Сборник заданий для подготовки учащихся 8 классов к олимпиадам

Сборник заданий

для подготовки учащихся 8 классов к олимпиадам

Вариант 1

1. Что больше:  или ?

2. В классе учится менее 50 школьников. За контрольную работу  учеников получила пятёрки,  – четвёрки; – тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?

3. Дан DАВС, вершина которого С не помещается на чертеже. Проведите медианы из вершин А и В этого треугольника. Ответ обосновать.

4. Художник Худобеднов за месяц работы написал 42 картины. На 17 из них есть лес, на 29 – река, а на 13 – и то и другое; на остальных картинах – не поймешь что. Сколько картин изображают не поймешь что?

5. На складе имеются бочки с мёдом и дёгтем. По недосмотру администрации в одной из бочек с мёдом оказалось 10 % дёгтя. Чтобы исправить ситуацию, сторож решил добавить мёда в эту бочку, чтобы содержание дёгтя было только 6 %. Сколько мёда ему придётся добавить, если первоначально бочка содержит 60 кг смеси?

6. Разложите на рациональные множители выражение x⁸ + x⁴ + 1.

Вариант 2

1. При каких натуральных n значения выражения    являются целыми числами?

2. Три мальчика – Игорь, Дима и Юра – купили вместе один мяч. Каждый из них дал денег не больше половины той суммы, которую внесли двое других вместе. Мяч стоил 60 рублей. Сколько денег дал для покупки мяча Дима?

3. Что больше: 5³⁰⁰  или 3⁵⁰⁰?

4. Диагонали прямоугольника делят его на 4 треугольника, периметры которых равны и  периметра прямоугольника. Как относятся длины сторон прямоугольника?

5. В DKMN медианы MM₁ и NN₁ пересекаются в точке P. Найдите площадь DKMN, если площадь DMNP равна 10 см².

6. Одним ударом Шварценеггер может разбить любой кусок бетона на 3 части. Сколько ударов ему понадобится сделать, чтобы разбить бетонную плиту на 2005 частей?

Вариант 3

1. Сколько корней имеет уравнение:

 

2. Из 100 студентов английский язык знают 28, немецкий – 30, французский – 5, английский и французский – 10, английский и немецкий – 8, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из трёх языков?

3. Решите уравнение xy = x + y в целых числах.

4. В свежем арбузе массой 10 кг 99 % воды. После того как арбуз раскололся и высох, вода стала составлять 98 %. Какова теперь его масса?

5. На стороне ОА угла АОВ взята точка М. Из неё проведён перпендикуляр MN к стороне ОВ. Из основания перпендикуляра проведен перпендикуляр NK к стороне ОА и т. д. Постройте отрезок, длина которого равна длине этой бесконечной ломаной.

6. В прямоугольнике АВСD вершину А соединили с серединами сторон ВС и СD. Может ли один из отрезков оказаться вдвое длиннее другого?

Вариант 4

1. Постройте график функции 

2. Внутри равностороннего треугольника движется точка. Докажите, что сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника не изменяется.

3. Две вершины квадрата имеют координаты (0; 0) и (5; 5). Найдите координаты двух других его вершин.

4. Какие три цифры надо приписать справа к 34, чтобы получить точный квадрат? Найдите все решения.

5. 48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Каждый кузнец тратит на одну подкову 5 минут. Какое наименьшее время они должны потратить на работу (необходимо учитывать, что лошадь не может стоять на двух ногах). Как это сделать?

6. Доказать, что для всякого натурального n ≥ 2 выражение 2ⁿ – 1 не может быть точным квадратом.

Вариант 5

1. Разложите на множители выражение:  a³ + a + 4.

2. Доказать, что произведение трёх последовательных целых чисел, сложенных со вторым из них, равно кубу этого числа.

3. В параллелограмме ABCD точка М – середина ВС, N – середина CD. Доказать, что прямые АМ и AN делят диагональ BD на 3 равные части.

4. Четырёх кошек взвесили попарно во всех возможных комбинациях. Получились массы 7 кг, 8 кг, 9 кг, 10 кг, 11 кг, 12 кг. Какова общая масса всех кошек?

5. На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за 1 день, а стадо из 37 слонов – за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро 1 слон?

6. По дороге едет телега, в одно из колёс вбит гвоздь. Диаметр колеса телеги равен 1 м. Каждый раз, когда гвоздь ударяется о дорогу, раздаётся щелчок. Щелчки повторяются каждую секунду. С какой скоростью едет телега?

Вариант 6

1. В выражении 1 – 2 – 4 – 8 – 16 = 19 расставьте несколько знаков модуля так, чтобы равенство стало верным.

2. В турнире участвовали шесть шахматистов. Каждые два участника турнира сыграли между собой по одной партии. Сколько всего партий было сыграно? Сколько партий сыграл каждый участник? Сколько очков набрали все шахматисты вместе?

3. При каких x, y, z может иметь место равенство 4x² + 9y² + 16z² – 4x – 6y – 8z + 3 = 0?

4. Построить график функции:

5. Собака погналась за лисицей. В то время когда собака делает 2 скачка, лисица делает 3 скачка, но скачок лисицы равен 1 м, а собаки – в два раза больше. Какое расстояние пробежит собака, чтобы догнать лисицу, если первоначальное расстояние между ними равно 50 м?

6. Построить  прямоугольный   треугольник  по  медианам  m_а и m_с   (c – гипотенуза).

Вариант 7

1. Цены повысились на 25 %. На сколько процентов меньше товаров можно купить на ту же зарплату?

2. Длины сторон треугольника равны 6,82 м и 0,31 м, а длина третьей стороны выражена целым числом метров. Найти длину третьей стороны.

3. В лингвистический лагерь приехали на отдых дети, изучающие иностранные языки. Все они изучают либо английский язык, либо немецкий. Мальчиков было 16, немецкий язык изучают 24 человека. Девочек, изучающих английский язык, столько, сколько мальчиков, изучающих немецкий язык. Сколько всего детей приехало в лагерь?

4. Ужасный вирус пожирает память компьютера. За первую секунду он управился с половиной памяти, за вторую секунду – с одной третью оставшейся части, за третью секунду с одной четвертью того, что ещё сохранилось, за четвёртую – с одной пятой остатка, тут его настиг могучий антивирус. Какая часть памяти уцелела?

5. В DABC  стороны  АВ и АС  равны, а точки D и E  таковы, что  AE = AD и ÐBAD = 30º . Чему равен ÐCDE?

6. Когда  быстрый  и  медленный  спортсмены  бегут  по  стадиону  в одну сторону, то быстрый обгоняет медленного 1 раз в 15 минут, а когда они бегут навстречу, то встречаются 1 раз в 5 минут. Во сколько раз скорость быстрого бегуна больше скорости медленного бегуна?

Вариант 8

1. Двое одновременно отправились из А в В. Первый поехал на велосипеде, а второй – на автомобиле со скоростью, в пять раз большей, чем скорость велосипеда. На полпути автомобиль сломался, и остаток пути автомобилист прошёл пешком со скоростью, в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто из них прибыл раньше?

2. Известно, что а + в + с = 7 и .

Чему равно число  ?

3. В 12 часов дня часовая и минутная стрелки совпадают. Через какое наименьшее число минут стрелки снова совпадут?

4. Три одинаковые банки с тремя красками наполнены на две трети. Имеется возможность переливать любую часть жидкости из одной банки в другую. Как сделать во всех банках одинаковую смесь, если другой посуды нет и выливать краску нельзя?

5. Если между цифрами двузначного числа вписать это же двузначное число, то полученное в 77 раз больше первоначального. Найдите это число.

6. Точки С и D лежат на окружности с диаметром АВ. Прямые АС и BD пересекаются в точке P, а прямые AD и BC – в точке Q. Доказать, что AB ^ PQ.

Вариант 9

1. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться?

2. 9 кг ирисок дешевле 100 рублей, а 10 кг ирисок дороже 110 рублей. Сколько стоит один килограмм ирисок?

3. К берегу Нила подошла компания из шести человек: три бедуина, каждый со своей женой. У берега находилась лодка с вёслами, выдерживающая только двух человек. Бедуин не может допустить, чтобы его жена находилась без него в обществе другого мужчины. Может ли вся компания перебраться на другой берег?

4. Соедините попарно через одну вершины выпуклого пятиугольника и найдите сумму внутренних углов полученной пятиконечной звезды.

5. Кусок туалетного мыла имеет форму параллелепипеда. После семи дней использования все его размеры уменьшились вдвое. На сколько дней ещё хватит этого мыла?

6. В классе 35 учеников. 24 из них любят футбол, 18 – волейбол и 12 – баскетбол. Но 10 учеников любят футбол и волейбол, 8 – футбол и баскетбол, 5 – волейбол и баскетбол. Сколько учеников этого класса любят все три вида спорта?

Вариант 10

1. В равнобокую трапецию с длинами оснований 8 см и 18 см вписана окружность. Найти её радиус.

2. Сто человек последовательно красят доску 100 ´ 100 в 100 цветов, соблюдая правило: в одной строке и в одном столбце не может оказаться двух клеток, раскрашенных одинаково. Смогут ли 99 человек правильно докрасить доску, если первый раскрасил «свои» 100 клеток?

3. Если каждый мальчик купит пирожок, а каждая девочка – булочку, то они вместе потратят на 1 рубль меньше, чем если бы каждый мальчик купил булочку, а каждая девочка – пирожок. Цена пирожка и цена булочки различаются больше, чем на 50 копеек. Известно также, что мальчиков больше, чем девочек. На сколько? Что дороже, пирожок или булочка?

4. Среди 12 монет имеется одна фальшивая. Найти её четырьмя взвешиваниями на весах с двумя чашечками без гирь, если неизвестно, легче она или тяжелее остальных.

5. В DABC проведены биссектрисы углов А и В, угол между которыми равен 125 º. Найдите ÐС.

6. Постройте график функции