Сборник задач по математике "Практическое применение процентов в повседневной жизни"

Верстка и дизайн:

Лачимова Г.А., учитель математики

МКОУ Ханты-Мансийского района

«Средняя общеобразовательная школа п. Выкатной»,

Ильиных А., ученица 6класс МКОУ Ханты-Мансийского района

«Средняя общеобразовательная школа п. Выкатной».

Отпечатано в студии дизайна

МКОУ ХМР "СОШ п. Выкатной"

http://www.86schhmr-wikatnoy.edusite.ru/

Адрес: 628513, п. Выкатной, ул. Школьная, 1

Телефон: [phone],

Факс: [phone].

Содержание

1.Предисловие______________________________________  2

2. Теоретические сведения________________________  3-4

2.1.Виды задач на проценты

а) нахождение процента от числа;

  б) нахождение числа по процентам;

                  в) нахождение процентного отношения чисел.

2.2.Проценты в повседневной жизни________________     5-7

2.3. Роль процентов в организации питания школьника _   7-8

2.4.  Проценты в ГИА и ЕГЭ  _______________________   8-9

2.5.Задачи с процентами на исторический сюжет    ______ 10

2.6. Задачи с процентами с литературными сюжетами_____10-11

3.Заключение       ____________________________________12

4.Список литературы        _____________________________12

1. Предисловие

В мире науки и техники, где человечество стремительно несётся вперёд, просто необходимо уметь считать и высчитывать. Строительство, обучение, кредиты, скидки в магазинах, да и просто стоя у плиты дома – всюду приходится столкнуться с процентами.

Прежде всего, отметим, что «процент» не является математическим понятием, в математике и ее приложениях не играет никакой роли. Изучение процентов в школе объясняется лишь традицией. Просто люди привыкли их использовать, как удобное  средство кратко сообщать информацию о сравнении данных, для описания изменения величин.

В газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе  обсуждаются  повышение цен, зарплат,  рост стоимости  акций, снижение покупательной способности  населения.  Добавим  сюда объявления  коммерческих  банков,  привлекающих  деньги населения  на  различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита и прочее. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий.

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется

.

3. Заключение

Ведь почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерии, ни в финансовом деле, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть счёт в сбербанке, наши родители интересуются размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся  процентом инфляции. В торговле понятие «процент» используется наиболее часто. Мы очень часто можем слышать о скидках, наценках, уценках, прибыли, кредитах, и т.д. – всё это проценты. Современному человеку необходимо хорошо ориентироваться в большом потоке информации, принимать правильные решения в разных жизненных ситуациях. Для этого необходимо хорошо производить процентные расчёты.

Литература.

1.        Математика. 8–9 классы:  сборник элективных курсов. Выпуск 1/ авт.-сост. В. Н. Студенецкая,  Л. С. Сагателова. - Волгоград: Учитель, 2007.

2.        Математика : учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н Решетников, А.В.Шевкин. – М. : Просвещение, 2008. 

3.         Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах: Методическое пособие для учителя. – М.: ООО «ТИД « Русское слово - РС», 2001.  

4.        Энциклопедический словарь юного математика. М: Педагогика, 1989.

5.        Газета «Первое сентября». «Математика» №1, 2012

6.        Сборники заданий к ГИА и ЕГЭ 2007- 2013г.

                                          

Ответ: к концу второго столетия  эта сумма будет равна 4142422,7 фунтов. Б. Франклин действительно мог распоряжаться миллионами.

2.6. Задачи с процентами на литературный сюжет

1. В романе М.Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» есть такой эпизод: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: «Сколько было бы теперь у него денег, если бы маменька Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей ассигнациями не присвоила бы себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей ассигнациями».

(Предположить, что Порфирию Владимировичу в момент счета было 53 года). Сколько процентов в год платил ломбард?

   Ответ: 4 %.

2. В романе М. Е. Салтыкова - Щедрина « Господа Головлевы» сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги взаймы. Он говорил: « Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитайте, сколько денег готов вернуть Петя через год, согласилась бабушка на его условия.

   Ответ: 4800 рублей.

3. В новелле О. Бальзака «Гобсек» один из героев, господин Дервиль, взял у ростовщика Гобсека сумму в 150000 франков сроком на 10 лет под 15 % годовых.  Вычислите, какую сумму вернул Дервиль Гобсеку по происшествие этого срока.

   Ответ: 606833,6 франка. 

                                               

Можно и нужно  для задач

брать примеры из

окружающей жизни.

Н.К. Крупская

2. Теоретические сведения

Что такое процент? 

Процент – сотая доля числа.

1 % = 1/100 = 0,01

Проценты – удобная относительная мера, позволяющая оперировать с числами в привычном для человека формате, не зависимо от размера самих чисел. Это своего рода масштаб, к которому можно привести любое число.

Соотношение десятичных дробей и  процентов:

0 = 0 %;

0,0007 = 0,07 %;

0,451 = 45,1 %;

1 = 100 %;

2 = 200 %.

Соотношение обыкновенных дробей и процентов:

               1 = 100 %;½ = 50% ¼=25%              ¾= 75 %.

2.1 Виды задач на проценты:

а) Нахождение процента от данного числа.

Чтобы найти, а % от в, нужно  в .

Пример.

 Найти 30% от 60.

60

    б) Нахождение числа по процентам.

Чтобы найти число, а % которого равны в, нужно в.

Пример.

Найти число, 3% которого равны 150.

150:

  в) Нахождение процентного отношения чисел.

Чтобы найти процентное отношение чисел а и в, надо отношение этих чисел умножить на 100%, т.е. .

Пример.

Сколько процентов составляет 150 от 600?

25%.

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых содержит перечисленные выше приемы.

Задача 1.

Папа вложил 5000 р. В акции своего предприятия и получил 20% дохода. Сколько рублей дохода получил папа?

Решение.

5000

Ответ: 1000 р.

Задача 2.

Несколько лет назад сберегательный банк выплачивал доход по срочному вкладу из расчета 3% годовых от вложенной суммы. Сколько рублей оказывалось на счете через 2 года, если на него положили 10000 р.?

Решение.

(10000

Ответ: 10609 р.

Задача 3.

Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200000 рублей. Какая сумма будет на его счете через 5 лет?

Решение.                                                                                                                                                                      

Для решения использовали формулу простого процента.

Ответ: 280000 р.

5.Из 80 учащихся девятых классов на экзамене по математике 10% всех учащихся получили оценку «5», 5% всех учащихся получили оценку «2», оценку «4» получило учащихся в три раза больше, чем оценку «3». Составьте отчетную ведомость экзамена по математике.

Решение:

1)       10%=0,1;      80*0,1=8 (уч.) - получили «5».

2)       5%=0,05;      80*0,05=4 (уч.) - получили «2».

3)       80-8-4=68 (уч.) - получили «3» и «4».

4)       68:4=17 (уч.) - получили «3».

5)       17*3=51 (уч) - получили «4».

Ответ:

Оценка	«5»	«4»	«3»	«2»
Количество учащихся	8	51	17	4

2.5. Задачи с процентами на исторический сюжет

1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: « Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

   Ответ: 60 сестерциев.

2. Некий человек взял в долг у ростовщика 100 рублей. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив еще 80%  суммы долга, но через 6 месяцев должник решил вернуть долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?

   Ответ: 140 рублей.

3. Завещание Бенджамина Франклина: «Препоручаю 1000 фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим  гражданам, а они будут давать их с процентами по 5 на 100 в год в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через 100 лет возвысится до 131000 фунтов. Я желаю, чтобы тогда 100000 фунтов употреблены были на постройку общественных зданий, а остальные 31000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечении второго столетия сумма возрастет до 4061000 фунтов, из коих 1061000  фунтов оставляю в распоряжении бостонских жителей, а 3000000- правлению Массачусетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов». Мы видим, что завещав всего 1000 фунтов, Б. Франклин распоряжается миллионами. Проверьте, не ошибся ли он в своих расчетах.

стоит 32 рубля, ежемесячно на карманные расходы школьник получает 400 рублей  (в месяце 4 недели).

Решение: (32*2)/400 * 100 = 16 %. Ответ: 16 %.

2.4.Проценты в ГИА и ЕГЭ

1.Для нормальной работы пансионата требуется 600 лампочек. Каждый месяц требуется замены 10% лампочек. Сколько необходимо лампочек для нормальной работы пансионата?

Используем формулу простого процентного роста.

Решение: S= (1+4*10:100)*600=840 (л)

Ответ: 840 ламп.

2. К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?

Решение:

1) 0,8*120=96(г) - соли в первоначальном растворе;

2) 480*0,2=96(г) - соли во втором  растворе;

3) ((96+96)/(120+480))*100%=32% - процентное содержание соли в получившемся растворе.

Ответ: 32%.

3. При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35 % больше, чем два года назад, причем лыжи подорожали с тех пор на 20 %, а ботинки — на 70 %. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж?

Решение:

1/2x+1,7y=1,35(x+y),

Где х руб – стоили лыжи два года назад.

y руб – стоили ботинки два года назад.

y=3/7x;

x/(x+y)=x/(x+3/7x)=7/10

Ответ: 70%.

4. Численность населения в городе Саранске в течение двух лет возрастала на 2 процента ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в Саранске первоначально?

Решение:

А - первоначальное количество жителей Саранска. Используя формулу коэффициента увеличения, получаем

А(1+0,02)2= А+11312, откуда А=280000

Ответ:  280000 человек.

2.2. Проценты в повседневной жизни

1. Для засолки огурцов был нужен 9% раствор уксусной кислоты, в наличии был 70% раствор. Мама попросила меня посчитать, сколько надо добавить воды в 20гр. 70% раствора, что бы получить 9% раствор.

Решение: х - количество воды необходимое добавить;

(х + 20)- новое количество раствора;

(х + 20)*0,09=20*0,7- количество уксуса в растворе;

Решим уравнение:

(х + 20)*0,09=20*0,7

(х + 20)*0,09=14

х + 20=155,5

х =135,5 гр.                         

Ответ:135,5 гр. воды.

2. Джинсы стоили 3000 рублей. Сейчас в магазине «sale»(распродажа) З0 % на всю коллекцию. Какова новая цена джинсов?

Решение.

1) 3000

2) 3000 900

Ответ: 2300 р.

3. Стоимость проезда в метро в течение года выросла с 17 до 25 рублей за одну поездку. На сколько процентов изменился тариф за год?

Решение.

1)   17 – х%

      25                                                                                                                                                                                  

                                                                                                                                               

 2) 100% -изменение.

Ответ: на 32%.

4. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г  10%-го раствора соли, чтобы получить  8%-й  раствор?

Решение.

1)   х г. - количество соли, которое было в 10% растворе. 

   

х=5 г.

2)  у г. – количество воды, которое надо добавить для получения 8% раствора.

400+8у=500                                                                                                                                                                   у г. Ответ: 12,5 г.

5. Купили конфеты и печенье. 1кг конфет дороже 1кг печенья на 50%, но их купили на 50% меньше, чем печенья. За что заплатили больше?

Решение.

Пусть x кг печенья по y р. За 1 кг – всего на xy р. Тогда конфет купили 0,5x кг по 1,5y р. За 1 кг – всего на 0,5x · 1,5y = 0,75 xy р. Так как xy > 0,75xy, то за печенье заплатили больше чем за конфеты.

Ответ: за печенье.

6. Мальчики составляют 45% всех учащихся школы. Известно, что 30% всех мальчиков и 40% всех девочек учатся без троек. Сколько учащихся школы учатся без троек?

Решение.

Пусть x  учащихся в школе. Тогда мальчиков 0,45 x, а девочек 0,55x. На тройки учится 0,3·0,45x мальчиков и 0,4·0,55x девочек. Всего 0,3·0,45x + 0,4·0,55x = 0,135x +0,22x = 0,355x.

Значит, на тройки учится 35,5% всех учеников школы.

Ответ: 35,5%.

7. Рядовой Сидоров почистил бак картошки за 4 ч, и у него 20% всей картошки ушло на очистки. За сколько часов он начистит такой же (по массе) бак картошки?

Решение:

Пусть x неочищенной картошки было в баке. Тогда очищенной за 4 ч- 80% ,т. е 0,8x. Значит, за 1 ч он начистит  0,2x. Тогда, x: 0,2x = 5 ч понадобится рядовому для поставленной задачи.

Ответ: за 5 ч.       

8. Сколько надо заплатить, если платеж 5000 рублей просрочен, пеня равна 1 % за каждый день просрочки, а оплата производится с задержкой на 15 дней?

Решение:

(руб.)           

Ответ: 5750 рублей.

2.3. Роль процентов в организации питания школьника

Формула расчета доли в процентном отношении.

Путь задано два числа А₁ и А₂. Надо определить, какую долю в процентном отношении составляет число А₁ от А₂.

Р =  А₁ / А₂ * 100

Пример 1.  Калорийность рациона школьника: 7-11 лет - 2350 ккал; 11 лет и старше - 2713 ккал. Какую долю в процентном отношении составляет калорийность этих возрастов?

Р = 2350 / 2713 * 100  86, 62 %. Ответ: 86, 62 %.

Пример 2. Йогурт «Эрмик» содержит 2,5 г – жира, 2,8 г – белка и 15,9 г – углеводов. Каково процентное содержание этих питательных веществ в йогурте?

Решение: 2,5 + 2,8 +15,9 = 20,2 (г)

               2,5/20,2 * 100 = 12,5%

               2,8/20,2 * 100 = 13,86%

               15,9/20,2 * 100 = 78,7%. Ответ: 78,7%.

Формула расчета процента от числа.

Пусть задано число А₂. Надо вычислить число А₁, составляющее заданный процент Р от А₂.

А₁ = А₂ * Р / 100

Пример 1. Массовая доля жира в 450 г кефира «Снежок», составляет 2,5%. Сколько грамм жира содержится в кефире? 

Решение: 450 * 2,5/100 = 11,25 (г). Ответ: 11,25 г.

Пример 2. Известно, что энергетическая ценность йогурта – 97 ккал, что составляет 4% от рекомендуемой суточной нормы потребления питательных веществ для школьника. Каков суточный объем питательных веществ школьника?

Решение: 97 * 4/100 ≈ 2500 (ккал). Ответ: ≈ 2500 ккал.

Формула уменьшения числа на заданный процент.

Пусть задано число А₁. Надо вычислить число А₂, которое меньше числа А₁ на заданный процент Р. А₂ = А₁ – А₁   или А₂ = А₁

Пример3. Норма суточной потребности учащегося  в различных витаминах составляет в среднем 125 мг. Одна выкуренная сигарета нейтрализует (уничтожает) 20% витаминов. Сколько витаминов получит ученик, который курит? Сколько витаминов ворует у себя тот, кто курит?

Решение: 125 * (1 – 20/100)= 125 * 0,8 = 100 (мг) – получит,

125 – 100 = 25 (мг) – ворует.

Пример 4. Определить сколько % своих карманных денег тратит на фаст - фуды школьник, съедающий 2 фаст - фуда в неделю, если один такой продукт в среднем.

Верстка и дизайн:

Лачимова Г.А., учитель математики

МКОУ Ханты-Мансийского района

«Средняя общеобразовательная школа п. Выкатной»,

Ильиных А., ученица 6класс МКОУ Ханты-Мансийского района

«Средняя общеобразовательная школа п. Выкатной».

Ханты - Мансийский район

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение:

Средняя общеобразовательная школа

п. Выкатной

Сборник задач по математике

"Практическое применение процентов

в повседневной жизни"

6 – 11класс

2015