Сборник заданий для подготовки учащихся 7 классов к олимпиадам

Сборник заданий

для подготовки учащихся 7 классов к олимпиадам

Вариант 1

1. Первую половину пути всадник скакал со скоростью 20 км/ч, а вторую – со скоростью 12 км/ч. найдите среднюю скорость всадника.

2. Ученик утверждает, что знает  решение уравнения xy⁶ + x²y = 1999 в натуральных числах. Докажите, что он ошибся.

3. Под кукурузу отвели участок поля в форме прямоугольника. Через некоторое время длину этого участка увеличили на 35 %, а ширину уменьшили на 14 %. На сколько процентов изменилась площадь участка?

4. За время стоянки между рейсами матросу исполнилось 20 лет. По этому поводу в кают-компании собрались все 6 человек экипажа судна. «Я вдвое старше юнги и на 6 лет старше машиниста», – заметил рулевой. «А я на столько лет моложе машиниста, на сколько лет старше юнги, – заметил боцман, – кроме того, я на 4 года старше матроса». «Средний возраст команды – 28 лет», – дал справку капитан. Сколько лет капитану?

5. пассажир, проезжая в трамвае, заметил знакомого, который шел вдоль линии трамвая в противоположную сторону. Через 10 секунд пассажир вышел из трамвая и пошел догонять своего знакомого. Через сколько секунд он догонит знакомого, если он идет в два раза быстрее знакомого и в 5 раз медленнее трамвая?

6. В ∆АВС биссектрисы углов А и В пересекаются под углом 128º. найдите угол С.

Вариант 2

1.      На олимпийских играх наши спортсмены завоевали 96 медалей, из них золотых и бронзовых вместе – 65, а золотых и серебряных – 61. Сколько  золотых,  серебряных  и  бронзовых  медалей  получили  они  в отдельности?

2.      Как без помощи инструментов можно проверить, является ли бумажный четырехугольник квадратом? Ответ обосновать.

3.      Разложите на множители x³ – 7x – 6.

4.      При каких значениях к прямые y = 2x – 5; y = x + 2 и y = кx – 12 пересекаются в одной точке?

5.      Найдите все правильные дроби, каждая из которых становится равной  при уменьшении её числителя и знаменателя на 1.

6.      У ученика есть обычный школьный прямоугольный треугольник с углами 30º, 60º и 90º. Ему нужно построить угол в 15º. Как это сделать, не используя других инструментов?

Вариант 3

1.        На окраску кубика ушло 6 г краски. Когда она высохла, кубик распилили на 8 одинаковых кубиков. сколько понадобится краски, чтобы покрасить неокрашенную часть их поверхностей?

2.        На сколько частей могут разбивать плоскость 4 различные прямые? Перечислите все возможности, для каждой сделайте чертеж.

3.        Можно ли в записи 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 20 вместо звездочки поставить (в любом порядке) знаки «+» и «–» так, чтобы получилось верное равенство?

4.        Капитан Врунгель погнался за кенгуру. Кенгуру в минуту делает 70 прыжков, каждый прыжок – 10 м. Капитан Врунгель бежит со скоростью 10 м/с. Догонит ли капитан Врунгель кенгуру? Ответ обосновать.

5.        Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?

6.        Туристы приготовили уху, но, не имея кулинарного опыта, положили в неё мало соли, поэтому пришлось подсаливать за столом. В другой раз на такое же количество ухи они положили в 2 раза больше соли, чем в первый раз, но и на этот раз пришлось подсаливать уху, правда использовав для этого соли в 2 раза меньше, чем в первый раз. Какую долю необходимого количества соли положил в уху повар в первый раз?

Вариант 4

1.        Найдите натуральное число, которое в 7 раз больше своей последней цифры. Существуют ли ещё такие числа?

2.        На отрезке АВ, длина которого 6 см, отмечены 2 точки: М и К. Известно, что ВМ = 2ВК; АМ = 0,8АК. Найдите длину отрезка МК.

3.        На стороне АС разностороннего ∆АВС взята точка К. Известно, что углы ∆АВК и ∆СВК равны. Найдите величину угла АВС.

4.        Автомобиль едет со скоростью 60 км/ч. На сколько он должен увеличить скорость, чтобы проезжать 1 км пути быстрее на полминуты?

5.        1 кг пломбира на 40 рублей дороже 1 кг шоколадного мороженого. Андрей и Виктор заказали по 150 г мороженого, причем у Андрея пломбира в 2 раза больше, чем шоколадного мороженого, у Виктора – того и другого поровну. Чья порция дороже и на сколько?

6.        Постройте график функции  .

Вариант 5

1. К числу 43 справа и слева припишите по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

2. Средний возраст одиннадцати футболистов – 22 года. Во время игры один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся игроков стал  21  год. Сколько  лет  футболисту, ушедшему с поля?

3. Построить треугольник по основанию, высоте и медиане, проведенной к этому основанию.

4. Арбуз весил 20 кг и содержал 99 % воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98 % воды. Сколько теперь весит арбуз?

5. Ученик купил 4 книги. Все книги, без первой, стоят 42 рубля, без второй – 40 рублей, без третьей – 38 рублей, а без четвертой – 36 рублей. Сколько стоит каждая книга?

6. Разложите на множители a⁸ + 64.

Вариант 6

1.        В первом  бруске  металла  массой 1 кг  содержится  50 % меди, а во втором массой 0,5 кг – 80 % меди. Бруски сплавили. Сколько процентов меди содержится в бруске?

2.        Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел, увеличенное на 1, есть квадрат целого числа.

3.        Турист вышел из пункта А в пункт В. За первый час он  прошел 3 км. Если бы он и далее шел с этой скоростью, то опоздал бы к приходу поезда на 40 минут, но оставшуюся часть пути он прошел со скоростью 4 км/ч и пришел за 45 минут до отхода поезда. Найти расстояние от А до В.

4.        Дан параллелограмм АВСD. на прямых АВ и ВС выбраны точки соответственно   Н  и  К  так,   что  ∆КАВ  и  ∆НСВ  –  равнобедренные  (КА = АВ, НС = СВ). Доказать, что ∆КDН тоже равнобедренный.

5.        Какой цифрой оканчивается сумма 54³⁵ + 28²¹?

6.        Три фишки с цифрами 1, 3, 6 расположите в ряд так, чтобы получилось число, делящееся на 7.

Вариант 7

1.        У Саши есть 20 разноцветных шариков: желтых, зеленых, синих и черных. Из этих шариков 17 – не зеленые, 5 – черные, 12 – не желтые. Сколько синих шариков у Саши?

2.        Сколько существует способов записи числа 2003 в виде суммы двух простых слагаемых a + b, причем a < b?

3.        Даны два равнобедренных треугольника, в каждом из которых есть сторона, длина которой 6 см, и угол, градусная мера которого 110º. Можно ли утверждать, что эти треугольники равны? Обосновать ответ.

4.        Самолет сначала летел со скоростью 780 км/ч. Когда ему оставалось пролететь на 680 км меньше, чем он пролетел, он изменил скорость и стал лететь со скоростью 830 км/ч. Средняя скорость полета на всем пути равна 80 км/ч. Какое расстояние пролетел самолет?

5.        Дорожка вокруг стадиона разделена на участки одинаковой длины. Ваня бегает в 3 раза быстрее своей младшей сестры Тани. Они стартуют одновременно из точки Р, но  в  противоположных направлениях. В какой точке они встретятся?

6.        Внешние углы треугольника пропорциональны числам 6, 7 и 11. Найти угол между высотами этого треугольника, опущенными из вершин меньших углов треугольника.

Вариант 8

1. Как от куска материи в  метра отрезать полметра, не имея под рукой метра?

2. В некотором «стаде» сороконожек и трехголовых драконов всего 26 голов 298 ног. У  каждой  сороконожки  одна  голова.  Сколько  ног у трехголового дракона?

3. Докажите, что сумма четырех различных двузначных чисел, записанных с помощью двух заданных цифр, не может быть квадратом натурального числа.

4. Машина из пункта А в пункт В едет со скоростью 40 км/ч, а обратно со скоростью 60 км/ч. Какова её средняя скорость?

5. У Пети есть торт, в трех углах и в самом центре которого находится по изюминке (см. рис.). Петя хочет двумя прямолинейными разрезами разделить торт на 4 части – каждая с изюминкой – так, чтобы ему достался кусок с изюминкой «А» и этот кусок составлял  часть торта. Как Петя может разрезать торт?

                  

6. Горят две свечи неодинаковой длины и разной толщины. Более длинная сгорает за 3 часа, а короткая за 5 часов. Через 2 часа одновременного горения длины свечей оказались равными. Во сколько раз одна свеча первоначально была короче другой?

Вариант 9

1. Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.

2. На сторонах АС и ВС треугольника АСВ взяты точки С₁ и С₂. Докажите, что ∆АСВ – равнобедренный, если треугольники АВС₁ и ВАС₂ равны.

3. Из А в В одновременно выезжают автобус и велосипедист. автобус,  двигаясь  со  скоростью 45 км/ч, после 15-минутной  стоянки в пункте В отправляется в обратный рейс и встречает велосипедиста, движущегося со скоростью 12 км/ч, на середине пути между А и В. Найти расстояние АВ.

4. Четырехугольник с длинами сторон 1; 1; 1; 2 имеет две параллельные стороны и разбит на 4 одинаковые фигуры (см. рис.). В результате верхняя сторона разделилась на 4 отрезка. Найти отношение длины большего отрезка к меньшему.

                  

5. Решите уравнение:

1 − (2 − (3 − (… (1998 − (1999 − (2000 − х)) …))) = 1000

6. Джон и Мэри живут в  небоскребе, на  каждом  этаже  которого  10 квартир. Номер этажа Джона равен номеру квартиры Мэри, а сумма номеров их квартир равна 239. В какой квартире живет Джон?

Вариант 10

1.        Найдите значение выражения:

2.        Сократите дробь:

                                      9 − (в + 2)²

                                     в² + 10в + 25

3.        Экскурсия школьников на Мамаев курган началась в 10 часов и окончилась в 11 ч 40 минут. Путь до скульптуры «Родина-мать» и обратно проходил по одному и тому же маршруту, при этом скорость движения на горизонтальных участках была 4км/ч; в гору – 3 км/ч; а под гору – 6 км/ч. Какое расстояние прошли школьники, если во время экскурсии они стояли 50 минут?

4.        Угол между двумя  высотами  остроугольного ∆АВС равен 60º, и точка пересечения высот делит одну из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника. Докажите, что ∆АВС – равносторонний.

5.        Путешественник  прибыл  на остров,  на  котором  живут лжецы (Л) и правдолюбы (П). Каждый (Л), отвечая на вопрос «Сколько?», называет число на 2 больше или на 2 меньше, чем правильный  ответ, а каждый (П) отвечает верно. Путешественник встретил двух жителей острова и спросил у каждого, сколько (Л) и (П) проживают на острове. Первый ответил: «Если не считать меня, то 1001 Л и 1002 П», а второй: «Если не считать меня, то 1000 Л и 999 П». Сколько лжецов и правдолюбов на острове?

6.        Даны десять точек, расположенные в виде равностороннего треугольника (см. рис.). Зачеркните некоторые из данных точек так, чтобы нельзя было построить ни одного равностороннего треугольника с вершинами в оставшихся точках. Постарайтесь зачеркнуть наименьшее количество точек.