Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сборник задач краевой физмат школы 8-11 класс

Сборник задач краевой физмат школы 8-11 класс

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа

Нижнетамбовского сельского поселения

Комсомольского муниципального района Хабаровского края












Задачи с решениями, предлагаемые краевой заочной физико-математической школой








Составил: Жмеренецкая Е.А.,

руководитель в школе обучением в Краевой заочной физико-математической школе, учитель 1 категории.


















От составителя



Настоящий сборник составлен в соответствии с материалами Краевой физико-математической школы. В нём содержатся задачи по следующим разделам: прогрессии, алгебраические уравнения и неравенства, тригонометрические уравнения.

Пособие включает рекомендации по решению задач повышенного уровня, что будет способствовать активизации самостоятельной работы учащихся, улучшению их подготовки к ЕГЭ по математике, закреплению их теоретических знаний и выработке практических навыков, более качественной подготовке для поступления в ВУЗы.


































Содержание



  1. Решение уравнений и неравенств 8 класс.

  2. Тригонометрия 10 класс.

  3. Тригонометрические уравнения 11 класс.

  4. Прогрессии 10 класс.


























1.Решение уравнений и неравенств


1.Решить уравнение (х+1)(х+4)=(х-2)(х-3)

Решение:

(х+1)(х+4)=(х-2)(х-3)

х2+4х+х+4=х2-3х-2х+6

10х=2

х=hello_html_3fa8b9e0.gif

Ответ: х=hello_html_3fa8b9e0.gif

2.Решить уравнение: (х-1)(х-2)(х+3)=(х-2)(х-3)(х+5)

Решение:

(х-1)(х-2)(х+3)=(х-2)(х-3)(х+5)

х3+3х2-2х2-6х-х2-3х+2х+6=х3+5х2-3х2-15х-2х2-10х+6х+30

-7х+6=-19х+30

12х=24

х=2

Ответ:х=2


3. Решить уравнение: hello_html_7a78a475.gif

Решение:

hello_html_6e93db9e.gif

hello_html_m4d999169.gifhello_html_m3f71058.gif
















4. Решить уравнение:hello_html_m4a30e112.gif

Решение:

hello_html_m40091976.gif
х-3=0 или х-2=0 или х+2=0

х=3 х=2 х=-2

Ответ: х1=3;х2=2;х3=-2


5. Решить уравнение: 3х+4=ах-8, а-параметр

Решение:

3х+4=ах-8

-ах+3х=-12

х(3-а)=-12

1).3-а=0, т.е. а=3

hello_html_m34882919.gif0=-12 уравнение решений не имеет

2).3-аhello_html_m88d8014.gif0, т.е. аhello_html_m88d8014.gif3

х=hello_html_m41c74f2a.gif

hello_html_m568d0791.gif

Ответ: при а=3 решений нет;

при аhello_html_m88d8014.gif3 hello_html_m7f4149b7.gif


6. Решить уравнение: hello_html_6a335291.gif, а- параметр

Решение:

hello_html_6a335291.gifhello_html_6d21589d.gif

(х+а)(2+а)=(х-а)(1+а)

2х+ах+2а+а2=х+ах-а-а2

2х-х=-а-а2-2а-а2

х=-3а-2а2

х=-а(3+2а)

1) а=-1 и а=-2 уравнение не имеет корней

2) а=0,то х=0

3) hello_html_380c6270.gif,то х=-а(3+2а)

Ответ: при а=-1,а=-2 нет решения;

при а=0,х=0

приhello_html_380c6270.gif,х=-а(3+2а)


7. Решить уравнение: hello_html_m7b442f33.gif

Решение:

hello_html_m7b442f33.gif

hello_html_3a4b05e0.gif

Ответ: х=-10,5


9. Решить уравнение: hello_html_m68c0407f.gif

Решение:

hello_html_m68c0407f.gif

hello_html_10bd9116.gif


10. Решить уравнение: hello_html_297b1354.gif

Решение:

hello_html_297b1354.gif

hello_html_2b7548c5.gif

х=0 или hello_html_48a6861e.gif

Ответ:hello_html_m2410a241.gif


11. Решить уравнение: hello_html_m56f981da.gif

Решение:

hello_html_m56f981da.gif

hello_html_717ed29f.gif


12. Решить уравнение: hello_html_m1f6333fd.gif

Решение:

hello_html_m1f6333fd.gif

hello_html_256f24e1.gif

Ответ: нет решений.


13. Решить неравенство: hello_html_m6d9cd619.gif

Решение:

hello_html_m6d9cd619.gif

hello_html_6dbca21c.gif


14. Решить неравенство:hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_7b5b87b1.gif

Решение:

hello_html_7b5b87b1.gif

hello_html_m7fd12b8d.gif


15. Решить неравенство: hello_html_3a362ea0.gif

Решение:

hello_html_3a362ea0.gif

hello_html_5d6a4bda.gif



16. Решить уравнение: hello_html_m50545a26.gif

Установить, когда уравнение имеет два различных действительных корня.


Решение:

hello_html_m50545a26.gif

hello_html_m4d35735f.gifОтвет: уравнение имеет два различных действительных корня при hello_html_76d1f118.gif

17. Решить систему неравенств: hello_html_410e407.gif

Решение:

hello_html_2701c432.gifhello_html_5d942268.gif hello_html_mac6be8e.gif

Ответ: х>4


18. Решить систему неравенств:

hello_html_m6b85c195.gif hello_html_m53d4ecad.gif

Решение: hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_63be5a8d.gif







hello_html_52122eda.gifhello_html_12d16df.gif


hello_html_m2c937cc3.gif

Ответ: hello_html_m2c937cc3.gif


19. Решить уравнение: hello_html_35d7aff5.gif



Решение:

hello_html_72eca93e.gif


20. Решить уравнение: hello_html_7374e6e9.gif


Решение:

hello_html_2d0a1f3c.gif

При подстановки hello_html_14f4e9ec.gifв знаменатель выражения, получим число, равное 0;

При подстановке hello_html_59ed5005.gif в знаменатель выражения, получим число, не равное 0;

Следовательно, корнем уравнения является число hello_html_59ed5005.gif.

Ответ: hello_html_59ed5005.gif.










2. Тригонометрия


1.Доказать справедливость тождества:


sin6hello_html_5d82c901.gif-cos6hello_html_5d82c901.gif=hello_html_b6db1ac.gif

I Способ

hello_html_m58df7ea3.gifhello_html_m53d4ecad.gifII Способ

Используя формулы понижения степени hello_html_m74175048.gif и hello_html_40b02cca.gif получим:

hello_html_7d19e889.gifчто и требовалось доказать.


2. Вычислить hello_html_m7a97975c.gif, еслиhello_html_m55136a7b.gif

Решение:

Возведём обе части уравнения во вторую степень:

hello_html_m7f1f68d6.gif

Ответ:hello_html_m1cbd1722.gif


3. Решить уравнение, сводя его к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции:

hello_html_1b55b8fe.gif

hello_html_m53d4ecad.gifРешение:

hello_html_20377951.gifhello_html_4f134fb3.gif

Ответ:hello_html_68926da3.gif


4.Решите уравнение, сведением к однородному

hello_html_m7b4de7bd.gif

Решение:

hello_html_220a1921.gif

5. Решить уравнение методом универсальной тригонометрической подстановки: hello_html_m598179db.gif

а) hello_html_6d94e2f3.gif


Решение:

hello_html_me18067.gif

Поделим данный многочлен на hello_html_58b9f3.gif

hello_html_456e6a98.gif

б)hello_html_m48890e42.gif


Решение:

hello_html_m23f35451.gif

нет решений

hello_html_m41ede59d.gif

6. Сведение к уравнению относительно неизвестного

hello_html_6e3b98ba.gif

Решение:

hello_html_mb7d86bc.gif


7.Метод понижения степени по формулам половинного аргумента

hello_html_23fac835.gif




Решение:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m69797be.gifhello_html_4eff8864.gif


Ответ:hello_html_m52ae2143.gif































3. Тригонометрические уравнения. 11 класс


1. Решить уравнение: hello_html_m24efcfc1.gif


Решение:

О.О.У. cos2x≠0

2xhello_html_m9c0c924.gif

xhello_html_m6d27ca42.gif


sinx + cosx = 0 /: cosx

Проверка cosx = 0

x= hello_html_m9c0c924.gif

hello_html_478e24e9.gif1 + 0 ≠ 0

cosx ≠ 0

tgx + 1 = 0

tgx = -1

x = -arctg1 +πκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ

x = -hello_html_5a1dc688.gif +πκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ – не является решением

Проверка x= hello_html_m9c0c924.gif

hello_html_3f8dff04.gifhello_html_m400773f8.gif

Ответ: нет решений.


2. Решить уравнение: tg3x + tg2x – 3tgx = 3


Решение:

О.О.У. hello_html_m53d4ecad.gifx hello_html_3f0dc136.gif + πκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ


tg3x + tg2x – 3tgx – 3=0

tg2x·( tgx + 1 ) - 3·( tgx + 1) =0

( tgx + 1 ) ·( tg2x – 3) = 0

tgx + 1 =0 tg2x – 3 =0

tgx = -1 tg2x = 3

hello_html_m53d4ecad.gifx = -hello_html_5a1dc688.gif + πκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ tgx = hello_html_2d077f92.gif, tgx = -hello_html_2d077f92.gif

x = hello_html_2e8a3f83.gif + πn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ x = -hello_html_2e8a3f83.gif + πn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ

Ответ: x = -hello_html_5a1dc688.gif + πκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ; x = ±hello_html_2e8a3f83.gif + πn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ



3. Решить уравнение: sin3x = cos2x

Решение:

sin3x = cos2x

т.к. cos2x = sin(hello_html_3f0dc136.gif - 2x)

sin3x = sin(hello_html_3f0dc136.gif - 2x)

sin3x - sin(hello_html_3f0dc136.gif - 2x) = 0

2sinhello_html_7d7d8aaa.gif·coshello_html_5be62607.gif = 0

2sinhello_html_5be3c004.gif·coshello_html_m56f39ec3.gif = 0

sinhello_html_5be3c004.gif = 0 coshello_html_m56f39ec3.gif = 0

hello_html_5be3c004.gif=πκ, κhello_html_6ca4e604.gifhello_html_m56f39ec3.gif =hello_html_3f0dc136.gif + πn, nhello_html_6ca4e604.gif

hello_html_2880439f.gif=2πκ, κhello_html_6ca4e604.gifhello_html_m43c33468.gif + 2πn, nhello_html_6ca4e604.gif

hello_html_m6facfd9d.gif+ 2πκ, κhello_html_6ca4e604.gifhello_html_27c430be.gif + 2πn, nhello_html_6ca4e604.gif

hello_html_mc481f3d.gif+ hello_html_25226a8a.gifπκ, κhello_html_6ca4e604.gifhello_html_m18fe906e.gif + 2πn, nhello_html_6ca4e604.gif


Ответ: hello_html_mc481f3d.gif + hello_html_25226a8a.gifπκ, κhello_html_6ca4e604.gif; hello_html_m18fe906e.gif + 2πn, nhello_html_6ca4e604.gif

4. Решить уравнение: sin5x·cos3x = sin9x·cos7x

Решение:

sin5x·cos3x = sin9x·cos7x

sin5x·cos3x - sin9x·cos7x = 0

hello_html_m3c97487b.gif

hello_html_m5b8f7ca1.gif

hello_html_11e073bc.gif

sin8x – sin16x = 0

sin8x –2sin8xcos8x = 0

sin8x (1 - 2cos8x) = 0

sin8x = 0 1 - 2cos8x = 0

8x = πκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ cos8x = hello_html_2b2ed72.gif

x = hello_html_784a4cef.gifκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ 8x = hello_html_7a153311.gif + 2 πn, nhello_html_6ca4e604.gif

x = hello_html_m252edc48.gif + hello_html_5a1dc688.gifπn, nhello_html_6ca4e604.gif

Ответ: x = hello_html_784a4cef.gifκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ; x = hello_html_m252edc48.gif + hello_html_5a1dc688.gifπn, nhello_html_6ca4e604.gif.


5. Решить уравнение: 2cos2x + sinx = 2

Решение:

2cos2x + sinx = 2

2(1 – sin2x) + sinx – 2 = 0

2 - 2sin2x + sinx – 2 = 0

- 2sin2x + sinx = 0

sinx(- 2sinx +1) = 0

sinx = 0 - 2sinx + 1 = 0

x = πκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ - 2sinx = -1

sinx = hello_html_2b2ed72.gif

x = (-1)nhello_html_56c04310.gif + πn, nhello_html_6ca4e604.gif.

Ответ: x = πκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ; x = (-1)nhello_html_56c04310.gif + πn, nhello_html_6ca4e604.gif.


6. Решить уравнение: 2sinx - 3cosx = 3

Решение:

2sinx - 3cosx = 3

sinx = hello_html_64165af9.gif ; cosx = hello_html_73edde44.gif

hello_html_4a75ba76.gif

hello_html_53e2dddf.gifhello_html_116a64ce.gif т.к. hello_html_7289405b.gif

4n – 3 + 3n2 = 3 + 3n2

4n + 3n2 – 3n2 = 3 + 3

4n = 6

n = hello_html_m603c2b6b.gif

tghello_html_5dcbdac6.gif = hello_html_m603c2b6b.gif

hello_html_5dcbdac6.gif= arctghello_html_m603c2b6b.gif + πκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ

x = 2 arctghello_html_m603c2b6b.gif + 2πκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ

Проверка x =π + 2πn, nhello_html_6ca4e604.gif

2·0 - 3· (-1) = 3

0 + 3 = 3

3 = 3

Ответ: x =π + 2πn, nhello_html_6ca4e604.gif; x = 2 arctghello_html_m603c2b6b.gif + 2πκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ.


7. Решить уравнение: sin(5π – x) = cos(2x + 7π)

Решение:

sin(5π – x) = cos(2x + 7π)

sin(4π + πx) = cos(6π + π + 2x)

sin(π – x) = cos(π + 2x)

sin x = -cos2x

sin x = -cos2x + sin2x

sin x + cos2x - sin2x = 0

sin x + 1 - sin2x - sin2x = 0

- 2sin2x +sin x + 1 = 0

sin x = t

-2t2 + t + 1 = 0

Д = b2 – 4ac = 12 + 4·2·1 = 1 + 8 = 9

t1,2 = hello_html_m421a86e.gif

t1 = 1; t2 = -0,5

sin x = 1 sin x = -0,5

x = hello_html_3f0dc136.gif + 2π κ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ x = (-1)n + 1hello_html_56c04310.gif + πn, n hello_html_6ca4e604.gif

Ответ: x = hello_html_3f0dc136.gif + 2π κ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ; x = (-1)n + 1hello_html_56c04310.gif + πn, n hello_html_6ca4e604.gif.


8. Решить уравнение: 2cos2x - 3sinx·cosx + 5sin2x = 3

Решение:

2cos2x - 3sinx·cosx + 5sin2x = 3

2cos2x - 3sinx·cosx + 5sin2x = 3· (cos2x + sin2x)

2cos2x - 3sinx·cosx + 5sin2x - 3cos2x + 3sin2x = 0

-cos2x - 3sinx·cosx + 2sin2x = 0 /: cos2x

Проверка: cos2x = 0

cosx = 0

0 - 3sinx·0 + 2·(±1) = 0

2 ≠ 0

-1 – 3tgx + 2tg2x = 0

2tg2x – 3tgx – 1 = 0

tgx = t;

2t2 – 3t – 1 = 0

Д = 9 - 4·2·(-1) = 17

t1,2 = hello_html_m5bce633.gif

tgx = hello_html_79e57a7d.gif tgx = hello_html_m25bdbf6f.gif

x = arctghello_html_79e57a7d.gif + π κ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ x = arctghello_html_m25bdbf6f.gif + πn, n hello_html_6ca4e604.gif

Ответ: x = arctghello_html_79e57a7d.gif + π κ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ; x = arctghello_html_m25bdbf6f.gif + πn, n hello_html_6ca4e604.gif.


9. Найти корни уравнения: cos4xsin4x + sin2x = 1 из интервала (0°; 90°)

Решение:

cos4x – sin4x + sin2x = 1

(cos2x – sin2x)(cos2x – sin2x) + sin2x = 1

cos2x + 2sinx·cosx - sin2x - sin2x - cos2x = 0

2sinx·cosx - 2sin2x = 0

2sinx·(cosx – sinx) = 0

sinx = 0 cosx – sinx = 0 /: cosx

x= π κ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ Проверка cosx = 0

0 < π κ < hello_html_3f0dc136.gif /: π 0 - (±1) = 0

0 < κ < hello_html_2b2ed72.gif ±1 ≠ 0

нет решений, т.к.

к – целое число 1 – tgx = 0

tgx = 1

x = hello_html_5a1dc688.gif + π κ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ

0 < hello_html_5a1dc688.gif + π κ < hello_html_3f0dc136.gif

-hello_html_5a1dc688.gif < π κ < hello_html_5a1dc688.gif

-hello_html_m51a1c247.gif < κ < hello_html_m51a1c247.gif

κ = 0

x = hello_html_5a1dc688.gif + π·0 = hello_html_5a1dc688.gif hello_html_m7cb53dec.gif (0; 90°)

Ответ: x= π κ; x = hello_html_5a1dc688.gif + π κ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ; x = hello_html_5a1dc688.gif hello_html_m7cb53dec.gif (0; 90°).


10. Найти в градусной мере наименьший положительный корень уравнения cos3x + cosx = cos2x

Решение:

cos3x + cosx = cos2x

2cos2x cosx = cos2x / :cos2x

Проверка cos2x = 0

2·0· cosx = 0

0 = 0

2x = hello_html_3f0dc136.gif+ π κ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ

x = hello_html_5a1dc688.gif +hello_html_3f0dc136.gif κ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ

2cosx = 1

cosx = hello_html_2b2ed72.gif

x = ±hello_html_2e8a3f83.gif + 2π κ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ

Ответ: x = hello_html_5a1dc688.gif +hello_html_3f0dc136.gif κ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ; x = ±hello_html_2e8a3f83.gif + 2π κ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ , наименьший положительный корень равен 45°.


11. Решить уравнение: 4sin4x + cos4x = 1 + 12cos4x

Решение:

4sin4x + cos4x = 1 + 12cos4x

4sin4x + cos22x – sin22x = 1 + 12cos4x

4sin4x + cos2x·cos2x – sin2x·sin2x = 1 + 12cos4x

4sin4x + (cos2x – sin2x) · (cos2x – sin2x) - 2sinx·cosx·2sinx·cosx = 1 + 12cos4x

4sin4x + cos4x - cos2x·sin2x - cos2x·sin2x + sin4x - 4sin2x·cos2x = 1 + 12cos4x

4sin4x + cos4x - 6cos2x·sin2x + sin4x - 1 - 12cos4x = 0

5sin4x - 6cos2x·sin2x - 11cos4x - 1= 0

5sin4x - 6sin2x·(1- sin2x) - 11cos4x - 1= 0

5sin4x - 6sin2x + 6sin4x - 11cos4x – 1 = 0

11sin4x - 11cos4x - 6sin2x - sin2x - cos2x = 0

11·(sin2x – cos2x) ·(sin2x + cos2x) – 7sin2x – cos2x = 0

11sin2x – 11cos2x – 7sin2x – cos2x = 0

4sin2x - 12cos2x = 0

4sin2x - 12· (1 - sin2x) = 0

4sin2x - 12 + 12sin2x = 0

16sin2x = 12

sin2x = hello_html_m7292f73e.gif

sin2x = hello_html_332f045e.gif

sinx = hello_html_3f501748.gif

sinx = hello_html_73b84cef.gif sinx = hello_html_7a17c09a.gif

x = (-1)κ hello_html_2e8a3f83.gif + π κ, κ hello_html_6ca4e604.gif x = (-1)n + 1hello_html_2e8a3f83.gif + π n, n hello_html_6ca4e604.gif

Ответ: x = (-1)κ hello_html_2e8a3f83.gif + π κ, κ hello_html_6ca4e604.gif; x = (-1)n + 1hello_html_2e8a3f83.gif + π n, n hello_html_6ca4e604.gif.


12. Решить уравнение:

2sinx·cos (hello_html_d9eb819.gif+ x) – 3sin (π - x) ·cosx + sin (hello_html_3f0dc136.gif + x) ·cosx = 0

Решение:

2sinx·sinx – 3sinx·cosx + cosx·cosx = 0

2sin2x – 3sinx·cosx + cos2x = 0 /: cos2x

Проверка cos2x = 0

2·1 - 3sinx·0 + 0 ≠ 0

2tg2x – 3 tgx + 1 = 0

tgx = t

2t2 – 3t + 1 = 0

Д = (-3)2 - 4·2·1 = 9 – 8 = 1

t1,2 = hello_html_5dd172d.gif

t1 = 1; t2 = 0,5

tgx = 1 tgx = 0,5

x = hello_html_5a1dc688.gif + πκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ x = arctg0,5 + πn, n hello_html_6ca4e604.gif

Ответ: x = hello_html_5a1dc688.gif + πκ, κhello_html_m7cb53dec.gifZ; x = arctg0,5 + πn, n hello_html_6ca4e604.gif.


































4.Арифметическая и геометрическая прогрессия.


1. Найти а13, если а5 = 2, а40 = 142


an =a1 + d (n – 1) формула n-го члена(n ≥ 2)

a5 = а1 + d (5 – 1) a40 = a1 + d (40 – 1)

a5 = a1 + 4d a40 = a1 + 39d

_hello_html_m27f9325b.gif a1 + 4d = 2

a1 + 39d = 142

  • 35d = -140

d = -140 :(-35)

d = 4

a1 + 4·4 = 2 a13 = a1 + d (13 – 1)

a1 + 16 = 2 a13 = -14 + 12d

a1 = 2 – 16 a13 = -14 + 12·4

a1 = -14 a13 = 34


Ответ: a13 = 34


2. Найти а1 + а20, если а3 + а18 = 50

ak =hello_html_m7debd24d.gif, (p < k), в частности

a3 + a18 = 50

hello_html_m68447a85.gifp = 2

hello_html_m7c1d017f.gifhello_html_7f3c955c.gif

a1 + a20 = 50

Ответ: a1 + a20 = 50


3. Найти n, если а1 = 3, а2 = 5, Sn = 360


a2 – a1 = d an = a1 + d (n – 1)

5 – 3 = 2 Sn = hello_html_1d76ba63.gifn

d = 2 Sn = hello_html_3cb96f62.gifn

hello_html_6ce201e4.gif= 360

hello_html_6ed71c0f.gif= 360

6n +2n2 – 2n = 720

2n2 + 4n – 720 = 0

Д = 16 – 4·2·(-720) = 16 + 5760 = 5776 = 762

n1 = hello_html_ma6e49b6.gif = 18

n2 =hello_html_3a6ca9cf.gif = -20

Ответ: n = 18.


4. Найти а1 и d, если Sn = 2n2 – 3n

S1 = 2·12 - 3·1 S2 = 2·22 - 3·2

S1 = -1 S2 = 2

S1 –a1 S2 = a1 + a2

a1 = -1 a1 + a2 = 2

-1 + a2 = 2

a2 = 3

d = a2 – a1

d = 3 + 1

d = 4

Ответ: a1 = -1; d = 4.


5. Найти сумму всех натуральных трехзначных чисел, не делящихся на 3 100, 101, 102…..999.


а1 = 100 n -?

an = 99

an = a1 + d (n – 1)

999 = a1 + d (n -1) 999 = 100 + (n – 1)

100 = n – 1 = 999 99 + n = 999

n = 999 – 99 n = 900

S900 = hello_html_6db6afcd.gif900 S900 = hello_html_m28699921.gif900

S900 = 1099·450 S900 = 494550

999 = 102 +3 (n – 1) 999 = 102 + 3n – 3

3n + 99 = 999 3n = 999 – 99

3n = 900 n = 300

S300 = hello_html_521b0ab.gif S300 = 1101·150 = 165150

Находим исходную сумму

S = S900 - S300 S = 494550 - 165150 = 329400

Ответ: S = 329400.


6. Найти b6, если b5 = 36, b7 = 114


b2k = bk – 1·bk + 1 (k ≥ 2)

b26 = b5·b7 b26 = 36·144 b6 = hello_html_m55ca5f8c.gif b6 = hello_html_3030a2bb.gif

Ответ: b6 = hello_html_3030a2bb.gif.



7. Найти q, если b1 = 10, b2 + b3 = 60

b2 = b1·q b3 = b1·q2

b1·q + b1·q2 = 60

10q + 10q2 = 60 /: 10

q2 + q – 6 = 0

q1 + q2 = -1

q1·q2 = -6

q1 = -3 q2 = 2

q = -3

b2 = 10· (-3) = -30 b3 = 10·(-3)2 = 90

b2 + b3 = 60 -30 + 90 = 60

q = 2

b2 = 10·2 = 20 b3 = 10·22 = 10·4 = 40

20 + 40 = 60

Ответ: q = -3; q = 2.


8. Найти b13, если b11 = 25, b15 = 400


b213 = b12·b14

b2k = bk-p·bk + p, p = 2

b213 = b11·b15 b13 = 25·400 b13 = 5·20 b13 = 100

Ответ: b13 = 100.


9. Найти S6, если b1 = -2, b6 = -486

Sn = hello_html_m78b0d078.gif

Находим q

b6 = b1·q5

-2·q5 = -486

q5 = -486: (-2)

q5 = 243

q = 3

S6 = hello_html_m555798e0.gif 1 – 729 = -728

Ответ: S6 = -728.


10.Найти n, если b1 = 9, bn = hello_html_m600f8735.gif, Sn = hello_html_m509c4dcf.gif

bn = b1·qn – 1

hello_html_m600f8735.gif= 9·qn – 1

qn – 1 = hello_html_73bb64b1.gif

qn – 1 = hello_html_647c7bc.gif

qn – 1 = hello_html_m2e971be5.gif

q = hello_html_m4330769a.gif

n – 1 = 6

n = 7

Ответ: n = 7.


Автор
Дата добавления 29.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров61
Номер материала ДБ-219966
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх