

  1. Дайте определение определителя второго порядка.

  2. Дайте определение определителем третьего порядка.

  3. Запишите минор элемента определителя.

  4. Запишите формулу для вычисления алгебраического дополнения элемента определителя.

  5. Сформулируйте правило Саррюса.

  6. Сформулируйте свойства определителей.

  7. Перечислите способы вычисления определителя 4 порядка.







Задания для практического занятия №1

Задание 1. Вычислите определитель двумя способами: разложением по элементам i-той строки и i-того столбца и по определению.



Задание 2. Вычислите определитель тремя способами: разложением по элементам j-той строки и j-того столбца, по правилу Саррюса, используя свойства определителя.



Задание 3. Вычислитель определитель , используя свойства определителя.

Инструкция по выполнению заданий практического занятия №1

  1. Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

  2. Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.

  3. В приложении 1 выберите свой вариант и выполните задания 1-3.



Методика анализа результатов, полученных в ходе практического занятия


Преобразование определителей. Используя свойства определителя, можно значительно

упростить его вычисление. Например,



Вывод. В результате вычисления определителя разложением по элементам строки и столбца вы должны получить один и тот же ответ.



Порядок выполнения отчета по практическому занятию№1.

  1. В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.

  2. Перепишите текст задачи для конкретного варианта, подставив соответствующие значения .

  3. Разложите определитель по элементам i-той строки и вычислите определитель 2-го порядка.

  4. Разложите определитель по элементам i-того столбца и вычислите определитель 2-го порядка.

  5. Вычислите определитель второго порядка по определению.

  6. Сравните результаты.

  7. Вычислите определитель третьего порядка по правилу Саррюса.

  8. Разложите определитель по элементам j-той строки и вычислите определитель 3-го порядка.

  9. Разложите определитель по элементам j-того столбца и вычислите определитель 3-го порядка.

  10. Вычислите определитель 3-го порядка, используя свойства определителя.

  11. Сравните результаты.

  12. Вычислите определитель 4-го порядка, используя свойства определителя.



Образец отчета по практическому занятию

Практическое занятие №1 «Вычисление определителя»

Вариант 0.

Задание 1. Вычислите определитель двумя способами: разложением по элементам i-той строки и i-того столбца и по определению.

Решение.

Вычислим определитель разложением по элементам 2 строки:

Вычислим определитель разложением по элементам 2 столбца:



Вычислим определитель по определению:



Вывод. Во всех случаях определители равны 21.



Задание 2. Вычислите определитель тремя способами: разложением по элементам j-той строки и j-того столбца, по правилу Саррюса.

Решение.

Вычислим определитель разложением по элементам 1 строки:



=2·(2·1-3·(-2)) + 1·(7·1-3·3) + 4(7·(-2)-3·2) = -66.

Вычислим определитель разложением по элементам 1 столбца:



Вычислим определитель 3-го порядка по правилу Саррюса:




Вычислим определитель,используя свойства определителя.



Считаятретьюстрокуведущей, каждый элемент её умножим на -3 и сложим с соответствующимэлементом 2-ой строки. Затем каждый элемент 3-ей строки умножим на -4 и сложим с соответствующим элементом 1-ой строки. Получив в 3-ем столбце все нули, кроме одного, разложим определитель по элементам 3-го столбца .

Вывод.Во всех случаях определители равны -66.



Задание 3. Вычислите определитель ,используя свойства определителя.

Решение.

=





Считая первую строку ведущей, перепишем вторую строку без изменения. Сложим

каждый элемент первой строки с соответствующими элементами 3–ей строки.

Умножим каждый элемент первой строки на -3 и сложим с соответствующими элементами 4-ой строки. Разложим по элементам 4-го столбца. Получим определитель3-го порядка. Считая первую строку ведущей, перепишем вторую строку без изменения. Умножим элементы первой строки на -5 и сложим с соответствующими элементами 3-ей строки. Разложим определитель 3-го порядка по элементам 1-го столбца. Полученный определитель 2-го порядка, вычислим по определению.



Раздел 1 «ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ»

Темы 1.1. «МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ»

Практическое занятие №2

«Отработка алгоритма вычисления обратной матрицы»

Учебная цель: формировать умение вычислять обратную матрицу.

Учебные задачи:

Научиться находить обратную матрицу.



Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:



Студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

- основные понятия линейной алгебры.



Задачи практического занятия №2

  1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

  2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

  3. Изучить методические рекомендации по выполнению работы.

  4. Решить 3 задачи на нахождение обратной матрицы.

  5. Оформить отчет.



Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб.пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.

2.Рабочая тетрадь (тетрадь для практических занятий в клетку).

3.Калькулятор: простой.

4.Ручка.

5.Карандаш.



Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

.

Если число столбцов матрицы n равно числу её строк m, то матрицу называют квадратной матрицей порядка n:

Элементы квадратной матрицы порядка n образуют её главную диагональ, а элементы – побочную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю: .

Диагональная матрица называется единичной, если все её элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице: .

Матрица называется обратной для квадратной матрицы А, если .

Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель не равен нулю.



Алгоритм составления обратной матрицы:

  1. Вычислить определитель матрицы .

  2. Вычислить алгебраическое дополнение каждого элемента.

  3. Найти обратную матрицу по формуле , где - алгебраическое дополнение элемента матрицы А.



Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  1. Дайте определение матрицы.

  2. Дайте определение квадратной матрицы.

  3. Дайте определение главной диагонали.

  4. Что называется побочной диагональю.

  5. Дайте определение диагональной матрицы.

  6. Дайте определение единичной матрицы.

  7. Сформулируйте алгоритм нахождения обратной матрицы.



Задания для практического занятия №2

Задание 1-3. Дана матрица А.Найдите матрицу и выполните проверку.



Инструкция по выполнению заданий практического занятия №2

  1. Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

  2. Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.

  3. В приложении 2 выберите свой вариант и выполните задания 1-3.



Порядок выполнения отчета по практическому занятию №2

  1. В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.

  2. Перепишите текст задачи для конкретного варианта (приложение 2).

  3. Вычислите определитель матрицы.

  4. Найдите алгебраические дополнения для каждого элемента.

  5. Составьте обратную матрицу.

  6. Выполните проверку, доказав что произведение матриц = Е.

  7. Сделайте вывод о правильности нахождения обратной матрицы.

  8. Запишите ответ.









Образец отчета по практическому занятию

Практическое занятие №2

«Отработка алгоритма вычисления обратной матрицы»

Вариант 0.

Задание 1. Дана матрица .

Найдите матрицу и выполнить проверку.



Решение:

1.Вычислим определитель: .



2.Вычислим алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы А:







3.Обратная матрица будет иметь вид: .

Тогда обратная матрица имеет вид:

.

4.Выполним проверку:



5.Вывод. Матрица является обратной матрицеА, т.к. .



Ответ.

Задания 2,3 выполняются аналогично.





Раздел 1 «ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ»

Тема 1.2«МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Практическое занятие №3«Решение систем линейных уравнений методами Крамера, обратной матрицы и Гаусса»



Учебная цель: формировать умение решать системы линейных уравнений.

Учебные задачи:

  1. Научиться решать систему линейных уравнений по правилу Крамера;

  2. Научиться решать систему линейных уравнений методом обратной матрицы;

  3. Научиться решать систему линейных уравнений методом Гаусса.







Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

- основные понятия линейной алгебры.



Задачи практического занятия №3.

  1. Изучить теоретический материал по теме практического занятия.

  2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

  3. Изучить методические рекомендации по выполнению работы.

  4. Решить задачу на нахождение решения системы линейных уравнений тремя способами.

  5. Оформить отчет.



Обеспеченность занятия (средства обучения):



  1. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб.пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.

  1. Рабочая тетрадь (тетрадь для практических занятий в клетку).

  2. Калькулятор: простой.

  3. Ручка.

  4. Карандаш.



Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практической работы

Решением n- линейных уравнений с m- неизвестными называется упорядоченная совокупность , обращающая каждое уравнение системы

в верное равенство.

Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы не равен 0, имеет единственное решение, которое определяется следующими способами:



1. Метод Крамера.

Решение системы находится по формулам: , где

определитель матрицы системы; – дополнительный определитель, получаемый из определителя заменой -го столбца столбцом свободных членов.

2. Метод обратной матрицы.

Решение системы находится с помощь уравнения: , где – матрица, обратная матрице .

3. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

Данный метод решения системы линейных уравнений заключается в том, что нужно привести исходную систему к треугольному виду, т.е.



Затем последовательно находить каждую неизвестную.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

    1. перемена двух или нескольких уравнений местами;

    2. умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, отличное от нуля;

    3. прибавление к какому-либо уравнению системы другого уравнения, умноженного на число;

    4. удаление из системы уравнение вида .



Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию№3



  1. Определите условие, при котором система линейных уравнений имеет единственное решение.

  2. Определите сущность метод Крамера.

  3. Сформулируйте суть метода обратной матрицы.

  4. Определите сущность метода Гаусса.









Задание для практического занятия №3

Задание. Решите систему методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.



Инструкция по выполнению заданий практического занятия №3

  1. Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

  2. Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.

  3. В приложении 3 выберите свой вариант и выполните задание.



Порядок выполнения отчета по практическому занятию№3

  1. В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.

  2. Перепишите текст задачи для конкретного варианта.

  3. Вычислите определитель матрицы.

  4. Определите, сколько решений имеет система линейных уравнений.

  5. Вычислите определители , и .

  6. Решите систему линейных уравнений методом Крамера.

  7. Найдите (смотрите практическую работу №2).

  8. Решите систему линейных уравнений методом обратной матрицы, используя формулу .

  9. Приведите матрицу А к треугольному виду.

  10. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.

  11. Сравните результаты и сделайте вывод о совпадении решений системы линейных уравнений во всех трёх случаях.



Образец отчета по практическому занятию

Практическое занятие №3 «Решения систем линейных уравнений методами Крамера, обратной матрицы и Гаусса»

Вариант 0.

Задание. Решите систему методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.





Решение.

Вычислим определитель матрицы .

Так как определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение.

1) Метод Крамера: .





.

2) Метод обратной матрицы:











.

3) Метод Гаусса:







Вывод. Сравнивая результаты во всех трёх случаях, видим, что решения совпадают: .











Раздел 2 «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ»Тема 2.1«ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ»

Практическое занятие №4

«Решение задач на применение множеств и кругов Эйлера»

Учебная цель: формировать умение применять свойства множеств к решению задач.

Учебные задачи:

1.Научиться выполнять операции над множествами;

2.Уметь применять круги Эйлера к решению задач;

3.Применять основные тождества к упрощению выражений.



Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:



Студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

- понятие множества, отношения между множествами, операции над ними.



Задачи практического занятия № 4

1.Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.Решить задачи 1-5.

4.Оформить отчет.



Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.Учебно-методическая литература: Учебник: М.С. Спирина, П.А. Спирин. Дискретная математика. – М.: «Академия», 2007.

2.Справочная литература:

- Математика: Учебное пособие / Под ред. С.Г.Григорьев. – М.: Издательский центр «Академия» -М, 2007. – 382 с.

3. Тетрадь для практических занятий в клетку.

4.Калькулятор: простой.

5.Ручка.

6.Карандаш.



Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

Множество – совокупность объектов любой природы ,обладающих общим свойством.

Элементы множества – объекты, составляющие множество.

Множества обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C,… , а элементы множества – а, b, c, d,…

Множество называется заданным, если или перечислены все его элементы, или указано свойство, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству.

Конечное множество – множество, которое содержит конечное число элементов. Число элементов конечного множества называется мощностьюмножестваА и обозначается m(А).

В противном случае, множество называется бесконечным.

Пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента, и обозначается .

A и B называются равными, если все х, принадлежащие А, принадлежат В и все х, принадлежащие В, принадлежат А.

Множество В называется подмножеством множества А, если любые элементы х из множества В принадлежат множеству А: .

Существуют 3 способа задания множества: 1) Перечислением его элементов. Так

можно задать только конечные множества. Пример. А =

2) Описанием характеристических свойств, которыми обладают его элементы

Пример. А =- множество натуральных чисел, делящихся на 2.

3) Порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из уже имеющихся элементов либо другихобъектов.

В этом случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры.

Универсальным множествомUназывается множество всех элементов, которые

могут встретиться в данном исследовании.

Число элементов множества называется мощностью множества.

Мощность множества имеет обозначение m(A)

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение иаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами.

Название

операции

Обозначение

Изображение кругами Эйлера

Определение

Символическая запись

1. Пересечение множеств



Те и только те элементы, которые принадлежат одновременно Аи В


2. Объединение множеств



Те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Аи В


3. Разность множеств



Те и только те элементы множестваА, которые не принадлежатВ


4. Дополнение к множествуА



Те и только те элементы не принадлежат множествуА(т.е. дополняют его до универсального U)


5.Симметрическая разность



Те и только те элементы, которые принадлежат одному из множест: А либоВ, но не являются общими элементами


6. Декартовое произведение



Множество упорядоченных пар, где первый элемент принадлежит множествуА, а другой – В.




Если А, Вконечные множества, то

Основные тождества.

Для любых подмножествА, В, С иуниверсального множества U выполняются следующие тождества:







Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию №4

1. Дайте определение множества.

2. Что называется элементом множества, мощностью множества.

3. Перечислите виды множеств.

4. Дайте определение объединения множеств.

5. Дайте определение пересечения множеств.

7. Сформулируйте определение разности и симметрической разности множеств.

8. дайте определение дополнения множества А.

9. Что собой представляет текстовая задача?

10.Сущность диаграммы Эйлера-Венна.



Задания для практического занятия № 4

1. Доказать с помощью кругов Эйлера тождество.

2. Найти множества .

3. Записать множество, перечислив его элементы.

4. Перечислить элементы множества А.

5. Решить задачу.

Вариант

Задание 1

Задание 2

1



2



3



4



5



6



7



8



9



10







Вариант

Задание 3

1

Множество всех положительных чисел, кратных 9, которые меньше 80

2

Множество всех целых положительных чисел, меньших 63

3

Множество всех положительных простых чисел, меньших 30

4

Множество всех положительных чётных чисел

5

Множество всех отрицательных чётных чисел

6

Множество корней уравнения

7

Множество натуральных чисел, меньших 7

8

Множество чётных чисел, меньших 10

9

Множество нечётных чисел, больших 1

10

Множество целых чисел, делящихся на 2



Вариант

Задание 4

1


2


3


4


5


6


7


8


9


10




Задание 5.

Вариант 1. На специальность «Финансы» в одном из ВУЗов поступало 120 человек. Абитуриенты сдавали три экзамена: по математике, по физике и русскому языку. Математику сдали 60 человек, физику - 40. 30 абитуриентов сдали математику и физику, 30 - математику и русский язык, 25 –физику и русский язык. 20 человек сдали все три экзамена, а 50 человек - провалили. Сколько абитуриентов сдали русский язык?



Вариант 2.Каждый студент в группе изучает либо английский, либо французский язык, либо оба этих языка. Английский язык изучают 25 человек, французский — 27 человек, а тот и другой —18 человек. Сколько всего студентов в группе?



Вариант 3. Каждый из членов команды играет либо в футбол, либо в хоккей, либо в футбол и в хоккей. Сколько человек в команде, если известно, что 18 человек играют в обе игры, 23 человека играют в футбол, 21 – в хоккей?



Вариант 4. В лицее при некотором университете 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке – 8, 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?



Вариант 5.Среди прохожих провели опрос. Был задан вопрос: "Какое домашнее животное у Вас есть?". По результатам опроса выяснилось, что у 150 человек есть кошка, у 130 - собака, у 50 - птичка. У 60 человек есть кошка и собака, у 20 - кошка и птичка, у 30 - собака и птичка. У 70 человек вообще нет домашнего животного. У 10 человек есть и кошка, и собака, и птичка. Сколько прохожих приняли участие в опросе?



Вариант 6. В группе 36 студентов. Многие из них посещают кружки: физический (14 человек), математический (18 человек), химический (10 человек). Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка; из тех, кто посещает два кружка, 8 человек занимаются в математическом и физическом кружках, 5 — в математическом и химическом, 3 — в физическом и химическом. Сколько человек не посещают никаких кружков?

Вариант 7. В группе из 100 туристов 66 человек знают английский язык, 54 знают французский язык и 33 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе, не знают ни английского, ни французского языков?

Вариант 8. На олимпиаде по физике студентам предложили решить три задачи: одну по кинематике, одну по термодинамике, одну по оптике. Результаты олимпиады были следующие: задачу по кинематике решили 400 участников, по термодинамике - 350, по оптике - 300.  300 студентов решили задачи по кинематике и термодинамике, 200 - по кинематике и оптике, 150 - по термодинамике и оптике. 100  человек решили задачи по кинематике, термодинамике и оптике. Сколько студентов решило две задачи?

Вариант 9. В группе из 40 студентов 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы и только пятеро не умеют ни того, ни другого.

Сколько человек умеющих плавать и играть в шахматы?

Вариант 10. На олимпиаде по математике студентам предложили решить три задачи: одну по алгебре, одну по геометрии, одну по тригонометрии. В олимпиаде участвовало 1000 студентов. Результаты олимпиады были следующие: задачу по алгебре решили 800 участников, по геометрии - 700, по тригонометрии - 600.  600 студентов решили задачи по алгебре и геометрии, 500 - по алгебре и тригонометрии, 400 - по геометрии и тригонометрии. 300  человек решили задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии. Сколько студентов не решило ни одной задачи?



Инструкция по выполнению заданий практического занятия № 4

1. Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Выберите свой вариант и выполните задания 1-5.



Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 4

1. В тетради для практических занятий напишите название практического занятия и номер своего варианта.

2. В задании №1 с помощью кругов Эйлера представить левую и правую часть равенства, соблюдая порядок выполнения действий, сравнить полученные области.

3.В задании №2 на числовой прямой показать числовые промежутки. Используя определения операций над множествами, выбрать точки.

4.Используя характеристическое свойство,в задании №3 запишите множество, затем перечислите его элементы.

5.В задании № 4 перечислите элементы множества, заданного описанием характеристического свойства.

6.Внимательно прочитайте условие задачи. Введите обозначения. С помощью кругов Эйлера решите задачу.







Образец отчета по практическому занятию

Практическое занятие № 4

«Решение задач на применение множеств и кругов Эйлера»

Вариант 0

1. Доказать с помощью кругов Эйлера тождество .

Решение:



hello_html_m4fa4bdbf.pnghello_html_m30a13c74.png

Области более темного цвета совпадают.



2. Найдите множества, если

Решение:

Отметим точки на числовой прямой, соблюдая включаемость точек в множество.

hello_html_m699efc30.png

Применяя определения, получаем:

1) т.к. , то (выбираем те точки, которые не входят в объединение множествАи В);

2) (те точки, которые принадлежат обоим отрезкам);

3) (те точки, которые принадлежат либо множествуА, либо множеству С);

4) т.к. , тогда (точки множества исключают все точки

множества А);

5) (точки, которые принадлежат множествуС, но не принадлежат множеству В).

3. Запишите множество всех положительных чётных чисел, кратных 3, которые меньше 30 и перечислите элементы.

Решение:

Четные числа можно записать в виде . Эти числа будут положительными, если . Значит, множество запишется в виде:

Элементами являются числа: 6, 12, 18, 24.

4. Перечислите элементы множества.

Решение:

Необходимо найти такие целые числа, на которые 30 делится нацело из промежутка

Это числа: 2, 3, 5, 6, 10, 15.


5. В  группе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?



Решение:



hello_html_49622e37.jpg



М- множество студентов, пользующихся метро

А- множество студентов, пользующихся автобусом

Т- множество студентов, пользующихся троллейбусом

U- множество студентов группы

m(U) = 30

m(M) =20

m(А) = 15

m(Т) =23

m(М= 10

m (М= 12

m (Т= 9

m (М= ?

Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера.

Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта.

Тогда пользуются только метро и троллейбусом (10–х) человек, 

только автобусом и троллейбусом (9–х) человек, только метро и автобусом (12–х) человек.

Найдем, сколько человек пользуется одним только метро: 
20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.Аналогично получаем: (х – 6) ч. – только автобусом, (х + 4) ч. – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:
 
х + (12 – х) + (9 – х) + (10 – х) + (х + 4) + (х – 2) + (х – 6) = 30,
 
отсюда
 х = 3.





Раздел 3 «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»

Тема 3.1 «ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЙ»

Практическое занятие № 5

«Решение вероятностных задач»

Учебная цель: формировать умение использовать теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы Байеса и Бернулли.

Учебные задачи:

1.Использовать основные понятия комбинаторики;

2.Уметь применять теоремы вероятностей;

3. Использовать основные теоремы вероятностей при решении прикладных задач.



Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

  • решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

  • основные понятия комбинаторики;

  • основы теории вероятностей.



Задачи практического занятия №5:

1.Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.Решить задачи.

4.Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.Учебно-методическая литература:

Математика: Учебное пособие / Под ред. С.Г.Григорьев. – М.: Издательский центр «Академия» -М, 2007. – 382 с.

2.Справочная литература: Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математическая статистика – М.: Высшая школа, 2001.

Спирин П.А., Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Академия, 2005.

Богомолов Н.В.Практические занятия по математике.- М.: Издательский центр «Академия»-М.2008.- 495 с.

3. Тетрадь для практических занятий в клетку.

4.Калькулятор: простой.

5. Ручка.

6.Карандаш.









Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

В процессе решения задач внимание необходимо уделять следующим фактам:

Правило сложения. Если объект можно выбрать числом способов, объект можно выбрать числом способов, то выбор хотя бы одного из объектов можно осуществить числом способов, т.е. .

Правило умножения. Если объект можно выбрать числом способов, объект можно выбрать числом способов, то одновременный выбор объектов можно осуществить числом способов, при условии, что независимые объекты, т.е. .

Факториал: .

Размещениями без повторений из n элементов множества А по k элементов этого множества называются упорядоченные выборки без повторений, составленные из элементов множества А, имеющие один и тот же объём k: .

Перестановками без повторений из k элементов множества А по k элементов этого множества называются упорядоченные выборки без повторений, составленные из элементов множества А, имеющие один и тот же объём k: .

Сочетаниями без повторений из n элементов множества А по k элементов этого множества называются неупорядоченные выборки без повторений, составленные из элементов множества А, имеющие один и тот же объём k: .

Размещениями c повторениями из n элементов множества А по k элементов этого множества называются упорядоченные выборки с повторениями, составленные из элементов множества А, имеющие один и тот же объём k:

Перестановками с повторениями из k элементов множества А по k элементов этого множества называются упорядоченные выборки с повторениями, составленных из элементов множества А, имеющие один и тот же объём k: .

Сочетаниями с повторениями из n элементов множества А по k элементов этого множества называются неупорядоченные выборки с повторениями, составленных из элементов множества А, имеющие один и тот же объём k: .

Испытание – реализация некоторой совокупности одних и тех же условий.

Событие – результат испытания. Событие может произойти или не произойти в результате испытания.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

Случайным называют событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Событие , состоящее в не наступлении события в данной ситуации, называется событием, противоположным событию .

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий в данном испытании.

Произведением конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении каждого из событий в данном испытании.

Говорят, что событие влечёт событие в данном испытании, если как только произойдёт , так сразу произойдёт : .

Если наряду с тем, что и , то события и называются равносильными.

Разностью двух событий и называется событие, состоящее в наступлении события и не наступлении события .

События и называются несовместными в данном испытании, если наступление одного из них исключает наступление другого.

События образуют полную группу событий, если в результате испытания хотя бы одно обязательно наступает, т. е. сумма этих событий есть событие достоверное.

События , образующие полную группу событий, называются попарно несовместными, если произведение , где , есть событие невозможное.

События называются неопределяемыми или равновозможными, если нет основания считать какое-либо из них более возможным, чем другие.

В процессе решения задач внимание необходимо уделять следующим фактам:

Классической вероятностью событияА называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А к числу возможных исходов в данном испытании, образующих полную группу попарно несовместных, равновозможных, элементарных событий: ,

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Число n определяется исходя из испытания.

Число m определяется исходя из события.

Вероятность удовлетворяет условию .

Вероятность события , вычисленное в предположении, что событие произошло в данном испытании, называется условной вероятностью события . Обозначается –

Вероятность события , вычисленное в предположении, что может произойти с каждой из гипотез , где , называется полной вероятностью события .

составляют полную группу попарно несовместных событий.

Формула полной вероятности:

,

где .

Формула Байеса: .



Формулы Бернулли используется в случае выполнения всех условий схемы Бернулли:

1. проводиться конечная серия из испытаний;

2. в каждом испытании выделяются два исхода: событие и событие ;

3. вероятность события :, вероятность события : в каждом испытании.

Для правильного выбора формулы необходимо знать:

Формула Бернулли применяется при малых значениях n, при независимых повторных испытаниях.

В процессе решения задач внимание необходимо уделять следующим фактам:

Формула Бернулли: или где .



Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию№5

1. Дайте определение понятий «размещение», «перестановки» и «сочетание».

2. Перечислите условия, при которых используется формула размещения (перестановки, сочетания)

3. Дайте определения выборки без повторений и с повторениями.

4. Дайте определение события.

5. Дайте определение случайного, элементарного, достоверного и невозможного события.

6. Сформулируйте определение противоположных событий.

7. Дайте определение суммы и произведения двух или нескольких событий.

8. Какие события называются совместными (несовместными), равновозможными, равносильными?

9. Что называется разностью событий.

10. Что такое полная группа событий.

11. Приведите пример попарно несовместных событий.

12. Дайте классическое определение вероятности.

13.Дайте определение условной вероятности.

17. Запишите формулу полной вероятности.

18. Перечислите условия применения формулы Байеса.

19. Перечислите условия использования формулы Бернулли.



Задания для практического занятия № 5

Вариант 1.

1. На складе имеется 15 кинескопов, причём 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов три окажутся Львовского завода.

2. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?

3. Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 01. Для второго и третьего соответственно – 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку.

4. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеваниемК, 30% - с заболеванием L, 20% - с заболеваниемM. Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7; дляL и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеваниемK.

5.Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут: 
а) три элемента;
б) не менее четырех элементов;
в) хотя бы один элемент
.

Вариант 2.

1. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

2. Студент успел подготовить к экзаменам 20 вопросом из 25. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных вопросов студент знает не менее 2?

3. Для разрушения моста достаточно попаданий одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить 4 бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0,3; 0,4; 0,6; 0.7.

4. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадёт к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45.Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй

5.Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и  решки равновероятно. Найти вероятность того, что: а)герб выпадет три раза; б)герб выпадет один раз;в) герб выпадет не менее двух раз.



Вариант 3.

1. В записанном телефонном номере

135 – 3 . – .. три последние цифры стерлись. В предположении, что все комбинации трёх стёрших цифр равновероятны, найти вероятность того, что стёрлись различные цифры, отличные от 1, 3, 5.

2. В коробке имеются 30 лотерейных билетов, из которых 26 пустых (без выигрышей). Наугад вынимают одновременно 4 билета. Найдите вероятность того, что из 4 билетов 2 окажутся выигрышными.

3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе ни один из стрелков не попадёт в мишень.

4. В строй отряде 70% первокурсников и 30% студентов второго курса. Среди первокурсников 10% девушек, а среди студентов второго курса – 5% девушек. Все девушки по очереди дежурят на кухне. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день на кухне дежурит первокурсница.

5.Всхожесть семян данного растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) четыре; б) два; в) не менее четырех.

Вариант 4.

1. Из карточек разрезной азбуки составлено слово «статистика». Затем из этих 10 карточек по схеме случайного выбора без возвращения отобрано 5 карточек. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно составить слово «такси».

2. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется 2 белых шара.

3. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,2. Произведены 3 независимых измерения. Найдите вероятность того, что не более чем в одном

измерении допущенная ошибка превысит заданную точность.

4. Две перфораторщицы набивают на одинаковых и исправных перфораторах перфокарты. Более опытная из них обрабатывает в среднем 60% перфокарт, а менее опытная - 40%. Вероятность того, что опытная перфораторщица допустит ошибку при перфорировании одной перфокарты, равна 0,03, для менее опытной – 0,05. Взятая на контроль перфокарта оказалась с ошибкой. Какова вероятность того, что ошиблась более опытная перфораторщица.

5.В семье 5 детей. Найти вероятность того, что из них: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) больше двух мальчиков. Вероятность рождения мальчиков считать равной 0.51.

Инструкция по выполнению заданий практического занятия № 5

1.Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

2.Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.Выберите свой вариант и выполните задания 1- 4.





Порядок выполнения отчета по практическому занятию№5

1.В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.

2.Перепишите текст задачи для конкретного варианта.

3. Проверьте полученные результаты: вероятность события

Образец отчета по практическому занятию

Практическое занятие № 5

«Решение вероятностных задач»

Вариант 0.

1.Слово МАТЕМАТИКА составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Решение.

Испытание – вынимают карточки с буквами в случайном порядке без возврата.

Событие А – получилось слово МАТЕМАТИКА.

n: Сколькими способами можно составить слова из букв М, А, Т, Е, М, А, Т, И, К, А;

m: Сколькими способами можно составить слово МАТЕМАТИКА.

Используя формулы комбинаторики, получим:



.

Вероятность составить слово МАТЕМАТИКАравна

Ответ: .

2.В урне содержится 5 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется 2 белых шара.

Решение.

а) Испытание – вынимают 4 шара из 11.

Событие – среди вынутых шаров 2 белых.

n: Сколькими способами можно вынуть 4 шара из 11.

m: Сколькими способами можно вынуть 2 белых шара и 2 чёрных шара.

Используя формулы комбинаторики, получим:



.

Вероятность того, что среди четырёх вынутых шаров окажется 2 белых равна.

Ответ: .

3.В урне содержится 5 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется: а) меньше чем 2 белых шара;

б) хотя бы один белый шар.



Решение.

а) Испытание – вынимают 4 шара из 11.

Событие – среди вынутых шаров меньше чем 2 белых шара. Это событие состоит из двух несовместных событий:

среди вынутых шаров только 1 белый и 3 чёрных шара,

среди вынутых шаров нет ни одного белого и все 4 шара черные.

Так как события и несовместны, то .

n: Сколькими способами можно вынуть 4 шара из 11.

m: Сколькими способами можно вынуть 1 белый и 3 чёрных шара или 0 белых и 4 чёрных шара.

Используя формулы комбинаторики, получим:



.

Вероятность того, что среди четырёх вынутых шаров окажется меньше чем 2 белых равна.

Ответ: .

б) Испытание – вынимают 4 шара из 11.

Событие – среди вынутых шаров хотя бы один белый.

Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 чёрных (), 2 белых и 2 чёрных (), 3 белых и 1 чёрный (), 4 белых ().

Здесь событие определяется словами «хотя бы один» и прямое решение приводит к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем по формуле вычислить вероятность искомого события.

Рассмотрим противоположное событие – среди вынутых шаров нет ни одного белого. Значит все вынутые 4 шара чёрные.

n: Сколькими способами можно вынуть 4 шара из 11.

m: Сколькими способами можно вынуть 4 чёрных шара.

Используя формулы комбинаторики, получим:



, .

Вероятность того, что среди четырёх вынутых шаров нет ни одного белого равна. Ответ: .

4. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве 19, 6 и 11 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно 0,85, 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом–изготовителем.

Решение.

Испытание – выбирают электродвигатель и проверяют его работу во время гарантийного срока.

СобытиеА – электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока.

Гипотезы: монтёр возьмёт двигатель из продукции 1-го завода;

монтёр возьмёт двигатель из продукции 2-го завода;

монтёр возьмёт двигатель из продукции 3-го завода.

Из условия задачи определим вероятности:

Причём



По формуле Байеса найдём условные вероятности:



Итак, с вероятностью 0,566 можно утверждать, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен первым заводом-изготовителем; с вероятностью 0,160 – вторым; с вероятностью 0,274 – третьим.



Ответ: 0,566; 0,160; 0,274.

5.Вероятность того, что отремонтированный телевизор выдержит нормативную нагрузку, равна 0,9. Найти вероятность того, что из семи телевизоров, находящихся в ремонте, испытания выдержат:

а) ровно пять;

б) не менее пяти;

в) хотя бы один.

Решение.

а)Испытание – проверяют телевизоры на выдержку нормативной нагрузки.

Событие – выдержали испытание пять телевизоров из семи.

Проверим выполнимость условий схемы Бернулли:

1. проводится конечное число испытаний: n=7.

2. в каждом испытании 2 исхода: А- телевизор выдержал испытание,

телевизор не выдержал испытание.

3. в каждом испытании Р(А)=0,9, Р()=0,1.

Схема Бернулли выполняется.

В данном случае применима формула Бернулли (количество испытаний не велико, p и q не слишком малы).

.

Вывод. Вероятность того, что из семи телевизоров, находящихся в ремонте, испытание выдержат, не менее пять, равна 0,124.



б)Испытание – проверяют телевизоры на выдержку нормативной нагрузки.

Событие – выдержали испытание не менее пяти телевизоров из семи, т.е. либо 5, либо 6, либо 7.

Проверим выполнимость условий схемы Бернулли:

1. проводится конечное число испытаний: n=7.

2. в каждом испытании 2 исхода: А- телевизор выдержал испытание,

телевизор не выдержал испытание.

3. в каждом испытании Р(А)=0,9, Р()=0,1.

Схема Бернулли выполняется.

В данном случае применима формула Бернулли (количество испытаний не велико, p и q не слишком малы).

.

Вывод. Вероятность того, что из семи телевизоров, находящихся в ремонте, испытание выдержат, не менее пять, равна 0,974.

в)Испытание – проверяют телевизоры на выдержку нормативной нагрузки.

Событие – выдержал хотя бы один из семи, т.е. 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.

Проверим выполнимость условий схемы Бернулли:

1. проводится конечное число испытаний: n=7.

2. в каждом испытании 2 исхода: А- телевизор выдержал испытание,

телевизор не выдержал испытание.

3. в каждом испытании Р(А)=0,9, Р()=0,1.

Схема Бернулли выполняется.

В данном случае рассмотрим противоположное событие: ни один телевизор не выдержал нормативную нагрузку.

.

Тогда .

Вывод. Вероятность того, что из семи телевизоров, находящихся в ремонте, испытание выдержит хотя бы один, равна 0,9999999.


Раздел 3 «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»

Тема 3.2 «ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»

Практическое занятие № 6

«Решение статистических задач и обработка информации»

Учебная цель: вырабатывать умения в обработке информации.

Учебные задачи:

1.Вычислять числовые характеристики ДСВ.

2.Уметь составлять функцию распределения и строить её график.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

  • решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

-- основы математической статистики.

Задачи практического занятия №6:

1.Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.Решить задачи.

4.Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.Учебно-методическая литература:

Математика: Учебное пособие / Под ред. С.Г.Григорьев. – М.: Издательский центр «Академия» -М, 2007. – 382 с.

2.Справочная литература: Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математическая статистика – М.: Высшая школа, 2001.

Спирин П.А., Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Академия, 2005.

3.Рабочая тетрадь (тетрадь для практических занятий в клетку).

4.Калькулятор: простой.

5. Ручка.

6.Карандаш.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

Случайная величина называется дискретной, если множество значений её конечное или бесконечное, но счётное.

Функцией распределения случайной величины называется вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала : .

Ряд распределенияможно задать с помощь таблицы:











.

Схема построения функции распределения ДСВ:

1.нанести значения случайной величины на числовую прямую;

2.на каждом промежутке найти значения функции распределения , пользуясь определением;

3.записать вид функции распределения.

Математическое ожидание ДСВ: . (1.6)

Дисперсия ДСВ: или (2.6).

Среднее квадратическое отклонение ДСВ: (3.6).

Вероятность того, что случайная величина принимает значение в некотором интервале: .

Случайная величина, возможные значения которой заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал называется непрерывной случайной величиной.

Генеральная совокупность - совокупность всех возможных значений случайной величины Х.

Совокупность n возможных значений х: , полученных в результате n независимых опытов (наблюдений), называется выборкой, или статистическим рядом объёма n.

Различные значения случайной величины, содержащие в выборке, называются вариантами.

Система вариант , расположенных в порядке возрастания, называются вариационным рядом.

Частотой, называется отношение количества повторений i-той варианты () к объёму всей совокупности (n): .

Если на плоскости в прямоугольной системе построим точки () () и соединим их последовательно отрезками прямых, то получим ломаную линию, которая называется полигоном частот.

Интервальная таблица частот графически изображается гистограммой, которая представляет собой ступенчатую линию.



. 

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию№6



1. Дайте определение дискретной случайной величины.

2.Перечислите способы задания ДСВ.

3. Дайте определения функции распределения ДСВ.

4. Дайте определение ряда распределения ДСВ.

5. Дайте определение характеристикам ДСВ.



Задания для практического занятия №6.

1. Перепишите текст задачи, выбрав вариант.

2. Определите подходящие определения, формулы вычисления и выполните последние при помощи микрокалькулятора и таблиц.

3. Постройте требуемые графики.



1.По заданному ряду распределения случайной величины Х:

а) вычислите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратичное отклонение σ(Х);

б) найдите функцию распределения F(X);

в) построите график функции распределения.

1.

хi

1

2

3

4

pi

0,3

0,2

0,4

0,1

2.

хi

10

20

30

40

pi

0,1

0,2

0,4

0,3



3.

хi

3

4

7

10

pi

0,2

0,1

0,4

0,3

4.

хi

-2

1

3

10

pi

0,2

0,2

0,3

0,3

5.

хi

4

5

6

7

pi

0,6

0,2

0,1

0,1



6.

хi

-1

3

5

8

pi

0,1

0,2

0,5

0,2

7.

хi

6

8

10

12

pi

0,3

0,1

0,1

0,5

8.

хi

-4

-1

2

4

pi

0,4

0,2

0,1

0,3

9.

хi

2

5

9

11

pi

0,2

0,6

0,1

0,1

10.

хi

-3

1

5

6

pi

0,1

0,3

0,4

0,2



2. При изучении некоторой дискретной случайной величины в результате 40 независимых наблюдений получена выборка:

Требуется: а) составить вариационный ряд; б) составить таблицу частот; в) построить полигон.

1) 11, 13, 10, 9, 9, 13, 12, 6, 7, 9;

8, 9, 11, 9, 14, 13, 9, 8, 8, 7;

10, 10, 11, 11, 10, 12, 8, 7, 9, 10;

14, 13, 9, 8, 9, 10, 11, 13, 12, 12.



2) 12, 14, 18, 15, 14, 18, 13, 16, 17, 12,

20, 17, 15, 13, 17, 12, 20, 14, 14, 13,

17, 16, 15, 20, 16, 15, 12, 17, 15, 14,

16, 15, 15, 17, 15, 15, 19, 14, 13, 19.



3) 18, 15, 18, 15, 14, 18, 13, 13, 17, 12,

20, 17, 15, 16, 17, 12, 20, 14, 14, 13,

17, 16, 15, 20, 16, 15, 13, 17, 15, 14,

16, 15, 16, 17, 15, 15, 19, 14, 12, 19.



4) 28, 25, 28, 35, 24, 18, 23, 23, 27, 32,

26, 27, 15, 16, 17, 12, 20, 14, 14, 13,

17, 16, 15, 20, 16, 15, 13, 17, 15, 14,

16, 15, 16, 17, 15, 15, 19, 14, 12, 19.



5) 24, 25, 28, 25, 24, 18, 23, 23, 27, 32,

26, 27, 15, 16, 17, 12, 20, 14, 14, 13,

29, 26, 25, 20, 26, 15, 13, 17, 15, 14,

26, 15, 26, 17, 25, 25, 19, 24, 22, 29.



6) 34, 35, 38, 35, 34, 28, 23, 23, 27, 32,

26, 27, 15, 16, 27, 22, 20, 24, 24, 23,

29, 26, 25, 20, 26, 25, 23, 27, 25, 24,

36, 25, 26, 27, 35, 25, 29, 24, 22, 29.



7) 27, 25, 28, 35, 24, 28, 23, 23, 27, 32,

26, 27, 15, 26, 17, 22, 20, 24, 24, 23,

27, 16, 25, 20, 26, 15, 23, 27, 25, 24,

26, 25, 16, 27, 25, 15, 19, 14, 22, 19



8) 10, 13, 10, 9, 9, 13, 12,7, 7, 8;

8, 9, 11, 9, 14, 13, 9, 8, 8, 7;

10, 13, 11, 11, 10, 12, 8, 7, 9, 10;

12, 13, 9, 8, 9, 10, 11, 12, 12, 13.



9) 38, 35, 38, 25, 24, 28, 33, 33, 27, 42,

30,37, 25, 26, 27, 22, 30, 24, 34, 33,

37, 36, 25, 30, 26, 25, 33, 27, 35, 24,

26, 35, 26, 37, 35, 35, 29, 34, 32, 29.



10) 42, 44, 48, 45, 44, 48, 43, 46, 47, 42,

50, 47, 45, 43, 47, 42,50, 44, 44, 43,

47, 46, 45, 50, 46, 45, 42, 47, 45, 44,

46, 45, 45, 47, 45, 45, 49, 44, 43, 49.



Инструкция по выполнению заданий практического занятия №6

1.Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

2.Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.Выберите свой вариант и выполните задания 1,2.



Порядок выполнения отчета по практическому занятию №6.

1.В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.

2.Перепишите текст задачи для конкретного варианта.

3. В задании №1используя формулы 1,2,3 определите математическое ожиданиеМ(Х), дисперсию D(X), среднее квадратичное отклонение σ(Х).

4.Отметьте начисловой прямой значения случайной величины, найдите на каждом числовом промежутке значения F(x), а затем запишите функцию распределения.

5.Постройте графикF(x).

6.При выполнении задания №2 расположите варианты из выборки в возрастающем порядке, определите частоту каждой выборки.

7. Составьте таблицу частот.

8. Постройте полигон.



Образец отчета по практическому занятию

Практическое занятие № 6

«Решение статистических задач и обработка информации»

Вариант 0.

1. По заданному ряду распределения случайной величины Х:

а) вычислите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратичное отклонение σ(Х);

б) найдите функцию распределения F(X);

в) построите график функции распределения.

-1

1

2

4


0

0,2

0,15

0,65

Решение.

а) Математическое ожидание М(Х) определим по формуле .

.

Вычислим дисперсию по формуле

.



.

Среднее квадратичное отклонение вычислим по формуле σ(Х)=.

.

б) Отметим случайные величины на числовой прямой:

hello_html_m4870edb2.png

Рассмотрим каждый промежуток:

Запишем функцию распределения:



в) Построим график

hello_html_m3ba6c5db.png

2.При изучении некоторой дискретной случайной величины в результате 40 независимых наблюдений получена выборка:

10, 13, 10, 9, 9, 12, 12, 6, 7, 9;

8, 9, 11, 9, 14, 13, 9, 8, 8, 7;

10, 10, 11, 11, 11, 12, 8, 7, 9, 10;

14, 13, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 12, 12.

Требуется: а) составить вариационный ряд; б) составить таблицу частот; в) построить полигон.

Решение: а) Выбирая различные варианты из выборки и располагая их в возрастающем порядке, получим вариационный ряд: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

б) Для нахождения частот предварительно подсчитаем для каждой варианты соответствующие кратности :1, 3, 6, 8, 6, 6, 5, 3, 2.

Таблица частот

6

7

8

9

10

11

12

13

14













в) Полигон изображён на рисунке.









Раздел 4 «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА»

Раздел 4.1«ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»



Практическое занятие №7

«Вычисление пределов функции»

Учебная цель: формировать умение вычислять пределы.

Учебные задачи:

1. Научиться вычислять пределы различных функций.

2. Научиться применять основные теоремы и следствия из них для вычисления пределов суммы, произведения конечного числа функций, частного двух функций.

3. Научиться применять теоремы о первом и втором замечательных пределах при вычислении пределов функций.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:



Студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

  • основные понятия и методы математического анализа.



Задачи практического занятия№7.

1.Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.Решить задачи на вычисление пределов различных функций.

4.Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.

2. Тетрадь для практических занятий.

3. Калькулятор.

4. Ручка.

5.Карандаш.



Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

Определение. ЧислоА называется пределом функции в точке и обозначается , если для любого числа существует число такое, что для

всех , удовлетворяющих условию , где , выполняется неравенство .

При вычислении пределов функций применяются следующие теоремы:

1. Если существуют пределы функций ипри, то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов этих функций:

(1.7).

2.Если существуют пределы функций ипри, то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов этих функций:

(2.7)

3.Если существуют пределы функций ипри, предел функции отличен от нуля, то существует также и предел отношения , равный отношению пределов этих функций:

(3.7)

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

(4.7)

Следствие2. Если - натуральное число, то справедливы соотношения:

и (5.7)

Следствие3.Предел многочлена (целой рациональной функции) при равен значению этого многочлена при , т.е.

(6.7)

Следствие 4.Предел дробно-рациональной функции при равен значению этой функции при , если принадлежит области определения этой функции, т.е.

(7.7).

Первым замечательным пределом называется предел функции в точке,т.е.

(8.7).

Числом е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности

(9.7)

, т.е. число е - иррациональное число.

Функция при и при (где в отличие от натурального числа «пробегает» все значения числовой оси – не только целые) имеет предел, равный :

(10.7)

Полагая ,находим : при Получается еще одна запись второго замечательного предела: (11.7)

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию №7:

1. Дайте определение предела функции.

2. Перечислите теоремы, на которых основано вычисление пределов функции.

3. Перечислите следствия из теорем, на которых основано вычисление пределов функции.

4. Сформулируйте первый замечательный предел.

5. Сформулируйте второй замечательный предел.



Задания для практического занятия №7

Найдите пределы: Вариант№1.

1.


8.


2.


9.


3.


10.


4.


11.


5.


12.


6.


13.


7.


14.




Вариант №2.

Найдите пределы:

1.


8.


2.


9.


3.


10.


4.


11.


5.


12.


6.


13.


7.


14.






Вариант № 3.

Найдите пределы:

1.


8.


2.


9.


3.


10.


4.


11.


5.


12.


6.


13.


7.


14.








Вариант № 4.

Найдите пределы:

1.


8.


2.


9.


3.


10.


4.


11.


5.


12.


6.


13.


7.


14.




Инструкция по выполнению практического занятия №7

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия) и выполните задание.

4. Внимательно прочитайте условие задачи. Определите, какое правило для вычисления данного предела необходимо использовать.

5. При выполнении первого задания используйте правило вычисления предела многочлена (6.7).

6. Для выполнения второго задания нужно использовать правило нахождения предела дробно-рациональной функции в точке (7.7), принадлежащей области определения функции.

7. При выполнении третьего задания используйте связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами (если - величина бесконечно большая, то обратная ей величина является бесконечно малой) и определение предела бесконечно малой величины (предел бесконечно малой величины равен нулю).

8. Для выполнения четвертого, пятого и шестого заданий воспользуйтесь правилом раскрытия неопределенностей вида (необходимо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в знаменатель степень ) и связью между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.

9. В заданиях семь, восемь и девять функции представляют собой дробь, пределы числителя и знаменателя которых равны нулю. Чтобы раскрыть неопределенность

вида , необходимо числитель (а в восьмом примере и знаменатель) разложить на множители.

10. Чтобы раскрыть неопределенность вида в десятом задании, следует избавиться от иррациональности в числителе или знаменателе. Для этого умножьте и числитель, и знаменатель на сопряженное выражение (например, для сопряженным будет выражение . Затем преобразуйте выражение и перейдите к пределу.

11. В задании одиннадцать имеем неопределенность вида . Необходимо привести дроби к общему знаменателю, произвести заданное действие и сократить на общий множитель числитель и знаменатель. Вычислить предел преобразованного выражения.

12. При выполнении двенадцатого задания неопределенность вида раскрывается с использованием второго замечательного предела (9.7),(10.7),(11.7)

13. В задании тринадцать преобразуйте функцию, предел которой необходимо вычислить, и приведите ее к виду . Затем перейдите к пределу, используя первый замечательный предел (8.7) и теоремы о пределах.

14. Проверьте правильность решения заданий.

15. Убедившись, что задания решены правильно на черновике, аккуратно спишите их в чистовик.



Порядок выполнения отчета по практическому занятию №7

1.В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.

2. Перепишите текст задачи для конкретного варианта.

3.Далее записывайте номер задания, перепишите текст задания.

4.С новой строчки запишите решение и ответ.





Образец отчета по практическому занятию

Практическое занятие № 7

«Вычисление пределов функции»

Вариант 0.

Вычислить пределы:

1. .

Решение.

По правилу нахождения предела многочлена находим:

.

Ответ: 13.

2. .

Решение.

Т.к. признаменатель дроби отличен от нуля, то по правилу нахождения предела дробно-рациональной функции получим:



Ответ: -3

3.

Решение.

Признаменатель неограниченно растет, т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная величина - бесконечно малой. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину есть величина бесконечно малая и ее предел при равен нулю.



Ответ:0

4.

Решение.

При числитель и знаменатель - величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном применение теоремы о пределе частного получаем выражение , которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на

(прии – величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).

Ответ:

5. .

Решение.

Пределы числителя и знаменателя при равны 0. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, т.к. получается отношение двух бесконечно малых величин (неопределенность ).

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю:



Ответ:

6.

Решение.

Приданная функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин . Умножив и разделив функцию на выражение , получим

Ответ: 2

7. .

Решение.

Раскроем неопределенность . Для этого приведем выражение к общему знаменателю.



Ответ:



8. .

Решение.

Раскроем неопределенность . Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное с числителем :



Ответ:1

9..

Решение.

Выполним преобразования и используем формулу (второй замечательный предел):



Ответ:

10.

Решение.

Имеем неопределенность . Преобразуем выражение и используем формулу (первый замечательный предел):

.

Ответ: 2

12.hello_html_m54434dd1.gif.

Решение.

Имеем неопределенность вида hello_html_m28bbd449.gif. Для раскрытия этой неопределенности преобразуем функцию так, чтобы можно было воспользоваться вторым замечательным пределом.

hello_html_1103957e.gif.

Введем новую переменную. Пусть hello_html_6412f433.gif, тогда hello_html_mb28ba1b.gif, при hello_html_m54fba3b8.gif, hello_html_m7f4ac639.gif. Следовательно:

hello_html_54944dd6.gif

hello_html_m613292f6.gif.

Ответ:.





Раздел 4 «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА»

Раздел 4.1«ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»



Практическое занятие №8

«Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Асимптоты графика функции»

Учебная цель: формировать умение исследовать графики функций на выпуклость и вогнутость, находить асимптоты графиков функций.

Учебные задачи:

1.Научиться находить промежутки выпуклости графиков функций, определять направление выпуклости кривых.

2.Научиться находить точки перегиба.

3.Научиться находить асимптоты графика функции.



Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

  • основные понятия и методы математического анализа.



Задачи практического занятия №8

1.Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.Решить задачи на нахождение интервалов выпуклости и определения направления выпуклости графика функции, на нахождение точек перегиба графика функции, на нахождение асимптот графика функции.

4.Оформить отчет.



Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.

2. Тетрадь для выполнения практических занятий.

3. Калькулятор.

5. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

Кривая называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной.

Теорема. Если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика.

Точками перегиба могут служить только критические точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Необходимое условие перегиба. Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, т.е. .

Достаточное условие перегиба. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет знак, то есть точка перегиба ее графика.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

График функции при имеет вертикальную асимптоту, если . Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид (1.8).

График функции при имеет горизонтальную асимптоту, если . Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид (2.8).

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где

и (3.8)

Если при вычислении предела , то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной.



Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию №8

1. Дайте определение кривой выпуклой вверх и вниз.

2. Сформулируйте определение точки перегиба.

3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие перегиба.

4. Дайте определение асимптоты графика функции.

5. Перечислите виды асимптот.

6. Напишите формулы для нахождения вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.

Задания для практического занятия №8

Задание №1. Найти интервалы выпуклости графика функции и определить направление выпуклости.

Задание №2.Найти точки перегиба графика функции.

Задание №3. Найти асимптоты графика функции.

варианта

Задание1.

Задание2.

Задание3.

1.





2.





3.





4.





5.





6.







Инструкция по выполнению практического занятия №8

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3. В таблице (задания для практического занятия) выберите свой вариант и выполните задания.

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения, теоремы и формулы вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. При выполнении первого задания используйте теорему о связи между знаком второй производной и видом выпуклости графика функции . Выполните данное задание по алгоритму:

а) найдите область определения функции;

б) найдите первую производную заданной функции ;

в) найдите вторую производную заданной функции (производную от первой производной функции - );

г) решите уравнение =0 (найдите критические точки второго рода);

д) определите знак второй производной в каждом из интервалов, на которые делят область определения функции критические точки;

е) запишите интервалы и направления выпуклости графика исследуемой функции.

6. Для выполнения второго задания нужно воспользоваться определением понятия «критическая точка функции». Задание выполняется по алгоритму, данному в предыдущем пункте (пункты а-д).

7. При выполнении третьего задания используйте определение асимптоты графика функции и условия существования вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.

Вертикальные асимптоты кривой следует искать там, где знаменатель функции обращается в нуль (в точке разрыва).

Для нахождения горизонтальной и наклонной асимптот используйте формулы из краткого теоретического материала по теме практической работы.

8. Проверьте правильность решения заданий.

9. Убедившись, что задания решены правильно на черновике, аккуратно спишите их в чистовик.

Порядок выполнения отчета по практическому занятию №8

1.В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.

2.Перепишите текст задачи для конкретного варианта.

3.Далее должно быть заглавие «Задание 1».Под заглавием записывается условие задачи, решение и ответ.

4.Далее должно быть заглавие «Задание 2». Под заглавием записывается условие задачи, решение и ответ.

5.Далее должно быть заглавие «Задание 3». Под заглавием записывается условие задачи, решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию)

Образец отчета по практическому занятию

Практическое занятие № 8

«Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Асимптоты графика функции»

Вариант 0.

1. Исследовать на выпуклость график функции .

Решение.

Данная функция определена на всей числовой прямой. Находим первую и вторую производные данной функции:

, .

Находим критические точки второго рода. Для этого приравняем вторую производную к нулю: , или





, .

Методом пробных точек определяем знак второй производной в каждом из интервалов: .





+

-

+








На и график функции обращен выпуклостью вниз, на график функции обращен выпуклостью вверх.

Ответ:На график имеет выпуклость вниз, на график имеет выпуклость вверх.





2. Найдем точку перегиба графика функции .

Решение.

Данная функция определена на всей числовой прямой. Находим первую и вторую производные данной функции:

, .

, - критическая точка второго рода.

Методом пробных точек определяем знак производной на каждом из интервалов




-

+






В точке с абсциссой вторая производная функции меняет знак.

, следовательно, точка является точкой перегиба графика данной функции, причем на функция обращена выпуклостью вверх, а на - выпуклостью вниз.

Ответ: .

3. Найдем асимптоты графика функции .

Данная функция определена на. Точка, следовательно, функция имеет в этой точке разрыв.

а) Найдем вертикальную асимптоту: , следовательно - вертикальная асимптота.

б)Найдем наклонную асимптоту : ,



- наклонная асимптота.

в)Найдём горизонтальную асимптоту: .

Следовательно, горизонтальной асимптоты нет.

Ответ:- вертикальная асимптота, -горизонтальная асимптота..





Раздел 4 «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА»

Раздел 4.1«ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»



Практическое занятие № 9

«Исследование функции и построение графика»

Учебная цель: формировать умение исследовать функцию.

Учебные задачи:

1. Научиться исследовать функцию с помощью производной первого и второго порядков;

2. Научиться строить график функции.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

- основные понятия и методы математического анализа;



Задачи практического занятия №9

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Изучить методические рекомендации по выполнению работы.

4. Исследовать функцию с помощью производной первого и второго порядков.

5. Оформить отчет.



Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2010. – 575 с.

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб.пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.

2.Тетрадь для практических занятий в клетку.

3. Калькулятор: простой.

4. Ручка.

5. Карандаш: простой.

6. Чертёжные материалы: линейка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

Под областью определения функции понимается множество всех значений аргумента, при которых функция определена, то есть может быть вычислена, D(f).

Функция f называется чётной, если для любого х из её области определения . Функция f называется нечётной, если для любого х из её области определения .

Асимптотойкривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.

Вертикальные асимптоты. График функции при имеет вертикальную асимптоту, если . Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид .

Горизонтальные асимптоты. График функции приимеет горизонтальную асимптоту, если . Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид .

Наклонные асимптоты. Пусть график функции имеет наклонную асимптоту :

Точка из области определения, в которой производная равна 0 или не существует называется критической точкой.

Если , то функция возрастает на промежутке. Если , то функция убывает на промежутке.

Если при переходе через точку производная меняет знак с «+» на (-), то она является точкой максимума функции. Если при переходе через точку производная меняет знак с «-» на (+), то она является точкой минимума функции.

Точки минимума и максимума называются точками экстремума:

Значение функции в точке максимума называется максимумом функции: . Значение функции в точке минимума называется минимумом функции:.

Значение функции в точках экстремума называется экстремумом функции.

Кривая называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка. Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Теорема. Если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика.

Схема исследования функции.

1. Область определения функции.

2. Чётность, нечётность функции.

3. Точки пересечения с осями координат.

4. Асимптоты.

5. Промежутки возрастания и убывания. Экстремумы.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.

7. График.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию №9

1. Дайте определение областью определения.

2.Сформулируйте понятие чётной и нечётной функции.

3.Дайте определение асимптоты графика функции.

4. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции.

5. Определение промежутков монотонности.

6. Дайте определение точки экстремума.

7. Сформулируйте определение экстремума функции.

8.Определение интервалов выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции.



Задание для практического занятия №9

Задание. Исследуйте функцию и постройте график.

варианта

Функция

1.


2.


3.


4.


5.


6.
























Инструкция по выполнению заданий практического занятия №9

1. Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. В таблице выберите свой вариант и выполните задание.

4.При нахождении области определения функции следует обращать внимание на выражения содержащие дроби, так как, знаменатель дроби не может обращаться в нуль.

5.Обратите внимание на то,чтографик чётной функции симметричен относительно оси ординат ,а график нечётной функциифункции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия). Если функция ни чётная, ни нечётная, то говорят, что функция имеет график общего положения.

6.При нахожденииабсциссы точки пересечения графика функциис осью OXрешите уравнение . Ордината пересечение с осью OYищется подстановкой полученного х в выражение функции . Если пересечение с осью OXнайти не удаётся, то обходятся без него. Для нахождения пересечения с осью OYв функцию подставляют х= 0.

7. Вертикальные асимптоты ищутся по точкам разрыва второго рода. Если в точке функция терпит бесконечный разрыв, то вертикальная прямая является вертикальной асимптотой.

График функции имеет наклонную асимптоту при, если существуют конечные пределы , и её уравнение имеет вид у = кх+в.

Если хотя бы один из двух пределов не существует (или бесконечен), то соответствующей наклонной асимптоты нет.

Если и существует конечный предел , то асимптота является горизонтальной и её уравнение .

Если есть горизонтальная асимптота, то нет наклонной, и наоборот.



8. Для определения промежутков монотонности функции, найдите первую производную. Затем определите критические точки, приравняв производную к нулю. Разбейте критическими точками область определения на промежутки, в каждом определите знак производной и сделайте вывод о монотонности функции.

9. Для определения выпуклости кривой и точек перегиба найдите вторую производную.Затем определите критические точки, приравняв вторую производную к нулю. Разбейте критическими точками область определения на промежутки, в каждом определите знак второй производной и сделайте о выпуклости графика функции и точках перегиба.

10. На основании проведённого исследования построите график. Если необходимо вычисляем значение функции в некоторых промежуточных точках.



Порядок выполнения отчета по практическому занятию

  1. В тетради для практических работ напишите название и номер практического занятия

  2. Запишите номер соответствующего варианта.

3. Перепишите функцию для конкретного варианта.

4. Проведите исследование функции по схеме.

5. Постройте график данной функции.



Образец отчета по практическому занятию

Практическое занятие №9

«Исследование функции и построение графика»

Вариант 0.



Задание. Исследуйте функцию и постройте график.

Решение.

1. Область определения функции.





2. Чётность, нечётность функции.

функция не является чётной.

функция не является нечётной.

График функции не симметричен ни относительно начала координат, ни оси OY.



3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Ох: .



График пересекается с осью Ох в точке .

Пересечение с осью Оу: х=0.

.

График не пересекается с осью Оу , т.к.



4. Асимптоты.

. Значит, - вертикальная асимптота.

. Горизонтальной асимптоты нет.

.

.

Значит, наклонная асимптота.



5. Промежутки возрастания и промежутки убывания. Экстремумы.

.

.

.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю.





.



6. Промежутки выпуклости. Точки перегиба.



.

Дробь отлична от нуля, т.к.





Точек перегиба нет.



7. График.









Раздел 4 «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА»

Раздел 4.2«ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»



Практическое занятие № 10

«Интегрирование по частям, тригонометрических функций, иррациональностей»

Учебная цель: формировать умение находить интегралы различных функций.

Учебные задачи:

1.Научиться находить интегралы методом интегрирования по частям.

2.Научиться находить интегралы тригонометрических функций, используя тригонометрические формулы и путем введения новой переменной (метод подстановки).

3.Научиться интегрировать некоторые иррациональные функции.



Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

  • решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

  • основные понятия и методы математического анализа.



Задачи практического занятия №10

1.Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.Решить задачи на нахождение интегралов методом введения новой переменной, методом интегрирования по частям.

4.Выполнить интегрирование тригонометрических функций.

5. Выполнить интегрирование некоторых иррациональных функций.

6.Оформить отчет.



Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.

- Таблица неопределенных интегралов.

2. Тетрадь для практического занятия в клетку.

3. Калькулятор.

4. Ручка.







Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

1. Если , - дифференцируемые функции от, то из формулы для дифференциала произведения двух функций



получается формула интегрирования по частям

.

Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функций.

В качестве обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве - оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая , из которых можно определить путем интегрирования.

2. Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда. В этих случаях одним из эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Этот метод описывается следующей формулой:

.

3. Интегрирование тригонометрических функций.

1). Интегрирование вида , ,

находятся с помощью тригонометрических формул:

;

;

.

2) Интегралы вида , где и - четные числа, находятся с помощью формул: ;.

Если хотя бы одно из чисел и - нечетное, то интеграл находим непосредственно, отделяя от нечетной степени один множитель и вводя новую переменную. Например, если,то .

3) Интегралы вида

где - рациональная функция от и , приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки , при этом , , .

Если , то целесообразно применять подстановку , при этом;, .

4. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

Простейшие интегралы от функций, содержащих иррациональности, являются табличными, либо сводятся к ним с использованием свойств интеграла и замены переменной. В более сложных случаях основной подход состоит в сведении искомого интеграла к интегралу от рациональной функции с помощью подходящей замены переменной (так называемой рационализации интеграла).

Интегралы вида , (где рациональная функция) находится с помощью подстановок соответственно , , .

Интеграл вида реализуется с помощью замены .

Интегралы вида , где реализуются с помощью подстановки .



Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию №10

1. Опишите метод замены переменных при отыскании неопределенного интеграла.

2. Выпишите формулу интегрирования по частям.

3. Опишите принцип разбиения подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя ( и) при применении формулы интегрирования по частям.

4. Опишите виды подстановок, используемых при интегрировании тригонометрических функций.

5. Перечислите основные приемы, используемые при интегрировании некоторых иррациональных функций.



Задания для практического занятия №10

Вариант №1.

1. Найдите интегралы методом замены переменной (метод подстановки):

а) ; б) .

2. Найдите интегралы методом интегрирования по частям:

а) ; б) .

3. Найдите интегралы следующих тригонометрических функций:

а) ; б) .

4. Найдите интегралы следующих иррациональных функций:

а) ; б) .



Вариант №2.

1. Найдите интегралы методом замены переменной (метод подстановки):

а) ; б) .

2. Найдите интегралы методом интегрирования по частям:

а) ; б) .

3. Найдите интегралы следующих тригонометрических функций:

а) ; б) .

4. Найдите интегралы следующих иррациональных функций:

а) ; б) .



Вариант №3.

1. Найдите интегралы методом замены переменной (метод подстановки):

а) ; б) .

2. Найдите интегралы методом интегрирования по частям:

а); б).

3. Найдите интегралы следующих тригонометрических функций:

а) ; б).

4. Найдите интегралы следующих иррациональных функций:

а) ; б) .



Вариант №4.

1. Найдите интегралы методом замены переменной (метод подстановки):

а) ; б) .

2. Найдите интегралы методом интегрирования по частям:

а) ; б) .

3. Найдите интегралы следующих тригонометрических функций:

а) ; б).

4. Найдите интегралы следующих иррациональных функций:

а); б) .





Инструкция по выполнению практического занятия №10

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте каждое задание. Определите, к какому виду относятся данные интегралы.

5. В первом задании интегралы находите методом подстановки. В заданиях под буквами а) и б) замените функции в скобках.

6. Для выполнения второго задания нужно использовать метод интегрирования по частям. В задании под буквой а) за лучше взять тригонометрическую функцию, в задании б) – показательную функцию.

7. При выполнении третьего задания обратитесь к кратким теоретическим и учебно-методическим материалам по теме практической работы и определите к какому виду относится заданный интеграл и выберете метод его вычисления.

8. При выполнении четвертого задания обратитесь к кратким теоретическим и учебно-методическим материалам по теме практической работы и определите к какому виду относится заданный интеграл и выберете метод его вычисления.

9. Проверьте правильность решения заданий.

10. Убедившись, что задания решены правильно на черновике, аккуратно спишите их в чистовик.



Порядок выполнения отчета по практическому занятию №10

1. В тетради для практических работ напишите название и номер практического занятия

2.Запишите номер соответствующего варианта.

3.Далее записывайте номер задания, перепишите текст задания.

4.С новой строчки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию).









Образец отчета по практическому занятию

Практическое занятие №10

«Интегрирование по частям, тригонометрических функций, иррациональностей»

1.Найти интегралы методом замены переменной:

а) .

Решение. Пусть , тогда и .



Ответ:

2. Найти интегралы по формуле интегрирования по частям:

а) .

Решение. Пусть , тогда .



Ответ: .

б) .

Решение. Пусть , тогда .



Ответ: .











3. Найти интегралы следующих тригонометрических функций:

а) .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение с помощью формулы : , тогда

Ответ:

б) .

Решение. Здесь . Преобразуя подынтегральную функцию с помощью соответствующих формул, находим



Ответ:

в) .

Решение. В данном случае . Получаем

Ответ:







4. Найти интегралы:

а) .

Решение. Вычислим данный интеграл, используя метод подстановки.

Применим подстановку , откуда и .



Ответ:

б) .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение: выделим полный квадрат в знаменателе: .

Применим подстановку , тогда и .



Ответ:



















Приложение 1.



варианта






1

-1

4

2

2

1

2

3

0

3

1

2

3

2

1

-2

1

3

4

1

0

4

2

1

5

1

-3

1

1

2

6

2

4

3

2

3

7

4

3

4

2

1

8

-3

2

1

1

2

9

2

2

3

1

3

10

2

-1

0

2

1

11

4

1

-2

1

2

12

2

4

-3

2

3

13

0

3

3

2

1

14

0

2

3

1

2

15

1

6

0

1

3

16

1

-4

-2

2

1

17

0

1

3

1

2

18

2

-1

2

1

3

19

1

1

4

2

1

20

-1

3

1

1

2

21

2

2

-3

1

3

22

0

3

-1

2

1

23

3

2

1

1

2

24

2

-3

3

1

3

25

2

4

1

2

1

26

3

1

-2

1

2

27

2

2

-3

1

3

28

0

-1

2

2

1

29

1

2

3

1

2

30

1

-3

2

2

3









































Список источников и литературы,

используемых при подготовке методических указаний



1. Андронов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика / Е.А. Копытов, Л.Я. Гринглаз. – СПб.: Питер, 2008. – 461 с.

2. Гончаров Г.А., Мочалин А.А. Элементы дискретной математики: М.: ФОРУМ – ИНФРА-М, 2010. – 128 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2010. – 479 с.

4. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики: Учеб.пособие для вузов. М.: Астрель,2009. – 656 с.

5. Миронова Н.П. Теория вероятностей и математическая статистика. – Ростов н/Д.: Феникс, 2008. – 212 с.

6. Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика / М.С. Спирина. – М.: Академия, 2009. – 352 с.

7. Спирин П.А., Спирина М.С. Дискретная математика. М.: Академия, 2010, учебное пособие по теории вероятностей и математическая статистика. – 368 с.

8. Практические занятия по математике. Учебное пособие для средних проф. учеб.заведений/Н.В. Богомолов. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.

9. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: Инфра-М, 2010. – 575 с.



Афонина Надежда Евгеньевна







Преподаватель математических дисциплин







ГБОУ СПО «Поволжский государственный колледж»



СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ



ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ



ДИСЦИПЛИНА «МАТЕМАТИКА»

математический и общий естественнонаучный цикл



социально-экономический профиль



Специальность:

080109 Финансы



ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ






Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 15.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров760
Номер материала ДБ-083245
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх