Сборник задач краевой физмат школы 8-11 класс

              Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа

Нижнетамбовского сельского поселения

Комсомольского муниципального района Хабаровского края

Задачи с решениями, предлагаемые краевой заочной физико-математической школой

Составил: Жмеренецкая Е.А.,

руководитель в школе обучением в Краевой заочной физико-математической школе, учитель 1 категории.

От составителя

Настоящий сборник составлен в соответствии с материалами Краевой физико-математической школы. В нём содержатся задачи по следующим разделам: прогрессии, алгебраические уравнения и неравенства, тригонометрические уравнения.

Пособие включает рекомендации по решению задач повышенного уровня, что будет способствовать активизации самостоятельной работы учащихся, улучшению их подготовки к ЕГЭ по математике, закреплению их теоретических знаний и выработке практических навыков, более качественной подготовке для поступления в ВУЗы.

Содержание

1. Решение уравнений и неравенств 8 класс.

2. Тригонометрия 10 класс.

3. Тригонометрические уравнения 11 класс.

4. Прогрессии 10 класс.

1.Решение уравнений и неравенств

1.Решить уравнение (х+1)(х+4)=(х-2)(х-3)

Решение:

(х+1)(х+4)=(х-2)(х-3)

х²+4х+х+4=х²-3х-2х+6

10х=2

х=

Ответ: х=

2.Решить уравнение:  (х-1)(х-2)(х+3)=(х-2)(х-3)(х+5)

Решение:

(х-1)(х-2)(х+3)=(х-2)(х-3)(х+5)

х3+3х²-2х²-6х-х²-3х+2х+6=х³+5х²-3х²-15х-2х²-10х+6х+30

-7х+6=-19х+30

12х=24

х=2

Ответ:х=2

3. Решить уравнение:   

 Решение:

4. Решить уравнение:

Решение:

х-3=0 или х-2=0 или х+2=0

х=3           х=2           х=-2

Ответ: х₁=3;х₂=2;х₃=-2

5. Решить уравнение:   3х+4=ах-8,       а-параметр

 Решение:

3х+4=ах-8

-ах+3х=-12

х(3-а)=-12

1).3-а=0,   т.е. а=3

0=-12  уравнение решений не имеет

2).3-а0, т.е. а3

х=

Ответ: при а=3 решений нет;

      при а3

6.  Решить уравнение:   ,    а- параметр

 Решение:

                 

(х+а)(2+а)=(х-а)(1+а)

2х+ах+2а+а²=х+ах-а-а²

2х-х=-а-а²-2а-а²

х=-3а-2а²

х=-а(3+2а)

1) а=-1 и а=-2  уравнение не имеет корней

2) а=0,то х=0

3) ,то х=-а(3+2а)

Ответ: при а=-1,а=-2 нет решения;

              при а=0,х=0

              при,х=-а(3+2а)

7.  Решить уравнение: 

Решение:

Ответ: х=-10,5

9. Решить уравнение: 

Решение:

10.  Решить уравнение:

Решение:

х=0         или     

Ответ:   

11.  Решить уравнение:               

Решение:

 

12.  Решить уравнение:  

 Решение:

Ответ: нет решений.

13.  Решить неравенство:

 Решение:

14. Решить неравенство:

Решение:

15. Решить неравенство:

            Решение:

16.  Решить уравнение: 

Установить, когда уравнение имеет два различных действительных корня.

Решение:

Ответ: уравнение имеет два различных действительных корня при

17.  Решить систему неравенств:   

Решение:

                    

Ответ: х>4

18. Решить систему неравенств:

         

Решение:                                                                    

                                         

 

                                         

Ответ:

19.  Решить уравнение:  

Решение:

20.  Решить уравнение:  

    Решение:

При подстановки в знаменатель выражения, получим число, равное 0;

При подстановке  в знаменатель выражения, получим число, не равное 0;

Следовательно, корнем уравнения является число .

Ответ: .

2. Тригонометрия

1.Доказать справедливость тождества:

sin⁶-cos⁶⁼

I Способ

 II Способ

Используя формулы понижения степени  и  получим:

что и требовалось доказать.

2. Вычислить , если

Решение:

Возведём обе части уравнения во вторую степень:

Ответ:

3. Решить уравнение, сводя его к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции:

 

Решение:

                 

Ответ:

4.Решите уравнение, сведением к однородному

Решение:

5. Решить уравнение методом универсальной тригонометрической подстановки:

а)

Решение:

Поделим данный многочлен на

б)

Решение:

нет решений

6. Сведение к уравнению относительно неизвестного

                                                Решение:

7.Метод понижения степени по формулам половинного аргумента

Решение:

Ответ:

3. Тригонометрические уравнения. 11 класс

1.  Решить уравнение:

Решение:

О.О.У.       cos2x≠0

                  2x≠

                   x≠

sinx + cosx = 0 /: cosx

Проверка   cosx = 0

x=

1 + 0 ≠ 0

cosx ≠ 0

tgx + 1 = 0

tgx = -1

x = -arctg1 +πκ, κZ

x = - +πκ, κZ – не является решением

Проверка   x=

                          

Ответ: нет решений.

2. Решить уравнение: tg³x + tg²x – 3tgx = 3

Решение:

О.О.У.  x ≠  + πκ, κZ

tg³x + tg²x – 3tgx – 3=0

tg²x·( tgx + 1 ) - 3·( tgx + 1) =0

( tgx + 1 ) ·( tg²x – 3) = 0

tgx + 1 =0                      tg²x – 3 =0

tgx = -1                          tg²x = 3

x = - + πκ, κZ       tgx = ,  tgx = - 

                                      x =  + πn, n Z       x = - + πn, n Z     

Ответ: x = - + πκ, κZ;   x = ± + πn, n Z    

3. Решить уравнение: sin3x = cos2x

Решение:

sin3x = cos2x

т.к. cos2x = sin( - 2x)

sin3x = sin( - 2x)

sin3x - sin( - 2x) = 0                                        

2sin·cos = 0

2sin·cos = 0

sin = 0                              cos = 0

 =πκ, κ                         = + πn, n                       

 =2πκ, κ                       + 2πn, n                       

 + 2πκ, κ                      + 2πn, n                       

 + πκ, κ                      + 2πn, n                       

Ответ:  + πκ, κ;  + 2πn, n                       

4. Решить уравнение: sin5x·cos3x = sin9x·cos7x

Решение:

sin5x·cos3x = sin9x·cos7x

sin5x·cos3x - sin9x·cos7x = 0       

sin8x – sin16x = 0

sin8x –2sin8xcos8x = 0

sin8x (1 - 2cos8x) = 0

sin8x = 0                                       1 - 2cos8x = 0

8x = πκ, κZ                                  cos8x =

x = κ, κZ                                  8x =  + 2 πn, n                       

                                                      x =  + πn, n      

Ответ:    x = κ, κZ;  x =  + πn, n.             

5.  Решить уравнение: 2cos²x + sinx = 2 

Решение:

 2cos²x + sinx = 2 

2(1 – sin²x) + sinx – 2 = 0

2 - 2sin²x + sinx – 2 = 0

- 2sin²x + sinx = 0

sinx(- 2sinx +1) = 0

sinx = 0                                          - 2sinx + 1 = 0

x = πκ, κZ                                      - 2sinx = -1

                                                          sinx =

                                                      x = (-1)ⁿ + πn, n.             

Ответ: x = πκ, κZ;  x = (-1)ⁿ + πn, n.          

6.   Решить уравнение: 2sinx - 3cosx = 3

 Решение:

    2sinx - 3cosx = 3

sinx =   ;       cosx =         

       

 /· т.к. 

4n – 3 + 3n² = 3 + 3n²

4n + 3n² – 3n² = 3 + 3

4n = 6

n =

tg =

 = arctg + πκ, κZ

x = 2 arctg + 2πκ, κZ

Проверка    x =π  + 2πn, n

                    2·0 - 3· (-1) = 3

                    0 + 3 = 3

                    3 = 3

Ответ:   x =π  + 2πn, n;  x = 2 arctg + 2πκ, κZ.

7.  Решить уравнение: sin(5π – x) = cos(2x + 7π)

Решение:

sin(5π – x) = cos(2x + 7π)

sin(4π + π – x) = cos(6π + π + 2x)

sin(π – x) = cos(π  + 2x)

sin x = -cos2x

sin x = -cos²x + sin²x

sin x + cos²x -  sin²x = 0

sin x + 1 -  sin²x -  sin²x = 0

-  2sin²x  +sin x + 1 = 0

sin x = t

-2t² + t + 1 = 0

Д = b² – 4ac = 12 + 4·2·1 = 1 +  8 = 9

t_1,2 =

t₁ = 1; t₂ = -0,5

sin x = 1                                         sin x = -0,5

x =  + 2π κ, κZ                         x = (-1)^{n + 1} + πn, n   

Ответ: x =  + 2π κ, κZ; x = (-1)^{n + 1} + πn, n . 

8. Решить уравнение: 2cos²x - 3sinx·cosx + 5sin²x = 3

Решение:

2cos²x - 3sinx·cosx + 5sin²x = 3

2cos²x - 3sinx·cosx + 5sin²x = 3· (cos²x + sin²x)

2cos²x - 3sinx·cosx + 5sin²x - 3cos²x + 3sin²x = 0

-cos²x - 3sinx·cosx + 2sin²x = 0 /: cos²x

Проверка:  cos²x = 0

                    cosx = 0

                    0 - 3sinx·0 + 2·(±1) = 0

                    2 ≠ 0

-1 – 3tgx + 2tg²x = 0

2tg²x – 3tgx – 1 = 0

tgx = t;  

2t² – 3t – 1 = 0

Д = 9 - 4·2·(-1) = 17

t_1,2 =

tgx =                             tgx =     

x = arctg + π κ, κZ     x = arctg + πn, n

Ответ:  x = arctg + π κ, κZ; x = arctg + πn, n .

9. Найти корни уравнения:   cos⁴x – sin⁴x + sin2x = 1  из интервала (0°; 90°)

Решение:

cos⁴x – sin⁴x + sin2x = 1 

(cos²x – sin²x)(cos²x – sin²x) + sin2x = 1

cos²x + 2sinx·cosx - sin²x - sin²x - cos²x = 0

2sinx·cosx - 2sin²x = 0

2sinx·(cosx – sinx) = 0

sinx = 0                                cosx – sinx = 0 /: cosx

x= π κ, κZ                          Проверка    cosx = 0

0 < π κ <  /: π                                        0 - (±1) = 0

0 <  κ <                                                  ±1 ≠ 0

нет решений, т.к.

к – целое число                      1 – tgx = 0

tgx = 1

x =  + π κ, κZ

0 <  + π κ <

- < π κ <

- < κ <

κ = 0

x =  + π·0 =   (0; 90°)

Ответ: x= π κ;  x =  + π κ, κZ;  x =   (0; 90°).

10. Найти в градусной мере наименьший положительный корень уравнения cos3x + cosx = cos2x

Решение:

cos3x + cosx = cos2x

2cos2x cosx = cos2x / :cos2x

Проверка    cos2x = 0

2·0· cosx = 0

0 = 0

2x =  + π κ, κZ

x =  + κ, κZ

2cosx = 1

cosx =

x = ± + 2π κ, κZ

Ответ: x =  + κ, κZ;  x = ± + 2π κ, κZ , наименьший положительный корень равен 45°.

11.  Решить уравнение: 4sin⁴x + cos4x = 1 + 12cos⁴x

Решение:

4sin⁴x + cos4x = 1 + 12cos⁴x

4sin⁴x + cos²2x – sin²2x  = 1 + 12cos⁴x

4sin⁴x + cos2x·cos2x – sin2x·sin2x = 1 + 12cos⁴x

4sin⁴x + (cos²x – sin²x) · (cos²x – sin²x) - 2sinx·cosx·2sinx·cosx = 1 + 12cos⁴x

4sin⁴x + cos⁴x - cos²x·sin²x - cos²x·sin²x + sin⁴x - 4sin²x·cos²x = 1 + 12cos⁴x

4sin⁴x + cos⁴x - 6cos²x·sin²x + sin⁴x - 1 - 12cos⁴x = 0

5sin⁴x - 6cos²x·sin²x - 11cos⁴x - 1= 0

5sin⁴x - 6sin²x·(1- sin²x) - 11cos⁴x - 1= 0

5sin⁴x - 6sin²x + 6sin⁴x - 11cos⁴x – 1 = 0

11sin⁴x - 11cos⁴x - 6sin²x - sin²x - cos²x = 0

11·(sin²x – cos²x) ·(sin²x + cos²x) – 7sin²x – cos²x  = 0

11sin²x – 11cos²x  – 7sin²x – cos²x  = 0

4sin²x - 12cos²x = 0

4sin²x - 12· (1 - sin²x) = 0

4sin²x - 12 + 12sin²x = 0

16sin²x = 12

sin²x =

sin²x =                                                    

sinx =                                                    

sinx =                                  sinx =                                                    

 x = (-1)^κ  + π κ, κ           x = (-1)^{n + 1} + π n, n

Ответ:  x = (-1)^κ  + π κ, κ ;  x = (-1)^{n + 1} + π n, n .

12. Решить уравнение:

2sinx·cos (+ x) – 3sin (π - x) ·cosx + sin ( + x) ·cosx = 0

                   Решение:

2sinx·sinx – 3sinx·cosx + cosx·cosx = 0

2sin²x – 3sinx·cosx + cos²x = 0 /: cos²x

Проверка     cos²x = 0

                     2·1 - 3sinx·0 + 0 ≠ 0

2tg²x – 3 tgx + 1 = 0

tgx = t

2t² – 3t + 1 = 0

Д = (-3)2 - 4·2·1 = 9 – 8 = 1

t_1,2 =

t₁ = 1; t₂ = 0,5

tgx = 1                           tgx = 0,5

x =  + πκ, κZ           x = arctg0,5 + πn, n

Ответ: x =  + πκ, κZ; x = arctg0,5 + πn, n .

4.Арифметическая и геометрическая прогрессия.

1.   Найти а₁₃, если а₅ = 2, а₄₀ = 142

a_n =a₁ + d (n – 1) формула n-го члена(n ≥ 2)

a₅ = а₁ + d (5 – 1)                a₄₀ = a₁ + d (40 – 1)

a₅ = a₁ + 4d                          a₄₀ = a₁ + 39d

 _  a₁ + 4d = 2

     a₁ + 39d = 142

-    35d = -140

 d = -140 :(-35)

 d = 4

a₁ + 4·4 = 2                                      a₁₃ = a₁ + d (13 – 1)

a₁ + 16 = 2                                       a₁₃ = -14 + 12d

a₁ = 2 – 16                                          a₁₃ = -14 + 12·4

a₁ = -14                                               a₁₃ = 34

Ответ: a₁₃ = 34

2. Найти а₁ + а₂₀, если а₃ + а₁₈ = 50

a_k =, (p < k), в частности

a₃ + a₁₈ = 50

                p = 2

          

a₁ + a₂₀ = 50

Ответ: a₁ + a₂₀ = 50

3. Найти n, если а₁ = 3, а₂ = 5, S_n = 360

a₂ – a₁ = d                       a_n = a1 + d (n – 1)

5 – 3 = 2                         S_n = n

d = 2                                S_n = n

 = 360

 = 360

6n +2n² – 2n = 720

2n² + 4n – 720 = 0

Д = 16 – 4·2·(-720) = 16 + 5760 = 5776 = 76²

n₁ =  = 18

n₂ = = -20

Ответ: n = 18.

4.  Найти а₁ и d, если S_n = 2n² – 3n

S₁ = 2·1² - 3·1                         S₂ = 2·2² - 3·2

S₁ = -1                                       S₂ = 2

S₁ –a₁                                         S₂ = a₁ + a₂

a₁ = -1                                             a₁ + a₂ = 2

                                                           -1 + a₂ = 2

                                                           a₂ = 3

d = a2 – a1                        

d = 3 + 1

d = 4     

Ответ:  a₁ = -1;  d = 4.     

5. Найти сумму всех натуральных трехзначных чисел, не делящихся на 3 100, 101, 102…..999.

а₁ = 100        n -?

a_n = 99

a_n = a₁ + d (n – 1)

999 = a₁ + d (n -1)    999 = 100 + (n – 1)

100 = n – 1 = 999      99 + n = 999

 n = 999 – 99         n = 900     

S₉₀₀ = 900       S₉₀₀ = 900   

S₉₀₀ = 1099·450     S₉₀₀ = 494550                

 999 = 102 +3 (n – 1)     999 = 102 + 3n – 3

3n + 99 = 999            3n = 999 – 99

3n = 900      n = 300

S₃₀₀ =          S₃₀₀ = 1101·150 = 165150

Находим исходную сумму

S =  S₉₀₀  - S₃₀₀       S = 494550 - 165150 = 329400

Ответ: S = 329400.

6.  Найти b₆, если b₅ = 36, b₇ = 114

b²_k = b_{k – 1}·b_{k + 1}          (k ≥ 2)

b²₆ = b₅·b₇     b²₆ = 36·144     b₆ =     b₆ =

Ответ: b₆ = .

7. Найти q, если b₁ = 10, b₂ + b₃ = 60

b₂ = b₁·q    b₃ = b₁·q²

b₁·q + b₁·q² = 60

10q + 10q² = 60 /: 10

q² + q – 6 = 0

q₁ + q₂ = -1    

q₁·q₂ = -6

q₁ = -3   q₂ = 2

q = -3

b₂ = 10· (-3) = -30        b₃ = 10·(-3)² = 90

    b₂ + b₃ = 60       -30 + 90 = 60

q = 2

b₂ = 10·2 = 20             b₃ = 10·2² = 10·4 = 40

   20 + 40 = 60

Ответ: q = -3; q = 2.

8.  Найти b₁₃, если b₁₁ = 25, b₁₅ = 400

b²₁₃ = b₁₂·b₁₄

b²_k = b_k-p·b_{k + p},  p = 2

b²₁₃ = b₁₁·b₁₅         b₁₃ = 25·400       b₁₃ = 5·20               b₁₃ = 100

Ответ: b₁₃ = 100.

9. Найти S₆, если b₁ = -2, b₆ = -486

S_n =

Находим q

b₆ = b₁·q⁵        

 -2·q⁵ = -486 

q⁵ = -486: (-2)

q⁵ = 243

q = 3

S₆ =  1 – 729 = -728

Ответ: S₆  = -728.

10.Найти n, если b₁ = 9, b_n = , S_n =

b_n = b₁·q_{n – 1}

 = 9·q_{n – 1}

q_{n – 1} =

q_{n – 1} =

q_{n – 1} =

q =

n – 1 = 6

n = 7

Ответ:  n = 7.