Сборник задач по теме линейная алгебра.

Сборник задач по теме «Линейная алгебра».

1.   Вычисление определителей.

  Вычислить определители:

1)                                          2)                                           3) 

4)                                          5)                                   6)

7)                                          8)

9)                                   10)                                11)          

 12)                                 13)                                         14)

15)                      16)                                       17)           

  18)                                  19)                                        20)

Решите уравнения:

21)                                 22)                 23)

 24)                           25)  = 0                   26)

  27)                           28)    

  29) 

  30) 

  31) Доказать что

Вычислить определители четвертого порядка:

32)                       33)                         34)

2. Действия над матрицами.

Сложить матрицы А и В:

35)

36) 

37)   

38)   

39)  

40) Доказать справедливость равенств:

        а) А+В = В+А для матриц

,

         б)  (А+В)+С =А+(В+С) для матриц

41)Умножить матрицу  на число k= 3.

  Вычислить линейные комбинации матриц:

42)3А – 2В, если

     43) 2А – В, если

44)                       2А +3В – С, если   

Найти произведение матриц:

  45)                                          46)  

 47)                              48) 

49)                                      50) 

51)                                       52) 

Вычислить комбинации матриц:

53) АВ – ВА, если

54)  3А∙2В, если  

55)  АЕ, если

56)  Найти произведения АВ и ВА, если

Найти матрицу, обратную данной и выполнить проверку:

57)                 58)                 59)                60)

61)                       62)                   63) 

3.Системы линейных уравнений.

Решить системы уравнений методом Крамера по формулам .

64)            65)           66)      

67)            68)           69)

70)           71)          72) 

73) При каком значении «а» система не имеет решений

Решите системы уравнений методом Гаусса:

74)             75)           76)

77)                      78)            79)

80)                 81)

Решить системы уравнений методом обратной матрицы:

82)                    83)                 84)

Докажите, что система уравнений не имеет решений:

85)            86)           87)

 Докажите, что система уравнений имеет бесконечно много решений и найдите два         частных решения системы:

   88)             89) 

4.Системы линейных неравенств с двумя переменными.

Решить графически систему неравенств:

90)             91)               92)           93)

94)                       95)                     96)

97)  Найдите все пары натуральных чисел, которые являются решениями системы:

            

Решите системы неравенств:

98)               99)            100)  

5. Задачи линейного программирования.

     101)  Найти наибольшее значение линейной формы F = 2x + y при условиях

              

102)  Найти наименьшее значение линейной формы F = x + 3y при условиях:

        

103)  Найти наименьшее значение линейной формы F = 3 – x – y при ограничениях:

          

104)  Найти наибольшее значение линейной формы F = 4x+ 3y при ограничениях:

         

105)  Найти наибольшее и наименьшее значение линейной формы F = 2x+3y при          ограничениях:

            

106)  Для снабжения трех районов города хлебом имеется два хлебозавода. Первый район ежедневно потребляет 26т хлеба, второй – 14т, а третий – 10т. Хлебозавод №1 выпекает ежедневно 30т хлеба, №2 – 20т. Стоимость в рублях доставки 1т хлеба дана в таблице

	1 район	2 район	3 район
Завод №1	300р	400р	600р
Завод №2	300р	500р	200р

        Составить наиболее экономный план перевозки хлеба.

107)  Из пункта А в пункт В ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. В таблице указан наличный парк вагонов разных типов, из которых ежедневно можно комплектовать поезда и количество пассажиров, вмещающихся в каждом вагоне.

	Багажный	Почтовый	Плацкартный	Купейный	Мягкий
Скорый	1	1	5	6	3
Пассажирский	1	0	8	4	1
Количество пассажиров	0	0	58	40	32
Парк вагонов	12	8	81	70	26

Определить оптимальное количество скорых и пассажирских поездов, при котором число перевозимых пассажиров достигает максимума.

108)  Требуется составить план выпуска двух видов изделий на четырех участках цеха, чтобы получить максимальную прибыль. При этом время работы на первом участке не превышает 16ч, на втором – 30ч, на третьем – 16ч, а на четвертом – 12ч. В таблице указано время, необходимое для изготовления любого из этих 2 видов изделий на каждом из участков. Нуль означает, что изделие на данном участке не изготавливается.

	1 участок	2 участок	3 участок	4 участок
I вид изделий	4ч	3ч	0	2ч
II вид изделий	2ч	6ч	4ч	0
Время работы       участка	16ч	30ч	16ч	12ч

  Цеху начисляется прибыль3р при реализации одного изделия I вида и 4р – одного изделия II вида.

109)  Цех выпускает изделия двух видов. На одно изделие вида А расходуется 5 кг меди и 1 кг алюминия, на одно изделие вида В 3 кг меди и 2 кг алюминия. От реализации одного изделия вида А получают прибыль 2р, а от реализации одного изделия вида В 3р. Сколько изделий каждого вида должен выпускать цех, чтобы получить максимальную прибыль, если имеется 45 кг меди и 16 кг алюминия?

110)  Для изготовления двух видов изделий А и В фабрика расходует сталь и цветные металлы. Изделия изготавливают на токарных и фрезерных станках. Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.

Виды ресурсов	Объем ресурсов	Нормы расхода на одно изделие А	Нормы расхода на одно изделие В
Сталь (кг)	570	10	70
Цветные металлы (кг)	490	20	50
Токарные станки (станко – часы)	5600	300	400
Фрезерные станки (станко – часы)	3400	200	100
Прибыль (тыс.руб)		3	8

111)  Предприятию требуется за шесть дней выпустить 30 изделий вида А и 96 изделий вида В. Изделия выпускаются в двух цехах: I и II. Производительность каждого цеха дана в таблице №1. В таблице №2 -  цена дневного рабочего времени при изготовлении каждого вида изделий.

	Изделия А	Изделия В
I цех	6 изделий в день	24 изделия в день
II цех	13 изделий в день	13 изделий в день

	А	В
I цех	4	47
II цех	13	26

Составить оптимальный план работы, чтобы стоимость всей продукции оказалась минимальной.

112)  На трех складах имеется соответственно 90, 70, 50 тонн муки, которую надо перевезти в четыре магазина в количестве 80, 60, 40 и 30 тонн. Стоимость перевозки 1 тонны муки дана в таблице. Необходимо составить оптимальный план перевозки.

1 склад	1 магазин	2 магазин	3 магазин	4 магазин
2 склад	2	1	3	2
3склад	2	3	3	1
4 склад	3	3	2	1

113)  Совхозу требуется не более 10 трехтонных автомашин и не более 8 пятитонных. Отпускная цена машины первой марки 2000 рублей, второй марки 4000 рублей. Совхоз может выделить для приобретения машин 40 000 руб. Сколько следует приобрести автомашин каждой марки, чтобы их общая грузоподъемность была максимальной.

114)  Требуется составить смесь, содержащую три химических элемента А, В, С. Известно, что составленная смесь должна содержать вещества А не менее 6 единиц, вещества В не менее 8 единиц, вещества С не менее 12 единиц. Вещества А, В, С содержатся в трех видах продуктов – I, II, III в концентрации, указанной в таблице

	А	В	С
I	2	1	3
II	1	2	4
III	3	1,5	2

       Стоимость единицы продуктов I, II, III различна: единица продукта I стоит 2 руб,          единица II 3 – руб, единица III 2,5 руб. Смесь надо составить так, чтобы стоимость используемых продуктов была наименьшей.

115)  Для кормления коров используются концентрированные и грубые корма.1 кг концентрата содержит 1 кормовую единицу и 0,08 протеина, 1 кг грубых кормов содержит 0,25 кормовых единиц и 0,04 протеина. Суточный рацион одной коровы должен содержать не менее 10 кормовых единиц и не менее 1,2 единиц протеина. Определить оптимальный вариант суточного рациона кормления при условии, чтобы стоимость рациона была минимальной, если 1 кг концентрата стоит 5 руб, а 1 кг грубых кормов – 2 руб.

116)  Содержание витаминов А и С в 1 кг фруктов задано таблицей

	А(мг)	С(мг)
Вишня	3	150
Абрикосы	24	75

      Сколько граммов вишни и сколько граммов абрикосов следует включить в дневной рацион, чтобы в нем оказалось не менее 6 мг витамина А и не менее 75 мг витамина С при минимальных затратах, если 1 кг вишни стоит 25 руб, а 1 кг абрикосов – 3 руб.